近端分裂算法用于计算机断层扫描图像重建的工具包

SoftwareX 9（2019）317原始软件出版物CCPi-使用近端分裂算法进行计算机断层扫描图像重建的正则化工具包Daniil Kazantseva，10，1，Edoardo Pascab，Martin J. Turnerb，Philip J. Withersc，da钻石光源有限公司，地址：Diamond House，Harwell Science Innovation Campus，Didcot，Oxfordshire，OX11 0DE，UKb科学计算部，科学&技术设施委员会- STFC，卢瑟福阿普尔顿实验室，迪德科特，牛津郡，OX 110QX，英国c曼彻斯特大学材料学院亨利·罗伊斯研究所，曼彻斯特，M13 9PL，英国d英国牛津郡迪德科特哈韦尔研究中心，OX11 0FAar t i cl e i nf o文章历史记录：收到2018年收到修订版，2019年3月21日接受，2019年保留字：X- 射线CT迭代方法基于模型的正则化去噪大数据a b st ra ct在计算机层析成像（CT）中，通常需要迭代重建算法来解决不适定的逆问题，特别是当断层投影数据是损坏的、有噪声的情况下或角度欠采样。基于模型的迭代方法可以适于拟合数据的测量特性（例如，噪声统计）和关于重建对象的期望（例如，形态）。先验信息通常以正则化器的形式引入，使得反演任务是良定的。CCPi-Regularisation工具包提供了一组变分正则化器（去噪器），可以以即插即用的方式嵌入到图像重建的邻近分裂方法中。CCPi- RGL附带的算法可以满足重建对象的各种先验期望，例如本质上是分段恒定或分段平滑的。该工具包是用C语言编写的并利用OpenMP指令和CUDA API的并行性;并为Python包装MATLAB环境本文介绍了该工具包，并给出了选择建议合适的先验模型。©2019由Elsevier B.V.发布这是一个在CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）中找到。代码元数据当前代码版本版本v.19.03用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX_2018_161法律代码许可证Apache许可证v.2.0使用git的代码版本控制系统使用的软件代码语言、工具和服务C-OpenMP、CUDA、Python、Matlab编译 要求，操作环境C编译器（GCC/MinGW），Cython，CMake; NVCC; Linux，Windows，Mac OS如果可用，开发人员文档/手册链接例如：https://github.com/vais-ral/CCPi-Regularisation-Toolkit/tree/master/docs问题支持电子邮件daniil. diamond.ac.uk1. 动机和意义∗通讯作者。电子邮件地址：daniil. diamond.ac.uk（D.卡赞采夫）。1这项工作是在作者在曼彻斯特大学材料学院曼彻斯特X射线成像设施，曼彻斯特，M13 9 PL，英国;在哈威尔，迪德科特，牛津郡，OX 11 0 FA，英国的研究综合体完成的。https://doi.org/10.1016/j.softx.2019.04.003X射线计算机断层扫描（CT）[1]是一种通用的，通常是非侵入性的技术，它使用穿透辐射来揭示有关物体内部结构的信息。为了获得重建图像或体积，必须将数学重建算法应用于投影数据。2352-7110/©2019由Elsevier B. V.发布。这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softx318D. Kazantsev，E.Pasca，M.J.Turner等人/SoftwareX 9（2019）317=×图1.一、 CCPi-RGL工具包在通用优化框架中的位置。然而，当测量数据损坏、有噪声或角度欠采样时，直接重建方法（诸如滤波反投影（FBP）方法）变得无效，并且应当使用迭代技术来代替。迭代方法可以通过为测量选择合适的噪声模型[2]以及通过应用包含解的先验知识的正则化器来帮助解决不适定的逆问题。使用正则化迭代方法进行层析重建的主要缺点之一是其优化目标函数的计算成本，该目标函数由数据保真度和正则化项组成。当目标函数的项是可微的时，则可以采用基于梯度或海森的方法[3]。然而，平滑度约束可能并不总是期望的特征，需要求助于非平滑优化策略。幸运的是，邻近分裂算子[4-使用分裂方法，可以依赖于严格的数学框架，该框架允许灵活选择具有不同属性的目标。这种即插即用的方法加速了原型设计，简化了新的重建算法的实现，这些算法通常在大尺寸问题上表现更好[8]。在本文中，我们介绍了CCPi2-Regularisation Toolkit（CCPi-RGL），其提供用于近端分裂重建方法的各种调节器的选择。CCPi-RGL工具包具有十多个标量和矢量变分方法，使用多 线 程 的 OpenMP 指 令 和 带 有 Python 和 MAT-LAB 包 装 器 的CUDA API有效地实现虽然CCPi-RGL工具包可以应用于不同的图像处理任务（例如去噪、去模糊、修复），但主要关注的是断层图像重建。我们通过使用合成数据和真实数据的3D图像重建的原始-对偶类型的方法来证明该工具包的适用性2. 软件描述CCPi-RGL软件包含各种最先进的变分正则化技术，包括基于二阶和四阶扩散的方法以及局部和非局部方法。图1显示了CCPi-RGL工具包在图像重建的一般优化框架CCPi-RGL的方法独立于数据保真度项，因此独立于成像模态。在表1中，我们对CCPi-RGL工具包3的标量单通道正则化方法进行了分类，并在下面简要讨论了它们2 CCPi：断层成像协作计算项目（https：//www.ccpi.ac.uk/）上提供。3 本文使用CCPi-RGL工具包19.03版优点和缺点。参考文献[9- 17 ]中给出了每种方法随着一个简短的描述，我们给出的正则化项的公式，并简要说明用于特定正则化的优化方法。例如，对于一些正则器（ROF-TV、NDF、R 0 F-LLT），使用经典的在其他非光滑情况下，除了方法描述、输入数据维度要求和体系结构之外，我们还列出了算法所需的主要参数以及3D情况下的内存使用情况如果一个人受到计算资源的限制，这些信息在实践中可能是有帮助的。内存需求估计为体积元素（体素）的总数。例如，对于3D ROF-TV方法，当输入体积的大小为NN x N y N z时，需要分配总共5 N个体素。与标量（单通道）图像的表1类似，在Ta中， 表2我们演示了用于矢量（多通道）图像的可用算法。注意，dFGP-TV算法最初是针对双通道情况提出的[18]。它最近已适用于多光谱图像重建问题中的多通道情况[19]。TNV惩罚的实施已被Duran等人从代码中采用[20 ]第20段。2.1. 软件构架CCPi-RGL工具包的核心模块是用C语言开发的，带有OpenMP指令和CUDA API，而包装器可以方便地从MATLAB和Python环境访问软件（见图2）。我们使用Python的Cython和MATLAB的C-MEX接口来包装C和CUDA-C代码。要编译C代码，还需要特定于操作系统的编译器（例如 GNU GCC ，MinGW ， Microsoft VisualStudio）和用于CUDA的NVCC编译器。用户可以指定是否使用MATLAB和/或Python包装器构建CUDA例程。使用CMake，CCPi-RGL源代码可以在不同的操作系统上构建，并且持续集成可以在Anaconda频道上提供软件包的夜间构建。2.2. 软件功能CCPi-RGL工具包的主要功能包括为一般类型的逆问题提供适定反演。具体而言，该工具包已开发的大数据断层图像重建问题。在进行原型设计或开发新的重建方法时，对重建器的选择3. 例证性案例研究为了展示CCPi-RGL软件的功能，我们考虑了三个案例研究：体积去噪，合成和真实数据的3D图像重建。D. Kazantsev，E.Pasca，M.J.Turner等人/SoftwareX 9（2019）317319+λx，2g（x）=λ<$φ（λ<$x<$）<$，g（x）=λ<$φ（λ<$x<$）<$，公司简介= ∥∇ ∥= ∥∇ ∥== −== ∥∇ ∥= ∥∇ ∥∥−∥ ∥ ∥≤=−表1CCPi-RGL的单通道方法。所有方法都需要迭代次数（T），我们提供了每种方法所需的推荐迭代范围方法抽象性架构描述主要参数存储器（3D外壳）N=Nx Ny NzROF-TV2D/3DCPU/GPUFGP-TV2D/3DCPU/GPUSB-TV2D/3DCPU/GPUNDF2D/3DCPU/GPUNLTV2DCPU/GPU第四代2D/3DCPU/GPUTGV2D/3D CPU/GPUROF-LLT2D/3DCPU/GPURudin–Osher–Fatemig（x） λ12，PDE最小化（显式）快速梯度投影TV算法[10，11]; g（x）λX，近似点算法斯普利特-布雷格曼TV算法[12];g（x） λX，近似点算法非线性扩散第二次[13]。22PDE最小化（显式）非本地电视方法[14];g（x） λ<$（ω）x，不动点迭代非线性扩散第四节[15]222PDE最小化（显式）总广义变分[16];g（x）=α1<$$>x−v<$+α0E（v），近似点算法ROF 模 型 [9] +Lysaker-Lundervold-Tai （ LLT ）[17];g（x）=λ1x +ϵ2PDE最小化（显式）λ-正则常数τ时间步长T=800− 1000λ-正则常数T=200− 400λ-正则常数T=50− 150Linear、Huber、Perona或Tukeyλ- regul。常数σ边压力常数τ时间步长T=600− 800λ-正则常数σ-边缘压力常数Nω-相邻数T=2− 3λ-正则常数σ边压力常数τ时间步长T=200− 400α1-正则常数α0-正则常数L-Lipschitz常数T=500− 1000λ1-正则常数λ2-正则常数τ时间步长T=800− 10005×N11× N8× N2× N(2D案例）2×xNω×xNω×uint8（x）Nω×uint8（x）3× N17× N8× N表2CCPi-RGL工具包的多通道方法。所有方法都需要迭代次数（T），我们提供了每种方法所需的推荐迭代范围方法抽象性架构描述主要参数存储器（3D外壳）N=Nx Ny NzdFGP-TV2D/3D+（1）CPU/GPUTNV2D+（K）CPU定向FGPTV算法[18];g（x） λPx，近点算法总核变异[20];g（x） λx= 0，近似点算法λ-正则常数η-光滑。常数T=200− 400λ-正则常数T=200− 40013×N(2D例）22× N3.1. 案例研究1：体积去噪为了评估CCPi-RGL的性能，我们为CPU和GPU实现提供了一个体积去噪基准使用TomoPhantom软件[21]，我们生成了1283体素体积（见图1）。3）应用随机分布的高斯噪声。我们的目标是解决体积去噪问题所需的所选公差参数设置为δ1e 6，当出现以下情况时，迭代终止u k+1u k/u kδ ， 用 于 三次后续迭代。这条规则提出了一个停止标准，以避免停滞或缓慢收敛的算法。在表3中，我们突出显示了代表卓越性能使用最优正则化参数的算法。所选择的精度被证明是相当低的数据，并导致许多迭代，特别是显式格式。在实践中，需要显著更少的迭代次数来达到令人满意的解决方案。在表2中，我们提供了用于重建的正则化迭代的推荐范围。3.2. 案例研究2：使用合成数据进行断层重建对于我们的数值实验，我们使用TomoPhantom软件[21]生成2563体素的3D体积大小和具有泊松噪声和成像误差的分析投影数据2320D. Kazantsev，E.Pasca，M.J.Turner等人/SoftwareX 9（2019）317表4RMSE和 MSSIM 的 重 建的 3D 模 型 在图 。3.第三章。MSSIM表3图二. CCPi-RGL工具包的框图。3是分析生成的，这有助于避免图4中，我们使用各种方法演示了重建体模：FBP、迭代ADMM（见附录）和CCPi-RGL工具包中的正则化器：SB-TV、ROF-LLT和TGV。图像质量指标：RMSE和MSSIM [25]见表4。请注意，所获得的值是针对最佳选择的正则化参数（参见第一列128体素体模的去噪基准，RMSE：88，MSSIM：0.50。硬件：GPU Quadro P2000和CPU英特尔（R）至强（R）W-2123 CPU@3.60 GHz，4个内核。图4）. FBP重建图像（图1的第一行）4）如预期的那样具有高RMSE和低MSSIM迭代方法迭代 时间（CPU） 时间（GPU）GPURMSEMSSIM使用正则化ADMM方法的重建提高了加速比×100ROF-TV83301153秒25秒4631.60.79信噪比（SNR）特性。值得注意的是，正则化是在3D中执行的，这进一步改善了NDF5304.43s 0.33s13.4 33.0 0.79第四届2425 123.2s 2.70s 45.6 32.2 0.82TGV7845 4100s 85.5s 47.9 33.7 0.81ROF-LLT8500 1664s 31s 53.1 33.5 0.80所选的体积体模由分段光滑（高斯和抛物面）和分段恒定（长方体）对象组成（见图中的上排）。3）。选择这样的一款手机--汤姆是由材料科学[22]和医学成像[23]中大量的分段光滑物体来解释 的 。 实 际 上 -tic 投 影 数 据 （ 见 图 2 底 行 ） 3 ） 是 使 用TomoPhantom生成的，使用的模式是模拟纹理、噪声2D平场，并通过归一化过程引入成像误差（伪影）。应用泊松噪声恒定区域和平坦化平滑对象，而高阶ROF-LLT和TGV方法被设计用于重建分段平滑对象。这里，TGV方法比ROF-LLT更好地重建平滑对象，但它过度拟合平坦区域。此外，背景中的变化在TGV重建的情况下更明显，这可能对总RMSE有负面影响。使用的ADMM算法来自ToMoBAR4软件包其采用3.3. 案例研究3：使用真实数据的我们将与3.2节相同的方法应用于实际数据（见图1）。5）。数据是用平行粉红光束收集的假设通量强度等于6×10 4 （光子计数）。 另外，无噪声投影数据4 https://github.com/dkazanc/ToMoBAR。图三. 上排：来自TomoPhantom[21]库的3D 2563体素体模编号16;底排：分析生成的投影数据（探测器尺寸：DX= 362，DY=256，投影角度：Θ=281），具有泊松噪声和模拟的成像伪影。方法FBPSB-TVROF-LLTTGVRMSE× 10010.60.287.30.6707.50.6717.60.674FGP-TV930176s2.47s71.234.70.79质量与2D情况相比[22]。 从1D剖面图来看，SB-TV 22576.9s0.89s86.434.00.79值得注意的是，SB-TV方法倾向于分段生成-D. Kazantsev，E.Pasca，M.J.Turner等人/SoftwareX 9（2019）317321见图4。 第一栏：优化过程的结果，以找到具有SB-TV（第二行）、ROF-LLT（第三行）和TGV（第四行）正则化器的ADMM重建算法的最佳正则化参数。对于SB-TV，600，运行25次外部ADMM迭代和50次内部迭代获得重建。ROF-LLT为600，TGV为 600图五. 具有来自3D投影数据的重建的1k3体素体积的线轮廓的放大区域（探测器尺寸：DX=1280，DY=1000，投影角度：Θ=360）。比例尺对应于200µ m。（能量范围15-在这里，一个金属合金样品从它的熔体凝固，同时被X射线成像在凝固过程中，枝晶臂不断生长（更多技术细节见[22]）。由于低通量和角度欠采样条件，使用FBP方法的重建质量非常差（见图11）。 5）。使用正则化ADMM方法，我们可以显着提高重建的SNR值得注意的是，SB-TV和ROF-LLT调节器通过消除噪声表现非常好，而TGV则难以做到这一点。这可能是由于次优选择TGV的α0， 1参数（见表1）。我们注意到，当噪音水平很高时，很难控制TGV，就像在这种情况下一样。为此，我们建议使用ROF-LLT正则化器。 对于低水平噪声条件，TGV通常略优于ROF-LLT。4. 影响和结论在本文中，我们提出了一个开源软件CCPi-RGL，可主要用于断层图像重建，在应用程序中的不同成像方式，在各种322D. Kazantsev，E.Pasca，M.J.Turner等人/SoftwareX 9（2019）317=−= −=∈=1+ 101+4t+n∈：→= −（=+ −∈=;;∈=W1. yk=xk+Wk−1tk+1（xk−xk−1）近端σfyk+σiAixk+1我J2J）=（−1）（）下一页=+=+学科目前版本的CCPi-RGL工具包包括10多个模块，预计未来这一数字还会增加。不同调节器的即插即用选择为用户提供了期望的灵活性，以在问题之前建立最合适的调节器。该工具包的核心是编写在C-OpenMP和CUDA语言中，提供了用于Python和MATLAB环境的包装器。算法1Require：x0RN，K;τ1/L对于k0到K1，xk+1proxτg（xkτF（xk））端我们证明，该工具包可以有效地使用，有效地进行严格的测试和基准测试的新的重建算法在应用到真正的大数据问题。确认这项工作得到了EPSRC，英国基金EP/P02226 X/1：“多通道CT重建工具包”和CCPi倡议（EP/M022498/1）的资助。作者感谢哈韦尔研究中心和曼彻斯特钻石合作提供的设施和支持。这项工作通过CCPi利用了CoSeC（研究社区计算科学中心）利益冲突作者不认为与拟议的软件和研究有任何潜在的利益冲突。阑尾断层图像重建的近端方法在这里，我们提供了一系列基于邻近算子框架[4-用于断层摄影图像重建的一般优化形式可以公式化为：minF（x）+g（x）<$f（Ax）+g（x）<$∑fi（Aix）+g（x），（A.1）使用的最简单的重建算法是前向-后向分裂（FBS）方法（参见Alg. ①的人。FBS的慢O（1/k）收敛可以使用FISTA [10]的最优步长策略改进为O（1/k2）（参见Alg. 2）的情况。算法2快速迭代收缩保持算法（FISTA）要求：x0∈RN，K;τ=1/L，t0=1对于k=0到K-t1，2. xk+1proxτg ykτF（yk）23. tk1k端FBS和FISTA都要求（A.1）中的f是Lipschitz可微的，并且在每次迭代中只包括一个邻近步骤。原始-对偶方法组算法3原始-对偶混合梯度（PDHG ）算法。要求：x0∈RN，c>0，K;x∈RNi=1σ=c/<$A<$，τ=1/（c<$A <$），y0=0∈RM其中f i：RMi →R，f：RM →R是连续可微的对于k=k+0到K−1，Lipschitz连续梯度凸函数因此，F也1. X1=proxτg（xk−τATyk）具有Lipschitz连续梯度，我们将其常数表示为L.函数fi测量Ax对归一化投影数据bRM 的 保真 度 ，其中（ A1. . .An） RM×N是线性正演算子，xRN是未知解.根据比尔斯定律，原始投影数据y用配准的平场z归一化为bln（y/z）。正则化项gRNR是表达未知估计x的先验知识的凸的、可能不可微的函数。CCPi-RGL工具包为g（x）提供了不同的选择。数据保真度项的常见选择是最小-22. yk+1proxσf ykσ A（2 xk+1xk）端评价A或F在每次迭代中，A是累赘的。克服该障碍的方法是4）.算法4随机PDHG算法.平方（LS）模型：f（Ax）=<$Ax−b<$2或惩罚加权最小二乘法（PWLS）：f（Ax）=<$Ax−b<$2，其中W∈RM×M要求：x0∈RN，c>0，K;0M0N是对角矩阵，例如{W ii= 1/σ2}M和σ2y2是σi=c/Ai，τ=1/（cnmaxjAj），y=0∈R，z =0∈ R我i= 1i对于k=0到K−1，测量的方差使用它并不罕见更现实的非线性泊松模型f（Ax）=αy，Axα+1. xk+1=proxτg2. 选择j∈ {1（xk−τzk）n}随机均匀zexp（−Ax），1，的。. . 、（）下一页3.yk+K我我我分解成更容易解决的部分在介绍各种分裂方法之前，我们引入了近端是的，其他4. z=A操作员：1prox（u）=ming（x）+x−u<$2。（A.2）τgNzk+1zkz，zk+1zknz端x∈R2τCCPi-RGL的所有正则化算法旨在求解（A.2），因此仅需要关注特定于成像模态的f在线性化条件下，PDHG方法变为众所周知的ADMM方法[6，32]（见Alg. 5）。步骤1.的Alg。 5是一个二次优化问题，当数据保真度被选择为PWLS时：F（x）=1/2 <$Ax−b<$2。为了有效地解决问题（A.1），我们依赖于、如果i=j理论的近端方法[5，6，29]分裂的问题第1项{D. Kazantsev，E.Pasca，M.J.Turner等人/SoftwareX 9（2019）317323−−=+−=++1. xk+1=proxτF2. vk+1=proxτgvku k（xk+1+uk）算法5乘法器交替方向（ADMM）要求：x0∈RN，步长τ>0，K;u0=0∈RN，y0=x0对于k=0toK−1d（o）[16]Bredies K， Kunisch K ， Pock T.总 广 义 变 分 。 SIAM J Imaging Sci 2010;3（3）：492-526. http://dx.doi.org/10.1137/090769521网站。[17]Lysaker M，Lundervold A，Tai XC.四阶偏微分方程在医学磁共振图像中的应用。IEEE TransImage Process 2003;12（12）：1579http://dx.doi.org/10.1109/TIP.2003.819229网站。[18]Ehrhardt MJ，Betcke MM.结构引导全变的多对比度MRI重建。SIAM J ImagingSci 2016;9（3）：10843. uk+1ukxk+1vk+1端因此，需要求解：xk+1（I τA<$WA）−1（τA<$Wbvkuk），可以使用Krylov型方法或牛顿解算器[3]。引用[1] Buzug TM.计算机断层扫描：从光子统计到现代锥束CT。Springer; 2008，http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-39408-2.[2]Boccacci P. 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