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¼Journalof the Egyptian Mathematical Society(2015)23,6埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于软连通性的萨比尔·侯赛因Qassim大学理学院数学系,P.O. Box 6644,Buraydah 51482,沙特阿拉伯接收日期:2013年4月30日;修订日期:2014年1月13日;接受日期:2014年2月2日2014年3月19日在线提供摘要软拓扑空间是基于软集合理论的信息系统近似推理的数学表述,是信息系统的一个集合。本文在软拓扑空间中定义并研究了软连通空间的性质和刻画。我们期望本文的研究成果能够推广到软拓扑的进一步研究,为实际生活应用提供一般性的框架2010年数学学科分类:06D72; 54A40; 54D10?2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍研究人员引入了软集的概念来处理不确定性,并解决经济学,工程学,医学,社会学和环境中的复杂问题,因为经典方法的使用不成功。作为处理不确定性和不完全知识的数学工具的著名理论有:模糊集理论[1]、直觉主义模糊集理论[2]、值集理论、区间数学理论[3]、粗糙集理论和概率论[4,5]。所有这些工具都需要预先指定一些参数。1999年,Molodtsov[6]提出了软集合理论,作为一种新的数学工具来处理不确定性,同时对不完全信息问题进行建模。在[7]中,他成功地应用了方向,如,平滑,电子邮件地址:sabiriub@yahoo.com,sh. qu.edu.sa埃及数学学会负责同行评审函数、博弈论、运筹学、黎曼积分、Perron积分、概率论和测度论。Maji et. al[8,9]给出了软集在决策问题中的第一个实际应用。许 多 研 究 人 员 对 软 集 合 论 的 代 数 结 构 做 出 了 贡 献[10Shabir和Naz[27]开创了软拓扑空间的研究。他们定义了软拓扑空间的基本概念,如软开集和软闭集,软子空间,软闭包,软邻域。点,软Ti-空间,对于i1; 2; 3; 4,软正则空间,软正规空间,并建立了它们的几个性质. 2011年S. Hussain和B. Ahmad[29]继续研究软开(闭),软邻域和软闭包的性质。他们还定义和讨论了软内部,软外部和软边界的性质。2012年,B。啊-疯狂和S。Hussain[30]使用软点探索了软拓扑学的结构。A. Kharral和B. Ahmad[31]定义并讨论了软集的软象和软逆象的几个性质。他们还将这些概念应用于医疗系统中的医疗诊断问题。在[32]中,I.Zorlutana et.al定义并讨论了软pu连续映射。在[33]中,S.Hussain进一步建立了软pu-连续函数的基本和重要特征,1110- 256 X? 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.02.003制作和主办:Elsevier关键词软拓扑;软开(闭);软闭包(边界);软映射;软连接关于软连通性的注记7ðÞ!ð ÞðÞð Þ2ð Þð Þ2 ðÞðÞEeðÞ>eðÞeCee通过软内点、软闭包、软边界和软导集,给出了软pu-开函数和软pu-闭函数。2. 预赛首先,我们回顾一些定义和结果。定义1[6]。设X是一个初始论域,E是一组参数。设PX表示X的幂集,A是E的非空子集.一对F;A称为X上的软集,其中F是由F:A P X给出的映射。换句话说,X上的软集是X的子集的参数化族。X宇宙对于e A;F e可以被认为是软集合F;A的e-近似元素的集合。显然,软集合不是集合。定义2([9,14])。对于公共论域X上的两个软集<$F;A<$和<$G;B<$,我们说<$F;A<$是<$G;B<$的软子集,如果(1) 一个BAB和(2) 对所有的e2A,F∈E和G∈E是相同的近似. 我们写F;A~G;B。A是A的软超集;B是A的软超集,如果A是A的软超集,则B是A的软超集。(1) x,X属于s。(2) s中任意数量的软集的并集属于s。(3) s中任意两个软集合的交集都属于s。三元组<$X;s;E< $称为X上的软拓扑空间。定义10[27]。设X;s;E是X上的软空间。软X上的集合<$F; E<$被称为X中的软闭集,如果它的相对补集<$F;E<$0属于s。定义11[29]。设X;s;E是X上的软拓扑空间,G;E是X上的软集,x X.则G;E为称之为x的软邻域,如果存在软开集~。定 义 12 [27] 。 设 <$X;s;E<$ 是 X 上 的 软 拓 扑 空 间 ,<$F;E<$是X上的软集。则<$F; E<$的软闭包,记作<$F;E<$ 是<$F ; E <$的所 有 软 闭 超 集 的 交 。 显 然 , <$F;E<$是X上包含<$F; E<$的最小软闭集。定义13 [32]。X上的一个软集X。显然,Xec<$UE和U<$Xe。softsubsetofF;A. 我们把它记为:A =F;A=S~G;B= G。定义3 [9]。公共论域X上的两个软集<$F;A<$A和<$G;B<$称为软相等,如果<$F;A<$A是<$G;B<$A和<$G;B<$A是<$F;A<$B的软子集.定义4 [6]。在共同论域X上的两个软集合的并集是软集合H;C,其中C^A[B],并且对于所有e2 C,8>Fe;ife2A-B这里我们只考虑论域X上的软集合F;E,其中集合E的所有参数都相同。我们用SS<$X<$E表示这些软集的族。定义14 [32]。软集<$F;E<$2SS<$X<$E称为X中的软点,记为e F,如果对于元素e2E,F<$e<$- /且F <$e c <$<$/对于所有e c 2 E n f e g。定 义 15[32] 。 软 点 e F 被 称 为 在 软 集 合 <$G;E<$ 中 , 记 为eF2~<$G;E<$,if对于元素e2E和F<$e<$$>~G<$e <$。HðeÞ¼Ge;如果e2B-A:Fe [Ge;如果e2A\B定义16[32]。软拓扑空间中的软集<$G;E<$我们写A[~G]; B [~G];C[~ G]。定义5 [6]。两个软集<$F; A<$A和<$G; B<$在公共论域X上的交集<$H ;C <$ , 记 为 <$F ; A<$\~<$G; B<$ , 定 义 为C<$A\B,H<$e <$$><$F <$e <$\~G<$e<$,对所有e2C。定义6 [27]。 两个软集<$F; E <$的差<$H; E<$X;s;E的软邻域(brie novelty:soft nbd)软点eF2X,若存在软开集<$H;E<$,使得eF2<$H;E<$$>~<$G;E<$。一个软点eF的软邻域系,记为NseF,是它的所有软邻域的族定义17[29]。设X;s;E是一个软拓扑空间,且在X上的G;E,记为F;En~G;E,定义为设G;E是X上软集。X上的软集<$F;E<$的软内部,记为<$F ;E<$,定义为所有软集的并H e FenGe,for alle2E.定义7 [27]。设F;E是X上的软集,Y是X的非空子集。则在Y上的子软集F ; E的子软集记为F;E的子软集,定义如下:对于所有的2 E,FY <$a< $ $ >Y\~F<$a<$。 换句 话说 , 就 是YF;EY\~F;E。定义8 [27]。软集的相对补数<$F;A<$被表示为dbyy<$F;A<$0和d被定义为d byy <$F;A<$0<$$>F0;A<$,其中F0:A!PU.定义9[27]。设s是X上的软集的集合,则称s是X上的软拓扑,如果包含在F中的开集; E. 因此,F;E是最大的软开集包含在F;E。定义18 [29]。设X;s;E是X上的软拓扑空间. 则X上的软集<$F;E<$的软边界记为<$F;E<$,并定义为F;E 显然,<$F;E<$是X上包含<$F; E<$的最小软闭集。定义19[29]。X;s;E是X上的软拓扑空间,Y是X的非空子集。则sY<$f<$YF;E<$j <$F;E< $2sg称为软相对拓扑在Y上,Y;sY;E的软子空间称为X;s;E的软子空间。8S. Hussaineee1/4fg:.Σ.ð ð ð ÞÞÞ ð Þ2ðÞð Þ ðÞðÞe(a)f在e2X处软pu连续,if对eachpuFeð Þ2 ð ð ÞÞ ð Þ2 ð Þð Þ ðÞe你好!ðÞPUPUPUPUð Þ ð Þ ð Þ ð Þ ðÞ1;2;3;45我们可以很容易地证明,SY实际上是Y上的软拓扑。定理20[27]. 设X;S; Y;E是软拓扑空间X;S;E的软子空间,X上的软集是F;E,(1) 在Y中是软开的,当且仅当对于某个εG;Eε 2 s,ε F ; Eε 1是软开的。(2) F;E在Y中是软闭的当且仅当F;E在Y中是软闭的,对于X中的某个软闭集G;E.定义21 [27]。设X;s;E是X上的软拓扑空间,x;y2X使得x-y.若 存 在 软 开 集 <$F;E<$0 和 <$G;E<$0 使 得x2<$F;E<$0;y2<$G;E<$ 0 和 < $F; E<$1~<$G ; E<$1~<$U,则<$X; s; E<$0称为软T2-空间.定 义22[31]。 设S S<$X<$E 和S S<$Y<$E0 是 软集族.u :X! Y和P:E! E0是映射。然后一个映射3. 软连通性26.第二十六章公共论域X上的两个软集U.也就是说,/¼Fe\Ge,对于所有e2E。27.第二十七章设X;s;E是X上的软拓扑空间.然后,如果不存在一对X ; s ; E的非空软不相交软开子集F;E和G;E,使得X<$F;E[~G;E],则称X ; s ; E是软连通的,否则称X;s;E是软不连通的。在这种情况下,对和被称为X的软断开。例1.设Xh1;h2;h3-所考虑的房屋,E ={参数集,每个参数是一个句子或单词}={e1=美丽,e2=便宜},s¼fU;Xe;F1;E;F2;E;F3;E;F4;E;F5;Egfpu:S SXE!SS SY0定义为:(1) 设F;E是SS<$X<$E中 的软 集. f p u下的F ; E的像,记为fpuF;Ef p uF;p E,是S SYE0中的软集,使得哪里F; EF; EF; EF;E和F;E是软X的集合,它给了我们一个近似描述的集合,一个对象的定义如下:F1叶2叶1叶2叶1fpu8F;E<$n~fxgn。定理32. 设<$X;s;E<$是软拓扑空间,且<$F;E<$是X的软子集。然后,F;E[~F;EdF;E。当且仅当x2<$F;E<$d[~<$G;E<$d. 因此,EF;E[~G;Ed<$F;Ed[~G;Ed。(4)假设xR <$F;E<$d。则xR <$F;E<$n fxg。这意味着存在一个软开集<$G;E<$使得x 2<$G;E<$且 <$G;E<$\~<$G<$F;E< $ nfxg <$$><$U。我们要证明xR =F;E=d.假设对的相反,x2 <$F;E<$d<$d。 则x 2 <$F; E<$d n fxg。 由于x 2 <$G;E<$,我们有<$G;E<$\~<$F;E<$dnfxg <$- U。因此存在y- x轴 使得y2<$G;E<$\<$F;E<$d. 因此,y2G;Enfxg F;Enfyg.因此证据如果x~ddG;Enfxg\~F;Enfyg2<$F;E<$[<$F;E<$],则x2<$F;E<$或x2<$dF;E<$。Ifx2F;E,然后x2 °F;E° F。如果x2 <$F;E<$,则对于x的所有软开邻域<$G; E<$F; E<$n fxg <$-U,因此,对于x的所有软开邻域<$G ; E <$F ; E <$- U,因此,x 2 <$F ;E <$。反之,若x2 <$F;E<$,则x2 <$F;E <$或xR <$F;E<$。如 果 x2<$F;E<$ , 则 x2<$F;E<$[~<$F;E<$d] 是 平 凡 的 .IfxRF;E,则对x的所有软开邻域G;En fxg-U,有G ;E nF x g因此 , x2 <$F;E<$d 蕴 涵 x2<$F;E<$[~<$F;E<$d 。 所 以 ,F;E[~F;EdF;E。因此证据H定理33.设 <$X; s; E<$是软拓扑空间,<$F; E<$是X的软子集.然后,F;E是软闭的,当且仅当F;Ed~F;E。证 据 F;E 是 软 闭 的 当 且 仅 当 F;E F;E 当 且 仅 当 F;EF;E~F;Ed当且仅当F;Ed≠F;E.这就完成了证明。H定理34. 设X;s;E是一个软拓扑空间,F;E;G;E是X的软子集。然后,(1) F;E(2) EF;EG;EdF;EdG;Ed.(3) ððF;EÞ[~ðG;EF;EÞd[~ðG;EÞd.事实上,这意味着xF;Edd等等F;E dd~F;E d.(5)这是(2)、(3)、(5)和定理32的一个结果这就完成了证明。 H现在我们证明以下定理:定理35. 如果X;s;E是软T2空间,Y是X的包含有限个点的非空子集,则Y是软闭的.证据让我们把Y x。 现在我们证明Y是软闭的。如果y是X中不同于x的点,则x和y分别有不相交的软邻域F;E和G;E 因为F;E不软交y,所以点x不能属于集合y的软闭包。因此,集合x的软闭包是x本身,所以它是软闭的。由于Y是任意的,这对X的所有包含有限个点的子集都是真的。所以才有证据。H接下来,我们用软边界将软连通性刻画为:定理36. 软拓扑空间X;s;E是软连通的当且仅当每个非空真软子空间都有非空软边界。(4) F;Eð(5) F;E证据;d2.4.2.证据 相反假设的一非空真软软连通空间<$X;s;E <$的子空间<$F;E<$具有空软边界。 然后,F;E是软开的,F;E 设x是<$F; E<$的软极限点.(1) LetF;E~G;E。 由于F;Enfxg~G;Enfxg,F;Enfxg~G;Enfxg,和我们求出F;Ed~G;Ed。(2) EF;E\~G;E~F;E和EF;E\~G;E~G;E。然后通过(1)、ððF;EÞ\~ðG;EÞÞdÇ~ðF;EÞdandððF;EÞ\~ðG;EÞÞdÇ~ðG;EÞd. 因此,F;E\~G;Ed~F;Ed\~G;Ed。(3) 对于所有 x2F;Ed],x 2F;E[~G;Enf x g. 因此ððF;EÞ[~ðG;EÞÞnfxg ¼ððF;EÞ [ðG;EÞÞ\fxgc1/4F;E\~fxgc[~1/4G;E\~fxgc则 x2 <$F;E<$butxR<$F;E<$c 。 特 别 是 , x R <$F;E<$c,因此x 2 <$F; E<$。因此,F;E是软封闭和软开放。 根据定理29,X;s;E是软断开的。这一矛盾证明了F;E有一个非空的软边界。相 反 , 假 设 X 是 软 断 开 的 。 然 后 , 根 据 定 理 29 ,<$X;s;E<$有一个真软子集<$F;E<$,它既是软闭的,软打开.然后F;AAF; Ac<$F; Ac和AF; A\~AF; Ac<$U。因此,F;E有空的软边界,矛盾。因此,X;s;E是软连接的。这就完成了证明。H定理37. 设软集合对<$F;E<$和<$G;E<$是一个软集合,软拓扑空间<$X;s; E<$和<$H; E< $a中的c c不连通性1/4F;E\~fxg[~G;E\~fxg1/2F;Enfxg[~G nG;Enfxgn由定理1/27得出]S的软连通子空间。 然后,E是包含在F; E10S. Hussainð Þ ðÞ2\\12证据假设:H;E既不包含在F; E中,也不包含在G; E中。 则EH; EF; E; E H; EG; E 都 是苯 并 [c] 芘等即 :EH;E\~F;E\~H;E\~G;EU和EH;E\~F;E[~H;E\~G;EH;E。 这给出了一对 H; E\~F; E 和 H;E\~G; E是H ; E的软不连通。这个矛盾证明了这个定理。H定理38. 设G;E是软拓扑空间X;s;E的软连通子集,且F;E是X的软子集,使得G;E是~F;E是~G;E是。 则F;E是软连通的。证据只要证明G;E是软连通的就足够了。相反,假设n ∈G;E∈是软不连通的。 然后存在一个软断开<$H; E<$;<$K; E<$G;E<$ 。也就是说,有 EH;E\~G;E ,EK;E\~G;E软开集,使得EH;E\~G;E\ ~U,和A. A. B. C.D. D. C. D.D.E.E.\~G;EH;E[~K;EG;EG;E. 这就给出了对EH;E\~G;E,EK;E\~G;E是一个经常断开的连接G;E,矛盾。这证明了G;E是软连通的.所以才有证据。H推论1. 如果<$F;E<$是软拓扑空间<$X;s;E<$的软连通软子空间,则<$F;E<$是软连通的。在[27]中,软正则空间被定义为:39.第三十九章设X;s;E是X上的软拓扑空间;G;E是X中的软闭集且x2X使得x R <$G; E<$. 若存在软开集<$F1; E和<$F2; E使得x2<$F1;E;EG;E~<$F2;E和<$F1;E~<$F2;E< $U,则<$X;s;E称为软正则空间.现在我们证明以下定理:定理40. 设X;s;E是软正则空间,Y;sY;E是X;s;E的软子空间,使得 sY<$f<$YF;E<$jF;E< $2sg是Y上的软相对拓扑. 则s-Y;s-Y;E-Y是软正则空间。证据 设Y;sY;E 是软正则空间X;s;E的软子空间.设y2Y 和yR;G;E是Y中的软闭集,使得yR;G; E是Y中的软闭集. 现在是G; E\~Y <$G; E。 早上好,我很高兴。因此,G;E在X中是软闭的,使得yR <$G;E<$。由于X是软正则的,所以存在经常的 开 集 <$F1;E 和 <$F2;E 使 得 y2<$F1;E;EG;E~<$F2;E 和<$F1;E\ <$F2;E\ < $U。则Y_(? )F;E_(?),Y_( ? )F;E_(?)pu-连续映射利用软边界刻画了软连通性,并讨论了软连通子空间的软闭包的性质。这一概念的加入也将有助于加强软拓扑工具箱中的基础。我们期望本文的研究结果可以应用于许多领域中含有不确定性的问题,并将促进软拓扑的进一步研究,为实际生活中的应用提供一般框架。确认作者感谢匿名的审稿人和编辑,他们提供了详细而有用的评论,改进了本文。引用[1] 洛杉矶Zadeh,Fuzzy sets,Inf. Control 8(1965)338-353。[2] K.林志玲,模糊数学,北京:科学出版社,1998。[3] K. 张文,等,区间值直觉模糊集上的算子,模糊集系统,1994,第159-1746页。[4] Z. Pawlak,Rough sets,Int. J. Comput. Sci. 11(1982)341-356。[5] C.H. 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Jun,H.S.金,J.Neggers,伪d-代数,Inf.Sci. 179这样,Y~F1;E和G;E~Y~F2; 这个com-证明了一切。 H4. 结论在研究软集合在经典逻辑和非经典逻辑中的可能应用时,软集合和软拓扑的研究是非常重要的。基于软集合理论的软拓扑空间是信息粒的集合,是信息系统近似推理的数学表述。本文在软拓扑空间中定义并讨论了软连通空间的性质,并讨论了软连通空间在软拓扑空间中的行为。(2009)1751-1759。[19] Y.B. Jun,K.J. Lee,A. Khan,Soft有序半群,数学。逻辑Q 56(1)(2010)42[20] Y.B. Jun , K.J. Lee , C.H. Park , Soft set theory appliedtocommutative ideals in BCK-algebras,J. Appl. 数学INF. 26(3- 4)(2008)707-720。[21] Y.B. Jun,K.J. Lee,C.H. Park,Soft set theory applied toidealsin d-algebras,Comput. 57(2009)367-378.[22] Y.B. Jun,K.J. Lee,C.H. Park,Fuzzy softset theory appliedtoBCK/BCI-algebras,Comput. 数学Appl. 59(2010)3180-3192。[23] Y.B. Jun,C.H. Park,软集在BCK/BCI-代数理想理论中的应用,Inf. Sci. 178(2008)2466-2475。[24] Z. 孔湖,澳-地高湖,加-地黄,S.Li,软集的正规参数约简及其算法,J. Comp. Appl. 数学21(2008)941- 945。关于软连通性的注记11[25] D. 派,D.苗,从软集到信息系统,2005年IEEE Inter。Conf. Granular Computing,vol. 2,pp.617-621.[26] M. Shabir,M. Irfan Ali,半群中的软理想和广义模糊理想,新数学。Nat. Comput. 5(2009)599-615。[27] M. Shabir,M. 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