→理论计算机科学电子笔记45（2001）网址：http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume45.html21页平衡空间与第二型E安德烈·鲍尔1米塔格-勒庞热研究所瑞典皇家科学院摘要在本文中，我比较了两种研究方法，拓扑语义- 域理论的方法，以可数基的等逻辑空间Equ和第二类E-可积性为例，以Baire空间表示Rep（B）为例。这两个范畴都是可数基T0-空间的局部Carnival闭扩张。一个很自然的问题是它们之间是如何联系的。首先，我们证明Rep（B）等价于Equ的一个满核对偶子范畴，它由所谓的0-等逻辑空间组成。这在Rep（B）和Equ之间建立了一对伴随函子。包含Rep（B）Equ及其核包含具有许多理想的性质，但它们一般不保持指数。这意味着Rep（B）和Equ的carbohydrate闭合结构本质上是不同的。然而，在第二个比较中，我们发现，Rep（B）和Equ共享一个共同的carnival闭子范畴，包含所有可数的T0-空间。因此，域理论的方法和TTE产生等价的拓扑语义计算的所有高阶类型的可数为基础的T0-空间。我们考虑几个涉及自然数和实数的例子来演示这些比较如何使结果从一个设置转移到另一个设置成为可能。1介绍在本文中，我比较了拓扑语义的两种方法-域理论方法，以可数基等逻辑空间[6，23]，Equ为例，以及第二类E-可积性（TTE）[27，26，25，14]，以Baire空间表示Rep（B）为例。这些框架已经被广泛研究，尽管是由两个有点独立的研究社区。本文件将这两种方法联系起来，并帮助在它们之间转移结果。1 电子邮件：Andrej. andrej.com，URL：http://andrej.com2001年由ElsevierScienceB出版。 诉 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1鲍尔2计算的域理论模型产生于这样一种想法，即（可能是无限的）计算的结果近似于计算的有限随着计算的进行，有限阶段越来越接近最终结果。这导致了一个偏序空间的公式，称为域，其中每个元素都是在它下面的杰出的“有限”元素的上确界我们推荐[1]和[24]作为域理论的介绍。TTE框架源于对图灵机执行的（可能是无限的）计算的研究，图灵机读取无限输入磁带并将结果写入无限输出磁带。如果我们把输入和输出磁带看作是自然数的序列，那么图灵机对应于Baire空间B=NN上的可计算部分运算器。我们通过考虑B上的所有连续部分算子，而不仅仅是可计算算子，得到了一个纯拓扑我们推荐[27]作为TTE的介绍使用等逻辑空间作为拓扑语义学的域理论方法的一个例子需要解释。早在原始手稿[23]中，Scott就证明了等逻辑空间等价于代数格上的部分等价关系（PER）。他还证明了范畴的代数域是一个carless-closed子范畴的equilogical空间，这是不难看出，同样适用于连续格。在[6，5]中，我们证明了等逻辑空间是整环理论的推广[9，8，7，20，21]。这些结果所需的关键观察是，等逻辑空间等价于代数域上的稠密PER范畴（如果一个域上的PER的扩张是该域的稠密子集，则称该域上的PER是稠密如果我们在连续域上取稠密PER，等价性仍然存在。在这个意义上，可以说，等逻辑空间推广了几个Domain理论框架，并包含了许多已经研究过的重要Domain范畴，但当然不是所有的。在本文中，我们只关注可数基equilogical spaces，简称作为TTE的环境范畴，我们取Baire空间表示的范畴Rep（B），它在第3节中定义。当代的TTE公式通常使用康托空间代替贝尔空间，但由于我们在这里不关心计算复杂性，所以使用哪一个并不重要，因为它们在等价的范畴中产生。我们称贝尔空间表示为平衡空间和表示都是可数基T0-空间范畴ωTop0的局部Carnival闭扩张。因此，它们都是拓扑空间上吸引人的计算模型这就是为什么从编程语义的角度来看，准确地理解它们之间的关系是很重要的我们进行比较的一般框架是可实现性理论，因为Equ和PER（B）只是可实现性模型;前者等价于Scott-Plotkin图模型PN上的PER模型，而鲍尔3→→后者等价于第二Kleene代数B上的PER模型。然后，我们可以使用Longley的虽然这可能是可以用来比较其他语义框架的最通用和最优雅的技术，但它具有明显的反拓扑性。但是我们可以把所有可实现性的结果都转换回拓扑学的语言，这正是我们所做的。这立即给了我们第一个结果：Rep（B）的一个简单拓扑描述，没有提到第二Kleene代数的部分组合结构。从这样得到的Rep（B）的拓扑描述可以看出，Rep（B）等价于Equ的一个全子范畴.这个子范畴用0 Equ表示，由所有0-等逻辑空间组成，这些等逻辑空间的基础拓扑空间是0维的。内含物I：0Equ Equ具有核心内含物D：Equ0Equ。 这两个函子有许多理想的性质，但它们一般不保持函数空间。我们以另一种方式比较了Equ和Rep（B），证明了它们有一个共同的包含所有可数基T0-空间的Carnival闭子范畴.这个子类别是由Menni和Simpson发现的[19，18]，ω-P_o具有容许表示的序列T0-空间。 我们证明这些这两个类别是一致的。因此，域理论的方法和TTE产生等价的拓扑语义计算的所有高阶类型的可数为基础的T0-空间。最后，我们讨论了各种后果和两种设置之间的结果转移的潜力，特别是相对于自然数，实数，和他们的高阶函数空间。本文的结构如下。在第一节中，我们回顾了关于等逻辑空间和ω-投影子的基本定义和事实.在第3节中，我们回顾Baire空间表示和容许表示。第4节和第5节包含Equ和Rep（B）的两个比较。在第6节中，我们获得了两种设置之间的各种传输结果。这里介绍的材料是我博士学位的一部分论文[4]，在达纳·斯科特的监督省略的证明可以在论文中找到我 非 常 感 谢 与 StevenAwodey 、 LarsBirkedal 、 PeterLietz 、AlexSimpson、MatthiasSc r？der和 Dana Scott就这个主题进行的有益讨论彼得和我发现0-equilogical空间和Baire空间表示的等价性在一起。如果不和马蒂亚斯和亚历克斯谈一谈，我就永远无法证明ω -投射投影的一致性我还要感谢知识渊博的匿名推荐人，他们就如何更好地展示材料提出了有益的建议鲍尔4|| ||ǁ ǁ → ǁ ǁǁ ǁ→→→ ×→×∈||≡≡×2平衡空间与ω-投影商Scott [23，6]将等逻辑空间定义为具有等价关系的T0-空间。这里我们只对可数基等对数空间感兴趣，它是具有等价关系的可数基T0我们用ωTop0表示可数基T0-空间和连续映射的范畴.从现在开始，我们省略限定词更精确地说，一个等逻辑空间是一对X =（|X|，其中，|X| ∈ωTop0和<$X是一个等价关系的基础集|X|.一个等逻辑空间X的相伴商是拓扑商<$X<$ =|10.|/≡X.典范商映射|X| →X记为q X。 注意，X不需要是T0或基于可数的。在等逻辑空间X和Y之间的态射f：XY是一个连续映射f： XY被某个（不一定是唯一的）连续映射g：X Y跟踪，这意味着下面的图是交换的：G|Y||Y|qX qYJ JX任何出现在这样一个图的顶行的映射g都是等变的，或外延的，这意味着，对于所有的x，y，X，xxy蕴含gxY gy。2等逻辑空间范畴和它们之间的态射记为Equ。X和Y的指数是具有态射e：E X Y的对象E=YX，称为求值映射，使得对于所有Z和f：Z X Y，存在唯一映射f∈：Z E，称为f的转置，使得下图通勤：E X......，ef×1XZ×X、、，，zfY弱指数的定义也是一样的，但没有f的唯一性要求。当一个范畴有终结对象、有限乘积和所有指数时，它就被称为范畴闭。当每一个切片都是闭切片时，它是局部闭切片[2]我们可以将等逻辑空间之间的态射定义为等变映射的等价类，这是[23]中的原始定义鲍尔5P⊆→ ǁ ǁ → ǁ ǁ⊆ǁǁ→范畴Equ等价于PER模型PER（N）[4，Theo-rem 4.1.3]，PER（N）是一个正则的局部Carnival闭范畴.这个等价性给了我们一个方程中指数的描述，尽管这是一个非常不切实际的描述。更好的描述可以如下所述。设X和Y是等逻辑空间，且（W，e）是|X|和|Y|在ωTop0中。定义一个关于W的关系E，fx，y ∈ |X|. （x <$Xy =<$e（f，x）<$Ye（g，y））。设E =（|E|，E）是其下空间为|为|=..Σf ∈ W。fEf好吧。很容易检查E与由求值映射e导出的态射：|E| × |X| → |Y|是X和Y的指数[4，命题4.1.7]。范畴ωTop0具有弱指数，因此下面的构造表明Equ具有指数。这将是可取的，有一个很好的理论，弱指数的拓扑空间，因为这将给我们更好的描述指数方程。在某些情况下，（弱）指数有很好的描述。 例如如果|X|若A是局部紧的，且Hausdor是连续的，则连续映射空间W = C（|X|、|Y|）与紧开拓扑一起与通常的评估图是指数的|X|和|Y|在ωTop0中。每一个可数基T0-空间X都可以看作是一个等逻辑空间（X，=X），其中=X是X上的相等。这定义了一个完全且忠实的包含函子I：ωTop0→Equ。包含保留了有限极限、余积和所有已经存在于ωTop0中的指数。指数的保持直接从等式中的指数的上述描述得出。存在关联商函子Q：Equ Top，其将等逻辑空间X映射到关联商QX = X和一个态射 F：XY到连续映射Qf = f： XY. 这里的顶部是 所有拓扑空间和连续映射的范畴，因为相关的商不必是可数基的或T0。显然，Q是一个忠实的函子，并且不难看出它不是满的。Menni和Simpson [19，18]证明了存在Equ的一个最大子范畴C，使得限制于C的Q是满的。他们研究的是从所有可数基拓扑空间构建的等逻辑空间，而不仅仅是T-空间，但他们的结果仍然成立当我们把它们限制在T0-空间时。我们限制在T-空间，因为Schr？oder给出了T0-空间的结果. 下面我们总结一下[19，18]中的定义2.1拓扑空间X的子集S X是序列开的，当每个在S中有极限的序列最终在S中。拓扑空间X是序列空间，当每个序列开集VX在X中是开的。序列空间和它们之间的连续映射的范畴用Seq表示。鲍尔6定理2.2序列空间构成一个包含ω Top 0的范畴.包含ωTop0→Seq保留了ωTop 0中已经存在的有限极限和所有指数。证据这是众所周知的，并且可以从以下事实得出：Seq是极限空间的笛卡尔闭范畴Lim的反射子范畴[15]，并且反射保持积。✷定义2.3设X∈ωTop0且q：X→Y是连续映射。则称q是ω-投影的，当对任意Z∈ωTop0和任意连续映射f：Z→Y存在提升g：Z→X使得f=q<$g。当正则商映射q X：|X| →X是ω-投影的。Equ在ω-投射等逻辑空间上的全子范畴记为EPQ0.设PQ0是存在ω-投影映射q：X→Y的T0-空间Y的范畴.PQ0代表定理2.4（MenniSimpson& [19]）范畴PQ0是Seq的一个Cars闭子范畴，EPQ0是Equ的一个Cars闭子范畴，并且范畴PQ0和EPQ0通过伴随商函子Q的限制是等价的：EPQ0→PQ0.证据参见[19]。事实上，Menni和Simpson证明了PQ0是Equ和Top的最大公共子范畴C，使得限制到C的Q是满的。✷3第二类电化学在这一节中，我们回顾第二类电子迁移率的基本设置。Baire空间B=NN是自然数的所有无穷序列的集合，具有乘积拓扑。设N是自然数的所有有限序列的集合，号码 有限序列a的长度表示为：|一|. 如果a，b∈N，我们当a是b的前缀时，写a±b。类似地，当a是前缀时，我们写a±α一个无穷序列α∈B。B的可数拓扑基由基本开集组成，对于a∈N∈ N，..- 是 的.Σa：：B=α：：β。β∈ B=α∈B。a± α。表达式a：：β表示有限序列a∈N的级联与无限的e。昆角eβ∈B。对于n∈N，我们写n：：β而不是[n]：：β，β∈B。 基地a：：B。a∈ N是拓扑的闭闭可数基这意味着B是一个基于可数的0维T0-空间。回想一下，当一个空间的闭子集形成其拓扑的基时，该空间是0维的。一个0维的T0-空间总是豪斯多空间.为了得到Baire空间表示的简单拓扑描述，我们需要刻画B的子空间和那些部分连续的子空间，鲍尔7→×∈|映射B~B，可以编码为B的元素。这是由B的嵌入和扩张定理完成的，我们将在下面证明。定理3.1（B的嵌入定理）拓扑空间是0维可数基T0-空间当且仅当它嵌入B。证据显然，B的每个子空间都是基于可数的0维T0-空间 苏pos e. X是一个可拓基的0维T0-空间，ablebasek. k∈N的闭集。定义映射e：X→B，ex= λn ∈ N。（如果x ∈ U n，则1，否则0）。很容易检验e是拓扑嵌入。✷对于拓扑空间X和Y，当定义域f：dom（f）Y的限制是连续（全）映射时，称部分映射f：XY是连续的，其中dom（f）具有从X继承的子空间拓扑.不要求dom（f）是X的开子集。我们考虑部分连续映射B~B，并刻画了那些可以被编码为B的元素的部分连续映射。给定n个b的有限序列a=[a0， . ，ak-1]，令seqae是a作为自然数的编码k−1seq[a0， . ，ak−1]=i=0时pi1+ai，其中pi是第i个素数。 对于α ∈ B，令αn = seq [α 0，...，α（n − 1）]。对于α，β∈B，定义α* β为α*β = nm∈N..Σα（βm）= n +1k< m。α（βk）= 0。如果不存在满足上述条件的mN，则α* β是unfined。因此，*是部分运算BB~N。它是连续的，因为α* β的值仅取决于α和β的有限个前缀。连续函数应用Q|Q：B×B→N~N定义为：（α|β）n = α*（n：：β）。Baire空间B与|是部分组合代数，其中α |β被认为是未定义的，当α|β不是全函数，详见[13]。每个α∈B表示一个部分函数ηα：B~B，定义为ηαβ = α|β。当存在α∈B使得f=ηα时，我们称部分映射f：B~B是可实现的.这样的α称为f的实现子。因为是一个连续的操作，一个已实现的映射总是连续的，尽管不是每个局部的鲍尔8Σ实现了连续映射。回想一下，Gδ-集是等于开集的可数交集的集合。命题3.2如果U∈B是Gδ-集，则函数u：B~B定义为通过实现了uα=.λn：N。 1 α∈U，未定义，否则证据集合U是基本集合的可数并的可数交，开集，U=i∈Nj∈Nai，j：：B.对所有i，j∈N，定义一个序列n∈B，（seq（i：：ai，j））= 2，并对所有其他参数n设置显然，如果η∈α是total则其值为λn。1，所以我们只需要验证dom（η）= U。 如果α ∈dom（η），则对每个i ∈ N定义有n*（i：：α），因此存在ci ∈ N使得n *（seq（i：：[α 0，.，α（ci）]））= 2，这意味着α∈ai，ci. 因此α∈i∈Nai，ci：：B<$U.相反，如果α∈U，则对于每个i∈N，存在一些ci∈N使得α∈ai ，ci. 对于每一个i ∈ N，有n（seq（i：：[α 0，.， α（ci）]））= 2，因此（ηα）i = η *（i：：α）= 1。 因此，α∈dom（η）。✷推论3.3设α∈B，U∈B是G δ-集. 则存在β∈B使得对于所有的γ∈dom（ηα）<$U和dom（ηβ）= U <$dom（ηα），η α γ = η β γ。证据根据命题3.2，存在β∈B使得对所有β∈B.ηβ=λn：N。 1 β∈U，否则，不确定。它表明，函数f：B~B定义为（fβ）n=（（ηα β）n）·（（ηα β）n）实现了这是因为实现了序列的坐标乘法，以及配对和合成。✷定理3.4（B的扩张定理）（a）每个部分连续映射B~B都可以扩张为一个已实现映射。(b)实现部分映射B ~ B就是定义域为G δ-集的连续部分映射。证据（a）设f：B~B是部分连续映射。考虑集合AN×N2定义为：..A=na，i，jn ∈ N n Nn n× N2.a：：B dom（f）/=且α ∈（a：：B dom（f））. （（fα）i = j）.如果∈A，∈A和a±aJ则j=jJ，因为存在α∈aJ：：Bdom（f）<$a：：Bdom（f）使得j=（fα）i=jJ.我们定义鲍尔9∈ ⟨ ⟩ ∈S→→∈||||→∈||ǁ ǁ → ǁ ǁ∈∈⊆∈序列φB如下。 对于每一个a，i，j，令φ（seq（i：：a））=j+ 1，对于所有其他参数，令φn= 0。设φ（seq（i：：a））=j+ 1，其中i，j∈N，a∈N≠0。 则对于每个前缀aJ±a，φ（seq（i：：aJ））= 0或者φ（seq（i：：aJ））=j+1。因 此 ，如果a，i，j<$∈ A且a ± α，则φ*（i：：α）= j。证明了对所有的α∈dom（f）和所有的i∈N，（ηφα）i=（fα）i.因为f是连续的，所以对所有α∈dom（f）和i∈N，存在<$a，i，j<$∈A，使得a±α和（fα）i=j。 现在我们得到（ηφα）i =（φ|α）i = φ*（i：：α）= j =（fα）i.(b)首先证明了ηα是一个连续映射，其定义域是Gδ-集.它是连续的，因为（ηαβ）n的值仅取决于n和α和β的有限个前缀。ηα的定义域是Gδ-集..Σdom（ηα）=β ∈ B. n ∈ N。（（α |β）n定义）..- 是的.Σ=n∈Nβ∈B。 （α |β）n定义=n∈Nm ∈Nβ∈B。α*（n：：β）= m 。..Σ每个集合β∈B。α*（n：：β）= m 是开的，因为 * 和：：是连续的。连续操作。设f：B~B是定义域为Gδ-集的部分连续函数。根据该定理的（a）部分，存在φ∈B使得对所有α∈dom（f），fα=ηφα.由推论3.3可知，存在n∈B使得dom（ηφ）=dom（f），且对任意α∈dom（f），ηφα=ηφα。✷一个Baire空间表示，或简称为一个表示，是一个部分满射δS：B~S，其中S是一个集合。一个集合S的表示δS：B~ S在S上导出一个商拓扑，定义为：USopen δ−1（U）open in dom（δ S）.我们用δS表示具有由δ S诱导的商拓扑的拓扑空间S。一个已实现的映射f：（S，δS） （T，δ T）是函数f：S不是那么 证明了存在跟踪f的部分连续映射g：B~B，即dom（f）dom（g），且对每个αdom（f），f（δSα）=δT（gα）.一个已实现的映射f总是连续的，如映射f：ST。 Baire空间表示和已实现映射的范畴用Rep（B）表示。范畴Rep（B）等价于PER模型PER（B），其中B具有第二Kleene代数的结构。PER（B）的对象是B上的部分等价关系。如果A是B上的PER，当我们把它看作一个对象时，我们用A表示它，当我们把它看作一个二元关系时，我们用=A对于A，BPER（B），我们说αB实现态射[α]：A B，当对所有β，γB，如果β=Aγ，则定义α β和α γ，且α β=Bα γ。这里α和αJ实现相同的态射，[α]=[αJ]，当，对于所有β，γB，β=Aγ意味着α β=BαJγ。Rep（B）和PER（B）为每个表示δS：B~S分配PER =S，定义为：α = Sβδ S（α）= δ S（β）。如果f：（S，δS）→（T，δT）是Rep（B）中的一个已实现映射，由g：B~B跟鲍尔10踪，则鲍尔11ǁǁ→芽孢杆菌中根据扩张定理3.4，存在α∈B，使得ηα是g的连续扩张。在等价Rep（B）PER（B）下，态射f对应于态射[ηα]。 最重要的后果是等价性是Rep（B）是正则局部Carnival闭范畴，因为每个PCA上的PER模型都是这样的类别[4]。例如，PERA，B∈PER（B）的指数BA定义为：α = BAαj β，γ∈B。（β = Aγ = A（α|β）↓ = B（αJ|γ）↓）。不幸的是，这种对指数的描述在特殊情况，它完全掩盖了指数的拓扑性质在许多重要的情况下，更好的描述是可用的，参见。定理4.5.在TTE中，我们通常对拓扑空间的表示感兴趣由于这个原因，重要的是用一个表示（X，δX）来表示拓扑空间X，该表示与X的拓扑有合理的关系。一个明显的要求是X的原始拓扑应该与X的商拓扑一致。然而，正如TTE学派所熟知的那样，这一要求太弱了，因为它允许行为不端的表示。拓扑空间表示的一个理想条件是它们之间的所有连续映射都是可实现的。因此，我们被引导进一步限制拓扑空间的允许表示如下。定义3.5拓扑空间X的容许表示是部分连续商映射δ：B~X，使得每个部分连续映射f：B~X都可以通过δ分解。这意味着，g：B~B使得对所有α∈dom（f），fα=δ（gα）.这个定义的主要结果是：如果δX：B~X和δY：B~Y是容许表示，则每个连续映射f：X→Y是可实现的，反之，每个尊重δX和δY的实现子导出一个连续映射XY。允许表示δ：B~X是商映射的要求意味着X是序列空间，因为它是序列空间dom（δ）的商很容易证明任何两个容许表示在Rep（B）中是同构一个显而易见的问题是，哪些序列空间有容许的表示。定义3.6假设AdmSeq是Seq在那些序列上的完整子类别T0-空间有容许的表示。Schr？der[22]对AdmSeq的特征如下。定义3.7[Schréoder[22]]空间X的伪基是X的子集族B，满足当v er n ∈N时 →O（X）x∞且x∞∈U∈O（X），则存在B∈ B，使得x∞∈B<$U且<$xn<$n∈N实际上是鲍尔12∈××定理3.8（Schrüder[22]）序列空间有容许表示当且仅当它是T0且有可数伪基.由定理3.8的Schr？oder公式，我们得到了一个特殊的结果。密斯湾责任范围表示δ对于具有可数伪基的T0-空间X，定义为δ（α）=xB k. k∈N，k ∈ N。 （x ∈ B αk）U ∈ O（X）. （x ∈ U =n ∈ N. B αk U）。上面的公式说，当α枚举（f的指数）一个伪基o penneig hborh odso的序列时，α是x的δ-表示。fxt。hatgettubarbi-非常小。 设X是具有可数基Uk的T0-空间. k∈N，我们可以使用等价但更简单的容许表示δJ，定义为..- 是 的.ΣδJ（α）=xU αk。k∈ N =U n. n ∈ N <$x ∈ U n。上面的公式表明，当α枚举x的基本开邻域时，它是x的δJ-表示。如果XAdmSeq，则其容许表示被确定为Rep（B）中的同构因此，AdmSeq等价于Rep（B）在容许表示上的全子范畴，使得AdmSeq可以被认为是Rep（B）的子范畴由Sc rr？der[22]得到的以下结果告诉我们，将AdmSeq包含到Rep（B）中保持了carbohydrate封闭结构。定理3.9（Schrder[22]）对于序列T0-空间X和Y，Let（X，δX）和（Y，δY）是容许的表示. 则乘积（X，δ X）在Rep（B）中形成的（Y，δY）是Seq中的乘积XY形式ed的容许表示，并且类似地，Rep（B）中的指数（Y，δY）（X，δX）形式ed是Seq中形成的指数Y X的容许表示。4Rep（B）作为 Equ的子范畴在本节中，我们将Rep（B）描述为等逻辑空间的一个完全子范畴然后我们研究了Rep（B）→Equ的包含性质。定义4.1 0-等逻辑空间是一个等逻辑空间，其基础拓扑空间是0维的。范畴0Equ是Equ在0-等逻辑空间上的全子范畴因此，0Equ就像Equ一样形成，其中我们使用0Dim而不是ωTop0。定理4.2范畴0 Equ、Rep（B）和PER（B）是等价的。证据 我们证明了0Equ和PER（B）是等价的，因为我们已经知道PER（B）和Rep（B）是等价的。根据嵌入定理3.1，可数基T0-空间是0维的当且仅当它嵌入B。因此，每一个0-等逻辑空间同构于一个其基础拓扑鲍尔13E空间是B的子空间。这表明0维可数基T0-空间上的等价关系对应于B上的部分等价关系。态射也成立，因为根据B3.4的扩张定理，B上的每一个部分连续映射都可以扩张到一个已实现的映射。✷包含函子I：0Equ→Equ有一个右伴随D：Equ→0Equ，定义如下。对于每个可数基T0-空间X，存在一个容许表示δX：B~X.子空间X0=dom（δ）<$B是一个基于可数的0维Hausdor空间。如果X =（|X|，<$X）是一个等逻辑空间，设DX =（X0，<$DX）其中a<$DXb当且仅当δ Xa <$Xδ Xb.如果f：X→Y是等式中的态射，由g跟踪：|X| → |Y|，则Df是跟踪g：X→Y的连续映射h：X0→ Y0跟踪的态射，如以下交换图所示：X0hY0δX δYJ JXgY这样一个映射h的存在是因为δX和δY被选为可容许的表示。伴随ID的主要性质总结在下面的定理中。定理4.3(i) 函子I和D是一个截面和一个收缩，即，DI自然等于10Equ。(ii) 我是完全和忠实的，并保留可数的极限和限制（这正是所有的限制和极限，存在于Equ）。(iii) D是忠实的，并保持可数极限和上极限（这是精确的所有极限和上极限存在于0 Equ）。(iv) D不是满的，但它对EPQ 0的限制是满的。证据（i）这是由一个一般范畴论的论证得出的，这个论证来自于这样一个事实，即我是完全的和忠实的，参见。[11，命题3.4.1]的对偶(ii) 显然，I是完全的和忠实的，因为它只是一个完全子范畴的它保持上极限，因为它是一个左伴随，它保持极限，因为包含0Dim→ωTop0。(iii) 很明显，D是忠实的，它保留了限制，因为它是右伴随D保持有限余限可以被显式地证明，它也可以从[17，命题2.5.11]中得出D保持可数余积成立，因为容许表示的可数余积也是容许表示。(iv) 如果D是满的，那么由[11，命题3.4.3]可以得出：鲍尔14◦→E|| ||E附加项η：ID1Equ的计数是一个自然同构，而不是自然同构. 例如，ηR不是自然同构，其中R是配备有欧几里得拓扑的实数，因为每个态射R → I（DR）是常数，因为它必须被从R到0维Hausdor空间的连续映射跟踪|I（DR）|.然而，当D被限制为EPQ0时，我们可以证明它是满的，如下所示。设X，Y∈EPQ0，令r X：X0→|X|Y：Y0→|Y|是可接受的陈述。设f：DX→DY是连续映射g：X0→Y0. 情况如下图所示GX0Y0rX rYJhJ|X|QXJFX|Y|QYJǁY ǁ因为qY是ω-投影的，所以f由箭头h：XY跟踪，这样下面的正方形就可以交换。因此f是等式中的态射，因此Df=f。✷注4.4由于I和D都保持所有存在的极限和上极限，人们想知道它们是否还有任何进一步的伴随。3.情况似乎并非如此。人们可以尝试将范畴Equ和Rep（B）嵌入到更大的范畴中，并扩展I和D，希望可以通过这种方式获得“缺失的”伴随。这个想法是在[2]中提出的，用于PER模型之间的一般适用性回缩ID。PER模型被嵌入到合适的位置的滑轮在PCAs。然后，附加词ID这使得可以应用[3]中的逻辑转移原理来证明某类一阶句子在Equ的内部逻辑中有效，当且仅当它在Rep（B）的内部逻辑中有效。下一个问题是I和D是否保持任何指数。定理4.5(i) 限定于EPQ 0的函子D保持指数。(ii) 若X，Y ∈ 0 Equ，且在ωTop0中存在一个0维弱指数，|X|和|Y|，那么我保持指数Y X。(iii) 函数I保留自然数bers对象N，指数NN和2N，以及柯西函数的对象R c。3注意Equ和0Equ只是可数完备和余完备的，所以我们不能直接应用伴随函子定理。鲍尔15∈×0ǁ ǁ≡◦|| → ||C(iv) 函子I一般不保指数。特别是，它不保留NNN。证据（i）这是从第5节中得到的结果得出的，因此我们把证明推迟到那时。可以在第16页找到(ii) 如果W0Dim是X和Y在ωTop0中的弱指数，则它也是X和Y在0Dim中的弱指数。因此，如第2节所述，从Equ中的W构造Y X与0Equ中的构造一致。(iii) Baire空间NN和Ca ntor空间2Nb都满足（ii）的条件. 对象Rc的实节点数是N的正则引号2N[4，命题5.5.3]，并且左伴随I保持它，因为它保持N，2N，pr oducts和c o均衡器。(iv) 设X=NNN 在0 Equ中，令Y=NNN 在Equ. 的空间|X|是一个豪斯多空间。的空间|Y|是Scott整环DY= [ N <$ω→ N<$]的所有元素的子空间。上的等价关系|Y| D Y的相容性关系限制为|Y|.假设f：|Y| → |X|表示同构，并令g：|X|→ |Y|代表它的逆。 因为f在特殊化顺序中是单调的，|X|有一个平凡的特化阶，则a Y b意味着fx=fy。因此，gf：Y Y是一个等变收缩。根据[4，命题4.1.8]，Y是一个拓扑对象。通过[4，Corol-lary 4.1.9]，这将意味着拓扑商Y是可数基的，但它不是，这是众所周知的。 另一种证明Y不能拓扑的方法是观察Y是Baire空间的指数，但Baire空间在ωTop中不是指数的，特别是NNN 不是方程中的拓扑对象。✷注4.6在[2]中，我们使用了Equ和Rep（B）证明I也不保持RRc。正如在引言中已经提到的，我们可以通过应用Longley关于部分组合代数的应用态射之间的应用映射的理论[17]来获得这一节的结果Lietz [16]用这种方法比较了RT（PN）和RT（B）的可实现性。5Equ和 Rep（B）的一个公共子范畴在第2节和第3节中，我们看到序列空间包含Carnival闭子范畴PQ0和AdmSeq，它们也分别是Equ和Rep（B）的Carnival闭在本节中，我们证明PQ0和AdmSeq是同一个类别。..Σ引理5.1假设B =B i. i∈N是空间的可数伪基Y.设X是第一可数空间，f：X→Y是连续映射。对每个x∈X和fx的每个邻域V，存在x和i∈N的邻域U使得fx∈f（U）<$Bi <$V。鲍尔16→◦证据注意，伪基的元素不一定是开集，所以这不仅仅是f的连续性的一个平凡结果。我们用反证法证明了设有x∈X和fx的邻域V使得对于x的每个邻域U和对于每个i∈N，如果Bi<$V则f<$（U）/<$Bi。设U0<$U1<$···是一个降序连续表，系统X。设p：N→N是一个满射映射，对于所有k，j ∈ N，存在i ≥ k使得pi = j。 对任意i∈N，ifBpi<$V则f<$ （Ui）/<$Bpi. 因此，对于每一个i∈N，存在 xi∈Ui，使得如果Bpi≠V，则f xi/∈Bpi。 序列<$xn<$n∈Nωn变化到x，因此<$fxn<$n∈N c nvergestofx. 因为B是伪基，所以存在j∈N，使得Bj<$V，并且存在n ∈fxn <$n∈N从第k项开始，实际上在Bj中。 存在i ≥ k使得pi = j。现在我们得到fx i∈B pi<$V，这是一个矛盾。✷定理5.2 PQ0和AdmSeq是同一范畴。是的。由Scrr？edindeepentlyobservedbyScr？edPQ0isafullsubcategoryofAdmSeq ， which is the easier of the twoinclusion.证据如下。 设q：XY是一个ω-投影商映射. 我们需要证明Y是一个具有容许表示的序列空间。它是序贯的，因为它是序贯空间的商。存在一个容许表示δX：B~X. 设δY=q δX。 设f：B~ Y是一个连续部分映射.因为q是ω-投影的，f提升通过X，并且因为δX是一个可容许的表示，它进一步提升通过B。它仍然需要证明相反的情况，即如果序列T0-空间X存在一个容许表示则存在一个ω-投影商q：Y→X。Sin.ceX. 有一个可接受的表示，它有一个计数表，假碱B =Bi. i∈N，定理3.8。 幂集PN按下式排序包含是代数格。 我们装备它W。与S. cotttoopuzzology，which由次基本开集生成↑n=q：PN~X是一个部分映射，定义为：qa=xa∈PN。n∈ a，n∈N. 让（U∈ O（X）. （x∈U = n∈a. B nU）。映射q定义得很好，因为qa=x和qa=y意味着x和y共享相同的邻域，所以它们是T0-空间X的相同点。此外，q是满射，因为B是伪基。为了证明p是连续的，假设pa=x且x∈U∈ O（X）。存在n∈N使得x∈Bn<$U。如果n∈b∈dom（p），则pb∈Bn<$U。因此，a∈ ↑n和p<$（↑n）<$Bn<$U，这意味着p是连续的。设Y=dom（p）。让我们证明q：Y→X是ω-投影的。设f：Z→X是连续映射，且Z∈ωTop0.定义一个映射g：Z→ PN，..Σgz=n∈N。 O（Z）是一个空间。 （z∈U<$f<$（U）<$Bn）。鲍尔17∈ ⊆ ⊆∈、、根据定义，映射g几乎是连续的。的确，如果gz∈ ↑n，则存在z的一个neighborhodU，使得f∈（U）<$Bn，但则g∈（U）∈↑n。为了完成证明，我们需要证明对所有z∈Z，fz=p（gz）。如果n∈gz，则fz∈Bn，因为存在U∈O（Z），使得z∈U且f∈（U）<$Bn.如果fz∈V∈ O（X），则根据引理5.1，存在U∈ O（Z）和n∈N，使得zU和f（U）Bn联合 因此，ngz。 这表明fz=p（gz）。✷注5.3MatthiasSchrüder最近指出，如果序列T0-空间X作为B的一个子空间的拓扑商出现，则X有一个容许表示。这个结果包含了定理5.2，同时也给出了PQ的一个很好的刻画：它恰好是所有T0-空间它们是可数基T0-空间的拓扑等价物（当T0条件被丢弃时，类似的特征也成立）。下图概括了类别之间的关系Seq，_EquPER（PN），，，，，ωTop0PQ0=AdmSeq ，，，，，，IED（一），JZ0E_quRep（B）PER（B）未标记的箭头是完整的和忠实的包含，保留可数极限和可数余积。其中包含ωTop0→PQ0保持了ωTop0中的所有指数，其余三个未标号包含保持了Carnival闭结构.包含两个包含体和核心包含体D的右侧三角形交换为自然同构（而包含体I的右侧三角形则不是）。我们还需要证明定理4.5（i），即限定于EPQ0的D保持指数。但这一点现在很明显，因为涉及D的右边三角形是对易的。6Equ和 Rep之间的传输结果（B）对应关系（1）解释了为什么Domain理论计算模型与TTE研究的计算模型如此一致--只要我们从可数基T0-空间开始，只通过乘积、余积、指数和正则子空间来构建空间，我们就保持在PQ0中，PQ 0是等逻辑空间和TTE的公共Caribbean闭核。作为转移结果的第一个例子，我们将Kleene-Kreisel可数泛函[12]的特征从Equ转换为Rep（B）。 文[6]证明了迭代指数N，NN，NNN，. . . 物体N的自然数，，鲍尔18P→∈→|| →∈||是Kleene-Kreisel可数泛函。因为N也是Rep（B）中的自然数对象，并且它属于PQ0，所以Rep（B）中出现相同的命题6.1在Rep（B）中，指数N，NN，NNN，. 由自然数对象N构造的，对应于Kleene-Kreisel可数泛函.作为第二个例子，我们考虑Equ和Rep（B）的内部逻辑之间的转移。因为Equ和Rep（B）分别等价于可实现性模型PER（N）和PER（B），所以它们允许一阶直觉逻辑的可实现性解释。这一点在[4]中已经详细阐述在内部逻辑中工作通常是有利的，因为它让我们抽象地和概念性地讨论对象和态射。我们永远不必明确地提到态射的实现子或底层的拓扑空间，这使得论证更加明晰。每个可以在内部逻辑中定义的映射都是自动实现的（并且是可计算的，如果我们使用可实现性模型的可计算版本）。假设我们想使用内部逻辑来构造一个特殊的映射f：X→Y，其中X，Y∈PQ0。例如，我们可能想定义积分算子I：R[0，1]→R，If=∫1f（x）dx.0X和Y可能更服从Rep（B）的内部逻辑，而不是Equ的内部逻辑，反之亦然。在这种情况下，我们可以选择更好的内部逻辑并在其中工作，因为如果映射f：XY在一个内部逻辑中是可定义的，那么它在Equ和Rep（B）中都作为态射存在。让我们看看这在定积分的情况下是如何实数R在Rep
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