可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记303（2014）37-57www.elsevier.com/locate/entcs模糊环境下的用户Cynthia Vera Glodeanu辛西娅·维拉·格洛代亚努1，2德累斯顿理工大学代数研究所德国德累斯顿摘要我们提出了一种新的方法来建模用户的属性，包含一个以上的特质的偏好。从一个数据集开始，用户必须以与他们的偏好相对应的公式的形式输入一种属性的顺序。基于这种顺序，他们只接收相关的形式概念，即，“对象-属性聚类”，其中相关的对应于用户的观点。 偏好建模是在形式模糊概念分析的框架内完成的。这有许多优点。首先，相关信息包含在一个完整的网格，概念格，允许用户浏览他们的喜好。该格可用于应用与形式概念分析不同的方法进行进一步的数据分析。其次，我们可以研究输入公式的非冗余基的计算。 由于允许用户输入公式，这些公式可能是多余的。 基座从而更好地概括偏好，并且因此可以更容易地改变公式保留字：形式概念分析，模糊数据，数据约简，L-闭包算子.1介绍形式概念分析[16]是一种基于格理论的数据分析工具。从一组形式对象、一组形式属性和指示哪个对象具有哪个属性的关联关系开始，获得结合这三个组件的形式上下文。反过来，上下文允许计算形式概念。这些概念被理解为具有概念范围和概念意图的单位，这一思想已经可以在皇家港的逻辑中找到。 概念的范围包含所有共享的对象以其所欲，对偶地，形式概念的意图包含来自其范围的对象所共有的所有属性。概念的顺序由子概念-超概念关系给出。连同此[1]支持项目：IE120596，皇家学会2电子邮件：Cynthia-Vera. tu-dresden.dehttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2014.02.0031571-0661/© 2014 Elsevier B. V.保留所有权利。38C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）37所有概念的集合形成完整的格，即概念格，其表示进一步数据分析的基础从早期开始，形式概念分析已经发展成为一个独立的研究领域，拥有蓬勃发展的理论社区和迅速扩大的应用范围：家庭暴力分析[29，30]，遗传学和生物学[20，13，1，12]，癌症研究[24]，Web 2.0数据管理[19]，粗糙集[15]，非度量因素分析[10，14，7]和数据挖掘[32，33]，仅举几例。我们将使用形式概念分析[31，4，9]的模糊变体，其中关联关系被编码以下项的模糊关系所取代：陈述上述所有概念都可以在这样的背景下定义。这种形式概念分析的推广对于处理真实世界的数据是卓有成效的它在引入社交网络[22]、不完整和不一致数据集的管理[23，25]、非度量因子分析[2]等领域后的几年内就得到了应用。概念格的优点在于它包含了数据集上所有由概念编码的信息。然而，晶格可能变得太大并且可能难以读取。为了克服这个问题，模糊概念格约束的模糊限制语[9]。然而，这种数据减少方法与我们的方法性质不同，因为它没有考虑用户在本文中，我们提出了一种方法来减少模糊概念格的大小的基础上用户的偏好。 通过这种方法，用户可以更好地控制从数据中删除的信息。我们开发了用户复合属性，即，包括一个以上特征的品质。例如，“财富”概念 一个富有的人必须有很高的价值观在投资和利润上都是如此。用户必须输入反映其偏好的公式。基于这些偏好，用户仅获得与他们相关的概念我们也将简要讨论非复合属性的公式。公式由用户输入，因此它们可能是多余的。 具有一组非冗余公式便于它们的进一步研究和改变。因此，我们将研究这样的非冗余公式集的计算本文是[17]的扩展版本。新的结果给特殊类型的公式和闭包算子之间的连接，并到非冗余公式集的计算进一步深入了解。此外，我们说明了一个真实世界的数据集上的方法。从清晰的形式概念分析中有与我们相关的工作。在[8]中引入了属性依赖公式。这些公式也对概念施加了约束，但不是为复合属性设计的。 本文我们将简要地讨论它们的模糊性，看看它们是否适合我们的在[ 28 ]中提出了一种在清晰的形式概念分析框架内对用户偏好进行建模的不同方法从用户对对象的偏好开始，得到概念上的偏好关系，然后得到属性上的偏好关系该方法将偏好逻辑嵌入到C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）3739形式概念分析工具。因此，该方法与我们的方法具有不同的性质。在第2节中，我们回顾了模糊集和模糊逻辑的一些基本概念形式模糊概念分析的基础知识将在第3节中介绍。在那里，我们还熟悉了一个真实世界的数据集，它将作为我们的运行示例。主要工作从第四节开始，首先是我们的模糊用户的偏好公式的发展，在第5节中，我们将注意力转向这些公式的非冗余基的计算。在本节的最后，我们将简要讨论非复合属性的公式。结论性意见和未来工作见第6节。2模糊集与模糊逻辑在这一节中，我们介绍一些关于模糊集和模糊逻辑的基础知识。感兴趣的读者可以在[18，4]中找到更多细节模糊集和模糊逻辑的基本思想诞生于1965年，当时Zadeh出版了[34]。在那里，他指出，人类使用的描述既不是黑的也不是白的，而是从黑到白的逐渐过渡。他指出，经典数学是无法掌握这些不尖锐的概念。与二价原则相矛盾的是，扎德指出，除了“完全属于”和“完全不属于”之外，还有不同的情况属于模糊集。因此，成为一个模糊集的成员是一个分级的问题。因此，不是只有“是”和“否”，或者1和0，我们有一个潜在的无限真值集。这个集合用L表示，人们通常将其作为具有自然排序的实单位区间[0， 1]的子集，其中0表示（完全）假，1表示（完全）真。 现在我们要寻找L上的运算，它模拟逻辑连接词。由于模糊理论是经典数学的推广，如果我们限制1.真理是真理，真理是真理，真理是真理。 L={0，1}。代数结构，满足所需属性（见[18]）的称为剩余格，在定义2.1中。扎德的重要著作包括[35]关于语言变量（例如，可能值在这些著作中，模糊逻辑的两种不同含义之间的有用区别总是被显示出来。让我们来看看[27]：在狭义上，模糊逻辑，FLn，[…]是多值逻辑的一种扩展。然而，FLn的议程与传统的多值逻辑的议程有很大的不同.特别是，FLn中的关键概念，如语言变量的概念，规范形式，模糊if-then-rule，量化和defuzzi-fication，推理的合成规则，[。. . ]在传统系统中没有解决。[. . .在广义上，模糊逻辑，FLw，是模糊的同义词与模糊集理论，这是理论的类与不尖锐的边界。40C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）37∗⎧b/a，a; b.马克二世模糊理论在理论和实际应用中都得到了成功的应用。考虑到后者，其主要突破来自于Mamdani和Assilian在[26]中开发的模糊控制器。这里我们不列出模糊理论的各种应用，例如，在[21]中可以找到广泛的参考文献定义2.1具有（强调真值）对冲L：=（L，→，，0， 1）的完全剩余格由下式给出：(i) （L，0，1）是一个完全格，(ii) （L，n，1）是一个交换幺半群，(iii) 伴随性质，即，a→b≤c惠a≤b→c对所有a，b，c∈L成立. 套期保值（-）是L上的一元运算，满足以下条件：(i)a≤a，(ii)（a→b）n≤an→bn，(iii)a=a，(iv)1 = 1，对任意a，b∈L.L的元素称为真度或真值，（，→）是伴随对。模糊限制语（−）是逻辑连接词“very true”的（真值函数）性质（i）-（iv）具有自然的解释，即，(i)可以读作对于所有a∈L，a=a，以及全球化，即，对于所有的a∈L\{1}，a ∈ L：= 0，且a：= 1当且仅当a= 1。L的一个常见选择是L= [0，1]，并且作为最小值和最大值，并且（n，→）作为[0，1]上三对最重要的伴随运算之一：L~ukasiewicz：ab：=max（0， a+b−1），所以a→b=min（1，1−a+b），哥德尔：a∈b：=min（a，b），所以a→b=n ∈1，a≤b，a;b，积：a<$b：=ab，所以a→b=<$1，a≤b，定义2.2设L是剩余格。 集合U上的L-集合A是映射A：U→L。在L-集合A中，A（u）被解释为 我们用u ∈ A表示A（u）= 1的事实。 如果U ={u1，...， un}，则A可以表示为yA={l1/u1， . ，ln/un}，这意味着A（ui）等于li，对于eachi∈{1， . ，n}。特别地，如果u1∈A且A（u2）=0，则我们可以简单地得到A={u1，l3/u3， . ，ln/un}C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）3741代替A={1/u1，0/u2，...， ln/un}。令LU表示U上所有L-集的集合.任意/二进制间-L-集的任意/二元并被定义为分量式的。例如，L-集合A，B∈LU的二元交是U中的L-集合A<$B，由（A<$B）（u）：=A（u）<$B（u）对每个u∈U，等等.我们在本文中使用的另一个关于L-集的运算是L-子集度，定义如下：定义2.3两个L-集合A，B∈LU的L-隶属度定义为S（A，B）：=u∈U（A（u）→B（u））。因此，S（A，B）表示A是B的子集的程度。特别地，我们写A<$B当且仅当S（A，B）= 1。定义2.4集合X和Y之间的二元L-关系R是L-集合R：X×Y→ L。定义2.5[3，6]给定一个集合U，一个L-闭包算子是一个映射C：LU→LU，满足A、C（A）、（1）S（A1，A2）≠S（C（A1），C（A2）），（2）C（A）= C（C（A）），（3）对任意A，A1，A2∈ LU. 此外，S：={Aj∈ LU|j ∈ J}称为L-闭包系统，如果对于每个A∈LU，（S（A，Aj）→Aj）∈S，（4）j∈J哪里j∈J（S（A，Aj）<$→Aj）是由下式给出的L-集：.S（A，Aj）<$→Aj<$（u）：=（S（A，Aj）<$→Aj（u））对于每个u∈U。j∈Jj∈J如果我们选择全球化作为对冲（见定义2.1下面的段落），那么（2）和（4）分别变为A1<$A2=<$ C（A1）<$C（A2）和（S（A，Aj）<$→Aj）=j∈J一个j。定理2.6[3，6]系统S：={Aj∈LU|j∈J}在任意交下是闭的，它是L-闭包系统当且 仅 当 对 任 意 l∈L ，A∈ S ， 则 l<$→A∈ S 成 立 ， 其 中 l<$→A 表 示 由（l<$→A）（u）：= l<$→A（u）定义的L -集，对于每个u∈U。j∈J，A<$Aj42C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）373形式模糊概念分析在下文中，我们简要介绍了形式模糊概念分析[31，4，9]。定义3.1设L是剩余格。一个三元组（G，M， IL）称为L-上下文，如果IL：G×M→L是集合G和M之间的二元L-关系。来自G和M的元素分别称为对象和属性。L-关系IL赋予每个g∈G和每个m∈M一个真度IL（g，m）∈L，对象g具有该真度的属性m。 IL（g，m）的动词意义=l是有时我们使用缩写K表示（G，M，IL），如果我们所指的上下文很清楚的话L-上下文可以表示为表，参见图1。因此，行以对象命名，列以属性命名，并且对应于行g和列m的单元中的条目l意味着IL（g，m）=l。定义3.2给定一个L-上下文（G，M，IL），对于L-集合A∈LG和B∈LM，导子算子（−）↑：LG→LM和（−）↓：LM→LG定义为：A↑（m）：=（A（g）→I（g，m）），g∈GB↓（g）：=（B（m）↓→I（g，m））m∈M其中g∈G，m∈M，（−）是L的对冲。则A↑（m）∈L是陈述“m被来自A的所有对象共享“的真度定义3.3L-上下文（G，M，IL）的L-概念是一个元组（A，B），其中A∈LG，B∈LM使得A↑=B且B↓=A。 故A称为范围，B称为（A，B）的意图我们表示给定上下文的所有L-概念的集合（G，M，IL）乘以B（G，M，IL）。对概念格的标记特别感兴趣的是对象和属性概念。对于一个对象g∈G和一个真值l∈L，我们称（{l/g}↑↓，{l/g}↑）g对于值l的对象概念。类似地，（{l/m}↓，{l/m}↓↑）是m对于值l的属性概念，对于属性m∈M和真值l∈L。概念用于分类。因此，子概念-超概念关系起着重要的作用。定义3.4设（ A1，B1），（A2，B2）是（G，M，IL）的两个L-概念L-概念（A1，B1）称为（A2，B2）的子概念，写作（A1，B1）≤（A2，B2），当且仅当A1<$A2（或等价地，B1<$B2）。然后，我们称（A2，B2）为SU-（A1，B1）的概念C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）3743t∈Tt∈Tt∈Tt∈Tt∈Tt∈T（G，M，IL）的所有L-概念的集合由这个概念序形成一个完备格，L-概念格，记为B（G，M，IL）：=（B（G，M，IL），≤）。如果L的hedge是单位元，则L-概念格的结构如下：定理3.5[31，4]设（G，M，IL）是L-context.那么，B（G，M，IL）是一个完全格，其中下确界和上确界由下式给出：（At，Bt）=. At，（Bt）↓↑，（5）（At，Bt）=.（At）↑ ↓，Bt↓。（六）此外，每个完备格同构于某个L-概念格.如果我们用任意模糊限制语代替身份模糊限制语，则如[9]所示，表达式（5）和（6）变为（At，Bt）=. （At）↑ ↓，（Bt<$）↓ ↑↓和（At，Bt）=.（At）↑↓，（Bt）↓↑↓，分别t∈Tt∈Tt∈T例3.6考虑图1所示的真实世界数据集。 它是2012年城市排名的一部分。每一种品质，即，就业市场、人口统计等，基于各种属性进行评估。在初始数据集中，属性值的范围从0到100。在这里，我们将它们映射到5个元素链（0-20到0，21-40到0.25等），其中0表示非常差，0.25表示差，0.5表示好，0.75表示非常好，1表示优秀。因此，一个城市的属性值越高，它的评价就越好。 这个属性。 数据可以被视为定义3.2之前描述的L-上下文。虽然这些属性在很大程度上是不言自明的，但让我们简单地描述一下它们及其解释。• 高质量：高质量的比率是高生产率、高收入和高创新的指标。• 就业增长：与前几年相比进行衡量• 就业率：是城市所有雇员和居民的比率。• ratio minor：此属性的高值表示人口年轻，是家庭友好的指标。它也可以被看作是未来经济发展的一个估计器。• 人口增长：是城市吸引力的指标。• value/head：反映支付义务之后的贷款余额。t∈Tt∈Tt∈T44C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）37• BIP vs. previous year：是德国的国内生产总值（GDP）。C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）3745公寓租价Rp0.50.250.50.50.50.250.750.2510.750.250.50.50.750.250.750.50.2510.50.50.250.750.50.750.25一口价br0.50.250.50.250.250.250.750.250.7510.250.50.50.50.250.50.50.2510.50.50.250.750.750.50.25生活质量教育e0.750.2510.25000.50.50.510.50.750.50.50.25100.250.250.75010.750.50.50.5犯罪率CR00.50.25000.2500.500.2510.750.2500.250.50.50.510.50.7510.510.750.75文化设施cf10.250.50.250.250.250.50.750.50.750.250.2500.7500.250.25010.50.500.50.2500.25中心地位冰访问ICE0.50.5000.250.750.750.510.2510.2500.7500.25100.500.7500.250.2500.25高速公路入口fa0.50.50.7500.2510.2510.50.50.250.50.750.50.250.50.750.50.50.250.5100.250.750.5机场乘客AP0.500.250.250.2500.5010.250.25000.250000100.2500.25000财富BIP与上一年BIP0.250.250.250.250.750.50.50.750.50.250.50.500.250.250.50.750.250.50.50.500.50.750.250.25值/头VH00.250.750.250.25010.50.750.750.50.500.750.250.750.250.2510.750.50.250.750.50.750.25人口学人口增长PG0.50.250.50.50.250.250.750.250.510.50.50.50.750.2510.50.2510.50.500.250.50.50.25比小调RM0.50.510.50.7510.50.750.750.750.750.50.50.750.750.50.510.50.750.50.50.50.7510.75就业市场就业率儿000.50.25001010.2500.750.50.500.50.500.50.50.750.250.7510.250增聘ei0.250.250.250.250.750.50.750.50.50.750.250.250.250.750.250.750.50.250.510.500.250.750.250高质量的HQ0.50.2510.50.2500.750.250.750.50.250.750.250.5010.5010.750.250.2510.750.50B：BerlinBO：BochumBN：BonnHB：BremenDO：DortmundDU：DuisburgD：DüsseldorfE：EssenF：法兰克福HH：汉堡H：汉诺威KA：卡尔斯鲁厄KI：基尔K：KürkenKR：KrefeldMZ：MainzMA：MannheimMG：M-Fig. 1. 数据来自http：//www.dekabank.de。它是2012年城市排名的一部分。46C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）37∈N• 机场乘客：指的是机场的重要性以及到达城市的便捷程度。• 高速公路、ICE通道：是衡量流动性的关键指标，因此这些属性是城市吸引力的重要指标• 文化设施：它们的数量被用作城市在文化景点上花费的代表。• 犯罪率：根据警方统计数据确定。一个高值的• 教育：教育程度是根据具有大学入学一般资格的• 购买，租金价格：除了迄今为止列出的其他定性和定量因素外，这些属性在城市例如，柏林在文化设施方面被评为优秀，在教育方面非常好，在高质量方面良好，比例较小等，就业增长和BIP不佳，就业率、价值/人数和犯罪率非常差对于对象，我们将使用城市名称的缩写，对于属性，我们将使用表中第四行中给出的缩写。 显然是数据的真值为{0，0. 25，0。五，零。75，1}。你让卢-乌克·谢维奇加入进来对我们获得288个L-概念。例如（{0。2 5/BN，0. 2 5/HH，0. 2 5/KA，0. 2 5/KI，0. 5/MZ，0. 2 5/M，0. 2 5/MS，0. 5/S，0. 25/UL，0. 25/WI}，{总部，0。75/ei，呃，rm，0。75/pg，0。75/vb，0。75/BIP ，0。5/ap，0。5/fa，0。75/ICE，0。75/cf，e，br，rp}）是一个L概念。它的意图描述了一组城市，即， 在hq、er、rm、e、br、rp方面被评价为优秀的城市，在ei、pg、BIP、ICE、cf等方面被评价为非常好的城市。因此，意向主要是具有良好就业市场和廉价公寓的城市。这个描述部分地适用于MZ和S城市，而其他城市在一定程度上只与这个描述相对应。模糊集合中的属性蕴涵主要是由Byelohl′a vek和Vy ch odil在一系列论文中提出和研究的，例如[5]。 设L是剩余格，（G，M，IL）是L-context.一种模糊属性蕴涵是一个元组（A，B），其中A，B∈LM. 对于这样的元组，我们有以下内容他说：“如果一个物体具有所有的A，则它也具有来自B 概念将模糊属性含义的解释符号化我们把（A，B）写成AB设A∈B是LM上的模糊属性蕴涵. 对于一个L-集N ∈ LM，||A组B组||A∈B在N中成立的N ∈ L定义为：||A组B组||N：= S（A，N）→S（B，N）。对于NLM，||A组B组||N∈L，其中蕴涵A∈B在N中成立，定义为：||A组B组||N：=N||A组B组||N.用K表示L-上下文（G，M，IL）。程度||A组B组||K∈L，A∈ BC.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）3747LL在K中，定义为||K：=||A组B组||N，||N,其中N：={Ig|g∈G}，Ig∈LM是K中g所标的行.设T是LM上的模糊属性蕴涵集。一个L-集合N∈LM称为T的一个模型，如果||A组B组||对于每个A ∈ B ∈ T，N=1。对于L上下文，可以计算一组非冗余的含义，从该含义可以得出上下文有兴趣的读者可以参考[5]。例3.7我们已经在前面的例子中讨论过，图1中的数据可以被转换为L-conn文本，我们选择L-ukasiewicz伴随对运算。 我们有模糊 的含义||艾哈格||= 0。5,如果我们用这个身份作为对冲。 如果我们利用全球化，||=1。||= 1.4用户在本节中，我们首先介绍我们的公式，并通过一个例子说明它们的有用性。在我们研究了它们的一些基本性质之后，我们提出了两种方法来消除它们的冗余。这些技巧对于公式的简便处理很重要。第一种方法以简单的方式起作用，第二种方法基于公式和模糊属性含义之间的联系。定义4.1设M是集合，L是剩余格。在L M上的用户对于UP公式（A，B），我们考虑以下解释：象征这个解释我们写A≤B而不是（A，B）。定义4.2LM上的UP公式A≤B在L-集合N∈LM中为真，α，β∈L0且α≤β，w∈N|=α，βA≤B，如果满足以下条件：满意：若S（A，N）≥α，则S（B，N）≥ β.（七）对于UP公式或UP公式的集合T，α和β的值称为A≤B或T的阈值。一个L-概念（C，D）∈B（G，M，I）满足A≤B，如果D| = α，βA≤ B。UP公式允许提取的L-概念的双侧建模。一方面，α和β提供了意图必须包含的阈值 A和B的所有元素。另一方面，包含在A和B中的元素的真度确定了我们希望属性包含在满足UP公式的概念的意图中的阈值。这些公式给出48C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）37我们有很多回旋余地。虽然所有公式的阈值都是固定的，但我们可以通过L-集合A和B来控制属性的重要性。我们将在接下来的例子中说明这一事实。为了符号简单，我们有时会省略α和β，|= α，β提供从框架上看是清楚的。在应用程序中，将剩余格L的一些文字描述。这允许用户更好地理解真相。 对于实例，令L={0，0.25，0。五，零。75，1}是某个剩余格的支撑集。 其相关的口头描述可能是L={不重要，不太重要，重要，非常重要，最重要}，即0 =不重要，0。25 =不太重要，等等。例4.3考虑图1中显示的L上下文的属性集.一个人可能会倾向于人口统计学不如工作重要市场并通过UP公式{rm，pg} ≤{0. 5/hq，ei，er}含义较小比率（rm）和人口增长（pg）重要性低于较高比率合格（HQ）、就业增长（EI）和就业率（ER）。在这个公式中，人们认为在更重要的属性中，高度合格的属性比其他属性更不重要定义4.4B（G，M，IL）中满足给定集合的所有L-概念的集合用BT（G，M，IL）表示LM上具有阈值α，β的UP公式的T，即BT（G，M，IL）：={（C，D）∈ B（G，M，IL）|D |= α，βA ≤ B，对每个A≤ B ∈ T}.我们把BT（G，M，IL）与约束概念序一起称为T约束的（G，M，IL）的L-概念格，记为BT（G，M，IL）。在下面的定理中，我们将证明在为用户选择了相关的形式概念之后，我们仍然有一个完整的格。这很重要，因为在应用用户的偏好之后，我们可以使用网格来进一步分析数据。例如，用户可以在形式概念之间浏览，从更一般的概念到更具体的概念。定理4.5设T是 L_M上的UP公式集，其阈值为α和β设（G，M，IL）是L-context。 则BT（G，M，IL）是一个完备格，-B（G，M，IL）的子格。证据显然，BT（G，M，IL）是B（G，M，IL）的偏序子集，且BT（G，M，IL）具有限制的概念序.此外，注意BT（G，M，IL）从下面有界，因为B（G，M，IL）的最小L -概念（M↓，M）满足每个UP公式。现在，我们必须证明BT（G，M，IL）在B（G，M，IL）的任意上确界下是闭的。因此，我们使用定理3.5。到设（Aj，Bj）∈BT（G，M，IL）（j∈J）是L-概念.由于阈值α和β是固定的，我们在后续中省略了它们。对于任何UP公式A≤B∈T，我们有Bj|= A≤B，对于每个j∈J。现在，如果存在j∈J，使得Bj（a）<α，对于某个a∈M，且A（a）>0< ，则由于C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）3749则<$j∈JBj|=A≤B。 如果对所有j∈J和所有a∈ M都满足A（a）> 0，则对所有a ∈ M都满足A（a）>0，则对所有a ∈ M都有Bj（a）≥α。 由于Bj|=A≤B对所有的j∈J成立，当所有的j∈J和b∈M都满足B（b）>0时，都有Bj（b）≥ β. 因此，对于所有b∈M，如果B（b）>0，则<$j∈J B j（b）≥ β，从而得出<$j∈JBj|=A≤B，证明了BT（G，M，IL）在任意上确界下是闭的.Q注4.6注意，一般而言，BT（G，M，IL）在B（G，M，IL）中的任意下界下都不是闭的为了提供反例，可以使用定理3.5。例4.7假设一个人想找出哪个城市最适合他，并考虑图1中的数据。他对属性的偏好顺序如下：{就业市场} ≤ {生活质量}，{中心性} ≤ {就业市场，生活质量}，{公寓} ≤ {中心性}，{人口统计学} ≤ {就业市场，财富}。他通过以下α = 0的UP公式来表达这些偏好。75且β= 1：{0。25/rm，0. 5/pg}≤{hq，0. 75/ei，0. 5/er，0. 75/vh，0. 75/BIP}，{0。25/ap，0. 5/fa，0. 5/ICE}≤{hq，0. 75/ei，0. 5/er，cf，0. 75/cr，0.5/e}，{0。75/b r，0. 75/rp}≤{0。75/fa，0. 75/ICE}，{hq，0. 75/ei，0. 5/er}≤{cf，0. 75/cr，0. 5/r}。这里我们可以看到UP公式的双侧建模例如，使用第一个公式。虽然这个人认为人口统计学不如就业市场和财富重要，但他区分了复合属性的特征。比如在就业市场上，他认为hq很重要，ei重要，er不那么重要。回想一下，图1中数据的L-概念格有288个L-概念.将上面的公式应用于数据，用户仅获得图2中的L-概念格中所示的22个L-概念。我们将在一分钟内解释如何阅读这些图表。 在288人中，只有 22个概念，满足用户的偏好，这是足够的，他只调查那些。此外，用户可以容易地改变公式并且将获得不同的概念集合为了概念格的易读性，实际上可以使用简化的标签[16]，而不是在每个概念旁边写上它的范围和意图，这会使图过载。我们可以通过以下方式找到任何概念的范围和意图：范围是通过收集位于该概念节点的所有对象而形成的，并且可以通过从概念向下的线路径到达。由于我们是在一个模糊的设置，同一个对象可能会出现不同的真值在一定程度上。然后，我们必须取这些真度的最大值。Intent由所有属性组成，其最高值位于概念的节点处在概念格中，标记对象是足够的50C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）37. 25/br，. 25/pr，. 25/rm. 25/cf，. 25/pgD，.75/HB.5/faDU，. 75/DOH、MS、S、U LBO，M，MA MG，N，. 75/DUB、BN、F、HH K、KI、.75/DKA，W，W I，. 75/BO，. 75/KR，. 5/MG，. 5/DO，. 5/HBfa，25/hqE，.75/KI，. 5/DU，. 25/DOe，。25岁，. 25/总部CR，25/er，. 25/总部. 75/H，. 75/M，. 75/UL，. 75/WMZ，. 75/HH，. 75/MS，. 5/D，. 5/S，. 25/HB. 75/BN，. 5/B，.5/F. 5/HH，. 5/K，.5/KI. 75/KA，.5/H，. 5/MS，.5/UL. 75/WI，. 5/BO，. 5/M. 5/MA，. 5/MG，. 5/N，.25/DUBIP，br，cf，ei，hq，ICE，BIP，br，cf，ei，hq，pg，pr，rm，vh，SB，. 5/E，. 5/KA，. 5/兆赫兹. 5/W，. 5/W I，. 25/KI. 25/KR，. 25/MG，. 25/MSpg，pr，rm，. 75/ap，. 75/cr，. 75/er，. 75/vh. 25/B，.25/D，. 25楼，25/K儿. 75/ap，. 75/er，.75/ICE. 25/BN. 25/S儿BIP，br，cf，ei，hq，ICE，PG，PR，RM，VH，. 75/ap，. 75/er，. 75/fa. 25/BO，. 25/E，. 25/H. 25/HH，. 25/KA，. 25/MZ，. 25/M，. 25/UL图二、图1中的上下文的L-概念格受例4.7中的UP公式的约束。概念与相应的对象（见第3节），以及属性概念与相应的属性。然而，由于我们的格是初始概念格的子格，我们不得不多次使用某些属性标签。无论如何，找到一个概念的范围和意图的工作方式与上面解释的相同。 例如，以L-概念为例，它的结点被涂成黑色. 其范围是{. 75/KA，. 5/H，. 5/MS，. 5/UL、SB、. 5/E，. 5/MZ，. 5/W，. 5/WI，.25/KI，. 25/KR，. 25/MG，. 25/BO，. 25/BN}，其意图是{cr，. 25/er，. 25/hq，e，. 5/fa，. 25/cf，. 25/pg，.25/br，. 25/pr，C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）3751. 25/rm}。命题4.9展示了UP公式的进一步性质。一方面，它允许我们以简单的方式减少公式的数量另一方面，它允许测试的语义蕴涵更简单的公式。在提出这个命题之前，我们需要介绍一些进一步的概念。52C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）37定义4.8设T是LM上的UP公式集，α，β是其阈值。一个L-集N∈LM是T的一个模型，如果N| = α，βA≤B对每个A≤B∈T成立。设Mod（T）表示T的所有模型的集合，即，Mod（T）：={N ∈ LM|N |= α，βA ≤ B，对每个A ≤ B ∈ T}.UP公式A≤B在语义上从T得出，记为T| = α，βA≤B，如果对每个N∈ Mod（T），我们有N| = α，βA≤ B。命题4.9i）Le t N∈LM. Ten，N|=α，βA≤{l1/m1， . ，ln/mn}当且仅当N|= α，βA≤{li/mi}，对于所有i ∈ {1，.，n}。ii）设T是L M上的UP公式集，T是L M上的UP公式集.然后，T| = α，ββ当且仅当[T |= α，β，其中[T：={A ≤ {l/m} |A ≤ B ∈T且B（m）= l}.证据i）如果N平凡地满足公式S（A，N）<α，那么我们就完成了。现在假设它以非平凡的方式满足公式然后，我们有S（A，N）≥ α和S（{l1/m1， . ，ln/mn}， N）≥β. 通过S的定义，后者成立当且仅当we有S（{li/mi}， N）≥β，对于所有的li∈{1， . ，n}。 Thus，N|=α，βA≤{li/mi}，对于所有i∈ {1，.， n}。ii) 我们必须证明M od（T） =Mod（[T]）. 对于第一个包含假设，M o d（T）<$M o d（[T]）. 则存在一个模型N∈Mod（T）使得N∈/M o d（[T]）。 设A≤B∈T是一个上凸模. 因为N是T的模，所以我们具有N| = α ，βA≤B。对于任意m∈M，B（m）= l，有M|=α，βA≤{1/b}，a为常数。因此，S（M o d（T），M o d（[T））=1。 利用i）的逆蕴涵，可以证明S（Mod（[T]），M od（T））=1，从而得到M od（[T]）=Mod（T）.Q5UP公式通常，用户输入的公式是多余的。然而，一组非冗余的公式更容易遵循和修改.因此，在下文中，我们将开发用于消除冗余的方法。为此，我们首先研究了一系列命题中UP公式模型与L-闭包系统（定义4）之间的联系。结果表明，任何L-闭包系统都可以用一组UP公式来描述命题5.1设T是UP公式的集合。那么，Mod（T）是一个L-闭包系统，其中（-）是全球化。证据 设T是L M上的UP公式的集合，具有阈值α，β和Mod（T）：{Nj|j∈J}。根据定理2.6，Mod（T）是L-闭包系统当且仅当它在任意交下是闭的，并且l-→N是T的模型，对任意N∈Mod（T）和任意l∈L.首先我们证明了Mod（T）在任意交下是闭的，即，j∈JNj是T.这部分证明与定理4.5的证明类似，将被省略。C.V. Glodeanu/电子笔记理论计算机科学303（2014）3753n= 1，否则为S（A，N）。现在我们证明定理2.6的第二个条件。然而，这个条件只有在（-）a是全球化的情况下才成立那么，我们有S（A，l→N）=l→S（A，N）=l1，l∈[0，1），也就是说，如果l∈[0，1），l →N平凡地满足任何UP公式，或者在l= 1的情况下，我们没有得到任何新的NQ为了使用一般的模糊限制语，但仍然有命题5.1的结果，我们必须对阈值施加一些限制推论5.2设T是L M上的UP公式集，其阈值为α = β = 1.则Mod（T）是一个L∞-闭包系统.证据命题5.1的证明的第一部分仍然成立。对于第二部分，我们仍然需要证明，对于任意N∈Mod（T）和任意l∈L，l∈ N →N是T的模型。设A≤B∈T.然后，我们有S（A，l→N）=l→ S（A，N），l→S（A，N）=l1，（l=0）orr（l=1andS（A，N）=1），由于我们选择α=β= 1，我们有S（A，N）= 1或S（A，N）= 0。因为这同样适用于S（B，l→N），所以我们完成了Q基于前两个结果，我们有以下结果：命题5.3设S是M上的L-闭包系统。以下情况成立：(i) 存在LM上的UP公式的集合T，其中阈值α=β= 1，使得S= Mod（T）。(ii) 存在LM上的UP公式的集合T，使得S= Mod（T），条件是（二）全球化。证据 i）通过T：={A≤CS（A）}定义UP公式的集合T |A∈LM}，其中CS（A）是A的闭包，由一个L-闭包算子CS给出.由于α和β是固定的，我们将在|=.设N∈S，即，N=CS（N）。我们必须证明N是T的模型。因此，设N| = A≤CS（A），对每个A≤CS（A）∈T.如果S（A，N）<1，则N| = A≤CS（A），我们就完成了。现在取S（A，N）≥1，意味着A<$N。由于CS是闭包算子，我们有CS（A）<$CS（N）=N，因此S（CS（A），N）≥1，即，N| = A≤CS（A）。因此，N是T的模型，我们有第一个包含，即SMod（T）。设N∈Mod（T）.由于S（N，N）≥1显然成立，我们也必须有S（CS（N），N）≥1，得到N=CS（N），即，N∈
