埃及数学学会L-双Fuzzy拓扑空间中的新函数

+Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，424埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章L -双Fuzzy拓扑空间中的弱半预开A. Ghareeb埃及Qena南谷大学理学院数学系接收日期2015年7月4日;修订日期2015年7月31日;接受日期2015年2015年9月28日在线发布本文在L -双Fuzzy拓扑空间中引入了一类新的函数，称为L-双Fuzzy弱半预开（半预闭）函数。讨论了该类的一些刻画及其性质，并讨论了它与L-双Fuzzy拓扑空间2010年数学科目成绩：54A40，版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍自Zadeh[1]定义模糊概念以来，模糊概念已超越了数学的几乎所有分支。模糊集在许多领域都有应用，如信息[2]和控制[3]。模糊拓扑空间的理论是由Chang[4]首次定义和发展 的 ， 从 那 时 起 ， 一 般 拓 扑 中 的 各 种 概 念 被 推 广 到ChangŠostak[5] 和 Kubiak[6] 介 绍 了 Fuzzy 拓 扑 作 为 ChangFuzzy拓扑的推广联系电话： 201014725551。电子邮件地址：nasserfuzt@hotmail.com，a. sci.svu.edu.eg同行评审由埃及数学学会负责。topology.它已经在许多方向发展。Šostak [7]还发表了一篇关于模糊拓扑空间的发展领域的综述文章。常把Chang的Fuzzy拓扑称为直觉模糊集[8]已被发现是高度prof- itable处理的模糊性。虽然模糊集只给论域中的每个元素一个隶属度，非隶属度等于1减去隶属度，但在直觉模糊集理论中，这两个度或多或少是独立的。直觉模糊集遵循拓扑学中模糊集的相同步骤Chuoker和他的同事[9-此后，萨曼塔和蒙达尔对开放性的直觉模糊等级进行了定义[12，13]。在“直觉主义”一词下工作是不2005年，Dubois et al.[14]显示S1110-256X（15）00058-9 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.08.003制作和主办：Elsevier关键词L-双模糊拓扑;L-双模糊弱半预开函数;L-双模糊弱半预闭函数L -双Fuzzy拓扑空间中的弱半预开425TTT T∈T T→T T∈T T T≥T T≤T≤电子邮件XX≥≥∈≤≺ ⊆≤≺∈∈ ≺ ∈≺XXX∈∈ ∈∈- {}==→诱导dbyfasusual，i.例如，fUyUxand d∈ ==电子邮件T T−→T（）∈∈=直觉模糊集理论存在术语上的困难。同年，阿塔纳索夫[15]回应了杜波依斯为他的概念辩护的问题。Gutiérrez Garcia和Rodabaugh[16]结束了这些控制。他们证明了这个术语在数学及其应用中是不合适的他们的结论是在“双重”一词下工作。在“直觉主义”一词下研究的概念被赋予了新的名称。用双模糊拓扑代替直觉模糊开度等级.在L-双Fuzzy拓扑空间中，基于（r，s）- Fuzzy半预开子集和（r，s）-Fuzzy半预闭子集的概念，定义了新的函数，并研究了它们的一些性质.2. 预赛（L，，，，r）是完备DeMorgan代数，X是非空集.LX是X上所有L-子集的集合.LX中的最小元素和最大元素表示为分别为和。一个完备格L是一个完备Heyting代数，如果它满足以下无限分配律：对于所有a∈L和所有B∈L，一个 B ={a b |b ∈ B}。L中的一个元素a称为素元素，如果a≥b<$c意味着三元组（X，，X）称为L-双Fuzzy拓扑空间。（U）和可以将U（U）解释为U是开L-子集和U是闭L-子集的程度。称函数f：（X，T1，T1<$）→（Y，T2，T2<$）关于L-双模糊拓扑（T1，T1<$）和（2，2<$）连续，如果1（fL<$（V））2（V）和1（fL←（V））对于所有VLY，2π（V）成立。对于a，b，L和函数，L：LX L，我们使用以下符号：T [a，b]={A ∈ LX|T（A）≥ a，T∈（A）≤ b}.下面的定理的证明很简单，因此省略了。定理2.1. 设（X，，X）是L-双Fuzzy拓扑空间。则以下条件是等价的：(1) （T，T∈）是X上的L-双模糊拓扑;(2) T[a，b]是X上的L-拓扑，其中a ∈ J（L），b ∈ P（L）.定理2.2[11，20]. 设（X，T，T∈）是L-双Fuzzy拓扑空间。 然后，对于每个r ∈ L，s ∈ LT和U ∈ L X，我们定义一个算子CT，T：L×L×LT→L如下：C T，T（U，r，s）={V ∈ L X|U ≤ V，T（Vr）≥ r，T ∈（Vr）≤s}.B或C。L中的元素a称为互素，如果r是素数[17]。L中的非单位素元的集合记为P（L）。L中的非零互质元素的集合由J（L）表示。L中的二元关系定义如下：对于a，bL，ab当且仅当对于每个子集DL，关系b sup D总是暗示存在具有a d的dD [18]。在完全分配DeMorgan代数L中，每个元素b都是{aL|a b}。 一个集合{aL|ab}在[15，19]的意义下被称为b的最大极小族，表示为β（b），且β<$（b）=β（b）<$J（ L）。对于b∈L，我们定义α（b）={a ∈ L|ar<$br}和α<$（b）= α（b）<$P（L）。LX中的L-模糊点是L-子集xλ，其中λ L<$L，使得x λ（y）λ当yx，否则。对于L-子集U，V LX，我们写UqV表示U与U准重合（简称q重合），即，存在至少一个 点x ∈ X使得U（x）U（x）r. 负-对于U，VL，r，r1L和s，s1LT，运算符C T，T满足以下声明：(C1) C T，T（，r，s）=.(C2) U ≤ CT，T∈（U，r，s）.(C3) C T，T<$（U，r，s）<$C T，T<$（V，r，s）= C T，T<$（U<$V，r，s）.(C4) CT，T<$（U，r，s）≤ CT，T<$（U，r1，s1）若r ≤ r1且s ≥ s1.(C5) C T，T（C T，T（U，r，s），r，s）= C T，T（U，r，s）.定理2.3[11，20]. 设（X，T，T∈）是L-双Fuzzy拓扑空间。 然后，对于每个r ∈ LT，s ∈ L和U ∈ L X，我们定义一个算子IT，T：L×L×LT→L如下：I T，T<$（U，r，s）={V∈L X|V≤U，T（V）≥r，T∈（V）≤s}.对于U，V∈LX，r，r1∈LT，s，s1∈L∈，这样的陈述的作用表示为U<$qV。设f：X→Y为一个脆脆的苹果。则一个nL-模糊映射fL→：LX→LY是L （）（）= x X，f（x）y（）下一页fL←（V）（x） V（f（x））.一个L-拓扑空间（或简称L-空间）是一个对（X，τ），其中τ是包含，而在任何一个地方，都有一个绝对的，绝对的，绝对的。τ称为X上的L-拓扑. τ的成员称为开L-子集，它们的补集称为闭L-子集.2.1.1[2019 - 02 - 13] 函数对、型号：L XL称为X上的L-双模糊拓扑，如果它满足以下条件：(O1) T（）=T（T）= T和T（）=T（T）=。(O2)T（U）≤T（U）r.(O3)T（U<$V）≥T（U）<$T（V）且T<$（U<$V）≤T<$（U）<$IT，T确认以下声明：(I1) I T，T<$（U r，r，s）= C T，T<$（U，r，s）r.(I2) I T，T（T，r，s）= T.(I3) I T，T<$（U，r，s）≤ U.(I4) I T，T<$（U，r，s）<$I T，T<$（V，r，s）= I T，T<$（U<$V，r，s）.(I5) I T，T<$（U，r1，s1）≤ I T，T<$（U，r，s）若r ≤ r1且s ≤ s1.(I6) I T，T（I T，T（U，r，s），r，s）= I T，T（U，r，s）.(I7)若IT，T<$（CT，T<$（U， r， s）， r， s）=U，则CT，T<$（IT，T<$（Ur，r， s）， r， s）= Ur.定义2.2. 设（X，T，T∈）是L-双Fuzzy拓扑空间.对于U∈LX，r∈L<$且s∈L<$，U称为：(1) 一个（r，s）-模糊预开（resp.（r，s）-模糊预闭）[21]如 果 U≤IT ， T<$ （ CT ， T<$ （ U ， r ， s ） ， r ， s ）（resp.CT，T<$（IT，T<$（U， r， s）， r， s）≤U）.1995年 对于每个U，VL X。(O4)T（i∈ <$U i）≥i∈ <$T（U i）和 T（i∈<$U i）≤i∈T(2) 一个（r，s）-模糊正则开（resp.（r，s）-模糊正则闭）[22]如果U=IT，T（CT，T（U， r， s）， r， s）（分别U=（Ui）对任意{Ui}i∈LX.CT，T中文（简体）426A. GhareebT，Tn（U，r，s），r，s））。L -双Fuzzy拓扑空间中的弱半预开427不我∈ ∈∈你的。=T T≤ ∈ ∈∈T≥T ≤∈ ∈ ∈∈T T→T TT≤联系我们⎧⎨⎧⎨12(3) 一个（r，s）-模糊α-开（resp.（r，s）-fuzzyα-closed）[22]如果U≤IT，则T<$（CT，T<$（IT，T<$（U， r， s），r， s）（resp.CT，T（IT，T（CT，T（U， r， s）， r， s）≤U）.定义2.3. 设（X，T，T ∈）是L-双Fuzzy拓扑空间.对于ULX，rLX和sLT，称U为（r，s）-模糊半预开子集（分别为（r，s）-模糊半预闭）如果U≤ CT，T<$（IT，T<$（ CT，T<$（ U， r， s）， r， s）， r，s）（res. I T，T<$（C T，T<$（I T，T<$（U，r，s），r，s）≤ U）.L-双fuzzy拓扑空间（X，）中的半预内spT ， T∈和半预闭spCT，T∈算子定义如下：spIT，T（U， r， s）= {V∈L X|V≤U且V是（r， s）-fuzzy半预开}，（1）DT，T<$（U，r，s）={V∈LX|U≤I T，T（V，r，s），T（Vr）≥r，T ∈（V r）≤ s}.(2) x λ是U i <$x λ∈ DT，T<$（U，r，s）的（r，s）-模糊θ-聚点.(3) C T，T<$（U，r，s）≤ D T，T<$（U，r，s）.(4) 若T（U）≥r且T（U）≤s，则CT，T（U， r， s）=DT，T（（，，）(5) 若U是（r，s）-模糊预开的，则CT，T<$（U， r， s）DT，T<$（U， r， s）。(6) 若U是（r，s）-模糊预开的且λ=CT，T<$（IT，T<$（U，r，s），r，s），则DT，T<$（U，r，s）= U.（r，s）-模糊θ-闭集的补集称为（r，s）-模糊θ-开集，（r，s）-模糊θ-内部算子TT，T∈（U， r， s）定义为spC T，T<$（U，r，s）={V∈L X|U ≤ V且V是（r，s）-模糊半预闭的}。定义2.4. 设f：（X，T1，T1<$）→（Y，T2，T2<$）为函数≤U，T（V）≥ r，T ∈（V）≤ s}.3. L-双模糊弱半预开从L-双Fuzzy拓扑空间（X，T1，T1）到Fuzzy拓扑空间（X，T1L-双模糊拓扑空间（Y，2，2π）. 函数fL→叫做：(1) 一个L-双模糊半预闭（分别为L-double fuzzysemi-p-re-open）如果fL→（U）是（r，s）-fuzzy semi-p-closed（resp.对任意U ∈ LX，r ∈ L ∈ L ∈T，s ∈ LT，使得T1（Ur）≥ r，T1（Ur）≤s（resp.T1（U）≥r且T1（U）≤s），(2) 对于nL-双Fuzzy几乎开集，若T2（fL→（U））≥r且T2∈（fL→（U））≤s，对于每个（r，s）-Fuzzy正则开子集U∈LX，r∈L∈且s∈LT，(3)一个L-双模糊连续，如果fL→（CT1，T1）（U，r，s））fL→（U）对于每个ULX，rLX和sLT，(4) 一个L-双模糊弱开（分别为. L-双模糊弱闭）[22]，如果fL→（U）≤IT2 ，T2<$（fL→（CT1，T1<$（U，r，s）），r，s）（res p. 对于每个U∈LX，r∈L <$和s∈ LT ， CT2<$（fL→（IT1 ， T1<$（U，r，s）），r，s）≤fL→（U） ）使得T1（U）≥r和T1<$（U）≤s（分别.T1（Ur）≥r和T1（Ur）≤s）。定义2.5. 设（X，T，T ∈）是L-双Fuzzy拓扑空间，ULX，x λJ（L X），rL和SLT. U被称为xλ的（r，s）-模糊Q-邻域if（U） r，n（U） s和xλ qU.用QT，T∈（xλ， r， s）表示xλ的所有（r，s）-模糊开Q-邻域的集合.定义2.6. 设（X，T，T_∞）是L-双Fuzzy拓扑空间，U∈LX，xλ∈J（LX），r∈L_∞，s∈LT.xλ被称为an（r，定义3.1. 函数f：（X，1，1）（Y，2，2）被称为：(a) 一个L- 双模糊弱半预开函数若 fL→ （U ） ≤spIT2 ，T2<$（fL→（CT1，T1<$（U，r，s）），r，s）福或每个U∈LX，r∈LX，s∈LT，使得T1（U）≥r，1美元(b) 一个L-双模糊弱半预闭函数如果spCT2，T2<$（fL→（IT1，T1<$（U，r，s）），r，s）≤fL→（U）对于每个U∈LX，r ∈L_r且s ∈LT，使得T1（U_r）≥r，T1∈（Ur）≤s。备注。1. 每个L-双模糊弱开函数都是L-双模糊弱半预开函数，每个L-双模糊半预开函数也是L-双模糊弱半预开函数。但是，一般来说，反过来也未必是正确的。2. 每一个L-双模糊弱闭函数都是L-双模糊弱半预闭的，但其逆命题一般不一定成立。反例3.1.(1) 设L[0， 1]，X a， b， c和Y x， y， z。模糊子集U、V和W定义为：U（a）= 0。5，U（b）= 0。3，U（c）= 0。二、V（x）= 0。9，V（y）= 1，V（z）=0。7;W（x）= 0。二、W（y）= 0。九，W（z）= 0。3 .第三章。让 T，T：I X→I 和 T，T：I Y→I 定义为s）-模糊θ-聚点如果对任意V∈QT，T<$（xλ， r， s），我们1122如下所示：有CT，T<$（V， r， s） qU。我们 表示 D T，T<$（U，r，s）={x λ∈J（L X）|x λ是（r， s）−U的模糊θ-聚点}。其中D（U， r， s）称为（r，一、如果A=0或1;T（A）=1，如果A=U，s）-模糊U的θ-闭包T，T000，否则。下面的定理可以很容易地从L=[0，1]的情况推广。定理2.4.设（X，T，T∈）是L-双Fuzzy拓扑空间.对于TT，T（ U， r，s）={V∈LX |C T，T（V，r，s）428A. Ghareeb2U，V∈L X和r∈L，s∈LT，我们有：T1（A）=和0、如果A=0或1;一、如果A=U;1、否则。L -双Fuzzy拓扑空间中的弱半预开4294）=2如果B=V，则为1;int n=;⎪⎪2⎧⎨如果B=V，则为1;4⎪⎪int n=;2⎩⎧⎧⎨2={}⎧⎪⎪T T→T T→T→TT T→T TT T→T T4⎪⎩2001年，如果A=W;int n=;联系我们则函数f：（X，T，T）→（Y，T，T）定义为T T→T T→一、如果B=V;1122T（A）=L，r∈L ∈LT，s∈LT;T（A）=21- 双模糊弱半预开函数但不L一、如果A=U;000，否则。212T1（A）= 1，如果A=Vi，⎪⎪⎩⎪⎩T2（A2001年，如果B=0或1;1，如果B W，2000年，否则，T1（A）=和0、如果A=0或1;一、如果A=U;1、否则。T2（A）=2000年，如果B=0或1;21，如果B W2001年1月，否则，一、如果B=0或1;T2（B）= 1，如果B=Vi，0，否则。2000年，如果B=0或1;T（B）=21122通过1、否则。f（ a）= z，f（ b）= x，f（ c）= y，是I-doublefuzzy弱半预开的，但不是I-doublefuzzy弱开的.(2) 设L I[0，1]和X a， b， c.模糊子集U，V、W和H的定义如下：U（a）= 0。4，U（b）= 0。7， A（c）= 0。二、V（a）= 0。3，V（b）= 0。1， V（c）= 0。6;W（a）= 0。五，W（b）= 0。8，W（c）= 0. 3;H（a）= 0。4，H（b）= 0. 2，H（c）= 0. 7 .第一次会议。令1，1. I XI和2，2. I XI定义如下：一、如果A=0或1;2001年，如果A=U;⎪0，否则。函数f：（X，T1，T1）→（Y，T2，T2）定义为：f（ a）= x，f（ b）= y，是I-doubleFuzzy弱半预闭的，但不是I-doubleFuzzy弱闭的.定理3.1. 设（X，T1，T1）和（Y，T2，T2）是L-双Fuzzy拓扑空间.函数f：（X，1，1）（Y，2，2）是L-double模糊弱半预开的（分别为L-double fuzzy弱半预闭）i ∈ f：（X，1[a，b]）（Y，2[a，b]）是fuzzy弱半预开的（分别为模糊弱半预闭）函数。证据 直截了当。 Q定理3.2. 对于函数f：（X，1，1<$）（Y，2，2<$），下列条件是等价的：(1) 若L→是L-双模糊弱半开函数;(2) fL→（TT，T<$（U，r，s））≤spIT，T<$（fL→（U），r，s）forreachU∈LX，rL ;且s∈T2000年，如果A=0或1;4(3) TT1，T<$（fL<$（V），r，s）≤fL<$（spIT2，T<$（V，r，s））foreachchV∈LL2001年1月，如果A=U;Y121分1秒，如果A=V;(4) f←（spC（V， r，s））≤Df（f←（V）， r， s）对于每个V∈T2（A）=2001年1月，否则，2001年，如果A=0或1;2001年，如果A=H;LY，r∈LT，s∈LT;(5) 对任意x λ∈J（ LX）和U∈LX，使得T1（λ）≥r，T1<$（λ）≤s且xλ≤U存在一个（r，s）-模糊半pre开子集V，使得fL→（xλ）≤V且V≤F（U，r，s））。（C1）→0，否则。0、如果A=0或1;2001年，如果A=W;4LT、T1证据(1)（2）设xλ≤TT1，T∈（U，r，s）. n个fL→（xλ）≤fL→（U）。→21，如果A H1、否则则恒等函数i：（X，T1，T）→（X，T2，T）以来 f L是L-双模糊弱半预开的函数，则fL→（xλ）≤fL→（U）I≤spI（f→（Cn（U，r，s）），r，s）.我-双模糊半预开。(3) 设L[0， 1]，X a， b和Y x， y。模糊子集U、V定义如下：U（a）= 0。5，U（b）= 0。6;V（x）= 0。四，V（y）= 0。3 .第三章。令1，1. I XI和2，2. I YI定义如下：2001年1月，如果A=0或1;⎧2⎧2T2，T2T1，T14是T2，T2T1，T1、430A. Ghareeb和1美元由于U TT1，T1<$（CT1，T1<$（U， r，s）， r， s）通过使用（2），我们有≤IT1（A）=2、关于雷，xλfL<$（spT2，T2<$（fL→（CT1，T1<$（U，r，s）），r，s））. 因此TT1，T1（U， r， s）≤fL<$（spIT2，T2<$（fL→（CT1，T1<$（U，r，s）），r，s）），也就是说，fL→（TT1，T1<$（U，r，s））≤spIT2，T2<$（fL→（CT1，T1<$（U，r，s）），r，s）.（2）定理（1）：设U∈LX，r∈LX，s∈LT，使得T1（U）≥rT≤≤L -双Fuzzy拓扑空间中的弱半预开4311T T→T T≤≤≤I2 1T T→T TT T→T T1212211LλL→fL→（U）≤fL→（TT1，T1<$（CT1，T1<$（U，r，s），r，s））≤spIT2，T∈（fL→（CT1，T∈（U，r，s）），r，s）.HencefL→是L-双模糊的半预开函数.(2)（ 3 ）：设V∈LY.利 用 公式（ 2 ） ， 我们有fL→ （ TT1 ，T<$（fL<$（V），r，s））≤spIT2 ，T2<$（V，r，s ） .对 r ， T1 ， T1<$ （ fL<$ （ V ） ， r ， s ）≤fL<$（spIT2，T2<$（V，r，s））.(3) （2）：它是平凡的，被省略了。(3) （4）设V∈LY，r∈L，s∈LT.通过使用（3），我们有DT1，T1<$（fL<$（V），r，s）r=TT1，T1<$（fL<$（V）r，r，s）(4) （5）：它是平凡的，被省略了。(5) （1）：它是琐碎的和省略的。 Q定理3.4. 若f：（X，1，1<$）（Y，2，2<$）是L-双模糊弱半预开的，且是L-双模糊强连续的，则nfL→是L-双模糊半预开的.证据 设U∈LX，r∈L∈L，s∈LT，使得T1（U）≥r，T1≤s。SincefL→是L-双模糊y是k-半开的fL→（U）≤spIT，T<$（fL→（CT，T<$（U，r，s）），r，s）.然而，由于f→是L-fuzzy强连续的，f→（U）≤=TT，T<$（fL<$（Vr），r，s）≤fL<$（spIT，T<$（Vr，r，s））→ →1 12 2spIT2，T2<$（fL（U），r，s），fL（U）的re或re是（r，s）-模糊半-=fL<$（spCT2，T2<$（V，r，s）r）=（fL<$（spCT2，T2<$（V，r，s））r.得到了fL<$（spCT2，T2<$（V，r，s））≤DT1，T1<$（fL←（V），r，s）。（4）（3）：琐碎而省略。（1）定理（5）：设xλ∈J（LX），U∈LX，使得T1（U）≥r，T1∈（U）≤s且xλ≤U. SincefL→是L-双模糊的当fL→（U）≤spIT2 ，T∈（fL→（CT1，T∈）时，f L是半p开的预开子集 Q定理3.5. 若f：（X，T1，T1∞）→（Y，T2，T2∞）是L-双模糊几乎开函数，则nfL→是L-双模糊半预开函数.证据 设U∈LX，r∈LX，s∈LT，使得T1（U）≥r且T1∈（U）≤s. SincefL→是L-doublefuzzy几乎开放的，→2 1IT，T<$（CT，T<$（U， r， s）， r， s）是（r，s）-模糊正则开的，则（U，r，s）），r，s）。设V=spIT2 ，T2<$（fL（CT1，T1<$（U，r，s）），1111r，s）。nVfL→（CT1，T1<$（U，r，s）），其中fL→（xλ）V.(5) 设U∈LX，r ∈ LX，s∈LT，使得T1（U）≥r，T1<$（U）≤s，且letyβ≤fL→（U）. 利用（2），我们得到了V≤fL→（CT2（U，r，s））对某些（r，s）-FuzzyIT2，T2<$（fL→（IT1，T1<$（CT2，T2<$（U，r，s），r，s）），r，s）=fL→（IT1，T1<$（CT2，T2<$（U，r，s），r，s））并且因此fL→（λ）≤fL→（IT1，T<$（CT1，T<$（U，r，s），r，s）半预开子集V∈LY且yβ≤V. 因此，11其中yβ≤V≤spIT，T<$（fL→（CT，T<$（U，r，s）），r，s）.≤IT2 ，T2<$（fL→（CT1，T1<$（U，r，s）），r，s）2 21 1→ →这 示出 的fL（U）sp T2，T（fL（C T1，T（U，r， s））， r， s）。Q定理3.3. 对于函数f：（X，1，1<$）（Y，2，2<$），则下列条件是等价的：(1) 若L→是L-双模糊弱半开函数;(2) fL→（IT1，T1<$（U，r，s））≤spIT2，T2<$（fl→（U），r，s）forreachU∈≤spIT2，T2<$（fL（CT1，T1<$（U，r，s）），r，s）.证明了L→是L-双模糊的半开的.Q定理3.6. 对于函数f：（X，1，1）（Y，2、2分），以下条件是等价的：(1) 如果L→是L-双模糊弱半封闭的;(2) spCT2，T<$（fL→（U），r，s）≤fL→（CT 1，T<$（U，r，s））foreachchU∈LX，r∈L_r且s∈L_T使得T1（U_r）≥r且T1_r（U_r）≤2 1LX，r∈LX且s∈LT使得T1（U）≥r且T1<$（U）≤s;→ →（3）spCT2，T2<$（fL→（U），r，s））≤fL→（CT1，T1<$（U，r，s））对于每个环（3）fL（IT1 ，T1<$（CT1，T1<$（U，r，s），r，s））≤spIT2 ，T2<$（fL（CT1，T1<$（U，r，s）（r，s）-模糊正则开子集U∈LX;r， s））， r， s）对于每个U∈LX，r∈L和s∈L使得T1（U）≥r且 T1∞（U）≤s;（4）对任意V∈LY，U∈LX，r∈L<$1、A=0，B= 0，A = 0，且s∈LT≤U，使得→ →1L（五）存在一个(4) fL（U）≤spI（ fL（CT1，T1<$（U， r， s））， r，s）对于每个（r，s）-（r，s）-模糊半预开子集W∈LY，其中V≤W，且模糊预开子集U∈LX;f←（V）≤C（U， r， s）;→ →LT1，T1(5) fL（U）≤spIT2 ，T2<$（fL（CT1，T1<$（U，r，s）），r，s）feachch（r，s）-模糊α-开子集U∈ LX.证据（1）定理（2）：设T（Ur）≥r且T∈（Ur）≤s，对每个U∈LX，r（5）对任意x λ∈J（L Y），U∈LX，r∈L<$，s∈LT使得f<$（x）≤U，存在（r，s）-模糊半预开子集V∈LY，xλ≤V且fL<$（V）≤CT1，T<$（U，r，s）.（6）spCT2（fL→ （IT1 ， T1<$（CT1 ， T1<$（U ，r，s ），r，s）），r，s）≤11fL→（CT1，T<$（U，r，s））foreachU∈LX，r∈L<$ands∈∈L<$且s∈LT，则IT1，T<$（U， r， s）=IT1，T<$（CT1，T<$11（U， r， s）， r， s）。通过使用（1），1 1LT;（7）spCT2，T2<$（fL→（IT1，T1<$（DT1，T1<$（U，r，s），r，s）），r，s）≤Ls;432A. Ghareeb1111fL→（IT1，T（U，r，s））=fL→（IT1，T（CT1，T（U，r，s），r，s））fL→（DT1，T（U，r，s））foreachU∈LX，r∈Landds∈≤spIT2，T2<$（fL→（IT1，T1<$（CT1，T1<$（U，r，s），r，s））LT;=spIT2，T2<$（fL→（CT1，T1<$（U，r，s）），r，s）.（8）spCT2，T2<$（fL→（U），r，s）≤fL→（CT1，T1<$（U，r，s））对于eachch（r，s）-模糊半预开子集U ∈ LX.对于每个U∈LX，r∈L ∈ L∈T，s∈LT，使得T1（Ur）≥r和T1∈（Ur）≤s。（2）（3）：琐碎而省略。证据(1)设U∈LX，r∈LX，s∈LT，使得T1（U）≥r（3）<$（4）：设U∈LX是（r，s）-模糊预开子集，则U≤IT1，T1<$（CT1，T1<$（U，r，s），r，s）. 通过使用（3），我们得到了fL→（U）≤fL→（IT1，T1<$（CT1，T1<$（U，r，s），r，s））≤spIT2，T2<$（fL→（CT1，T1<$（U，r，s）），r，s）.且T1∈（U）≤ s. 然后spCT2，T2<$（fL→（U），r，s）=spCT 2，T2<$（fL→（IT1，T1<$（U，r，s）≤spCT2，T2<$（fL→（IT1，T1<$（CT1，T1<$（U，r，s），r，s）），r，s）≤fL→（CT1，T1<$（U，r，s））.L -双Fuzzy拓扑空间中的弱半预开433⊥不T2，T2LT1，T1L=SL(2)设U∈LX，r∈L∈L∈T，使得T1（Ur）≥r且T1∈（Ur）≤s.然后→（1）若L→是L-双模糊弱半闭的;（2）spCT2，T2<$（fL→（IT1，T1<$（U，r，s）），r，s）≤fL→（U）（r，s）-模糊半预闭子集U∈LX;spCT2，T2<$（fL（IT1 ，T1<$（U，r，s）），r，s）（3）spC <$（f→（I <$（U， r， s））， r， s）≤f→（U）对每个（r，→T2、T2 LT1、T1L≤fL（CT1，T1<$（IT1，T1<$（U，r，s），r，s））≤fL→（CT1，T1<$（U，r，s））=fL→（U）。（3）定理（4）：设U∈LX，V∈LY，r∈L，s∈L使得s）-模糊α-闭子集U∈ LX.证据 直截了当。 Q定理3.9. 如果函数f：（X，T1，T1<$）→（Y，T2，T2<$）是L-T1（U）≥r，T1≠（U）≤s，fL←（V）≤U. 然后fL←（V）<$qCT1，T1<$（CT1，T1<$（U， r， s）r，r， s）.这意味着V<$qf→（CT，T（CT，T（U， r， s）r，r， s））。由于CT，T<$（U， r，连续时，nfL→是L-双模糊半预开函数。证据 设U∈LX，r∈LX，s∈LT，使得T1（U）≥rL1 11 1R11且T1≠（U）≤s。由于fL→是L-doublefuzzystronglycontinu-，s）是（r，s）-fuzzy正则开子集，V<$qspCT2，T2<$对任意U∈LX，r∈L，f→（C∈（U， r， s））≤f→（U和（fL→（CT1，T1<$（U，r，s）r），r，s）. 设WspCT2，T2<$（fL→RLT1，T1∈T. 但fL→L是L-双模糊弱半预开的，则（CT1，T1<$（U， r， s））， r， s）.则W是（r，s）-模糊半预开子集，V≤W，f→（U）≤ sp I （f →（C （U，r，s）），r，s）≤ f →（U）.← ←r rLT2，T2 LT1，T1LfL（ W）= fL（spCT2，T2<$（CT1，T1<$（ U， r， s），r， s））≤fL<$（fL→（CT1，T1<$（U，r，s）r）r）≤CT1，T1<$（U，r，s）.(5) 设V∈LY，r∈LR，s∈LT，使得T2（Vr）≥r，T2<$（Vr）≤s和yβ≤fL→（V）r. SincefL←（yβ）≤Vr，这意味着，fL→（U）是一个n（r，s）-模糊半纯子集. fL→是L-双模糊半预开函数。Q定义3.2. 功能 f：（X，T1，T）→（Y，T2，T）为存在 （r， s）- 模糊 半预开子 集W∈L Y ，使得atyβ≤W且 fL<$ （W ） ≤CT1 ， T1<$（ Vr ，r，s ）=IT1 ，T1<$（V，r，s）r.RefeW<$qfL→（IT1 ，T1<$（V，r，s ） ） 。 则yβ≤spCT2， T2<$ （ fL→ （ IT1 ， T1<$ （V ，r，s）），r，s）r.Q1 2据说是：(1) 一个L-双模糊反半预闭函数如果fL→（U）是一个n（r，s）-模糊半pre开子集，对于每个定理3.7. 如果函数f：X∗Y∗是一U∈LX，r∈L ∈ L∈且s∈LT使得T1（Ur）≥r，（，T1，T1）→（，T2，T2）T（U r）≤ s。双射函数则以下条件是等价的：(1) 若L→是L-双模糊弱半开函数;(2) spCT2，T2<$（fL→（U），r，s）≤fL→（CT 1，T1<$（U，r，s））foreachU∈LX，r∈LX且s∈LT使得T1（U）≥r且T1<$（U）≤s;1(2) 一 个 L- 双 模 糊 反 半 预 开 的 条 件 是 ： 对 任 意 U∈LX ，r∈L_∞，s∈LT，使得T1（U）≥r且T1∞（U）≤s，（r，s）-模糊半预闭子集.定理3.10. 如果函数 f：（X，T，T）→（Y，T，T）(3) spC<$（f→（I <$（V， r， s））， r， s）≤f→（V）对每个V∈1122LX，r∈L_r且s∈L_T使得T1（Vr）≥r且T1_r（Vr）≤证据(1)设U∈LX，r∈L∈L∈T，使得T1（Ur）≥r且T1∈（Ur）≤s.然后contra-semi-preopen ） ， 则 它是 一 个L- 双 模糊 弱 半 预开（resp.L-double fuzzy弱半预闭）。证据 设U∈LX，R∈L和S∈LT等T1（U）≥r和T1∞（U）≤s（分别 T1（Ur）≥ r和T1（Ur）≤s）。则有fL→（U）≤fL→（CT1，T1<$（U，r，s））=spIT2 ，T2<$（fL→→r→r（CT1，T1（U，r，s）），r，s）（res p. spCT2，T2<$（fL→（IT1，T1<$（U，r，s）），r，s）=（f L （U））= f L （U）≤spIT2 ，T2<$（fL→（CT1，T1<$（Ur，r，s）），r，s）等（fL→（U））r≤（spCT2，T2<$（fL→（IT1，T1<$（U，r，s）），r，s）r.因此，我们认为，spCT，T<$（fL→（IT，T<$（U，r，s）），r，s）≤fL→（U）.fL→（IT1，T1<$（U，r，s））≤fL→（U））.Q4. L-双模糊弱半预开“半预闭”函数的一些应用在这一节中，我们将介绍这类函数在L-双模糊拓扑中的分离性和连通性方面的一些应用。定义4.1. 设（X，T，T∈）是L-双Fuzzy拓扑，（三）2211（2）设U∈LX，r∈LX，s∈LT，使得T1（U）≥S.双模糊弱半预开与L-双模糊强是L-双模糊反半预闭的（分别为 L-双模糊434A. GhareebT≥ ≤IT T→T T12T T→T TR.由于1（CT1，T1<$（U，r，s）r）r和UT1，T1<$（CT1，T1<$（U，r，s），r，s）并利用（3），我们有spCT2，T2<$（fL→（U），r，s）≤spCT2（fL→（IT1 ，T1<$（CT1，T1<$（U，r，s），r，s）），r，s）cal空间L-子集U，V∈LX是（r，s）-Fuzzy强分离的，如果存在H，N∈LX使得T（H）≥r，T∈（H）≤s，T（N）≥r，T∈（N）≤s，其中U≤H，V≤N，C T，T<$（H，r，s）<$q C T，T<$（N，r，s）.定义4.2. 一个L-双Fuzzy拓扑空间（X，T，T∈）≤ f →（C∈（U，r，s））.称之为（r，s）-semi preT2，如果对每个xλ1，xλ2有不同的上LT1，T1证明存在（r，s）-模糊半预开集U，V∈LX，使得(2) （3）：它是琐碎的和省略的。(3) （1）：它是琐碎的和省略的。 Q定理3.8. 对于函数f：（X，1，1）（Y，2、2分），以下条件是等价的：x λ1≤ U ≤ xrλ2，x λ2≤ V ≤ xrλ1，U <$q V。定理4.1. 若f：（X，1，n）（Y，2，n）是L-双模糊弱半预闭满射函数，且所有纤维是（r，s）-模糊强分离的，则（Y，T1，T1n）是（r，s）-半预T2.L -双Fuzzy拓扑空间中的弱半预开4351¬¬¬≤≤T T→T TT T¬¬T T证据 设y β1，y β2 ∈J（ LY），设U，V∈