概率疲劳寿命模型的贝叶斯估计及其应用

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报5（2018）191概率疲劳寿命模型中疲劳系数的贝叶斯估计Jaehyeok Doh，Jongsoo Lee延世大学机械工程学院，首尔120-749，韩国阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年6月16日收到2017年10月18日收到修订版2017年10月18日接受2017年10月21日在线发布保留字：疲劳寿命Lethargy系数Zhurkov模型马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）贝叶斯方法A B S T R A C T在这项研究中，一个模型的概率疲劳寿命的基础上的Zhurkov模型建议使用随机和统计估计的嗜睡系数。采用Zhurkov寿命模型推导了疲劳寿命模型，并以实际疲劳寿命数据为参考进行了确定性验证。对于这一过程，首先，与材料的破坏有关的休眠系数必须从准静态拉伸试验中获得与断裂时间和应力有关的休眠系数。这些实验使用HS40R钢进行。然而，由于实验中固有的不确定性和材料性质的变化，昏睡系数存在差异。采用贝叶斯方法，利用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）抽样方法，考虑疲劳寿命模型的不确定性，对疲劳寿命模型的休眠系数进行了估计。一旦获得样本，就可以进行疲劳寿命的后验预测推断。通过与疲劳试验数据的比较，验证了该寿命模型的合理性.因此，观察到预测的疲劳寿命随着相对应力条件的增加而显著降低©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍目前，健康管理（PHM）在工程领域得到了广泛的应用。由于高温和应力引起的裂纹扩展源于发电厂和车辆发动机等中典型的累积缺陷和损坏。因此，设计应考虑在常规操作条件下各种结构的疲劳寿命。对于这项工作，参数的估计需要在结构分析或结构的健康管理中使用有限的数据集。 在结构设计的早期阶段，材料性能是从各种实验中获得的。这对结构分析的有效性有着深远的影响。元模型模型可以代替有限元分析（FEA），以节省计算成本，但也存在固有的不确定性，实验误差和缺乏完整数据。在量化材料参数或模型系数的不确定性时，采用了随机和统计方法。在健康管理中，退化结构的物理模型退化参数可以通过随时间的监测数据来估计，以预测疲劳寿命。疲劳模型确定的贝叶斯框架涉及使用跨维Mar进行更新和平均，由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电子邮件地址：jleej@yonsei.ac.kr（J. Lee）。kov链蒙特卡罗（MCMC）模拟（Andrieu，Freitas，Doucet，Jordan，2003）。从模型选择、机理建模、模型参数等方面介绍了非线性模型，并系统地介绍了非线性模型的响应措施。额外的响应措施被用来更新的模型概率和参数分布与每个模型同时通过一个跨维MCMC模拟在一般的状态空间。贝叶斯因子的结果可作为模型比较和确定的参考（Guan，Jha&Liu，2010）。该框架还概述了参数估计过程中出现的不确定性量化的数值模拟，以及在结构性能的预测。参数以基于所提供数据的后验分布的形式进行估计。在数值实现期间，采用MCMC方法，其是用于参数的高效和直接估计的现代计算技术（Choi，An，Gang，Joo，Kim，2010）。Guan等人比较了两种概率预后更新方案。一种是基于经典的贝叶斯方法，另一种是基于新开发的最大相对熵（MRE）的方法。这两个模型的算法性能进行评估，使用一组最近开发的基于统计学的度量。将来自测量、建模和参数估计的各种不确定性作为材料疲劳损伤的随机输入变量集成到预测框架中。然后，响应变量的测量用于更新随机变量的统计分布。的https://doi.org/10.1016/j.jcde.2017.10.0022288-4300/©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。命名法玻尔兹曼常数（kJ/mole·K）192J. Doh，J. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）191-197CK昏睡系数（kJ/mole·mm2/N）tt0时间（秒）寿命系数r标准标准偏差tr破裂时间（s）Rt拉伸应力（MPa）不绝对温度（K）红黄屈服应力（MPa）U0内能（kJ/mole）Rr断裂应力（MPa）H概率参数r<$平均应力（MPa）L（y|h）的似然函数R^交变应力（MPa）p（h|年）的后验分布F频率（赫兹）p（h）先验分布I0贝塞尔函数q（x）边际概率密度函数L寿命（s）使用后验分布更新预后结果。该框架采用MCMC技术为模型修正 实验 数 据 用 于 证 明 所提出的 概 率 估 计 方 法 的操作（ Guan 等 人 ，2011），其可以量化应用于具有复杂几何形状并经受变幅多轴载荷的结构的疲劳裂纹扩展预测中的不确定性。采用高斯过程代理模型代替昂贵的有限元分析。不确定性的各种来源包括三种不同类型的建模误差，如裂纹扩展模型误差，离散化误差，和替代模型误差。将不同类型的不确定性并 入 裂 纹 扩 展 预 测 方 法 中 以 预 测 裂 纹 尺 寸 的 概 率 分 布（Sankararaman，表1Fig. 1.准静态拉剪试样。Ling，Shantz，Mahadevan，2011）。在其他研究中，使用标准贝叶斯回归方法估计所提出的蠕变-疲劳模型的参数。使用MCMC抽样方法进行了贝叶斯分析。因此，结果表明，实验数据与所提出的概率蠕变-疲劳寿命评估模型（Ibisoglu Modarres，2015）之间存在合理的拟合。本文通过数学推导，得到了基于Zhurkov模型（Zhurkov，1965）的概率疲劳寿命。利用随机和统计方法，我们估计了疲劳模型的昏睡系数这是决定性的HS40R的化学组成（重量%）。CSiMNP0.08760.00650.74070.1241SNiAlFe0.00360.00910.3577巴尔表2HS40R的机械性能验证参考实验疲劳寿命数据（Park，Yang，Han，Yu，2011）。对于该过程，与必须通过HS 40 R钢的准静态拉伸-剪切试验获得材料失效的时间以及断裂时间和应力（Sin，Yang，Yu，Kim，&Kang，2007; Park等人，2011年）。由于实验误差和材料性质的变化，昏睡系数具有不确定性。采用贝叶斯方法估计疲劳寿命模型的系数，采用MCMC抽样方法。2. 实验2.1. HS40R准静态拉剪试验HS40R钢广泛用于汽车车身框架以及其他常见应用。通过准静态拉伸剪切试验，确定了材料的断裂时间和断裂应力，得到了材料的疲劳系数。 使用图中的标本。 1、采用INSTRON 8516控制位移法进行拉伸试验。拉伸速度设定为2 mm/min，并用接触式应变计测量位移试样的点焊条件取决于KS B0850。HS40R的化学组成和获得的材料性质分别在表1和22.2. HS40R钢通过准静态拉剪试验，计算了材料的疲劳系数，得到了材料的断裂应力和断裂时间。为了将结果与预测寿命进行比较，在疲劳测试之前使用动态疲劳测试仪INSTRON 8516。交变载荷的频率设定为10 Hz，循环 载 荷 控 制 在 应 力 比 条 件 下 （ R; 0 ） 。 采 用 直 流 电 位 降 法（DCPDM），通过检测疲劳裂纹扩展引起的位移电流变化，观察了6kA、2搭接点焊条件下的疲劳裂纹扩展行为。HS40R的疲劳寿命如表3所示。3. 基于Zhurkov模型的疲劳寿命模型3.1. 理论Zhurkov在均匀应力和温度条件下绘制了经验寿命模型。该模型假设失效发生在原子晶格从稳定状态改变时。本文讨论了原子在热振动作用下被移走的概率，材料rt（MPa）ry（MPa）伸长率（%）HS40R416.5286.139我2^2b¼ þ●B-在均匀温度下交变载荷作用下，Tb=0t ekTcreekTr¯TTT2 dt<$1/3秒1-U0-lntr的t01CRR^U0-cr<$TFZ.ΣCbBlntrKT的t0J. Doh，J. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）191-197193表3HS40R.疲劳受应力和温度的影响如果疲劳是HS40R钢（300K）焊接电流（kA）Rr（兆帕）tr（秒）交变载荷（MPa）实验疲劳寿命（循环）且I0（0）= 1。因此，疲劳寿命周期（Lf）由公式（1）给出（8）（Yang，Song，Kim，1997）：2圈6 229.5 60.6 113.5 52，750112.5 162，440112.0 291，160111.7 408，190U0-cr<$L Pt0ekT.cr<$r1ð8Þ当量（8）完全代表从网格中的位置开始的时间被认为是在男人下面U0-cr<$t 0 eKTU0-cr<$t0ekT9提出的假设。将Zhurkov的静态疲劳方程转化为动态疲劳关系。蠕变-疲劳寿命模型表示为方程：（1）：我是一个很好的朋友。c最后，疲劳寿命模型推导如下：LDTU0-crrt=1/1/2t0e（十）：s.U0-cr0kTtLPtp2p^kTf0这里，r（t）和T（t）是应力和绝对温度。这些功能-情况随任意时间而变化U是内能，t是时间kTcr^ekT恒定在10sec，k是玻尔兹曼常数。 c是prcr^。U0-crr^代表材料特性的昏睡系数涉及按照缺陷和金相。一般来说，Lf¼t02pkTekT疲 劳 是 在 均 匀 温 度 下 反 复 加 载 而 产 生 的 。 通 过 将 应 力（r<$r<$r^cosx1t）和温度（T T T cos x2t）转化为时间函数，可以考虑它们之间的关系。Zhurkov包括这个Eq。（二）、这里，r和T是平均应力和平均温度。我们必须考虑交替重音的频率。疲劳寿命周期可以通过疲劳寿命（Lf）和频率（f）相乘得到，Nf=Lff。我们可以使用方程预测疲劳寿命周期。（11）（Park等人，2011年; Yang等人，（1997年）：Nftp2prcr^e.U0-crr^循环11r^和T分别为交变应力的幅值和交替温度。这些参数在Eq.F ¼0kTkTÞ ðÞ（1）给出Eq. （二）：LdtU0-cr1r^=rcosx1t12t0ekT1T=Tcosx2t然而，Eq。 （2）不能直接集成。 如果（T/T1）方程可以修改为Eq.（3）：3.2. 使用昏睡系数的昏睡系数代表材料的缺陷常数;因此，需要进行许多拉伸试验来确定C. 在这项研究中，c是从简单的准静态拉伸-Park和Kang（1998）进行的剪切试验。我们计算在均匀温度和载荷条件下，利用断裂应力和断裂时间1ZLU0-cr<$t 0 eKT0cr<$r^cosxtcr<$bTcosxt（Song，Noh，Yu，Kang，Yang，2004）：当量（3）可以改写为Eq。（6）利用方程中的Cauchy-Schwarz不等式条件，（4），并与贝塞尔函数方程。（五）：U0cru1- g12昏睡系数与内能成正比B fx gxdx6“ZbBf2xdx12g2xdxð4Þ在断裂应力和（1g）。g是用于计算昏睡系数的变量，其值表示为等式（1）。（十三）：a a a的t00的情况。Ut Σ1我不知道1/2-1Þ 0ð Þ ð ÞKTIn0-IncubatorZL2excosxdxL LI x5克U0B@1-KT.好吧的t0. 电子邮件：info@hzc.com.cnð13Þ我0人0人1人I0xex=p2px04. 贝叶斯估计的昏睡系数使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）I02xe2x=p2p2xI2xpx“的。ΣU0-cr<$LI0 2千吨0我0分2秒KTKTZZ#0kTr¯选项。可以使用等式获得昏睡系数（十二）L10Z22crr^2U0-cr<$Tb#1T对于Zhurkov疲劳模型的昏睡系数的估计，使用贝叶斯phjy/Lyjhph14积分寿命（L）方程可推导如下：U0-cr<$LPt0ekT2ð7Þ这里，L（y|h）是给定h的条件概率y，p（h）是h的先验分布，并且p（h|y）是h在y条件下的后验分布。该方程表明h的概率为取决于根据给定数据y的后验PDF随着更多- 是的 Σ0kTr¯.b10KT不更多的信息，更有把握。 这叫做贝叶斯P1- 60我我数据，后验分布可以用来推断我RΣK2194J. Doh，J. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）191-197图二. C的后分布。更新中。获得后验分布p（h）的过程|y）分别需要对似然和先验的概率分布进行适当的定义（Lee& Ko，2011）。为了估计昏睡系数的后验分布，马尔可夫模型被广泛应用于各个领域，其中，数据是有意义的。马尔可夫模型定义了给定先验事件的后验事件的概率。MCMC的思想本质上与马尔可夫模型相同，因为它基于以下先验信息定义采样点的后验位置：采样点。MCMC中可以采用重要的技术，包括Metropolis-Hastings（M-H）算法，其是可以使用Eq. （15）采用以下步骤：1) 初始化x（0）2) 对于i=0到nm-1- 样本u~U[0，1]- 样本x<$q（x<$|（i））q（x）|xi）是一个任意选择的建议分布，当要在当前点x i上绘制新样本x i时使用。当前点的均匀分布或正态分布是建议分布的最常见选择。该算法的成功和失败很大程度上取决于所提出的分布的适当设计（Andrieu等人，2003年）。本研究采用贝叶斯方法估计昏睡系数。还通过MCMC模拟来估计后验分布，假设所提出的分布为正态分布。 贝叶斯规则的公式化（16）和（17）。似然函数可以用Eq. （18），这是疲劳寿命的观察寿命数据，当量（十一）：pcjNf/LNfjcpc16阿吉什ω. pxqxjxpcjNf/.1K2例prω ði Þ ωp如果uA=x<;xmin1;pxiqxωjxið15ÞSTD×exp“-1XNi-N编号pc 17xi1¼xω22标准品i¼1f估计f实际值×.ΣR为了估计，nm是迭代或样本的数量，U是均匀分布，p（x）是后验分布（目标PDF），p2p×exp-22标准品i¼1Nf估计值-Nf实际 值其他xi1x i在这些步骤中，x0是未知参数的初始值1KLNfjc“1 Xii2#Kð18ÞJ. Doh，J. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）191-197195只需10，000次迭代，采样结果就能很好地遵循目标分布.估计的昏睡系数的后验分布与实际昏睡系数接近一致，如图所示。 二、5. 确定性和概率性疲劳寿命的结果采用Zhurkov寿命模型计算了HS40R材料的确定性疲劳寿命。计算昏睡系数-表4昏睡系数常数。HS40RT300 Kt010-13秒k0.008384 kJ/mole kU0418.4千焦/摩尔使用表4中的常数和断裂参数进行了计算。之后，使用Eq. （11）根据交变应力条件。可以看出，预测寿命与实验数据近似一致。预测的疲劳寿命周期如表5所示。疲劳寿命的概率密度函数（pdf）分布预测使用估计的昏睡系数，从MCMC模拟采样。根据室温（300 K）交变应力预测了疲劳寿命的pdf分布。可以看出，估计的后验分布与实验数据一致。因此，概率疲劳寿命推导估计的昏睡系数，可以验证对实际值。估计疲劳寿命的pdf（图3）显示为一个狭窄的偏差，因为根据交变应力，昏睡系数是相同的。表5HS 40 R的疲劳寿命结果（2圈/6 kA）。破裂应力破裂时间昏睡系数交变应力预测疲劳寿命实验疲劳寿命（兆帕）（秒）（kJ/mole·mm2/N）（兆帕）（周期）（周期）229.560.61.4501113.551929.052750.0112.5163770162440112.0290840291160111.7410490408190图三.疲劳寿命的概率分布。196J. Doh，J. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）191-197见图4。序贯统计建模（SSM）的步骤。表6疲劳寿命的最大似然值和置信区间最大似然估计逆CDF（CI：95%）交变应力（MPa）Gamma Log-logistic Log-normal Weibull Normal Kernel Log-logistic（Cycles）Kernel（Cycles）113.5 74591 7361974655 74243 74470 73055 51137~ 52636 51123~ 52731112.5 85293 83940 85372 84540 85145 83235 161660~ 165740 161570~ 166070112.0 84057 82447 84095 83101 83982 81515 28888~ 292710 288870~ 292710111.7 86494 84157 86542 89314 86402 83107 408350~ 412490 408210~ 412790图五. 95% CI下的概率S-N曲线。5.1. 置信水平下的概率疲劳寿命：95%为了获得概率S-N曲线，使用序贯统计建模（SSM），根据应力水平，使用疲劳寿命数据估计最佳pdf分布（Kang，Lim，Noh，2016;Marcelo，Gareth，Pavel，2015; Noh，Kang，Lim，2015）。SSM可以量化分散数据的物理不确定性。这些程序如图4所示。如表6所示，选择核分布作为疲劳寿命数据的最佳分布。根据交变应力，采用最大似然估计（MLE）方法，对具有最大似然函数值（在这种情况下，似然值为负值）的pdf分布进行估计。 在每个条件下，使用逆累积密度函数（ICDF）获得疲劳寿命的95%置信区间（CI）。交变应力条件概率S-N曲线可使用95% CI条件获得，如图所示。 五、6. 结论基于Zhurkov模型，推导了循环应力下的概率疲劳寿命模型.利用断裂应力和断裂时间的实验数据计算了疲劳系数。使用该参数，寿命模型与实际寿命数据进行了确定性验证。考虑到寿命系数模型的固有不确定性，根据观测数据结合先验知识，用后验分布表示模型参数的确定程度。 采用贝叶斯估计方法，并利用MCMC估计其系数，得到后验分布。使用估计的昏睡系数获得的概率疲劳寿命用实验疲劳数据校准，使用SSM估计疲劳寿命的pdf，考虑95%CI，还获得了S-N曲线。从这个结果，贝叶斯方法被证明是有用的量化未知参数的不确定性在实际工程问题。这种方法在弹道学领域也是有用的致谢这项研究得到了韩国国家研究基金会基础科学研究计划的支持，由科学部ICT未来规划（2017R1A2B4009606）资助。这项工作得到了韩国能源技术评估和规划研究所（KETEP）和韩国贸易工业能源部（MOTIE）的支持（20163030024420）。利益冲突没有人申报。J. Doh，J. Lee/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）191-197197引用Andrieu ，C. ，Freitas，N.D 、Doucet ，A. ，乔丹，M。（2003年）的报告。 介绍MCMC用于机器学习Machine Learning，50，5-43.崔，J. - H、安，D.，刚，J.，Joo，J.，&金，N. H.（2010年）。结构分析和预测中参数估计的贝叶斯方法。在医学与健康管理学会年会上。9月25日关，X.，杰哈河，巴西-地Liu，Y.（2010年）。用于疲劳预测模型确定更新和平均的跨维MCMC在医学与健康管理学会年会上。10月10日关，X.，Liu，Y.，杰哈河，巴西-地萨克森纳，A.，Celaya，J.，Geobel，K.（2011年）。使用预测性能度量的两种概率疲劳损伤评估方法的 比 较 。InternationalJournal of 故障预测 和 健康管理，2，1-11。Ibisoglu，F.，&莫达雷斯湾（2015年）。钢结构蠕变疲劳损伤概率寿命模型。国际预后与健康管理杂志，6，1-12。INSTRON 8516，Instron Corporation，Norwood，MA。康，Y。J.，Lim，O. K.，诺河，澳-地 J. （2016年）。分布类型识别的序贯统计建模方法。 Structural and Multidisciplinary Optimization，56（6），1587-1607.KS B 0850（2011）。韩国标准信息中心，韩国工业标准。首尔：大韩。李，S。H、安，D.，Ko，S.，崔&杰-H. （2011年）。变幅载荷下裂纹扩展预测的参数估计研究在医学与健康管理学会年会上。9月25日Marcelo，G. C.的方法，Gareth，W. 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