数值项逻辑：修改Sommers的项函子逻辑的一种数值量化推理逻辑

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记354（2020）17-28www.elsevier.com/locate/entcsMurphreeJ. Mart 'ın Castro-Manzano1，2UPAEP大学哲学系摘要Murphree的数值项逻辑是一种通过修改Sommers的项函子逻辑而能够用数值量化器表示和执行推理的逻辑。for it.保留字：语义树，术语逻辑，数值术语逻辑。1引言在其他地方，我们已经为Sommers和Englebretsen的项因子逻辑[19，8，21]，中间项因子逻辑[ 23 ]和Englebretsen的模态项逻辑[ 7 ]开发了表格在这篇文章中，我们将继续探索项逻辑的领域，并为Murphree的数值项逻辑[ 13 ]提供舞台因此，为了更详细地阐述项函子逻辑及其表，我们请读者参考我们以前的工作[4]。同时，为了实现我们目前的目标，我们首先提供了一些初步的概念（三段论，项函子逻辑和项函子逻辑tableaux）的概述，然后我们解释了Murphree逻辑的基础1我们要感谢匿名评论者的准确更正和有用的评论。由UPAEP研究补助金提供的财政支持2电子邮件：josemartin.castro@ upaep.mxhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2020.10.0031571-0661/© 2020作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。18J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354（2020）172预赛2.1三段论三段论是一个术语逻辑，起源于亚里士多德一个直言命题是由两项组成的命题，一个量，一个质。一个命题的主语和谓语被称为项：项图式S表示命题的主语项，项图式P表示谓语。量可以是普遍的（全部）或特殊的（某些），质可以是肯定的（是）或否定的（不是）。这些直言命题有一个由标签（a（普遍否定，SaP），e（普遍否定，SeP），i（特殊否定，SiP），或o（特殊否定，SoP））表示的类型，它允许我们确定一种语气，也就是说，三个直言命题的序列以这样的方式排列，其中两个命题是前提，最后一个是结论。因此，一个直言三段论是一个有三个项的语气，其中一个项出现在两个前提中，但不出现在结论中。这个特定的项，通常用项模式M表示，作为其余项之间的链接，被称为中间项。根据这个中间项的位置，可以设置四个数字来编码有效的三段论语气（表1）。3第一个图形第二个数字第三图第四图AAAEAEIAIAEEEAEAEEAIIIAIAIIEIOEIOAOOOAOEIOEIO表1有效三段论语气2.2项函子逻辑项函子逻辑（TFL）[18，19，21，6，8，9]基本上是一个加-减代数，它使用项而不是一阶语言元素，如单个变量或量化器。[17、14、10、19、20、11]）。根据这个代数，这四个直言命题可以用下面的语法表示[8]：a. SaP：= −S+Pb. SeP：=−S−Pc. SiP：= +S+P[3]为了简洁，但不失一般性，这里我们省略了需要存在意义的三段论J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354（2020）1719我我d. SoP：= +S-P给定这个表示，这个加减代数为三段论推理提供了一个简单的规则：从一组前提有效地得出结论，当且仅当i）前提的和在代数上等于结论，ii）具有特定量的结论的数量（即，零或一）与具有特定量的前提的数目相同[8，p.167]。因此，例如，如果我们考虑一个有效的三段论，说语气从第一个图形（即，我们可以看到应用这种方法如何产生正确的结论（表2）。TFL提案1.狗都是动物。−D + A2.德国牧羊犬都是狗。−G + D德国牧羊犬都是动物。−G+A表2一个有效的三段论：在前面的例子中，我们可以清楚地看到该方法是如何工作的：（一）如果我们添加起来的处所我们获得的代数表达（−D+A）+（−G+D）=−D+A−G+D=−G+A，所以前提的和在代数上等于结论，结论是−G+A，而不是+A−G，因为ii）具有特定量的结论的数目（在这种情况下为零）与具有特定量的前提的数目（在这种情况下为零）相同。2.3TFL表格如在[4]中，我们说表是由节点和顶点确定的无圈连通图[5，16]。最上面的节点称为根节点。底部的节点称为tips。从根向下的一系列顶点的任何路径都是分支。为了测试一个推论的有效性，我们构造了一个表，它以一个分支开始，在这个分支的节点上出现了前提和结论的拒绝：这是初始列表。然后，我们应用允许我们扩展初始列表的规则（图1）。−A ±B−A ±B+A ±B+Ai±B图1：TFL表格规则在图1中，从左到右，第一个规则是a（e）命题的规则我20J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354（2020）17第二条规则是i（o）命题的规则。 请注意，在应用一个规则，我们引入一个指数i∈ {1，2，3，. . }中。对于命题a和e，索引可以是任何数字;对于命题i和o，如果它们还没有索引，索引必须是一个新的数字。此外，根据TFL原则，我们假设以下拒绝规则：−（±A）= A，−（±A±B）=AB，以及−（−−A− −A）= +（−A）+（−A）。通常，当且仅当所有可应用的规则都已应用时，一个表才是完整的。一个分支是闭的，当且仅当它的两个节点上有±Ai和Ai形式的项;否则它是开的。一个封闭的分支是通过在它的末尾写一个“∞”来表示的;一个开放的分支是通过写∞来表示的。一个tableau是封闭的，当且仅当每个分支都是封闭的，否则它是开放的。因此，再像往常一样，A是项集合Γ的逻辑结果（即，Γ）。因此，接下来我们提供一些基本三段论的例子（图2）。−S1⊥−M+P−S+M► −S+P−（−S+P）+S −P+S1−P1+M1−M1⊥−M −P−S+M► −S −P−（−S−P）+S+P+S1+P1+P1⊥−M1⊥−M+P+S+M+S+P−（+S+P）−S −P+S1+M1−S1⊥−M −P+S+M+S −P−（+S-P）−S+P+S1+M1+P1−P1⊥−S1⊥−M1⊥+M1−P1⊥−M1⊥−S1⊥−P1+P1⊥图2：情绪-1、eae-1、aii-1和eio-1J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354（2020）17213Murphree在Szabolcsi的观点[ 22，p.3]中，一阶逻辑系统中的量化是“极限”的，因为它被限制为代表两个极端：要么是一切，要么是某物。[4]事实上，通常会找到这样的逻辑处理方法，即假设中间的或主观的量化器[22，p.26]，例如“许多”，“大多数”或“少数”（参见。[15，23]）必须被视为存在性量化器的简单情况，而数值量化器或客观量化器通常也有同样的命运。然而，这样的待遇是远远不够的。有几个理由支持这一说法，但 为了节省时间，考虑到自然语言中的推理包括比通常的“所有”或“一些”更多的量化器。例如，考虑到“大多数”和“一些”都是特殊的（即非普遍的）量化器，但它们并不表达相同的含义：前者意味着后者，但反过来是错误的;当用数字量化 器 进 行 推 理 时 也 会 发 生 同 样 的 情 况 。 在 这 种 情 况 下 ， Murphree[13] 和Szabolcsi[22]发展了Sommers的项函子逻辑的数值扩展Murphree因此，NTL为数字量化的命题提供了以下语法：e. 除了nS之外的所有都是P：= −nS+Pf. 至多n个S是P：= −nS −Pg. 至少n个S是P：= +n个S+Ph. 至少n个S不是P：= +nS−P为了更好地解释这种表示，考虑下面的示例：1. 至少有15名美国人是共和党人：=+15A+R2. 除120名学生外，所有学生都能理解逻辑：=−120S+U3. 最多150，000欧洲人是男性：= −150，000E −A4. 至少有33位数学家：= +33M+M5. 至少有66名逻辑学家不是民主主义者：=+66L-D现在，在这一点上，重要的是要注意，当n= 0（n= 1）时，传统的普遍（特殊）直言命题包含在NTL中：6. 所有S都是P=除了0S都是P：=−0S+P7. NoS isP =至多0S areP：=−0S−P8. 一些S是P=至少1个S是P：= +1个S+P9. SomeS are notP =至少1个S不是P：=+1个S−P[4]这并不完全正确，因为，例如，我们有[12，24]提出的建议（然而，由于这些建议不是一阶逻辑的一部分，它们是由一阶语言开发的，并且是为一阶语言开发的，我们在本文中省略了对它们的处理），而且，公平地说，我们可以以同样的理由指控TFL。22J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354（2020）17此外，通过采用Szabolcsi的一些想法，在NTL中，我们可以表示精确（10），分数（12）和主观（13）量化器。这最后一个例子显示了在什么意义上，中间项函子逻辑（TFL+）的中间命题包含在NTL中：10. 恰好n个S是P：= +（+n−1S+P）+（−nS −P）11. S的至多r/q是P：= −r/qS −P12. 许多S是P：= +mS+P考虑到这些语法上的调整，NTL修改了TFL0或1）与具有特定量的前提的数量相同，以及iii）或者（a）普遍结论的值等于普遍前提的值之和，或者（b）特定结论的值等于普遍前提减去特定前提的因此，TFL和TFL+都是NTL的子逻辑。现在，让我们考虑一些有效的推论（表3-6）。命题NTL1.除了6个哲学家外，所有人都是逻辑的。−6P+L2.除了20个聪明人之外，其他人都是哲学家。−20S+P►除了26个聪明人之外，所有人都是合乎逻辑的。−26S+L表3一个有效的数字三段论（改编自[13]）然而，在我们继续之前，为了达到我们的目标，我们需要做一个小的语法修改，在适当的时候会派上用场：我们将一个命题的谓词项添加为任意自然数e> n，以获得任何其他自然数n。这将导致NTL的以下语法e '。除nS外的所有都是P：=−nS+eP至多nS是P：=−nS −eP至少n个S是P：= +nS+ePh '。 至少n个S不是P：= +nS −eP有了这些元素，我们现在在图3中介绍NTL的表格规则：从左到右，第一条规则是通用命题，第二条规则是特殊命题。请注意，在应用规则之后，我们引入某个索引i∈ {1，2，3，.. . 就像在TFL表格中一样;但是，注意，在应用规则之后，我们通过跟踪命题的数值n来创建向量v[5]这最后一个条件与Szabolcsi的条件不同，Szabolcsi[22，第45页]。J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354（2020）1723NTL提案1.除了11名无政府主义者外，其他人都是逻辑学家。−11A +eL2.至少有30名墨西哥人是无政府主义者。+30M+eA至少有19名墨西哥人是逻辑学家。+19M+eL表4一个有效的数字三段论（改编自[13]）命题NTL1.大多数人都很友好。G+eF2.凡是友好的人都是宽容的。−0F+eT►大多数人都很宽容。−mG+eT表5一个有效的数字三段论（改编自[22，p.53]）NTL提案1.除了3名教师外，所有教师都给了5名学生4本书。−3T+（+（+eG +4B）−5S）2.除两名 教师外，其他所有教师都是工资过低的 人。−2T + eU3.每本书都很贵-0B+E4.除了7个学生外，所有人 都 是忘恩负义的人。−7S + eI5.至少有50名学生。+50S+eS6.至少有10名教师。+10T+eT►至少有5个低收入者给了38个忘恩负义的人4个昂贵的+5U+（+（+eG+4E）+38I）的东西。表6一个有效的数字三段论（改编自[13]）另一方面，第三个图是一个规则，用于对带有“+”的原子项进行排序。现在，给定这些规则，我们说A是项集合Γ的逻辑后果当且仅当存在一个完全闭表，其初始列表包括Γ的项和A的拒绝，并且v= 0。因此，接下来我们展示一些有效推理的例子（图4和图5），然后我们论证NTL中的有效推理会产生v= 0的闭完备树，反之亦然。命题3.1NTL中的一个有效推理产生一个封闭的完全树，v = 0。证据考虑到NTL中的有效推理可能有两种基本的一般形式（表7）。除了这两种一般形式之外，我们还必须考虑两种情况。对于基本情况，让我们考虑每个基本形式。 对于形式1，取n=m= 0，对于形式2，取n= 0和m= 1。因此，NTL与TFL一起崩溃，在这种情况下，我们只需获得24J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354（2020）17-±−nA ± eBnAieBiv=n+nA ±eB+nAieBiv=n+nA+k≤nA图3：NTL表格规则−6C+eL−20S+eC► −26S+eL−（−26S+eL）+26S −eL+26S1−eL1+20S1−11A+eL+30M+eA2009年+19个月−（+19M+eL）−19M −eL+30M1+eA1+19M1-20S1+eC1−19M1−eL1⊥−6C1+6C1+eL1⊥−11A1+11A1+eL1⊥⊥v=+26− 20− 6 = 0⊥⊥v= +30-19-11 = 0图4：从左至右，表3和表4的表格表格1表格21.−nX ±eY −nX ±eY2.−mZ±eX+m+nZ ±eX−n+mZ±eY+mZ ±eY表7NTL中有效推理的基本一般形式TFL中的闭完全树。对于归纳的情况，取n=k和m=j。这样的替换产生NTL中的有效推断，因为NTL中的有效推断的所有条件被保留。现在，假设每个形式在NTL中也是有效的，对于n=k+1和m=j+1，对于k，j>0，那么树看起来如下：Q命题3.2 v = 0的闭完全树是NTL中的有效推理。±J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354（2020）1725−（+（+G+E）+I−3T+（+（+ eG+ 4B）− 5S）−2T+ eU−0B+ eE−7S+ eI+50S+eS+10T+eT+5U+（+（+eG+4E）+38I−（+5U+（+（+eG+4E）+38I）−5U −（+（+ eG+ 4E）+ 38I+50S1+eS1+10T2+eT2+2T2−2T2⊥+eU2+7S1−7S1⊥+eI1+38I1+3T2−3T2⊥+（+eG+4B）−5S2+eG2+4B2−5S2+0B2−0B2⊥+eE2+4E2+5U2−5U22e4382−（+eG+4E）−38I−38I1⊥−（+eG+4E）−eG−4E1−eG2⊥−4E2⊥v=+50+ 10− 2− 7− 3 + 4− 5− 0− 5− 38− 4 = 0图5：表6的Tableau证据假设有一个v= 0的闭完全树，它不是NTL中的有效推理。然后有一个封闭的完整树，其初始列表包括一组项Γ，结论的拒绝和v= 0，但从Γ我们不能通过遵循NTL的规则来推导结论的证明。不失一般性，考虑对应于表7的有效基本形式的树。然后我们有两个选择，它们的结论分别是−n+mX ±eY和+mX ±eY。现在，因为每棵树都是完整的，所以生成树的规则已经被应用了;因为每棵树都是封闭的，所以每棵树都必须具有以下形式：假设我们有第一棵树的一个实例，但由此产生的证明是无效的，也就是说，其中Γ+= Γ{ +n+mXeY}，Γ+e，但对Γ应用推理规则不允许我们产生−n+mX±eY。现在，由于图的树是完整的，所有的尖端都是封闭的，因此前面的节点必须包括形式为−m+nX±eY或−mZ±eY的东西，126J.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354（2020）17−k+1X±eY−j+1Z+eX► −k+j+2Z±eY−（−k+j+2Z±eY）+k+j+2ZeY+k+j+2Z1Y1战斗机+k+j+2>j+1，nk，j>0Z1−k+1X±eY+k+j+2Z+eX+j+1Z±eY−（+j+1Z±eY）−j+1ZeY+k+j+2Z1+eX1+k+j+2>j+1，nk，j>0Z1−j+1Z1⊥+eX1+e>k+1，k=kX1−j+1Z1⊥Y1战斗机+e>k+1，k=kX1−k+1X1⊥±eY1⊥−k+1X1⊥±eY1⊥v=+k+j+2−（j+1）−（k+1）= 0v =+k+j+2−（j+1）−（k+1）= 0−n+mXi∈ΓΓ► −n+mX±eY−（−n+mX±eY）+n+mXeY+n+mXi李毅...±eYi∈ΓX±eY−（+mX ±eY）−mX eY+n+mXi∈Γ±eYi∈+mXi...⊥ ⊥−mXi⊥李毅⊥−nX + eZ，也就是说，Γ ={−m+ nX ±eY}或Γ ={...，−mZ ±eY，−nX + eZ，. . }中。但是，在任何情况下，如果我们将条件i）应用于Γ，我们得到形式为−X±eY的东西，而不是由于条件ii）而得到相反的结果;最后，根据条件iii）（a），结论必须是形式为−m+nX ±eY。但是，这与我们不能通过使用NTL规则来证明这样的结论的假设相第二棵树也是如此，做了必要的修改因此，r ={+ mX±eY}或r ={... −nZ ±eY，+m+ nX + eZ，.. . }中。 反正如果 我们将条件i）应用于Γ，我们得到形式为+mX±eY的结果，而不是由于条件ii）而得到相反的结果;最后，通过条件iii）（b），结论必须是形式为+mX±eY的结果。但这与我们无法证明这一结论的假设相矛盾。QJ.M. Castro-Manzano/理论计算机科学电子笔记354（2020）17274总结发言在这篇文章中，我们试图通过使用和适应Murphree的系统，这是可能的，因为TFL和TFL+是NTL的子逻辑，因此，在某种意义上，我们为NTL开发的方法代表了这一系列的索默斯逻辑。最后，我们必须提到，为了本文的目的，我们只关注NTL的术语特征，但需要与[3，2]引入的代数证明系统和Szabolcsi [ 22 ]等替代项逻辑进行引用[1] 亚里士多德。先前的分析。Hackett Classics系列哈克特，1989年。[2] Walter A. Carnielli多值逻辑的多项式环演算。第35届多值逻辑国际研讨会（ISMVL[3] Walter A. Carnielli lukasiewicz逻辑的多项式证明系统。第二届国际原理研讨会，2001年8月6日至10日。[4] J. -我是卡斯特罗·曼萨诺和潘尼尔·奥。 雷是卡德纳斯。函数逻辑表。SouthAmerican Journal ofLogic，4（1）：1 - 2 2 ， 2 0 1 8 。[5] 马尔切罗·达戈斯蒂诺，D o v M. Gabb ay，ReinerHahnle，andJoa chimPosegga. 方法手册。Springer，1999年。[6] 乔治·恩格尔布雷森。 新的Syllogistic。 05. P. Lang，1987年。[7] 乔治·恩格尔布雷森。关于一个新模态三段论的初步注记。Notre Dame J. Formal Logic，29（3）：381[8] 乔治·恩格尔布雷森。需要考虑的事情：术语的逻辑。加拿大电子图书馆：藏书。渥太华大学出版社，1996年。[9] 乔治·恩格尔布雷森和查尔斯·赛沃德。哲学逻辑：高级主题导论。Bloomsbury Academic，2011.[10] Steven T.库恩。谓词函子逻辑的公理化圣母大学 Formal Logic，24（2）：233 -241，041983.[11] 劳伦斯·莫斯。自然逻辑。In S. 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