黎曼李代数胚的黎曼几何研究

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2011）19，57埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章李代数胚的黎曼几何穆罕默德·布塞塔科学和技术学院，卡迪-阿亚德大学，BP 549马拉喀什，摩洛哥2011年11月9日在线发布摘要我们引入了黎曼李代数胚作为黎曼流形的推广，并证明了黎曼几何中已知的大多数经典工具和结果都可以在这种情况下成立我们也给出了关于黎曼李代数胚可积性的一些新结果2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍李群胚和李代数胚是微分几何中的一个中心概念，也是一个活跃的研究领域。它们在数学的各个部分都有许多应用（例如见[4粗略地说，李代数胚是一种结构，其中用具有类似性质的新向量丛替换切丛。在这种精神下，许多涉及切丛的几何概念被推广到李代数胚。例如，协变导数由Fernandes[9]推广，拉格朗日力学由Weinstein[18]推广（参见[6]）。实际上，流形上的黎曼度量是一个涉及切丛的李代数体结构的概念，而定义列维-奇维塔联络的Koszul公式就是这一事实的例证一李代数胚上的黎曼度量是流形上黎曼度量的经典概念的自然推广，这个概念首先出现在与Poisson结构相关的李代数胚的上下文中（见[2，3，12，13]）。在本文中，我们提出了一些基本的概念，有关的黎曼结构的李代数体，即，我们将表明，大多数经典的工具和结果，已知的黎曼几何可以说在这个设置。在第二节中，我们在[7]的基础上给出了李代数胚上联络的一些基本事实。在第3节中，我们定义了与黎曼李代数胚相关联的Levi-Civita[1]详细介绍。第四节研究了黎曼李代数胚的测地线轨道。作为经典的情况，我们定义了Sasaki度量，并计算了测地线的散度公制 这种分歧并没有在一般的对比电子邮件地址：mboucetta2@yahoo.fr1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。制作和主办：ElsevierB.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。同行评审由埃及数学学会负责。doi：10.1016/j.joems.2011.09.009制作和主办：ElsevierLiouville定理，实际上，它是一个模上圈，它的类是李代数胚的模类。给出了第一、第二变分公式，并引入了沿测地线的雅可比截面本节可以被认为是对[18]中4.2小节和[11]中第5节的补充。第五节研究了黎曼李代数胚的曲率，推广了一些经典结果，即Mayer定理。第六节研究了黎曼李代数胚的可积性，例如，我们证明了O'Neill张量之一为零蕴涵着可关键词李群胚;黎曼度量58M. 布塞塔G！！2ð Þ2ð Þ你好！XuzhouStðÞðÞX#ab@iyStSB1/1S不圣乌第1页2CIJu> q@xs并给出了一类满足这一条件的黎曼李代数胚。2. 李代数胚在这一节中，我们回顾了一些与李代数胚和李代数胚中的联系有关的基本事实（详细介绍见[6，7，9][14][15][16][17][18][19][1 从而得到了L上李代数胚的正合列0分！ GL！ A L！ 中文（简体）李代数胚p：AM的对偶Aω具有自然的泊松结构，可以描述如下。对于任何函数F2C1<$Aω<$和任何截面n2C<$Aω<$，我们定义一个截面Fn2C<$A<$，对于任何x2M和任何lx2Aωx，D2.1. 李代数体对偶上的标准Poisson结构hlx;Fnxi¼dtjt¼0Fnxtlx：定义2.1.光滑流形M上的李代数体A是向量丛p：A！M与一个李代数现在，对于任何函数F;H2C1<$Aω<$，我们定义括号fF;Hg，对于任意截面n2C<$Aω<$，fF;Hg n<$hn;½F;H]i#FHn-hn;Hi在截面CA和丛的空间上的结构½;]无无无无无无无map#：称为锚点的TM，对于任何部分，a;b 对于每个光滑函数fC1M，我们有莱布尼兹恒等式半a;fb] <$f半a;b] #afb：1这一定义的直接后果是：1. 导出映射#：CAM是李代数同态;2. 对于任意x2M，有一个诱导的李括号说：-#HnFn-hn;Fni：3我 们 检 查 这 个 括 号 定 义 了 泊 松 结 构 ， 对 于 任 何f;g2C1<$M<$和任何a;b2C<$A<$，我们有ffp;gpg <$0;ffp;ag-#和 fa;bg ¼½a;b]：104如果我们选择局部坐标，. .. 在U上，我们有结构函数bsi;Cu2C1U，定义为：关于##bsi@100万美元;. ; r;Gx¼Ker#xAx这就变成了李代数½a;a] ¼XrCuas;t¼1;. . . ;r：下面的定理描述了李代数胚的局部结构（证明见[9]）。设n和r分别表示M的维数和向量丛A的秩！M.定理2.2（局部分裂）。 设x02M是一个点，其中x0的秩为q.那里存在一系统的坐标为1;.. . ; x q; y1;... ; yn-q在x0的邻域U中有效，并且fa1;. A的rg在U上，使得#ai@xi1. . ;q;Ji<$q . ; r;J其中，bij2C1U是仅依赖于y0s且在x0 处 消 失 的 平 滑 函 数：bij <$bi jys，bijx0< $0。此外，对于任何i; j ^l;. . ; r，½a;a] ¼XCua;让n1;. ;nr表示纤维上的线性坐标，Aω与对偶基ai相关联。 . . ar. 人们可以很容易地看到，fx i; x jg <$0;fx i; nsg <$-b si 和 fns; ntg¼XC unu：150u实施例2.3.1. M上的李代数胚的基本例子是切丛本身，单位映射作为锚。TωM上的相关泊松结构由辛形式dk定义，其中k是刘维尔形式。2. 每个有限维李代数都是一个单点空间上的李代数胚。对偶上相应的Poisson结构是3. TM的任何可积子丛都是一个以包含为锚和以诱导括号为导的李代数胚。我吉吉乌uu1IJP@Cuut4. 设P;P是Poisson流形.则在X1<$P<$1上存在一个自然的李代数结构，使得TωP[2017 - 07 - 17][2017 - 07 - 17][2017- 07 - 17][2017 - 07 - 17]从这个定理我们推出，#的图像定义了M中的光滑广义分布，在Sussman [16]的意义下，它是可积的。这种叶理称为A.我们称A为可迁李代数胚，如果#是满的，那么它的叶是M的连通分支.我们用AL表示A对一个叶L的限制。从（1）可以很容易地推导出括号1/2;]在p L的截面空间上导出一个括号：A L！L，因此是一个传递的李代数体结构。当x在L上运行时，G0xs都是同构的，2.2. 李代数胚我们现在发展李代数胚上联络的基本理论.这个概念是通常的协变联络概念的自然推广，最近在李代数胚的研究中被证明是有用的。它首先出现在泊松几何的上下文中（见[9，10，17]）。Xi其中C如果u6q且满足1/4。IJ李代数胚59一！r！！！StStXuP一路径r<$ r½ ]！一0SSt通过CocoE的a-截面的空间。那么存在一个i¼1iXsiXu我让p：A！ M是具有锚映射的李代数胚。向量丛E 上 的 A- 联 络 ！ M 是 一 个 算 子 r ：C<$A<$ ×C<$E<$ ！满意度：1.b.任何a、b2C、A、B、C、E、B、C、D、E如果r a s <$0，则a截面s称为沿a平行。于是我们就有了st：Ect！Ect;其中s是唯一的平行a截面，02. ras1s2ras1ras2 为 任何 一个2C的，一个第1条;第2条;fying=0.如果a02Ax和s是E在x的邻域内的一段，3. rfas¼fras适用于任何a2CA、s2CE和f2C1M;可以很容易地检查，4. 对于任何a2CA，s2CE，和f2C1M。ra0DSjt¼0st从这个定义，我们可以立即推出，对于任何叶L，在EL L上诱导一个AL-联络。给定M上向量丛E上的A-联络，只要我们在A上使用适当的路的概念，大多数经典构造（与经典协变导数有关）都可以推广到李代数胚。定义2.4. 设p：AM是带锚的李代数胚#.1. A-路径是平滑路径a：½t0;t1] ！一个这样的其中a是满足a≤ 0.01/a0的任意A-路。2.4.线性A-联络、测地线和与李代数体结构的设p：AM是一个带锚的李代数胚.我们称向量丛上的A-联络为线性A-联络.设D是线性A-联络. A-路径a：½t0;t1] ！ A是D的测地线，如果D是1/40。设x=1;.. . 是开集U上的局部坐标系，并且{1;. r_a基的局部截面。结构函数bsi;Cu2C1<$U是D#atdtpat;t2½t0;t1]：我们称之为曲线c：½t;t] ！M由ctpat给出给出n#as¼b@x价格1. . ; r;01a的基本路径2. A-路径a称为垂直路径，如果对于任何1/1R1/2as;at]1 / 4 Cau1;. . . ;r：t2½t0;t1]。备注2.5.即使对于垂直A-路径，基本路径被简化为恒定曲线，垂直A-路径也起着重要的作用。第1页我们 定义 的 Christoffel 符号 的 D根据1;.. . ;一个r通常由RDaat¼ Cau：第1页A-路径a是测地线，如果，对于i 1;. ; n和j ^l;. ; r，2.3. 平行移动让p：A！ M是李代数胚，E！ M是向量丛，8>>x_iR第1页ajtb jix1t;.. . ; x nð7Þr是E上的A-联络。 修复A路径a：½t;t] ！ A. Ana->Prj01：a_jtut Csux1t;. ; x nE的截面是光滑映射s：½t0;t1] ！这样，亲，a和s在M上的射定义了相同的基路。我们记为s;u¼1哪里 aa ab bbb cPr阿勒特拉是a的局部表达式，一唯一映射r：Céréed'la！CEa满足：1. racscscrs¼dt我一一在李代数体上的联系研究中的作用60M. 布塞塔ð ð ÞÞ一刚果（金）c2个R;patx1t;.. .;xnt是其基正如在经典的情况下，一个存在，给定初始基点x~ 2M的测地线的唯一性and ‘‘initial speed’’ 实际上，存在一个向量场G在A上，使得D的测地线是1 1 2 21 12212G.我们称G为与D相关的测地线向量场，D为李代数胚612.afsf0sf其中f：t0;t1R是光滑的功能;62M. 布塞塔3. 如果~s是E的一个局部截面，且#at0然后李代数胚63rastrats~;4. 如果~s是E的一个局部截面，且a是垂直的，64M. 布塞塔然后如果G是完备的，则称为完备。李代数胚65我们现在介绍两个自然的相容性概念，线性A-联络与李的结构66M. 布塞塔代数胚定义2.6.李代数胚671. 线性A-联络D与李代数体结构，如果对任意A-路a，68M. 布塞塔rstratD李代数胚69s~dts t：运输是一个保留克尔#。70M. 布塞塔DDR0！R12 ð Þ 2ðG Þ D 2 ðG Þ相同的基础变化c和##b#。ðÞð Þ¼ ð ðÞÞð Þ¼2½]>>>¼2. 线性A-联络D与李代数体结构弱相容，如果对任意垂直A-路a，平行迁移sa保持Ker#.下面的命题给出了这些相容性概念的一个有用的特征。2.7号提案1. 线性A-联络与李代数体结构强相容当且仅当，对任意叶L和任意截面aCAL和bCLL，abCLL。2. 线性A-联络 弱相容于李代数体结构当且仅当，对任意叶L和任意截面a2C<$GL<$和b2C<$GL<$，Dab2C<$GL<$。证据这是（6）的结果。H示例2.8.设p：AM是李代数胚，是A上的TM-联络.与之相关的是一个明显的线性A-连接Dabr#ab这显然与李代数体结构弱相容。更微妙的是下面的线性A-连接Dabr#baa;b]这与李代数体结构是强相容的。这些联系在特征类理论中起着基础性的作用（例如见[9]）。备注2.9.在[9]中有一个线性A-联络和李代数体结构之间的相容性概念，它比定义2.6中给出的相容性概念更强。2.5. A-联络的A-路、同伦和曲率的变式我们给出的挠率和曲率的解释，A-路的一个变体是光滑映射a：半0;1] ×半0;1] ！A，s;t，s;t，s;t，使得：(i) 对于任意s 0;1，映射t#as;t是A-路，(ii) 基本变异cs;t pas;t完全存在于特征叶理的固定叶L设A是A-路的一个变体a的横向变化是一个光滑映射b：½0;1] ×½0;1] ！这样，A和B具有@s很明显，如果#是内射的，则A-路的给定变分有唯一的横变分如果#不是单射的，A-路的给定变差允许它有许多横变差.有一种方法可以把横变差控制到A-路的固定变差.让我们解释这个重要的事实，它是[7]中A-路同伦概念的起源.首先，让我们修正一些符号。设a和b分别是A-路径的变分和横向变分，设cde-记公社基路，设r是向量丛E上的A-联络！ M和s：1/2;1] ×1/20;1] ！ E是C上的一节。 对于任何s2½0;1]，t#as;t是A-路径，并且rts表示t#ss;t沿此A-路径的导数.另一方面，对于任何t2½0;1]，s#bs;t是A-路径，并且rss表示s#s;t沿此A-路径的导数。下面命题中的第一个主张是对[7]中命题1.3的一部分的重新公式化。2.10号提案有了上面的符号，下面的断言成立。1. 对于任何线性A-联络D，Da;b Dtb- Dsa-TDa;b不依赖于D且满足#Da;b0。2. 对于E上的任意A-联络r和E上的任意截面srt rss-rs rts¼Ra;bsrDa;bs：证据1. 固定s0;t0 2<$0;1] ×<$0;1]， 并选择局部坐标x1;. ; x q; y1;... ;yn-q ∈ x01/4 c∈ s0; t 00 0和一个截面基a1;. ;a r如定理2.2（q秩#x0）。 在这些坐标，我们有一个A-连接，自然导致homot的概念8>as;tPrais;tai;A-路径的复制这个概念在整合中起着至关重要的作用>1/1Lie algebroids的bility（参见[7]）。>bs;tPrbis;tai;I1>@c李代数胚712016年12月2日让p：A！M是带锚的李代数胚，

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