噪声混沌动力学：MATLAB计算李雅普诺夫指数的开放获取软件

⃝可在www.sciencedirect.com上在线获取ScienceDirectSoftwareX 3原始软件出版物噪声混沌动力学艾哈迈德·本·萨达LaREMFiQ-IHEC，苏斯大学，B. P.40 Route de la ceinture，Sahloul 3，苏斯4054，突尼斯接收日期：2015年4月12日;接收日期：2015年6月15日;接受日期：2015年8月21日www.elsevier.com/locate/softx摘要此代码计算最大的李雅普诺夫指数和测试的存在下，混沌动力学，而不是随机动力学，在一个嘈杂的标量系列。该程序在MATLAB®编程语言下运行。2015作者由爱思唯尔公司出版 这是CC BY许可下的开放获取文章（http：//creativecommons. org/licenses/by/4. 0/）。关键词：李雅普诺夫指数;噪声混沌;MATLAB代码元数据当前代码版本v5.0用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX-D-15-00007法律代码许可证BSD-3-Clause，请参阅http://opensource.org/licenses/BSD-3-Clause使用的代码版本控制系统无软件代码语言MATLAB®需求统计和优化工具箱问题支持电子邮件ahmedbensaida@yahoo.com1. 动机和意义在科学语境中，混沌这个词的含义与它作为混乱状态或完全灾难的一般用法混沌，指的是一个系统中明显缺乏秩序，但仍然遵守特定的法律或规则，这是物理学家亨利庞加莱在20世纪初发现的一种情况，指的是一些物理系统中固有的缺乏可预测性，称为动态不稳定性。例如，在一个被驱动的钟摆的运动中观察到混沌，它可能表现得不规则，并显示出不规则的左转弯和右转弯序列，海洋中的溪流[2，3]和气象科学[4，5]。因此，一个混沌系统电子邮件地址：ahmedbensaida@yahoo.com。非常复杂的行为，称为对初始条件的敏感依赖。这种类似随机和不可预测的行为被称为蝴蝶效应。1972年12月，爱德华·洛伦兹在华盛顿举行的美国科学促进会会议上首次描述了蝴蝶效应生动地说明了混沌理论的基本思想在非线性动力学理论中，由于天气过程的非线性，一只在巴西拍打翅膀的蝴蝶可以在德克萨斯州产生龙卷风这样一个小系统的例子，如蝴蝶，负责创造这样一个大的和遥远的结果，如在得克萨斯州的龙卷风，说明了不可能对复杂的系统进行预测，尽管这些系统是由基本条件决定的，这些条件永远无法充分表达，以允许长期预测。混沌动力学在外观上与随机动力学密切相关，BDS测试[6]无法将它们分开[7]。因此，我们需要一个实际的测试来检测混沌，即使数据是嘈杂的。http://dx.doi.org/10.1016/j.softx.2015.08.0022352-7110/2015作者。 出版社：Els e vierB. V. 这是CC BY许可下的开放获取文章（http：//creat iv commons. o r g/licenses/by/4. 0/）。2A. BenSaïda/SoftwareX 3：：+=+=→−∞2ε××=−=-中国）2、）=−由于该代码的理论基础可在[7，8]中获得，该测试的实际使用由[9，10]等进行。本文的提示如下：在第2节中，我们简要地描述了代码;第3节给出了一些示例;在第4节中，我们讨论了代码的影响;最后，我们在第5节中结束。代码元数据在第1节之前给出。2. 软件描述混沌的测试在文献中是罕见的，并且实际的实施也远不明显[11]。此外，为了测试混沌动力学，我们需要没有测量误差产生的摩擦的纯数据，详细讨论见[12]本代码估计噪声时间序列中的最大李雅普诺夫指数（以下称为李雅普诺夫指数）[7]，并根据置信水平α决定数据是混沌的还是随机的。该测试的主要优点是它可以直接在实验数据上进行，而不需要定义生成方程。李雅普诺夫指数λ测量了时间范围内的相邻轨迹之间的平均指数发散（正指数）或收敛（负我们区分λ的3种情况：2.2. 软件功能代码chaostest可以检测混沌动力学的存在。它在指定的置信水平下测试主导（或最大）李雅普诺夫指数λ的正性。检验假设H为：原假设H0λ> 0，表明存在混沌;备择假设H1λ0，表明不存在混沌。MATLAB®命令提示符下的语法为：需输入系列-要测试的观测向量。允许的最小大小为（m L1）个观测值。可选输入ActiveFN-包含用于神经网络估计的激活函数的字符串。它可以是：'tanh'，f（ u）tanhu，domain =（ 1， 1），这是默认值;'logistics'，f（ u）1 ，domain =（0，1）. 物流不推荐1 e−u有限域;'sigmoid'，f u=u1 +|u|，domain=2-11λ0：轨道吸引到一个稳定的不动点。负李雅普诺夫指数是耗散或非保守系统的特征.这样的系统表现出渐近稳定性;指数越负，稳定性越大。超稳定不动点和超稳定周期点都有λ。λ0：轨道是中立不动点。 一个Lyapunov指数为零表示系统处于稳态模式或接近向混沌的过渡。λ>0：轨道是不稳定和混沌的。者一定会一个轨道，无论多么接近，都会发散到任意的距离。指数越大，系统越不稳定。为了计算李雅普诺夫指数并在数据中存在隐藏噪声的情况下进行测试，我们需要定义两个分量：1. 近似混沌映射的神经网络的激活函数ActiveFN[7]。2. 定义神经网络复杂度的阶数（L， m， q），ral network [7].选择低参数可能会阻止神经网络合理地近似生成数据的映射另一方面，大的参数增加计算时间呈指数增长，因为要估计的系数的数目增加。[8]表示（5，6，5）和（10，12，10）之间的任何三元组。2.1. 软件构架该代码是一个单一的M-文件，在MATLAB®编程语言下运行[1]，所有子程序都包含在主文件chaostest中。11我们计划编写一个在R下运行的版本，http://CRAN.R-project.org。2个以上|u| + umaxOrders-阶数（L，m，q）。这必须是一个包含3个元素的向量，默认值=[5，6，5]。Alpha- 检验的显著性水平α（默认值=0.05）。输出H = 0-在显著性水平α下接受混沌的零假设。H = 1-在显著性水平α下拒绝混沌的零假设。pVal-p 值。pVal的小值对混沌的零假设的有效性表示怀疑。LAMBDA- 李雅普诺夫指数λ。Orders-给出了三元组（L， m， q），该三元组最大化从所有L m q估计计算的李雅普诺夫指数，参见[7]了解更多细节。CI- 显著性水平α下λ的置信区间。该算法使用雅可比方法[7]，它需要优化和MATLAB®的统计工具箱 [1]。3. 说明性实例在本节中，我们将执行三个示例。第一个是一个有噪声的混沌映射，第二个是一个随机的随机变量，最后一个是一个现实生活中的数据。3.1. 逻辑斯蒂映射已知逻辑斯蒂映射x tγ x t−1（1 x t−1）在3时表现出混沌行为。57≤γ≤ 4。所以，在我们的例子中，我们设置γ 4和一个起始值x00。2.接下来，构造了一个纯混沌映射xt，在其中加入噪声εt，εt （0，σ2）为独立正态分布的随机变量.···（（A. BenSaïda/SoftwareX 33==→−∞为了研究李雅普诺夫指数的演化规律，我们选取了不同的σε值进行了实验在第一种情况下，我们设置σ ε0。01.因此，在MATLAB®命令提示符下，我们键入：3.2. 随机变量在第二个例子中，我们测试了一个独立的正态分布的随机变量εt的动力学，标准差σε=1。期望εt是随机的。结果是H = 0，p = 1，lambda = 1.7158，阶数=[3，1，7]。2因此，在5%的置信水平下，可以接受指示混沌存在的零假设H 0。在下一种情况下，我们增加噪声εt的可变性设σ ε= 0。12.结果是H = 0，p = 0.9180，lambda = 0.1166，阶数=[1，1，6]。在5%的置信水平下，数据仍然混乱。由于数据中添加了噪声，估计的李雅普诺夫指数方差[7，等式5]增加;因此，指数的p值从第一种情况下的接近1（噪声较低）降低到第二种情况下的0.9180（噪声较大）。此外，设置σ ε0。17，并且使用完全相同的程序得到H= 0，p = 0.1677和λ = 0.1677。-0.0437虽然李雅普诺夫指数λ是负的，在5%的置信水平下，测试仍然接受混沌。进一步增加噪声的幅度将导致零假设的拒绝事实上，正如[7，第91页]所提到的，当添加的噪声的方差增加时，数据逐渐趋向于随机系统，并且李雅普诺夫指数减小直到变为负值。在这种情况下，噪声干扰了混沌映射，我们不再能检测到混沌。3或者，我们可以在不添加噪声的情况下测试纯数据xt中是否 存在混沌 在这种情 况下， 对于相同 的输入maxOrders = [7 ， 8 ， 10] ， H = 0 ， p = 1 ， lambda =1.8714，Orders =[1，1，9]。纯骨架混沌映射的李雅普诺夫指数λ事实上，[7]表明，当噪声幅度减小时，λσ趋于λ0，limσε→0λσ=λ0。的 结果 是 H = 1， p = 5.23e-11， 和 Lambda =-0.4850因此，在5%的置信水平下接受表明不存在混沌的备择假设H1被测因此，数据是随机的。理论上，超稳定系统（如随机变量）的李雅普诺夫指数趋于-λ.然而，从混沌测试计算的λ是有限的数。事实上，正如[12]所指出的，计算机生成的数字被称为基于特定算法的伪随机数（RNG），因为计算机是确定性机器，不应该表现出随机行为。RNG具有由初始状态（或种子）定义的起始值，每次生成伪随机数时，RNG的状态基于伪随机数以预先指定的方式相应地改变。计算机语言的艺术使得生成的因此，εt的有限负李雅普诺夫指数是产生伪随机数的艺术的直接43.3. 真实数据最后一个例子是对真实数据的应用 我们选择每日欧元兑美元（EUR/USD）汇率回报-对数差-从OANDA数据库中收集，5以及从澳大利亚政府气象局收集的澳大利亚悉尼日降雨量（毫米）。[6]两个样本均从2005年1月1日开始至2015年4月30日，如图1所示。补充数据中的文件mmc1.mat包含两个变量欧元兑美元和降雨量（见附录A ）。在MATLAB®下，我们键入：结果是H = 1，p = 0，lambda = -0.2671，阶数=[1，6，1]。因此，欧元/美元汇率回报率是随机的。接下来，为了用sigmoid激活函数测试第二个变量降雨的动态2 由于噪声ε t的存在，如果我们改变随机发生器状态，结果可能会有所不同。出于展示目的，我们报告p值和λ，小数点后有四位有效数字。3 我们建议进一步的理论发展计算极限σε超过这个范围，测试就拒绝混乱。4 MATLAB®的默认RNG基于Mersenne-Twister算法[13]，初始种子等于零。5 http://www.oanda.com网站。6 http://www.bom.gov.au/climate/data网站。4A. BenSaïda/SoftwareX 3(a) 每日欧元/美元汇率回报。（b）澳大利亚悉尼的日降雨量。Fig. 1. 真实数据示例。我们得到H= 0，p = 1，lambda = 1.4605，阶数=[3，5，1]。因此，悉尼的降雨动态是混乱的。4. 影响时间序列中混沌的识别和量化是许多研究的课题.事实上，提出了几种方法，包括估计分形维数，非线性预测，估计熵，估计李雅普诺夫指数[12]。在所提出的方法中，分形维数估计是最简单的一种。它提供了一个关于系统的有限维性的检验然而，维数估计对数据中的测量误差高度敏感，并且可能随着动态噪声而变差。在熵估计中也存在类似的困难。非线性预测是一个更一般的概念，因为它包括确定性和随机性系统中的非线性，并且可以通过BDS测试[6]检测到;然而，它不能区分混沌行为和随机行为。利用李雅普诺夫指数方法，避免了在分形维数和熵估计中遇到的问题.目前文献中可用的混沌测试需要无噪声数据，因为任何测量误差都会导致混沌的系统拒绝[11]。此外，这些测试的实际实施具有挑战性。混沌码是强大的检测混沌动力学，而不是随机动力学，即使在存在中度噪声。这一特性使它吸引了物理学家、气象学家、金融分析师和其他研究非线性动力学和复杂现象的科学家。该测试的有效性已在先前的研究中得到证实[7]。混沌码应用于现实生活中的数据。例如，[7]测试了六个每日汇率和六个每日世界指数中混沌动力学的存在，发现这些金融数据是随机的。[8]测试了每日内美国指数S P500在不同频率上的动态，没有发现混乱的证据”[14]《明史》：“以德为先。在使用长期月度和年度数据研究美国通货膨胀时，他们拒绝了这两种数据中存在的混乱[10]对高频回报进行了检验，以检测雅典综合股价指数的非线性。[9]利用小波变换对SP 500物理、气象和海洋学数据的应用仍在进行中，悉尼降雨的例子最后，本程序可应用于任何标量实验数据.它可能是感兴趣的那些谁研究非线性动力系统，以确定数据的性质：随机或混沌。5. 结论所开发的代码可以分离随机和混沌动力学，即使在存在一个温和的噪声。它可以帮助物理，气象，金融和任何其他领域的研究人员测试他们的数据是否存在混乱。附录A. 补充数据与本文相关的补充材料可以在http://dx.doi.org/10.1016/j.softx.2015.08.002上找到。引用[1] The MathWorks，Inc. 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