稳定紧空间与概率幂空间的构造：理论计算机科学电子扎记

理论计算机科学电子札记87（2004）5-20www.elsevier.com/locate/entcs稳定紧空间与概率幂空间的构造Achim Jung阿希姆·荣格1，2伯明翰大学计算机科学学院Edgbaston，Birmingham，B13 0NZ英格兰摘要我们提出了稳定紧空间的一个修正定义，它使我们能够以完全初等的方式证明它们与Nachbin紧序空间的等价性然后，我们展示了一些结构的稳定紧空间，显然没有出现在文献中这些结构使我们能够表明，（子）概率赋值的集合可以配备一个拓扑结构，将这个集合变成另一个稳定的紧空间。拓扑的选择不是随机的;它是最弱的拓扑，使得低连续函数的积分成为连续运算。关键词：Domain理论，稳定紧域，概率幂域，紧序空间。1介绍本文包含2003年4月在巴巴多斯Bellairs研究中心发表的演讲的笔记。它的目的 是 解 释 拓 扑 背 景 ， 我 们 的 工 作 与 马 蒂 亚 斯 Kegelmann ， M 。 AndrewMoshier和PhilippSünderhau在Logic alF（ [1]中介绍的程序）中创建了一个DomainTheory的概念，以Multi-lingual Sequent Calculus为标题发表，[12，7，8，16，9，20，21]。从古典的角度来看，1参加巴巴多斯讲习班是由于伯明翰大学计算机科学学院提供旅费赠款2电子邮件：A. cs.bham.ac.uk1571-0661 © 2004由Elsevier B. V.出版在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2004.10.0016A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-序贯微积分提供了稳定紧空间的逻辑描述，正是这个概念在这里得到了一定程度的发展。下面的许多材料并不新鲜，但基本事实在文献中有些分散。 希望这些笔记，随着时间的推移，将发展成为一个更全面的帐户稳定的紧凑性。关于这些拓扑空间的信息的直接可访问的来源仍然缺失的一个原因，也许是它们通常被定义为某类清醒空间的事实。这表明了他们在Stone Duality中的突出作用，但不幸的是，这使得主流数学家和计算机科学家的主题有些专业化。下面我们将使用一个等价的定义，它只使用“开放”和“紧凑”的基本概念这种定义的可能性最近在[5，第VI-6节]中的主题介绍中指出。除了只使用基本的拓扑概念外，新的定义清楚地表明，紧空间是紧Hausdor紧空间的T0类似物，特别是，它们是那些T0空间，其中（饱和）紧子集的行为与人们习惯的一样：它们可以是任意的，并且无论何时一个交集属于一个开集，一个有限交集也是如此。最后，可以用完全初等的方式解释Nachbin紧序空间[ 22 ]与稳定紧空间之间的精确关系这首先出现在[4，练习VII-1.16-19]中，在这里在2.1节到2.3节中进行。在2.5节中，我们给出了稳定紧空间的一些结构，这些结构以前肯定以某种形式被观察到过，但同样，将它们集中在一个地方可能会有所帮助。我们自己研究它们的动机与概率幂空间构造有关，它由Saheb-Djahromi引入语义学世界，[25]，并由许多作者从域理论的角度进行了研究，[11，10，17，26，6，13，3]。概率幂空间的元素是赋值，赋值是为拓扑空间的每个开集分配一个“测度”的函数。 这本身就足以定义（半）连续函数的积分（对于一个调查，见[19]），但与措施的关系也被探讨，见[3]和克劳斯·凯梅尔在本卷中的文章概率幂空间构造的一个令人烦恼的方面是，它不能被限制在任何已知的连续域类中，[13]，这个问题仍然没有解决。然而，稳定紧空间类确实支持它，并且在本文的第二部分中，我们给出了这一事实的证明。它要求我们为（概率）赋值集定义一个拓扑，这个拓扑又是稳定紧的。当然，拓扑必须是有意义的，事实上，我们可以证明它是最弱的拓扑，A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-7//≤/≤联系我们≤ ∈≤/≤i=1使连续函数的积分成为连续操作。作者正在与Klaus Keimel一起准备一篇论文，将在更广泛的背景下介绍这里的结果。这一共同工作已经对目前的案文产生了影响，克劳斯·凯梅尔来自Reinhold Heckmann和Mart 'ınEsc的评论在早期版本中帮助了我。2紧序与稳定紧空间2.1紧序空间在Nachbin [22]意义下的偏序拓扑空间（或简称序空间）是一个具有拓扑O和偏序≤的集合X，使得该序的图在X×X中闭。这捕获了（合理的）假设，即对于两个收敛网xi→x和yi→y，我为所有我I表示xy. 就开集而言，这相当于对于任意两点x，y在X中有开集U包含x和V包含y使得对于每个xJU和yJV，xJyJ保持不变。 因为x = y等价于“xy或yx“，它遵循有序空间是豪斯多尔人。X的子集U称为上（下）集，如果x∈U蕴涵y∈U，对于所有y≥x（分别为，y≤x）。包含子集A的最小上（下）集表示为↑A（分别为，↓A）。在一个有序空间中，形式为↑x=↑{x}或↓x=↓{x}始终关闭。更一般地说，有：引理2.1如果A是偏序空间（X，O，≤）的紧子集然后，↑ A和↓ A是闭合的。证据考虑x/∈ ↑A。对于每个y∈A，我们有y/≤x，所以我们找到开集y∈Uy，x∈Vy，其中Vy的任何元素都不高于Uy的任何元素。所有U y，y∈A的集合覆盖A，并且通过紧性，有限子集合U y1，.，U yn也这样做。我们形成对应的Vyi的交集并获得x的邻域，其中没有元素在任何元素之上曲霉 换句话说，nVy与↑A不相交。我对↓A的要求也可以用类似的方法证明Q本文的重点是紧的偏序空间在这种情况下，前面的观察具有强烈的后果，正如Leopoldo Nachbin首先指出的那样[22]：引理2.2设（X，O，≤）是紧序空间.8A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-⊇⊇\↑\联系我们JUUUG≤(i) （序正规性）设A和B是X的不相交闭子集，其中A是上集，B是下集。则存在不相交的开邻域U A和V其中U是上集合，V是下集合。(ii) （序分离）当x/≤y时，存在一个开上集U包含x和包含y的开下集V，它们是不相交的。(iii) （序Urysohn性质）对于每一对不相交闭子集A，B，其中A是上集，B是下集，存在一个在单位区间内连续的保序函数，它在A上的值为1，在B上的值为0。证据利用紧Hausdor空间的正规性，A和B具有不相交的开邻域UJ和VJ。 注意，X\UJ和X\VJ是X 的紧致子集，因此我们可以使用引理2.1 并设置U = X（X）U）和V=X（X VJ）。 序分离是序正规性的一个特例，和Urysohn引理的保序版本如下，像往常一样重复应用有序性。Q2.2紧序空间解释引理2.2的一种方法是说，在一个紧凑的有序空间的上集。 对于任何有序空间，U：={U∈O|U=↑U}开上集的收敛拓扑是一个比原来的拓扑粗的拓扑，我们称它为自下而上收敛拓扑或简称为自上而下收敛拓扑。由此产生的拓扑空间（X，U）我们用X↑表示。形式为X\ ↓x的集合总是属于U，因此每个上集合等于其 - 开放的社区，也就是说，-饱和 。相反的方向是平凡的（即，上集合的交集总是上的），因此我们有：命题2.3在有序空间中，上集恰好是-饱和集。对于一般拓扑空间（X，），如果x的每个邻域也包含y，则设x∈y.这总是一个预序，它是反对称的当且仅当空间是T0。它被称为专业化订单相关联与G.前面的命题告诉我们≤U恰好是任何有序空间中的原始序≤。A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-9UU O ≤O →U为了进一步分析在（X，、） 是紧的，我们也考虑紧饱和集的集合K U：={K<$X|K是U-饱和且U-紧的}引理2.4设（X，O，≤）是紧序空间。K U的元素是X的那些相对于O是上闭的子集。证据X的上闭集是U-紧的，因为拓扑U比O弱.对于相反的情形，我们使用序分离：设x/∈A∈ KU。对于每个y∈A，我们有y/≤x，因此找到一个不相交的开上集y∈Uy和一个开下集x∈Vy。 因为有很多，所以有很多。Uy覆盖A和相应的Vy的交集将提供x与A不相交的开邻域。Q我们现在有足够的信息表明，我们可以单独重建原来的紧序空间。一般地，人们考虑拓扑空间（X，G）的补片拓扑Gp，通过用com-紧饱和集的补集 有了这个术语，如下：定理2.5设（X，O，≤）是紧序空间. 那么O = Up，≤= ≤ U。证据由于引理2.4，Up包含在O中。 它是Hausdor同构，因为序分离，因此恒等映射i：（X，）（X，p）是同胚。以前已经指出了Q因为对于（X，O，≤），根据引理2.4，它的开集恰好是U的紧饱和集的补集。2.3稳定紧空间事实证明，在紧致有序空间中作为向上拓扑出现的拓扑可以被内在地刻画。我们首先提出以下意见：命题2.6对于紧序空间（X，O，≤），向上拓扑U是(i) T0;(ii) 紧凑;10A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-U(iii) 局部紧的;(iv) 相干的，即紧饱和集对有紧交;(v) 良滤的，即对紧饱和集的任一滤基（Ai）i∈I，若iAi包含在开上集U中，则存在指数i0，使得Ai0已包含在U中.证据T0分离性质如下从顺序分离，（ii）是triv- ially真实的，因为U是弱于O，和（iii）是一个重新制定的顺序正常。一致性和良充性来自引理2.4，它说（X，U）的紧饱和集是原始Hausdor空间（X，O，≤）中的紧子集。Q定义2.7一个紧的、局部紧的、凝聚的和良好过滤的T0空间称为稳定紧的。在最近的文献中，在定义稳定紧致空间时，习惯使用“清醒”而不是“良好过滤”。然而，在局部紧性的存在下，这两个性质是等价的，[5，定理II-1.21]。在这篇文章中，我们想为修改后的定义做一个说明，因为它表明稳定紧空间是紧Hausdor空间的T0-类似物，在这个意义上，前者的紧饱和集与后者的紧子集具有相同的性质[3]下面的引理说明了这一点：引理2.8设（X，）是稳定紧空间。则任何紧饱和子集的集合都有紧交。证据有限的交集再次导致紧凑的饱和子集，我们可以假设集合被过滤。通过良好的填充性，交集的开覆盖将已经包含滤波器基的元素。这是紧凑的，一个有限的subcover将出现。Q这个结果证明了以下定义。定义2.9设（X，U）是稳定紧空间。X上的余紧拓扑Uκ由紧饱和集的补集给出.读者怀疑通向余紧拓扑的通道是稳定紧空间的对合是正确的。从定理2.12可以很容易地得出这一结论，并记作下面的推论2.13。目前，我们考虑下面的命题，它使人想起众所周知[3]我感谢帕维尔-瓦兹凯维奇，他对这个问题的兴趣迫使我重新考虑稳定紧性的定义。A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-11U ≤UU CUB B BCC一个紧凑的Hausdor拓扑不能被削弱而不失去分离。命题2.10设（X，U）是稳定紧空间。 进一步设B是余紧拓扑κ的子集和余紧拓扑κ的子集，使得 以下财产持有：x，y ∈ X。 x/≤ Uy <$$>U ∈ B，L ∈ C.x ∈ U，y ∈ L，L <$U =<$.则B是U的子基。证据设x是开集O∈ U的元素.然后通过假设对X\O中的每个y，存在分别包含x和y的不交集Uy∈ B和Ly∈ CLy的补是紧饱和的，定义及其交集包含在O中。良充性告诉我们，对于Ly的对应的Uy的交集是包含在O中的x的邻域。Q推论2.11设U和UJ是集合X上的稳定紧拓扑，使得≤ U= ≤UJ，U <$UJ和KU<$KUj。则U = UJ。我们现在准备完成与紧序空间的连接定理2.12设（X，U）是稳定紧空间.考虑它的片拓扑Up和特化阶≤ U。则（X，Up，≤ U）是紧序空间.此外，由Up且≤ U产生的上拓扑等于U，余紧拓扑Uκ等于由Up且≤ U产生的上收敛拓扑.证据Hausdor分离性和≤U的闭性是由T0和局部紧性得到的.补片拓扑的紧性需要Alexander子基引理形式的选择公理是紧饱和集的补集。 未被的元素覆盖的点由引理2.8形成紧饱和集，并且必须被的元素覆盖。。 有限子集J芬将为目的. 而在《易经》中，有一种说法是：“君子之道，焉可诬也？”C的元素将包含在 BJ已经。 这就完成了有限子覆盖的选择，并且我们已经证明了（X，p，U）是紧序空间。同样的论证表明，（X，）中的每个紧饱和集在面片拓扑中也是紧的从空间（X，Up，≤U）上的自下收敛拓扑导出的专门化阶与定理2.5的≤U相同。12A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-∞因此，我们处于推论2.11所描述的情形中，并且可以得出结论，在缀片构造中没有新的开上集出现引理2.4告诉我们，（X，Up，≤U）中的闭上集正好是com-紧饱和集U。 因此，关于U的余紧拓扑是等价于（X，Up，≤U）上自下而上收敛的拓扑。Q推论2.13设（X，U）是稳定紧空间。(i) 余紧拓扑U κ也是稳定紧的。(ii) （Uκ）κ=U2.4示例有序空间的主要例子是具有通常拓扑和通常序的实直线。在这种情况下，向上拓扑由以下形式的集合组成：]r，∞[（当然，加上R和∞），以及非空紧与此相关的饱和集，依次是[r，[. 我们用R↑表示具有向上拓扑的实直线。我们还感兴趣的是这些的非线性部分，denot edbyR↑+。在紧序空间中，通过限制到紧子集（如单位区间），或通过以通常的方式将实数线延伸到无穷远处的元素，表示为eyR=[−∞，∞]anddR+=[0，∞]。一般来说，人们不能期望一个紧序空间完全由它的序决定，毕竟，每个紧Hausdor序空间都可以配备一个平凡的闭序，即单位关系。然而，前面提到的语义域确实提供了其中序结构足够丰富以确定非平凡稳定紧拓扑的示例。我们回顾一下定义：dcpo（有向完全偏序）是一个有序集，其中每个有向子集都有一个上确界。dcpoD的Scott-拓扑σD的闭集是那些在有向上确界的形成下闭的下集。由此得出，dc-pos之间的函数关于两个Scott-拓扑是连续的当且仅当它保持有向集的阶和上确界。为了强调dcpo上下文，这样的函数通常被称为斯科特连续函数。与Scott拓扑相关联的专门化顺序（始终为T0）将返回dcpo的原始顺序。dcpoD的元素x远低于元素y（写作xy），如果每当y低于有向集A的上确界A≠D，则x在A的某个元素之下。 一个dcpoD是连续的或一个domain，如果每个元素都等于有向的其上的上确界-下逼近。域的Scott拓扑总是良好过滤的，[14，引理4.12]，并且相干性也可以用序理论的方式来表征，参见A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-13⊆⊆[14，引理4.18]，[5，命题III-5.12].作为一种特殊情况，相干性在每个连续完备格（简称连续格）中成立。这里有两个例子：单位向量[0，1]（或R或R+）是一个连续格，斯科特拓扑正是前面讨论过的下面的收敛拓扑。[0，1]中的元素x在y之下，如果x= 0或x y。另一类例子是局部紧空间的开集格.在这里，下面的方式关系的特征在于UV当且仅当存在紧饱和集K使得U K V.稳定紧空间是合格的，并且它们的开集格具有额外的性质（一般不成立），V1和UV2隐含UV1和V2。本文的主题是通过Lawson拓扑λ与Domain理论相联系的，Lawson拓扑λ被定义为Scott拓扑的扩展，具有主上集↑x的补集。很容易看出，在一个域中，每个紧饱和集（关于σD）都是有限并的交集的主上集，因此在这方面的劳森拓扑正是补丁拓扑来自σD。此外，整环是λ-紧的当且仅当σD是稳定紧的。由于σD总是满足命题2.6中列出的稳定紧空间的要求（i）-这是在[12]中引入并在[5]中采用的术语相干域在域理论的发展中发挥了重要作用。在不试图完整的情况下，我们提醒读者在文献中出现的概念。在[23]中，引入了一个非常大的（代数）域类，称为SFP-对象（后来也称为双有限域）。Plotkin在[15]中，一个极大性结果被证明是关于域的Carnival闭范畴的;凝聚是那里的关键概念。最后，在[13]中，我们证明了相干域的概率幂域也是相干的。下面第3节中的结果是对此的直接推广，但证明要简单得多。2.5态射和构式虽然定理2.5和2.12表明我们可以在紧序空间和稳定紧空间之间自由切换，但当考虑相应的morphism时，这两种观点之间的区别确实变得明显：既不是稳定紧空间之间的连续映射是片连续的，也不是每个片连续函数关于原始拓扑是连续的 事实上，T0-连续映射出现在指称语义学的应用，这激发了我们对稳定的14A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-→J↓因此，i∈IXi，O，≤）是紧序空间.C在稳定紧空间中的作用，由（i∈IX i，O，≤）.的紧致空间然而，连续映射的子类之间可以建立联系。局部紧空间之间的连续映射f：X→XJ称为完美映射，如果每个紧饱和集K<$XJ的原像f−1（K）在X中是紧的。以下是真实的：命题2.14对于局部紧空间（X，U）和（XJ，UJ），映射f：X X是完美的，当且仅当它关于X和X j上的补丁拓扑是连续的并且是单调的（即，（二）关于专业化的要求。在本节的剩余部分，我们研究空间上的一些构造，以及它们如何与定理2.5和2.12中给出的平移相互作用。命题2.15稳定紧空间的任意乘积是稳定紧的，乘积拓扑等于相应的紧序空间乘积的上拓扑。证据设（Xi，Ui）i∈I是稳定紧空间族，设（Xi，Oi，≤i）是相应的紧序空间。我们证明第二个主张，因为它包含第一个主张。由Tychono从Ui的乘积得到的基本开集在O中也是开的。为相反，我们使用命题2.10，其中Ui的乘积扮演B的角色，并且相应的余紧拓扑（Ui）κ的乘积扮演B的角色。分离性质显然是满足的，因为x/≤y意味着xi/≤yi，一些索引i.子空间一般不继承所考虑的任何性质然而，我们有以下几点：命题2.16设Y是稳定紧空间（X，U）的缀块闭子集。 则Y是稳定紧的，当配备子空间拓扑时， ogyUTY，并且（UTY）p= UpTY。证据子空间（Y，UpTY，≤TY×Y）当然也是紧序空间。如果A是Y中的闭下集，则它在X中的下闭包A又是闭的，因为A在X中是紧的。 这表明（Y，UpTY，≤TY×Y）的上开口属于UTY.逆包含是平凡的。Q第二种情况，我们知道一些关于QA. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-15∩∈⊆子空间与连续收缩有关。这个事实在[18]中已经提到过，但证明使用了稳定紧性的不同特征。命题2.17设Y是稳定紧空间X的连续收缩核。则Y是稳定紧的。证据设e：Y→X是截面，r：X→Y是收缩映射（都是连续的）。我们检查稳定紧性的定义性质。首先，Y是T0-空间，因为e是内射的。Y的紧性由（满射）映射r的连续性得出。如果x O Y，其中O为开在Y中，则r−1（O）是e（x）的开邻域。因此在X中存在一个开集U和一个紧饱和集L使得e（x）∈U<$L<$r−1（O）。L在r下的像在Y中是紧的，包含在O中，并且包含包含x的开集e−1（U）。这证明了Y是局部紧的。为了稳定性，设K1，K2是Y中的紧饱和集.我们得到e（K1）和e（K2）在X中是紧的，因此↑e（ Ki）在X中是紧饱和的.通过X的稳定性，交（↑e（ K1））<$（↑e（K2））又是紧的.它在r下的像精确地是K1K2;由于r的连续性，它在Y上是紧的。良好的填充也是以同样的方式表现出来的。Q注意，一般来说e不需要是完美映射，所以这个结果还没有被命题2.16所包含。43概率幂空间3.1估值对于拓扑空间（X，G），我们考虑具有以下性质的映射μ：G →R• intmaximum = 0（maximum）;• O，OJ∈ G. µ（O）+ µ（OJ）= µ（O <$OJ）+ µ（O <$OJ）（模）;• <$O，OJ ∈ G.O <$O J <$μ（O）≤ μ（OJ）（单调）.这类函数称为（单调）赋值;它们是mV（X）的元素。吾等对下列额外物业获满足• µ（i∈IOi）= supi∈Iµ（Oi）（Scott连续）对于所有开集的有向族（Oi）i∈I如果我们给完备格（G，G）赋予它的Scott-拓扑，同样给完备格（R，≤）赋予它的con-拓扑，则G，G是完备格。4如果e是上伴随，则保证e的完美性这种情况在[2，第3.1.5节]中称为插入-闭合对16A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-∩∩∅从下面的收敛，那么赋值的连续性只是拓扑的。我们通过规定• µ（X）= 1（归一化）这就给我们带来了连续概率估值。我们用V1（X）表示所有连续概率赋值的集合同样，条件μ（X）≤1产生子概率赋值集，记为V≤1（X）。我们用从[0，1]G上的积拓扑继承的拓扑来装备V1（X），其中[0，1]携带向上拓扑.为了简单起见，我们称之为乘积拓扑，并用P表示。同样地，我们考虑乘积阶≤P，它是从R上的自然阶继承的。在稳定紧空间上，单调赋值和连续赋值之间有着密切的关系，我们将在下一节中重点利用这一事实命题3.1Let（X，U）是一个稳定的压缩空间，μ：U→R+是一个赋值。以下定义了低于µ的最大连续估值，按逐点顺序排列：Φ（µ）（O）：= sup {µ（V）|VO}其中VO表示存在一个紧饱和集K，使得VKO.此外，运算Φ：mV（X）→mV（X）是幂等的，关于乘积拓扑是连续的，并且映射（子）概率估值到（子）概率估值。证据显然，Φ（µ）（）= 0成立，且Φ（µ）是单调的。 对于模块化的法律，我们利用稳定的紧凑性，这使我们O OJ是近似的形式V VJ，其中V O和VJOJ集。 ”[10]“其义”是指“其义”。如果ν是低于μ的任何其他连续赋值，则对于每个O∈ U，我们有ν（O）=sup {ν（V）|VO}的局部紧性和连续性，因此ν≤Φ（μ）。连续赋值被Φ保持固定，因为每个开集都等于远低于它的那些开集的有向并。为了看到使赋值连续的操作本身相对于mV（X）上的乘积拓扑是连续的，观察Φ（μ）（O）大于实数r，当且仅当对于某个VKO，μ（V）>r。子基函数集{μ∈mV（X）的幂级数|µ（O）> r}等于VO{µ∈mV（X）|µ（V）>r}。最后一个陈述直接从整个空间X紧凑而又开放。QA. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-17→XO≤+U∈ U→++3.2赋值空间上的乘积拓扑我们现在有了所有的工具来显示产品拓扑限制在V1（X） 稳定紧凑。 我们从稳定紧空间Y=O∈U[0，1]开始，其中单位区间的每个副本都配备有向上topology. 对应的面片拓扑就是通常的度量拓扑。 投影π：Y[0，1]是片连续的，因此原像π−1（0）在Y中是片闭的。 同样，对于prem-年龄π−1（1）。 假设OJ∈ U;那么我们可以使用投影πO和πOJ以“为”为“为”，以“为”为“为”，以“为”。µ（OJ）. 再说一次，这是一个补丁-Y的闭子集利用一般拓扑在R上，我们可以进一步限制到满足模定律的元组的补丁闭子集。通过引用命题2.16，我们证明了稳定紧空间X上单调次概率赋值的集合mV1（X）当配备产品拓扑P时，稳定紧凑。同样是mV≤1（X）明显成立现在我们可以应用命题3.1的连续收缩Φ，并借助命题2.17得出结论：定理3.2稳定紧空间X上的连续概率赋值集V1（X）在具有乘积拓扑P时是稳定紧的。这同样适用于V≤1（X）。对于本文的其余部分，我们限制自己连续valua- tions，我们问是否可以在其他方式的产品拓扑的特点。 具体地说，我们将比较P与弱拓扑，其中出现的初始拓扑使得某些测试函数γ：V（X）→R连续。 为例如，每个开集O产生一个检验函数γO：V（X） R↑，其估值为O。当然，这些映射只是我们前面考虑过的投影πO，而乘积拓扑是使所有γO，O∈ U连续的初始拓扑。更有趣的是，让LSC（X）表示（X，）上的下连续函数到扩展非负实数的集合。许多作者[10，17，26，6]给出了关于连续赋值的下连续函数的积分的定义（越来越普遍）Tix和Heckmann的定义直接适用于稳定紧空间，并给出了相同的结果，[6，第197页]（另见[3，6.3节因此每个下连续函数f：X→R↑产生一个检验函数γf：V（X）→R↑，通过设置γf（µ）：=fdµ。 以下内容现已全部直接证明（[17，Satz 8.5]，[26，引理4.9]，[6，定理8.3]）：定理3.3分别证明了V1（X）和V≤1（X）的乘积拓扑，18A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-∫∫∈U∈--在R↑对每个下连续函数f：X→R↑.++等价于由测试函数γf产生的弱拓扑，f∈ LSC（X）.换句话说，赋值的净（μi）i∈I收敛于关于P的赋值μ，当且仅当积分值fdμi收敛于fdμV1（X）上的乘积拓扑的子基由以下形式的集合给出：[O > r]：={μ∈V1（X）|µ（O）> r}其中O和rR. 这是逻辑描述的起点在[20]中进行的概率功率空间构造。事实上，[K ≥ r]：={μ ∈ V1（X）|<$O ∈ U.K <$O<$µ（O）≥ r}其中K∈KU，r∈R，是（V1（X），P）中紧饱和集集合的子基，对于逻辑框架的顺利工作也是重要的.当然，对于V≤1（X），这两个观察也是正确赋值之间的自然顺序，μ“ν i O ∈ G。μ（O）≤ν（O），可以很容易地证明V1（X）是有向完备的，因此研究V1（X）上的Scott拓扑是有意义的.在[26]中表明，对于具有Scott-拓扑的域D，这也产生上述意义下的弱拓扑。因此，对于凝聚域，乘积拓扑在理论上是作为Scott-拓扑给出的。在一般的稳定紧空间上，这不一定是这样：例3.4对于X=0，1，配备离散拓扑，概率赋值集与单位区间一一对应。乘积拓扑与[0，1]上的通常度量拓扑相同，但阶是恒等的，因此Scott拓扑是离散的。对于次概率测度，V≤1（X）上的阶永远不是平凡的，因此乘积和斯科特拓扑之间的等式一般成立。我们把它作为一个开放的问题。引用[1] S.艾布拉姆斯基逻辑形式的域理论。在计算机科学中的逻辑研讨会上，第47-53页。IEEEComputer Society Press，1987.[2] S. Abramsky和A.俊作。域理论In S. Abramsky，D. M. Gabbay和T. S. E. Maibaum，编辑，Handbook of Logic in Computer Science，第3卷，第1Clarendon Press，1994.[3] M. 阿尔瓦雷斯-马尼拉。偏序空间上连续赋值的测度论结果。博士论文，伦敦大学帝国学院，2001年。A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-19[4] G. Gierz ， K. H. Hofmann ， K. Keimel ， J. D. 劳 森 ， M 。 Mislove 和 D. S. Scott. ACompendium of Continuous Lattices. Springer Verlag，1980年。[5] G. Gierz，K. H. Hofmann，K. Keimel，J. D.劳森，M。Mislove和D. S. Scott. 连续格和域，数学百科全书及其应用第93卷。剑桥大学出版社，2003年。修订和扩展版[4]。[6] R.赫克曼估值的空间。In S.安迪马河C. 弗拉格湾 Itzkowitz，P. 米斯拉，Y. Kong和R.Kopperman，编者，《一般拓扑学与应用论文：南缅因大学第十一届夏季会议》，纽约科学院年鉴第806卷，第174-200页[7] A.荣格，M。Kegelmann和M. A.莫舍多语言微积分与凝聚空间。In S.Brookes和M.Mislove，编辑，第13届编程语义学数学基础，理论计算机科学电子笔记第6卷。Elsevier Science PublishersB.V.，1997. 18页。[8] A.荣格，M。Kegelmann和M. A.莫舍多语言微积分与凝聚空间。Fundamenta Informaticae，37：369[9] A.荣格，M。Kegelmann和M. A.莫舍 稳定紧空间和闭关系。 In S. Brookes和M. Mislove，编辑，第17届编程语义学数学基础会议，理论计算机科学电子笔记第45卷。Elsevier SciencePublishers B.V.，2001. 24页。[10] C.琼斯概率非决定论博士论文，爱丁堡大学，爱丁堡，1990年。也作为技术报告发表。CST-63-90。[11] C. Jones和G.普洛特金一个概率幂域的评价。在Proceedings of the 4th Annual Symposium onLogic in Computer Science，第186IEEE Computer Society Press，1989.[12] A. JunggandPh. Sünderhauf. 在压缩机和压缩机的二元结构中。 OPEN. InS. 阿迪马河 C. F滞后，G. Itzkowitz，P.Misra，Y.Kong和R.Kopperman，编者，《一般拓扑学与应用论文：南缅因大学第十一届夏季会议》，纽约科学院年鉴第806卷，第214-230页[13] A. Jung和R.提克斯麻烦的概率功率域。以. Edalat，A.郑，K. Keimel和M.Kwiatkowska，编辑，第三次计算和近似研讨会论文集，理论计算机科学电子笔记第13卷。Elsevier Science Publishers B.V.，1998. 23页。[14] A.俊作。笛卡尔闭域范畴，CWI Tracts第66卷。Centrum voor Wiskunde en Informatica，阿姆斯特丹，1989年。107页。[15] A.俊作。连续域的分类。第五届IEEE计算机科学逻辑集，第35IEEE Computer Society Press，1990.[16] 马蒂亚斯·凯格尔曼逻辑形式的连续域，理论计算机科学电子笔记第49卷。Elsevier SciencePublishers B.V.，2002年。[17] O.基尔希Bereiche und Bewertungen.达姆施塔特技术学院硕士论文，1993年6月。77页。[18] J. D.劳森通用的连续顺序。In M. Main，A. Melton，M. 失恋，D. Schmidt，编辑，Mathematical Foundations of Programming Language Semantics，计算机科学讲义第298卷，第134-160页Springer Verlag，1988年。[19] J. D.劳森领域、整合和“实证分析”。计算机科学中的数学结构，出现。[20] M. A. Moshier和A.俊作。语义学中的概率逻辑。在Julian Brad Field，编辑，计算机科学逻辑，计算机科学讲义第2471卷，第216Springer Verlag，2002年。[21] M. A. 莫舍 关于紧正则性与根岑截规则的关系理论计算机科学，出现。20A. Jung / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）5-[22] L.纳奇宾拓扑和顺序。冯诺斯特兰德，普林斯顿，新泽西州，1965. 翻译自1950年专著“拓扑学和秩序”（葡萄牙文）。由Robert E. Kreiger出版公司，Huntington，NY，1967.[23] G. D.普洛特金一个领域结构。SIAM Journal on Computing，5：452[24] G. D. 普洛特金高级领域理论的研究生课堂讲稿（包括部计算机科学，爱丁堡大学，1981年。[25] N.扎赫罗米大人CPO的非确定性的措施。理论计算机科学，12：19[26] R. Tix.StettigeBewertunggenauftoopologischenRéaumen.Master51页。