Xn+=X= ax+αx+β x+γ x++--Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）28原创文章一类高阶有理差分方程的动力学性质M.M. El-Dessokya，ba阿卜杜勒阿齐兹国王大学理学院数学系，P.O. Box 80203，吉达，沙特阿拉伯bMansoura大学理学院数学系，Mansoura 35516，埃及Ar ticlei n f o ab st ract文章历史记录：2015年11月24日收到2016年1月19日修订本文的主要目的是研究差分方程2016年6月29日接受y=ay+by+Cy+dyn−k+eyn−s，n=0，1，. . . 、2016年7月20日在线发布n+1n n−tn−lαyn−k +βy n−sMSC：39A1039A1139A9934C99保留字：差分方程稳定性全局稳定性有界性周期解具有正参数和非负初始条件。最后给出了差分方程的数值例子来解释我们的结果。版权所有2016，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 介绍差分方程的形式虽然看起来很简单，但要彻底理解其周期特征是非常困难的Raafat[15]研究了微分方程A−Bxn−1性质、解的有界性及整体性态。非线性有理差分方程的研究xn+1=±C+Dxn−2 ，n=0，1，. . .、由于我们对这类方程知之甚少，所以高阶方程是极其重要的。值得指出的是，尽管已经开发了几种方法来寻找差分方程的整体性质，但相对来说，其中A、B是非负实数，C、D是正实数num b ers±C+Dxn−2/=0且对于所有n≥0。Alaa[16]研究了全局稳定性、持久性和递归序列的振荡性然而，对差分方程的解还没有完全理解[1Xn+1=α + xn−1，n = 0，1，. . . 、近年来，非线性差分方程引起了许多研究者的兴趣，例如：Kalabušic等人。[12]研究了周期性，约束，其中α是负数，初始条件x−1x0是负数。和edness特征，以及差分方程Obaid等人[17]研究了全局稳定性特征，递归序列解的有界性和周期性Xn+1=pnxn−1，n0，1，. . . 、xn−2bxn−1cxn−2dxn−3n+1nn−1n−2n−3其中序列pn是周期性的，周期k2=2， 3，具有正项，并且初始条件是正的。电子邮件地址：dessokym@mans.edu.eg其中参数a、b、c、d、α、β和γ是正实数，初始条件x−3、x−2、x−1和x0是正实数。Zayed在[18]中研究了非线性方程组非负解的全局稳定性和渐近性http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.06.0101110-256X/Copyright 2016，Egyptian Mathematical Society. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊首页：www.elsevier.com/locate/joems、+=δ--δ≥−n=−δn+1αy+βyn+1埃什基--M.M. El-Dessoky/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）28-3629差分方程（iv）差分方程的平衡点y。 (2) 被称为Xn+1=Axn +BXn−kpxn+ xn−k，n0，1，. . . 、q+xn−k全局渐近稳定，如果y是局部稳定的，并且y也是差分方程的全局吸引子。（二）、（v）差分方程的平衡点y。(2)被称为非-其中参数A，B，p，q和初始条件x-k，. . .，x-1，x0是任意正实数，而k是正整数。El-Moneam[19]得到了非线性差分方程正解的周期性、有界性和全局稳定性如果y不是局部稳定的，则为稳定。定义3（周期性）。 一个序列{yn}∞n= −δ称为周期为p的双周期序列，如果对所有n δ ， xn+p= xn. 序列yn∞如果p是具有该性质的最小正整数，则称为具有素数周期pX= Ax+BX+CX+DX+bxn−k，定义4. 当量（2）被称为永久的和有界的，如果有前-n+1nn−kn−ln−σdxn−k -exn−l是数m和M，其中0m M<<∞，使得对于任何 N。定义5. 的线性化 方程 的的差异当量(2)关于平衡点y的线性差分方程y=ay+by+Cy+dyn−k+eyn−s，n=0，1，. . . 、（1）n−kx=.F（y，y，. . . ，y）xi=0时n−i.（三）其中初始条件x−δ，x−δ+1 . . .，x−1和x0为正数其中δ=max t，l，k，s，系数a，b，c，d，e，α和β为正实数。2. 一些基本定义设I是实数的区间，现在，假设与以下方程相关联的特征方程：(3) 是p（λ）= p0λ δ+ p1λ δ−1+. + pδ−1λ + pδ = 0，（4）其中F（y，y，. . . （y）F：我δ+1 →我，pi=.n−i是一个连续可微函数。 则对每一组初始条件x−δ，x−δ+1，. . . ，x0 ∈ I，差分方程yn+1= F（yn，yn−1，. . . ，yn−δ），n= 0，1，. . . 、（二）定理1[3]. 设pi∈R，i=1，2，. . .，δ和δ是非负整数。然后.|p i|<一、有唯一解n{yn}∞n.=−δi=1定义1（平衡点）。点y∈I称为差分方程的平衡点. （2）如果y= F（y，y，. . . ，y）。也就是说，y n=y（n≥ 0）是差分方程的解。(2)或者说，y是F的一个不动点。定义2（稳定性）。设y∈（0，∞）是差分方程的平衡点。（二）、然后，我们有(i) 平衡点y的差异方程。(2)称为局部稳定的，如果对于每个<$>0，存在δ>0，使得对于所有y−δ，. . . ，y−1，y0 ∈ I，其中|加...|+... +的|y−1− y|+的|y0− y|<δ，我们有|»对于所有|<‹for all n≥ −δ。(ii) 平衡点y的差异方程。(2)称为局部渐近稳定，如果y是局部稳定解当量(2)且存在γ> 0，使得对所有y−δ，. . .，y−1，y0∈I，是差分方程渐近稳定的充分条件xn+δ + p1xn+δ−1+. + pδx n= 0，n= 0，1，. .定理2[4]. 设g：[η，η]δ+1→[η，η]是连续函数，其中δ是正整数，[η，η]是实号码考虑差分方程yn+1= g（yn，yn−1，. . . ，yn−δ），n=0，1，. .（五）假设g满足以下条件。(1) 为每个整数我与1 ≤i≤δ+1;的功能g（z1，z2，. . . ，zδ+1）在zi中弱单调，如果zi≥z′i然后g（z1，z2，. . . ，zi−1，zi，zi+1，，zδ+1）>g（z1，z2，. . . ，zi−1，z′i，zi+1，，zδ+1）。(2) 如果m，则M是系统的解m= g（m1，m2，. . . ，m δ+1），M = g（M1，M2，，Mδ+1），则m=M，其中对于每个i=1， 2，，δ+ 1，我们设置. m，如果g在z i中不减，|y−δ − y|加... +的|y−1− y|+的|y0−y|<γ，我们有mi=和如果g在ziLimn→∞y n= y。nn−tn−ln−sn−iMi=.M， 如果g在z i中不减(iii) 平衡点y的差异方程。（ 2）被称为全局吸引子，如果对所有的y−δ，. . .，y−1，y0∈I，我们有m，如果g在z i中不增加。那么方程的平衡点y正好存在一个。(5)得双曲正弦值.Limn→∞y n=y。所有的Eq。(5)收敛到y。=v=c34=p，=+=p。（七）....<+1，=（α+β）2.2=4个=5个...（α +β）（d+ e）。30点El-Dessoky / Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）283. 局部稳定性在这一节中，我们研究了方程平衡点的局部稳定性。（一）.当量（1）具有平衡点，由下式给出：y=ay+by+cy+dy+ey，或（1−a−b−c）y=d+e4. 全球稳定在这一节中，我们研究了方程正解的全局稳定性。（ 一）.定理4. 平衡点y是方程的全局吸引子。（一）有下列情形之一的：αy+βy如果a+b+c<1，则唯一平衡点为yd + e。（1−a−b−c）（α+β）α+β(i) dβ−αe 0，a+b+c <1。(ii) αe−dβ0，a+b+c <1。证据 设r和s为非负实数，并假设设f：（0，∞）5−→（ 0，∞）是一个连续函数，定义如下：g：[r， s]5→[r， s]是由下式定义的函数：g（v，v，v，v）= av+bv+cv+dv3+ev4。f（v，v，v，v）= av+bv+cv+dv3+ ev4。（六）0 1 2 3 40 1 2αv+βv0 1 2 3 40 12αv3 +βv43 4然后因此，f（v，v，v，v，v）34f（v，v，v，v，v）34g（v0，v1，v2，v3，v4）=a，=b，0 120.0000=a，0 12B1=b，0.0000g（v，v，v，v，v）B1v0，v1，v2，v3，v4吉夫=c，0 1 2 3 422g（v，v，v，v）（dβ−αe）vg（v，v，v，v，v）v0，v1，v2，v3，v4（dβ−αe）v4v0，v1，v2，v3，v40 1 2 3 4四、零1 2 3 4B3=（αv+βv）2，BZ4B3（α β）v（αv3+βv4）2BZ4（αe−dβ）v=e − d3.3 .第三章 。（αv3+βv4）2（αv3+βv4）2那么我们看到，f（y， y， y， y，y）f（y， y， y，y， y）我们考虑两种情况：情形1：Letdβ−αe>0，a+b+c1，且e−d/=0为真，0.0000=a=p1，B1=b=p2，那么我们可以很容易地看到函数g（v0，v1，v2，v3，v4）在-在V0、V1、V2、V3中增加，而在V4中减小。假设（m，M）为f（ y， y， y，y， y）吉夫=c=p3，系统的解决方案2f（y， y， y， y，y）3=dβ−αe（α+β）（1−a−b−c）（α+β）D+eM=h（M，M，M，M，m）和m=h（m，m，m，m，M）。从EQ。（1）我们看到，（dβ−αe）（1−a−b−c）（α+β）（d+e）M aM bM cMdM+ emαM+βm m=am+bm+cmf（y，y，y，y，y）.αe − dβ。（1 − a − b − c）（α+ β）+dm+eM（αe−dβ）（1−a−b−c）（α+β）（d+e）然后α（1−a−b−c）M2+β（1−a−b−c）mM=dM+em，方程的线性化方程(1) 关于y，是yn+1 = p 1 yn + p 2 yn−t + p 3 yn−l + p 4 yn−k + p 5 yn−s。第三章. 假定e，dβf=αe，1>a+b+c，2|（dβ − αe）|<（α + β）（d + e）（8）则Eq.的平衡点y。（1）是局部渐近稳定的。证据 从（7）和（8）我们可以推断出：|p1|+的|p2|+的|p3|+的|p4|+的|p5|<1|+的|B|+的|C|+（d β − α e）（1 − a − b −c）（α e − d β）（1 − a − b − c）|+(dβ− αe)(1 − a − b − c) (αe − dβ)(1 − a− b − c)吉夫4D+eαm+β M==-是的Σ|−−−−|α（1 − a − b − c）m2+ β（1 − a − b − c）Mm = dm + eM。减去这两个方程，我们得到（M-m）[α（1-a-b-c）（M+m）+（e-d）]=0，在条件a+b+c/=1和e/=d的情况下，我们看到M=m。 从定理2可以得出，y是方程2的全局吸引子。（一）.情形2：设αe − dβ> 0，a + b + c <1，且（α − β）（1−a−b−c）/=d−e为真，则我们可以很容易地看到函数g（v0，v1，v2，v3，v4）在v0，v1，v2，v4处递增，在v3处递减。设（m，M）是系统的解M=h（M，M，M，m，M）和m=h（m，m，m，M，m）。从EQ。（1）我们看到，M=aM+bM+cM+dm+eM和m=am+bm+cm.（α +β）（d + e）。αm+βM+2（1 − a − b − c）（dβαe）<1abc.（α+β）（d+e）如果1-a-b-c> 0，则然后dM+emαM+β m2|（dβ − αe）|<（α + β）（d + e）。证据是完整的。 Qα（1−a−b−c）Mm+β（1−a−b−c）M2=dm+eM，α（1 − a − b − c）mM + β（1 − a − b − c）m2= dM + em。+ =的==−.Σ.Σ{ }=−==，=−−=++。（）下一页（e−d）（eα（a+b+c）+dβ）（β+α（a+b+c））21（α−β）（a+b+c+1）αβ（e−d）（eα（a+b+c）+dβ）++，M.M. El-Dessoky/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）28-3631减去这两个方程，我们得到（M-m）[β（1-a-b-c）（M+m）+（d-e）]=0，在条件a+b+c/=1和e/=d的情况下，我们看到M=m。从定理2可以得出，y是方程2的全局吸引子。(1).这就完成了证明。Q5. 解的有界性在这一节中，我们研究方程的解的有界性。（ 一）.定理5. 所有的Eq。（1）有界，如果a + b + c <1。因此，我们认为，βp2+αpq=α（a+b+c）q2+β（a+b+c）pq+dq+ep，（10）和βq2+ α pq = α（a + b + c）p2+ β（a + b + c）pq + dp + eq.（十一）通过从（10）中减去（11），我们推导出pqe − d。（十二）β+α（a+b+c）再加上（10）和（11），我们有P roof. Let{yn}∞n当量(1) 的δ是溶液 的 当量 (1). 可见.- 是的Σpq=.yn+1=yn+n−t+cyn−ldyn−k+eyn−s，αyn−k+βyn−s（十三）=ay+by+Cy+dyn−k+eyn−s，其中e> d且α>β。≤aynn−t+byn−l+Cyαyn−k+βyn−sdyn−keyn−sαyn−k +βy n−s设p和q是二次方程nn−tn−lαyn−kDeβyn−st2−（p+q）t+pq=0，≤ay n+by n−t+cyn−l+α+β。yn+1≤zn+1，其中zn+1=azn+bzn−t+czn−l+d+e.e−d线性非齐次方程不难看出，解决方案-该方程的解是局部渐近稳定的，且收敛到平衡点z<$dβ+αeαβ[1−（a+b+c）] 如果a+b+c<1. 我们-β+α（a+b+c）.Σ+2=0（14）根据不等式定理，我们有Eq. （1）是有界 Q定理6. 所有的Eq。（1）无界，如果a> 1或b> 1（β+α（a+b+c））（α−β）（a+b+c+1）因此，我们推断或c>1。P roof. Let{yn}∞nδ这是一个Eq。（一）. 从EQ。（1）我们e-d2β+α（a+b+c）−4（e−d）（eα（a+b+c）+dβ）（β+α（a+b+c））2看到×。0> 0，y=ay+by+Cy+dyn−k+eyn−s>哎f或所有n≥1。（α−β）（a+b+c+1）n+1nn−tn−lαyn−k +βynn− s或我们看到右边可以写为zn+1 =az n.（e − d）（α − β）（a + b + c +1）− 4（eα（a + b + c）+dβ）> 0。然后z n= a n z 0.这个方程是不稳定的，因为a> 1，且lim zn= ∞。然后因此，不等式（9）成立。第二，假设不等式（9）成立。我们将展示Eq。（1）有一个素数周期2解。假设∞n→∞利用比率检验 Y NNδ从上到下是无界的。使用同样的技术，我们可以证明其他案件。Qp（e−d）+p2（β+αA）和q（e-d）-ε，2（β+αA）6. 周期解在这里，我们研究了方程的周期解的存在性。（一）.定理7. 如果t，l，k是偶数，s是奇数，则等式(1)有一个素数周期两个解当且仅当（e−d）（α−β）（a+b+c+1）− 4（eα（a+b+c）+dβ）>0。（九）证据 首先假设存在一个素数周期2解... p，q，p，q，. . . 、等式（ 一）. 如果t，l和k是偶数，s是奇数，则yn=yn−t==−t2−不+.Σ.Σ在那里，d 24（e−d）（eαA+dβ）和AaBC（α−β）（A+1）因此p和q是不同的实数。设置x-t=q，x-l=q，x-k=q，x-s=p，. . .，x−3=p，x−2=q，x−1=p，x0= q。我们想证明x1=x−1=p和x2=x0= q.它来自Eq。（1）yn−l=yn−k和yn+1=yn−s。它来自Eq。(1) 的dq+epD. （e−d）−+ e. （e−d）+adq+ epdp+eqx1=aq+bq+cq+αq+βp=Aq+α2（β+αA）（e−d）−2（β+αA）。+β（e−d）+βp= aq + bq + cq + αq + βp和q = ap + bp + cp + αp + βq。2（β+αA）2（β+αA）=+=+=+=+ΣΣ.22224edeαAdβ+−−+Σ=+.Σα+βα+βα+βα+βα+β2（β+αA）2（αA+β）（eα−dβ）1.（A） 1）AQ.+的（α β）（A1）32点El-Dessoky / Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）28分母和分子除以2（β+αA），我们得到d（（e-d）-）+e（（e-d）+）α（（e-d）-ε）+β（（e-d）+ε）（e+d）（e-d）+（e-d）（α+β）（e−d）+（β−α）即使这样paq bq cqdq+eq，（15）αq+β qDPEPqAPBPCP.（16）αp+βp将右边的分母和分子乘以（α+β）（e−d）−（β−α）从（15）中减去（16）得到x Aq（e-d）[（e+d）+][（α+β）（e-d）-（β−α）]，[（α+β）（e-d）+（β-α）<$][（α+β）（e-d）-（β-α）<$]（e−d）（e+d）（α+β）（e−d）+2（αe−βd）<$−（β−α）<$2=Aq+（α+β）2（e-d）2-（β-α）2<$2，（e − d）<$（e + d）（α + β）（e − d）+2（αe − βd）<$−（β − α）。（e−d）2−4（e−d）（eαA+dβ）=Aq+α βe dβ αe d− +（e-d）<$2（e-d）（αe + βd）+2（αe-βd）<$−。4（e−d）（eαA+dβ）（α−β）（A+1） ，=Aq+4αβ（e−d）2+4（α−β）（e−d）（eαA+dβ）+（A+1），Aq2（e−d）[（αe+βd）（A+1）−2（eαA+dβ）]+2（A+1）（αe−βd）<$，4αβ（e−d）（A+1）+4（α−β）（eαA+dβ）=A （e-d）−ε+（e-d）（αe−βd）（1−A）+（A+1）（αe−βd）ε，=（e − d）A − A+（e − d）（1 − A）+（A +1）=（e − d）+= p。2（αA+β）与以前一样，很容易证明，x2= q。通过归纳，我们得到2（αA+β）.1−a−b−c−d+e（p-q）=0，由于a+b+c+d+e/=1，则p=q。 这是一个很好的广告。因此，在本发明中，x2n =q和x2n+1=p对于所有n ≥−δ。证明完成了。 Q因此，Eq. （1）有素周期的两个解...， p，q，p，q，. . . 、其中p和q是二次方程的不同根。(14)证据就完整了Q下面的定理可以用类似的方法证明。定理10. 当量（1）如果下列陈述之一成立，则没有素数周期解(i) 1+a/=b+c +d+e，l，k，s，t−odd。(ii) 1+a+b+c/=d+e，l，t-even和k，s-odd。定理8. 当量（1）有一个素数周期两个解当且仅当（i）（d−e）（β−α）（1+a+b+c）> 4（dβ（a+b+c）+αe），t，l，s-ev en和k-odd。（ii）（e-d）（α-β）（1+a+c-b）> 4（eα（a+c）+dβ（ 1-b）），l，k − e v en和t，s − odd。（iii）（d−e）（β−α）（1+a+c−b）> 4（dβ（a+c）+eα（ 1−b）），l，s-ev en和t，k-odd。（iv）（e−d）（α−β）（1+a+b−c）> 4（eα（a+b）+dβ（ 1−c）），t，k − e v en和l，s − odd。（v）（d−e）（β−α）（1+a+b−c）> 4（eα（ 1−c）+dβ（a+b）），l，k− odd和t，s-e v en。（vi）（d−e）（β−α）（1+a−b−c）> 4（dβa+eα（ 1−b−c）），t，l，k-奇数和s-e v en。（vii）（e−d）（α−β）（1+a−b−c）> 4（eαa+dβ（ 1−b−c）），t，l，s-奇数和k-e v en。第九章. 如果t、l、k和s是even且a+b+c+d+ef=1，那么方程（1）没有素数周期的两个解。证据 假设存在一个素数周期2解...，p，q，p，q，...， 等式（一）. 我们从Eq看到。（1）当t、l、k和s是=+1xAqα+βα+βα+βα+βα+β(iii) 1+a+d+e/=b+c，k，s-even和t，l-odd。(iv) 1+a+c +d+e/=b，l，k，s-even和t-odd。(v) 1+a+b+d+e/=c，t，k，s-even和l-odd。(vi) 1+a+b/=c +d+e，t−even和l，k，s−odd。(vii) 1+a+c/=b+d+e，l−even和t，k，s−odd。证据 作为前一个定理的证明。 Q7. 数值算例在这一节中，我们提出了一些数字的例子，确认前面几节的结果，并支持我们的理论讨论。这些例子代表了方程组解的不同类型的定性行为。（一）例1. 图1示出了 溶液 的 的 差分方程(1) 当t= 5，l= 4，k= 2，s= 3，a= 0时，局部稳定。15，b=M.M. El-Dessoky/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）28-3633y（n+1）的图=a y（n）+b y（n-t）+c y（n-l）+（（dy（n-k）+e y（n-s））/（alpha y（n-k）+bata y（n-s）3.532.521.510.500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100n图1.一、 画出方程的解的行为。（一）.x 106y（n+1）的绘图=a y（n）+b y（n-t）+c y（n-l）+（（dy（n-k）+e y（n-s））/（alpha y（n-k）+bata y（n-s）765432100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100n图二、 画出方程的解的性质。（一）.0的情况。1，c= 0。2，d= 2，e= 0。5，α= 0。6，β= 1。6和初始条件x−5= 0。2，x−4= 0。7，x−3= 0。5，x−2= 2。1，x−1= 1。1，x0= 0。4.实施例2. 见图（2）当我们取Eq. （1）与t= 5，l= 4，k= 2，s= 3，a= 0。9，b= 0。2，c= 0。3，d= 2，e=0。五，α= 0。6，β= 1。初始条件x−5= 0。2，x−4= 0。七，x−3=0。5，x−2=2。1，x−1=1。1，x0=0。4、溶液不稳定。实施例3. 差分方程组的解。(1)是全局渐近稳定的，如果t = 5，l =4，k = 2，s = 3，a = 0。4，b = 0。03，c = 0。2，d = 3，e =0。4，α = 0。6，β = 2。初始条件x−5= 0。2，x−4= 0。7，x−3= 0。5，x−2= 2。1，x−1= 1。1，x0 = 0。4(See 图 3）。y（ny（n34时El-Dessoky / Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）28y（n+1）的图= a y（n）+b y（n-t）+c y（n-l）+（（dy（n-k）+ e y（n-s））/（alpha y（n-k）+ bata y（n-s）4.543.532.521.510.500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100n图3.第三章。 画出方程的解的性质。（1）当dβ> αe时，是全局稳定的.y（n+1）的图= a y（n）+b y（n-t）+c y（n-l）+（（dy（n-k）+ e y（n-s））/（alpha y（n-k）+ bata y（n-s）2.221.81.61.41.210.80.60.40.20 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100n图四、 绘制方程的解的行为。 当αe> dβ时，（1）是全局稳定的.y（ny（nM.M. El-Dessoky/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）28-3635y（n+1）的图=a y（n）+b y（n-t）+c y（n-l）+（（dy（n-k）+e y（n-s））/（alpha y（n-k）+bata y（n-s）0.550.50.450.40.350.30.250.20.150.10.050 10 20 30 40 50 60n图五、 画出方程的解的周期性。（一）.y（n+1）的图=a y（n）+b y（n-t）+c y（n-l）+（（dy（n-k）+e y（n-s））/（alpha y（n-k）+bata y（n-s）1.110.90.80.70.60.50.40.30.20.10 10 20 30 40 50 60n图六、 绘制方程的解。（1）没有周期性。实施例4. 图4示出了溶液的的差分方程(1)是全局渐近稳定的，如果t= 5，l= 4，k= 2，s = 3，a = 0。4，b = 0。01，c =0。1，d = 1，e = 0。9，α = 1。8，β = 0。6初始条件x−5= 0。2，x−4= 0。7，x−3= 0。5，x−2=二、1，x−1= 1。1，x0= 0。4.实施例5. 图5示出了方程的解。(1)有一个主要的PE-在两种溶液中，t = l = k = 4，s = 5，a = 0。03，b = 0。04，c = 0。02，d=0。01，e= 0。5，α=0。6，β=2和初始条件x−5=p，x−4=q，x−3=p，x−2=q，x−1=p和x0= q。实施例6. 图6示出了方程的解。(1)没有什么特别的，在两个解中，t = l = k = 4，s = 2，a = 0。03，b = 0。04，c = 0。02，d= 0。01，e= 0。5，α= 0。6，β= 2，初始条件x−4=0的情况。2，x−3= 0。7，x−2= 0。5，x−1= 1。1，x0= 0。4.y（ny（n=n+1=n+1xn−2=Xnxn−1=n+136时El-Dessoky / Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）28确认[10] E. Camouzis湾 拉达斯港 关于xα+γ xn−1+δxn−2的动力学，J.A+xn−2作者感谢编者和审稿人的建设性意见和建议，这些意见和建议提高了本文的质量。差分方程9（8）（2003）731[11] C. 关于差分方程xaxn−1的正解、1+bxnxn−1Appl. Math.Comp.156（2004）587-590.[12] S. Kalabujanic'，M. Kulenovi c′，n = 0，1，.，n+1=pn+，n=0，1，.具有周期性 系数的 Comm. Appl. 非线性分析13（2）（2006）37[13] S. Kalabuic'，M.R.S. Kulenovic'，C.B. 在更深层次上，课程的动态性是如此的重要-引用序列Xn+1βxn−1 + δ xn−k，J. 差分方程Appl. 10（10）（2004）915Bxn−l+Dxn−k[1] R.P. Agarwal，Difference Equations and Inequalities，第一版，马塞尔·德克尔1992年[2] E.A.格罗夫湾非线性差分方程的周期性&Hall/CRC，伦敦/博卡拉顿，2005年。[3] V.L.科契奇湾李文，非线性高阶差分方程的解及其应用，北京大学出版社，1993。[4] M.R.S. Kulenovic，G. Ladas，二阶有理差分方程的动力学;带开放问题和猜想，Chapman和Hall/HRC Boca Raton，2002。[5] E. Camouzis湾三阶有理差分方程的动力学[14] S. Kalabuic' ，M.R.S. Kulenovic′ ，二阶差分方程解的收敛性Ra，Adv. 差分方程2004（2004）121[15] R.张文龙，两个非线性三阶差分方程的吸引性，北京大学出版社，2001。数学Soc. 21（3）（2013）241[16] A.E. Hamza，On the recursive sequence x n+1=α+xn−1，J. Math. Anal.申请322（2006）668[17] M.A. Obaid，E.M. Elsayed，M.M. 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