数字锁相环中频率量化和加性输入噪声的组合效应的研究

理论计算机科学电子笔记225（2009）255-268www.elsevier.com/locate/entcs一阶数字锁相环中频率量化和加性输入噪声的组合效应西利安·奥Tuama 1和James P. 格里森2科克大学应用数学系爱尔兰科克摘要Gardner [1]最近关于数字锁相环（DPLL）的工作通过仿真研究了数控振荡器中频率量化引起的相位抖动特性。Feely，Teplinsky等人[2]，[3]的进一步工作使用非线性动力学理论来提供对这种相位抖动的完整的分析解释本文详细研究了输入信号嵌入加性噪声的情况，Gardner在早期的研究中没有找到令人满意的方法来表征相位抖动。在这里，进一步的数值结果为1-D的DPLL的，它是分析显示如何DPLL的噪声抖动动态可以近似为一个嘈杂的圆旋转映射合理的水平的附加噪声。这种情况下的噪声是独特的，本质上是高度非线性的，因此不适合传统的分析。通过考虑相位抖动的概率密度随时间的变化，推导出了相位抖动的概率密度函数（PDF）的时间依赖的偏差-延迟方程。 它表明，该PDF达到一个稳定的状态，这个状态是由一个非局部方程描述的。这个方程的解决方案进行了调查，数值和解析，并用来解释添加剂之间的相互作用，以及以前不了解的量化噪声保留字：非线性动力学，相位抖动，锁相环。1介绍锁相环（PLL）作为元器件已被广泛应用多年 尤其是在通信系统中。 PLL是由鉴相器、线性滤波器和压控振荡器（VCO）组成的闭环，如图1所示，并在[4]中进行了详细描述和分析。当如图所示布置时，进入振荡器的反馈信号充当误差信号，并且驱动振荡器的相位以匹配输入信号的相位。 由于这种特性，PLL通常也用于跨设备同步时钟信号1电子邮件地址：cotuama@gofree.indigo.ie2电子邮件：j. ucc.ie1571-0661/© 2008 Elsevier B. V.根据CC BY-NC-ND许可证开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2008.12.079256C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）255图1.一、来自[2]的一阶DPLL框图以便在通信设备中提取载波信号。通过对电路进行一些简单的修改，PLL也可以用作倍频器或分频器。大多数现代通信系统本质上是数字的，即依赖于对输入信号的离散时间采样，然后将其馈送到数字PLL（DPLL）中。在这种情况下，PLL仅仅是一个逻辑设备，或者甚至是一个在数字计算机上运行的算法，在离散的时间步长上运行，并且在环路中的每个点具有离散的状态值。VCO变成了一个数控振荡器（NCO），其输出频率由输入端的控制字xq决定。 由于xq是量化的，即只能取有限数量的值，输出频率也将被量化，并且一般来说，这将防止输出信号与输入信号精确匹配。 这种量化抖动在[2]、[3]中进行了非常详细的研究Gardner [1]还在数值上研究了输入信号嵌入加性高斯白噪声的情况，并试图推导出一些经验法则来说明这种加性噪声如何与量化抖动相互作用。虽然对输出噪声进行了一些表征，但所获得的结果仅具有中等精度，并且仅在某些范围内有效。对这个问题没有达成全面的理解。本文研究了两个相互作用对输出噪声的影响，输入噪声和量化抖动，注意到DPLL在其稳态下的操作是圆旋转映射，并考虑到新的方式，输入噪声影响该映射的动态特性。 从这一点上，我们认为''的概率在一个单一的时间步长，并推导出DPLL相位误差的PDF的差异延迟方程。由此我们得到了稳态解的时滞方程，并研究了它的一些性质。 特别是，从PDF中，我们可以计算稳态相位误差的方差，这是通常感兴趣的量，因为它表示输出噪声的幅度C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）255257Q⎨SQQΣ2Q12QQS1μ m（M+δ+nS）q−12无噪声动力学2.1预赛定义2.1[0， 2π）上的圆旋转映射类定义为x（t+1）=（x（t）+2 πγ）mod 2 π，对于t= 0，1，2，.如果γ是有理数且等于p，则圆旋转映射是周期的，周期为q在最低的形式。 否则，如[2]所示，该映射是拟周期的，并且是稠密的在[0， 2π）中。定义2.2[M，M+S）上的圆旋转映射类定义为x（t+1）=x（t）+α，其中M≤x（t） 0，Φ（t）将继续增加，并且仅当A<0时减小。对于A0，需要Int[2bK sin Φ（t）]≥ Int[μ] +1即2bK sin Φ（t）≥Int[μ] +1即 sin Φ（）Int[μ] +12bK这需要Int[μ] 2bK 1，即对输入频率的限制，反映了一个事实，即通常情况下，FC. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）2552592πμ1-D PLL只能锁定到有限的频率范围。因 此 ，假设小的初始条件使得Int[2 bKsin Φ（0）]= 0，并且Φ（t）保持在范围[0，π]内，Φ（t）将继续增加，直到Φ（t）≥ arcsin Int[μ]+1。此外，如果K1，则Int[2bKsin Φ（t）]将永远不会跳跃超过1，因此Φ（t）260C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）2552B2B对于Φ（t）arcsinInt[μ]+1，S2B2B2bK将从其初始值开始增加，直到它进入一个仅增加 固定步长为2πFrac[μ]，其中Frac[x]是x的小数部分。最后，当它超过arcsinInt[μ]+1，则它将以2π-2πFrac[μ]的步长减小。 也就是2bK比如说，在这个区域，Φ服从映射2b2bΦ（t+1）=2BΦ（t）+2πFrac[μ]−2π2bK对于Φ（t）≥arcsinInt[μ]+1对于t=0，1，2，.这是一个圆形旋转贴图，M=arcsinInt[μ]+1+2π Frac[μ]，S=2π，α=2πFrac[μ]。2bK2b2bQ从上面的定理2.4中应该注意到，运动的性质（周期的，准周期的）仅取决于α=Frac[μ]= Frac[2bv]。因此，如果量化水平b改变，并且输入频率改变以进行补偿，使得μ保持恒定，则仅映射的标度（S）和基（M）改变。 定理2.3可用于计算映射的方差，μ是已知的，或者当它不是时获得方差的界31-D DPLL和噪声我们对DPLL在输入信号中添加噪声时的行为感兴趣，因为这是设计人员遇到的问题，并且如[1]中所述，对该问题没有明确的理解。如[5]中所述，等效于将噪声建模为在相位检测器之后添加。这使得问题的模拟稍微容易一些，因为噪声作为量化器Int[...]的附加延迟输入进入等式6。因此，以下部分中的数值结果涉及模拟下面的差分方程8，当在时间步长处从具有由输入噪声方差确定的边界的均匀密度随机抽取噪声样本N（t）时，允许Φ（t3.1数值结果1-D PLL的主要数值结果如图2所示。 响应输出抖动方差与输入噪声方差之比显示了各种DPLL量化电平。 可以清楚地识别出三个不同的区域。 第一个 是加性噪声几乎没有或没有效应的情况，并且可以使用定理2.3容易地计算或限制输出方差。不出所料，具有较低量化值的DPLL具有较高的无噪声方差，但对输入噪声也较不敏感，即它需要较高水平的输入噪声来输出。该区域中输出抖动的PDF取决于相应的圆旋转映射是周期性的还是准周期性的，这又由Frac[μ]确定。C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）255261图二、DPLL输出抖动方差与输入噪声方差的函数关系第二个中间区域是加性噪声开始产生影响的地方，但仍然对量化电平有很大的依赖性，表明加性噪声和固有抖动以某种方式相互作用。该区域包含输入和输出方差轴上的几个数量级，并且存在一些点，例如，输出方差已经上升到无噪声水平以上的数量级，但量化仍然具有显著的效果。鉴于此，PLL设计人员应该有兴趣了解该区域的行为。 此外，注意到输出抖动的PDF随着该中间区域被遍历而变得更接近高斯。最后一个区域是输出方差与量化无关的区域，输出方差的曲线图是斜率为1的直线。 正如[1]中所述，这该区域中输出的PDF接近高斯分布。应该注意的是，参数μ（和ν）对这些图几乎没有影响。 当以线性而不是对数尺度观察时，过渡到中间区域的情况可能略有不同，但总体行为基本相同。在图3中，示出了对应的圆旋转映射对相同输入噪声水平的响应。通常，它们会跟踪DPLL曲线，直到噪声电平变大。有两个特征值得注意：一旦它们开始偏离DPLL图，每个圆图图将以直线继续262C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）25522⎨图三. DPLL输出抖动方差作为输入噪声方差的函数，显示了相应的圆旋转图斜率约为1，并且当测量的输出方差剧烈波动时，响应变得不稳定。后者是所用模拟技术的产物。在任何情况下，这都不重要，因为这种行为仅在每个DPLL像模拟PLL一样响应的区域中是明显的。应当从图中可以清楚地看出，圆图方差开始以斜率1增加的状态对应于DPLL响应中的中间区域，因此可以通过分析圆图的大噪声响应3.2分析为圆旋转贴图定义2.2中圆旋转图的另一种写法如下x（t +1）= x（t）+ α + Q（x（t））S，其中t =0，1，2，. 得双曲余切值.Q（x）=−1ifx≥M+S−α如果x M+S+α，（七）在噪声被添加到DPLL的输入信号的情况下，等式C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）255263K2B⎨N3见图4。 函数f（x）在加性噪声均匀分布在[−L，L]控制输出相位误差的行为如下Φ（t+1）=Φ（t）+2π{μ−Int[2bK（sin Φ（t）+N（t））]} （8）这里，N（t）是在时间步长t处在相位检测器之后添加的噪声样本，并且再次在统计上等效于将其添加到输入信号。备注3.1对于大噪音，即N（t）sin Φ（t）和N（t）v，（8）可以是近似为Φ（t+1）= Φ（t）−2πKN（t）（9）在这种情况下，φ（t）服从随机游走，因此是非平稳的，因此不存在稳态方差本文只考虑稳态解的情况。在（8）中添加随机噪声样本有时会导致量化器（Int[.. . ]）输出一个值，而不是在无噪声情况下输出的值。因此，DPLL可以通过如下的噪声圆旋转映射来建模x（t +1）= x（t）+ α + Q（x（t））S，其中t =0，1，2，. 得双曲余切值.Q（x）=−1，概率为f（x）0，概率为1−f（x）（十）在上文中，函数f（x）表示噪声N（t）的PDFP（y），如下所示Xf（x）=C（x-T），其中T=（M+S-α），且C（x）=−∞P（y）dyf（x）如图4所示，其中N（t）均匀分布在[−L，L].在这种情况下，方差σ2为L2我们感兴趣的是找到x（t）的统计量，给定N（t）的统计量，特别是它的方差。因此，定义时间依赖的PDF是有意义的 其中x∈R，t= 0，1，2，.∫264C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）255图五、拟周期圆旋转映射的初始分布p（x，0）定理3.2对于（10）中定义的噪声圆旋转映射，x（t）的p（x，t）服从以下方程p（x，t）=p（x−α，t−1）[1−f（x−α）]+p（x−α+S，t−1）f（x−α+S）（十一）证据 考虑p（x，t）在单个时间步长内的变化。 它增加了一个 从x−α开始，即以p（x−α，t−1）[1−f（x−α）]的量开始。它也从x−α+S增加一个单位，即p（x−α+S，t−1）f（x−α+S）。最后，p（x，t）被从x开始的降阶（无论降阶是到x+α还是x+α−s）即p（x，t-1）。合并，我们得到p（x，t）−p（x，t−1）= p（x−α，t−1）[1−f（x−α）]+ p（x−α + S，t−1）f（x−α + S）−p（x，t−1）由此，结果如下。Q这个结果可以用来模拟x的PDF的行为，通过从初始条件p（x，0）随时间演化它。例如，在无理Frac[μ]的情况下，映射是准周期性的，并且系综最初将均匀分布在[M，M+S）中，如图5所示。在具有图3中使用的参数范围的圆图的情况下，和f（x），从[M，M+S）上的均匀分布开始，PDFp（x，t）迅速达到稳定状态，并且对于较大的输入噪声水平，PDF近似为高斯分布，峰度接近3，尽管分布的尾部很快变为零。如果（11）中的PDF确实达到稳态P∞（x），则其描述为：P∞（x）f（x）=P∞（x+α−S）−P∞（x−S）[1−f（x−S）]（12）定理3.3对于（12）中给出的稳态分布P∞（x），f（x）如图4所示，且初始分布P（x，0）在范围（M-L，M +S+L）之外为零（如图5所示），P∞（x）在包含x = T的大小为（2 L+S）的区域之外恒为零。证据对 于 x ≤ T − L + α − S = M − L ， 我 们 有 f （ x − α + S） = 0和 f （ x − α ） = 0 。 则（11）变为p（x，t）=p（x−α，t−1），因此p（x，t）=p（x−tα，0）。C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）2552654（）=L∞），忽略高阶项，得到F（dy2∞由于x≤M−L，x−tα也≤M−L，所以图5中p（x−tα，0）=0。因此p x，t类似地，对于x≥T+L+α=M+S+L，我们有f（x−α）= 1和f（x−α+S）= 1，所以（11）变成p（x，t）=p（x+S−α，t−1），因此p（x，t）=p（x+t（ S−α ） ， 0 ） 。 由 于 x≥M+S+L 且 （ S−α ） ≥0 ， x+t （ S−α ） 也≥M+S+L，因此从图5中可以看出p（x+t（S−α），0）=0。因此p（x，t）= 0。因此，如果x≤M−L且x≥M+S+L，则p（x，t）= 0。也是如此p∞（x），如果这个解存在。显然，P∞（x）唯一可以不为零的区域是在（M−L，M+S+L）中，一个包含T=M+S−α的大小为2L+S的区域。Q定理3.4对于（12）中给出的稳态分布P∞（x），f（x）如图4所示，在特殊情况S=2 α下，P∞（x）近似为高斯分布，方差为1SL。证据 （12）成为P∞（x）f（x）=P∞（x−α）−P∞（x−2α）[1−f（x−2α）]（13）利用变量y=x−α的变化，得到P∞（y+α）f（y+α）=P∞（y）−P∞（y−α）[1−f（y−α）]（14）使用泰勒展开P（y+α）=P（y）+αPJ （y）+ α2PJJ（y）+.. . 类似地，∞ ∞对于P（y−α），f（x+α）和x−α，∞2∞2P（y）fJ（y）+（2f（y）−1）PJ（y）+αPJJ（y）=0（15）∞即∞2∞d[（2f（y）−1）P（y）]+αPJJ（y）=0（16）现在代入线性f（y），2f（y）−1 =y−T，得到d[（y-T）P（y）]+αPJJ（y）=0（17）dyL∞2∞在积分中，并要求P∞（y）和P∞J（y）→0asy→∞，得到（y-T）P（y）+αPJ（y）=0（18）即L∞2∞P∞J（y）=−2（y−T）（十九）P∞（y）αL再次积分，得到，对于常数C1∞266C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）255∞PJ（y）=C1 exp−1（y2−2Ty）（20）C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）255267αLαLN⎪⎨∞我设C=C1exp1T2，则最后有PJ（y）=C exp<$−1（y-T）2<$（21）这是一个均值T和方差1αL=1SL的高斯分布。Q2 4注3.5通过替换L，方差也可以写为：1.32Σ1这里σ2是加性噪声的方差，这在分析上验证了图3所示的圆映射的数值结果，至少对于特殊情况S=2α。为了在计算机上模拟（12）式，可以通过取固定的网格尺寸δ，并设x=mδ，S=Nδ，和w.l.og来离散空间变量。α=δ（网格归一化为α，S=Nα）。然后，将P∞（aδ）和f（aδ）分别记为pa和fa，（12）可以写成离散形式pm fm=pm+1−N−pm−N（1−fm−N）（22）（22）的数值模拟验证了在随时间变化的稳态（11）中获得的高斯型分布同样，在T的某个范围之外，分布也是零。事实上，这可以很容易地证明使用（11）。解P∞（x）的一些进一步的性质可以通过一个检验来看到。（22）。对于特殊情况N=2，如定理3.4所示，这变为pm fm=pm−1−pm−2（1−fm−2）（23）如前所述，让f（x）如图6所示，在离散的x轴上，即对于x≤A，f（x）为零，对于x≥B，f（x）为1，并且f（x）在[A，B]中是线性的。这里T−L=Aδ和T+L=Bδ，f（x）在x=mδ，m∈ Z，记为f m。定理3.6对于图6的f（x）和满足式（23）的p m，解如下：pm=0form A Rm−A/δforA≤m≤Bm> B时为0（二十四）其中R是二项式系数。Nqi（1−q）N−i，其中q=1且N=B−A=2L。证据当m≤A时，（23）变为pm−1= pm−2，因为f m=fm−2= 0。由定理3.3可知，连续PDF，P∞（x），在以x=T为中心的区域外为零，所以当m→ −∞时，我们有pm= 0。因此，对于m A，p m= 0。类似地，对于m ≥B +2，（23）是pm= pm−1，因为f m= fm−2= 1，所以对于m > B，pm= 0。4SσN2我2δ268C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）255−i2我我我Ni−1i−1（i−1）！（N−i+1）！我我接下来，注意R见图6。图4的f（x）表示在离散网格上=. Nqi−1（1−q）N−i+1=N！qi−1（1−q）N−i+1，R=N！qi（1 q）N−i. 由此得出当i >0时的递推关系式我的！（N−i）！R=.q。N−i+1R我（二十五）1 −qii−1在q=1的情况下，R=.N−i+1Ri−1（二十六）重排和回代Ri−1有，对于i>1R=. NRi−1 -我是说...N−i+2Ri−2（二十七）现在对于i> A，fi0和（23）可以重写为p=pi−1−pi−2（1−fi−2）（二十八）ifi fi对于图6所示的f（x），有fi+A=i在（28）中，我们得到pi+A =.Ni+A−1-我是说...N−i+2pi+A−2（二十九）C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）255269我我22应该清楚的是，对于Ri，pi+A满足与（27i> 1。此外，R0=. 1公斤 和r1=N。1NN，soR=NR0. 插入1270C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）255Nδ22ΣΣΣΣΣI=A我i=0我一0我i=0A+I我I=A我δi=0我m=A+1在（23）中，我们gtpA+1=N<$ pA，因为pA−1=0且fA+1=1。因此pi+A和Ri满足相同的递推关系式（27），（29），其中i>0。pA从（23）中是不确定的，但是由于pi的值表示xweh evA+Np=1的稳态PDF。另外，R只是二项式我coe puzzients，puzzieNtsR=（q+（1−q））N=1。我由于Ri的递归关系式（25）是线性的，因此可以选择pA的值因此，nA+Nnp是nNnnnn的倍数R. 因此，我们选择p=R/δ，p=R/δ、i和A+Np=1NR. 这证明了关系式（24）。Q注3.7F或固定δw具有N=2L，因此大噪声情况L→∞对应于N→∞。 假设二项式系数为Ri，i=0， . ，N，givenin（26）当N∞→∞时，趋于高斯的离散样本，定理3.6有效地证明了稳态相位误差PDF变为高斯分布， 加性噪声N（t）变大。注3.8注意，对于定理3.6中选择的参数，α=δ，S= 2δ，L=N<$δ，对应于原圆映射的界为与网格大小相比，其小得几乎不可见。只有在大噪声限值中，备注3.7中的观察结果才适用。此外，圆映射是特殊类型的α=S. 然而，从数值上发现，整体输出方差响应并不显著依赖于原始圆图的动态。注3.9稳态PDF（24）的均值和方差可以很容易地计算出来。平均isNA（A+B）（δm=0）Rmδ（30）NN=（ARm+mRm）δ（31）m=0使用[6]的结果，这是简单的m=0（A+qN）δ（32）对于q=1/2，这是（A+N<$ /2）δ=T。 也就是说，如预期的，稳态噪声圆图PDF以x=T为中心。方差的计算方法类似。首先我们有N02-02m=01）RmδNδ=δ2（m2Rmm=0N+ 2AmRmm=0N+A2Rmm=0）（33）同样，使用[6]的结果，这是δ2{（N<$ q）2+N<$ q（1−q）+2AqN<$+A2}（34）I=Aδ1C. J.P. Gleeson/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225（2009）2552712然后，方差是减去平均值的平方（32），δ2N<$ q（1−q）（35）将变量代入连续稳态PDF并设置q=1/ 2，这是1δ2N=1SL（36）4 4这与前面定理3.4中的结果一致。4结论结果表明，在一定条件下，一维数字锁相环的稳态动力学与圆旋转映射是一致的。我们介绍了该映射，并研究了它的一些属性，特别是它的无噪声方差，以及如何使用它来预测仅由量化引起的DPLL输出的相位抖动方差。此外，还说明了DPLL情况下的加性输入噪声如何对应于圆图情况下的量化噪声的唯一形式。得到了相位抖动时变概率密度函数的方程，并利用该方程得到了相位抖动的界，分析了稳态概率密度函数的连续和离散形式，得到了α = S时的表达式。 通过对稳态PDF的进一步检查，应该可以推导出圆图在更一般的大噪声情况下的圆图方差的表达式，从而表征DPLL的中间状态响应。引用[1] Gardner，F. M.，数字锁相环中的频率粒度，IEEE Trans. Commun.，44（1996），749758。[2] Feely，O.，Rogers，A.，和Teplinsky，A.，数字锁相环的相位抖动动力学，IEEE电路与系统，第一部分：基本理论与应用，46（1999），545-558。[3] Feely，O.，和Teplinsky，A.，数字锁相环的相位抖动动力学：第二，IEEE电路与系统，第一部分：基本理论与应用，47（2000），458-473。[4] Viterbi，A. J.，“Principles of Coherent Communication”, New York: McGraw-Hill,[5] Gardner，F.M.， New York：Wiley，1979，ch.3.第三章。[6] 赖希尔湖E、 德克萨斯大学出版社，1984年，CH。五、