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理论计算机科学电子笔记270(1)(2011)191-210www.elsevier.com/locate/entcs量子电路:从网络到单向模型拉里斯·萨福1号Institute for Scienti fic Interchange Foundation,10133 Torino,Italy印第安纳大学计算机科学系,Bloomington,IN 47405摘要我们提出了从量子计算的标准网络模型到单向模型的转换量子计算。翻译是合成的,即,它保留了计算的结构,这允许我们在一元抽象层中抽象具体的实现我们简要回顾了在单向模型中组合电路的副产品和测量演算方法,并展示了如何用完全相同的符号表示这些过程,与标准网络模型中的电路表示有直接关系,并使用单子。关于改进抽象的讨论使我们引入了一种在单向模型中组合电路的替代方法:图形方法。关键词:计算,单子,测量演算,副产品,图形1引言量子计算有几种模型和实现,最值得注意的是:量子图灵机和自动机,量子电路(或网络)模型,绝热量子计算,基于测量的(单向)量子计算和拓扑量子计算。虽然所有这些模型都被证明是等效的,但它们的表现形式通常“看起来不同”。特别地,当以单向模型表示时,电路模型中的给定计算在结构上可能看起来相当不同。在本文中,我们详细研究了其中两种计算模型:标准网络(SN)模型和单向(OW)模型[11,3]。我们研究了如何在这两个模型中表达计算,以及如何以组合方式从一个模型转换到另一个模型,即,同时保持计算的结构。1电子邮件:lvoufo@cs.indiana.edu1571-0661 © 2011 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2011.01.018192L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191B√|0人以上(a)|0人+b |1)2(|0人以上|1个月)- -一种|⟩| −⟩一旦定义,组合翻译就暴露了使用monad的数学构造抽象的常见结构。更详细地说,我们提供了一个抽象的量子计算模型,可以选择两个参数,被实例化为SN模型或OW模型。该构造提供了一种从一个模型转换到另一个模型的优雅方式,并且可能使一个模型中表达的优化能够轻松地转移到另一个模型。在整个翻译过程中,我们非常关注其翻译的效率和系统性。此外,该构造允许我们引入一种替代方法来推理OW模型中的电路,该模型既具有图形化又允许轻松地近似电路。在下文中,我们假设基本熟悉量子力学和计算的概念,电路和OW模型之间的基本差异,以及OW实现与图的关系。2此外,为了简单起见,我们将泡利矩阵σ x、σ y和σ z称为X,YZ,分别。 我们也将在任何受控操作之前加上字母C。2单向模型我们首先回顾了OW计算模型,重点是组合。更确切地说,我们感兴趣的是理解两个OW计算可以组合以产生更大的OW计算的各种方式。2.1基本单向计算OW模型的前提是通过在高度纠缠态(理想情况下由自然界给出)上执行几个单量子比特测量(其中大多数是并行的)来驱动计算 通常,由于测量的不确定性,该过程导致一些临时状态,在泡利基中编码所需的结果。为了揭示这一结果,我们需要执行所谓的经典后处理,其中包括应用适当的泡利算子。以Hadamard- H = H_(1 - 1)H_(1 - 1)为例1分,和giv enan21−1输入|a=a,(其中a2+b2=1),计算H|好吧初始状态准备这一个缠结3|使用hsomeancillaqubit的量子位1|+π=π1,1,(量子位2),即,导致,.中国(|ψ⟩ ⊗| + Z)=CZ211Σ=(a + b)|++(a −b)|−⟩2(a)(b)++(a+b)√2|第1001章一斤(1)我们只需要在X-基中测量量子位1,0(或1),如果测量值已将状态折叠为正(或负)2更多信息请参见参考文献[7]、[10、9]和[1]。3通过CZ操作模拟的一些伊辛型相互作用L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)1911932[二]《中国日报》ΣΣ22特征态|+(或|- X)。这将信息从逻辑输入-量子位1传播换句话说,必须在量子位2上应用Xs1,量子比特的测量1.从EQ。(1),我们得到:⎧⎨|+谢谢。a+b|0+a−b|1⟩Σ概率为y1222且s1=0⎩|- 是的a-b|0+a+b|1⟩Σ概率为y1且s1=1在测量之后,t。然后,修正将我们带到a+b|0+a−b|1=H|好吧典型地,为了指示由给定操作作用的量子位,用量子位的索引下标操作为了区分对逻辑量子位的引用,例如,我们说上述H-过程实现酉H[1]以指示逻辑输入值最初存储在量子位1中。 此外,虽然X s1表示对实际的量子位2,Xs1表示对逻辑输出的校正,对应于。当涉及到组成电路时,有几种方法根据我们上面描述的OW过程的理解和表达而有所不同。尽管如此,它们都有一个共同的理解:电路组成必须在应用于输入之前进行标准化2.2组合物把两个H的组合变成一个恒等式I=1 0 也就是说,0 1实现I[1]=H[2]·H[1]。简单地说,它应用了一个又一个H-过程,使第一个应用程序的输出成为第二个应用程序的输入。值得注意的是,它inter-terleaves序列的纠缠,测量和校正操作。即使流程返回一个有效的结果,它也不是我们想要的行为相反,通过OW过程的定义,我们希望I的整个过程是某种标准形式的,首先是所有的纠缠,其次是所有的测量,然后是所有的校正。这个标准化过程从一种方法到另一种方法。从目前的文献中,我们发现两个主要的这样的方法:原始- Raussendorf et al. 的副产品(BP)[ 11 ]及其自动化推广- Danos等人。’s2.2.1副产品方法这种方法似乎主要是数学基础。 它倾向于根据它们在应用校正之前实现的幺正来推理OW电路,并与测量序列之后的必要纠缠态准备相关联。然后,它将尚未执行的校正的共轭转置称为例如,对于上面的H-过程,所关注的实现酉式是222194L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191[二]《中国日报》1[二]《中国日报》··233现在S1其中,X为1H[1]=X[2]·H[1];BP操作员。然后,构成相关制剂,量子位1和2之间的初始纠缠(在它们的张量积之后);而测量模式由单个测量Mx构成。(Note测量值通常标有其测量基准的指示。在这种情况下,我们在X-基上进行测量。)为了构造I的实现,需要标准化ows2s1owI[1]=X[3]·H[2]·X[2]·H[1]转换为一种形式,其中I是BP算子。I[1]=I·I[1];同时,还必须从两个子回路中一致地重新组织准备和测量的顺序。利用图的状态性质和代数操作的原理(如稳定器形式),我们能够将前一个BP算子Xs1在随后的酉H,并发现=Xs2·Zs1·H·H;[二]《中国日报》得到BP算子I= Xs2·Zs1。一[1][3]第一章[二]《中国日报》[二]《中国日报》[1]第一章同时,我们发现我们可以简单地直接结合子电路的准备和测量。因此,对于I,准备包括量子位1和2的纠缠,然后是量子位2和3的纠缠。同时,在X基中,测量由量子位1和2的测量组成作为一般观察,由于这里的整体合成和标准化(C S)过程操纵酉,因此在计算机程序中系统地实现它并不简单。更糟糕的是,非Cli ord操作员4,即那些不将泡利算子(的序列)相互映射的算子从本质上讲,它们在一个组合中的存在导致最终实现的酉式与期望的酉式不同,这是由一些定义参数决定的。因此,必须相应地替换这些定义参数,以恢复所需的酉。整个过程的时间复杂度与子电路数目成二次关系,与输入大小成线性关系在下一种方法中,事情变得比这更简单2.2.2测量微积分方法这种方法定义了许多命令来表达序列中的每个纠缠、测量和校正我们将这样的序列称为4例如,取一般酉旋转Urot(α,β,β)=Ux(α)Uz(β)Ux(α),其中Ux(α)=e−iαZ−iαX且Uz(α)=e2.当映射到泡利算子时,它会根据以下内容进行一些修改Urot(α,β,β)·X=X·Urot(α,−β,α)。Urot(α,β,β)·Z=Z·Urot(−α,β,−β)显然,对于某些参数值Urot(α,β,β)Urot(α,−β,)或Urot(α,β,)2 2U rot(−α,β,−α)。0±i.L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191195我S我MQQQ我我J我我我我我我 我我我我ZsSt−→St Z我 我QQ213321(i) EijXs−→Xs Zs Eij(vii)AkZs−→Zs Ak,其中A/=X且A Z㈡EijZs−→Zs Eij(八)tM αs−→StMαs(iii)EijAk−→AkEij,其中Ai=E(ix)XsSt−→ StXs[t+si/si](iv)tMαsXr−→tM αs+rJ I(十)Ijs[t+s /s](v)tMαsZr−→t+r<$Mα<$sJ I特罗吉尔MI jt[r+si/si]我S[r+si/si]J我(vi) AkXs我我−→Xs Ak,(Xi)αr−→Sr α与X和Z(十二)−→ ⊥图1.标准化通过。“现在,让我们更详细地描述它的结构我们已经看到了Mα形式的测量命令(q代表一个量子比特)。 这种表示法的一个扩展解释了一些情况,α′=(−1)sα+πt,其中s,t∈Z。 则测度t表示为:M α'=t<$M αs。更正命令的形式是我们前面看到的X,除了也可以使用Z代替X。对于纠缠,符号Epq表示两个量子比特p和q之间的纠缠。还有一个移位命令Ss,用于表达和操纵在测量之前应用Z命令序列是整个过程的更大表示的一部分- a.k.a. 模式,包括量子位(V)的集合,以及逻辑输入(I)和输出(O):(V,I,O,CmdSeq)。例如,上面的H-过程现在表示为. {1,2},{1},{2},Xs1M xE1 2N。在这里,标准化成I现在是将一组对称通道(例如图1中的通道)应用于所涉及的两个H操作的命令序列的合成的问题。 X s2M x E23X s1M x E12。3 2 2 1同时,模式的其余组成部分也需要相应更新。在通过i、iii、iv和vii之后,我们得到以下作为I的模式:. {1,2,3},{1},{3},Xs2Zs1M xM xE2 3E1 2N。在一般的角度来看,MC过程简化了BP方法,使其不受非Cli-Clord算子的影响(参见第2.2.1节结束)。在Alg. 1.一、 基本上,新过程的步骤1和2构成其核心部分,而步骤3是可选的;因为它仅用于简化模式,通过在指定测量时将Z通过v和x)。不考虑步骤3,时间复杂度在子电路的数量n中是线性的,并且在输入大小s中是立方的。包含步骤3使其在(ns)中是二次的。所以,概括一下,无论选择什么方法,在合成步骤中,我们JI196L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191122−→2211CM E=C2C1M2M1E2E1算法1一个基本的C& S程序.标准化C M E C M E为某种形式˜˜ ˜˜每一个装饰都有一个标志,在模式上有变化1. 将E2的每个元素向后循环,穿过C1−→E=E2·E1;C2. 对M2类矩阵的每一个元素进行迭代,得到C−→M=M·M1;C;C=C2·C3. 对于每个M:a. 转换C SM E的内部过程b. 将换档向前移动,穿过M和C的剩余部分,在命令序列的末尾丢弃它−→CMEE x、Mx和Cx分别表示两个标准子模式1和2的纠缠、测量和泡利校正操作的序列,其中x表示作用的子模式。有两个给定的子实现Ri和Rj的概念,它们需要组合成一个更大的实现R。这个过程要求子实现的组成在我们继续之前被标准化每种方法的特点是实现的表示和执行C S过程的方式。总体而言,MC方法更好地满足了我们翻译的效率和系统化需求。然而,随着电路规模的增加,这些模式很快就会变得过于繁琐,无法在高层次上进行操作或简单推理。例如,简单地考虑生成CCZ操作的命令序列,当它用受控旋转表示时。附录(A)中的图A.1给了我们一个很好的概念。因此,人们不得不怀疑是否有更好的方法来表示这些模式(以及任何特定于模型的量子计算),以一种隐藏一些实现细节的方式,并且主要是从输入/输出方面对电路进行推理事实上,如果在OW模型中为计算定义一个合适的单子,这是非常可能的。在更广泛的范围内,使用这种单子概念的抽象提供了一个统一的框架,用于理解和推理一般的量子计算,跨越不同的模型。我们现在继续介绍我们的一元抽象。3量子计算再一次,把两个H-运算的合成变成一个I-运算.3.1的表示在量子力学中,在矢量态方法下,I=10=11 1Σ·√1Σ1 1H=H·H。0 121 −121−1也就是说,给定一个量子态|然而,在连续两次应用H:I之后,可以获得相同的状态|H=H(H|(掌声)。我们将其表示为1111L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191197===I(A)=H(A)=\(B)→H(B)=I(C)→(2)返回(C)如果A代表逻辑输入,那么B代表H第一次应用的逻辑输出。然后,B成为第二个应用程序的逻辑输入,C代表整个操作的逻辑输出。当然,A和C指的是同一个值。序列用箭头→表示。我们将定义马上回来。将运算应用于给定状态是矩阵-向量乘法。两个连续的应用程序对应于一个矩阵乘法。SN模型为理解和解释量子力学提供了一个图解的视角。在这里,矩阵现在由一些标记的正方形表示例如,随着时间从左到右的推移,我们正在处理的操作现在表示如下:I和H。通常的做法是在每一行上标明登记册的名称或标明在某一特定时间所持有的价值5。组合运算,或将其矩阵,一个简单地连接输出寄存器,从一个操作到输入寄存器到另一个,如图2所示,用于我们正在进行的示例。图2.同一性作为两个连续的阿达玛,在SN模型我们的抽象表达式肯定与Eq.(2)尽管我们的基本代表已经改变。在OW模型下,我们的抽象表达式仍然与Eq.(二)、然而,由于需要对结果进行标准化,需要在每个顺序步骤中记住以前的实现;这使得事情变得有点棘手。为了更好地说明这一点,让我们首先通过介绍使用monad的概念来概括抽象。3.2统一框架:单子由方程式(2)、=(bind)和return实际上是将计算的表示从它们的实现或含义中抽象出来的一元运算;将每个可能的实现(或含义)封装在所谓的“单子”中虽然我们在不同的模型中保持完全相同的符号,但模型特定的实现细节通过简单地更改底层monad来指定。5对于多个寄存器,它可以并行显示多行,并对它们进行单独或集体操作。不同的其他约定用于表示受控操作,一些特殊操作,如否定和多个寄存器上的操作。请参阅[10]的第3章以了解一般示例。198L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191B∃∀、、、在早期的工作中,A. Sabry [12],然后Vizzotto等人。 [14]使用这些操作(以及箭头构造器),将量子计算的“不寻常”特征联系起来即量子并行性和测量,到单子(和箭头)。在这里,我们利用这个想法来统一量子电路推理的不同方法,给出了一种只考虑操作的逻辑输入和输出的方法。在我们进一步讨论之前,简单地描述一下单子的概念是有帮助的由于我们是从编程语言的理论中使用它的语义结构63.2.1简要回顾基本上,这个想法如下:• 取一个类型A的元素,并为它定义一些在上下文中,元素现在是类型m A。例如,在我们这里的例子中,我们取一个经典比特,比特的上下文是它的类型A是位,而m A是量子比特• return将给定的元素提升到一元层中。换句话说,它接受一个类型为A的元素,并返回一个对应的类型为m A的元素。我们说回报是A→m A型的。在我们的例子中,类型是比特→量子比特,这意味着产生给定经典比特的量子等价物。所以,返回0 =|返回1 = 0|1,更一般地返回A =|一个小女孩。• =(bind),在某种类型为m A的输入和类型为A → m B的特殊函数f上,以模拟某种类型为m A→m B的量子函数f的应用的方式将f绑定到输入元素。我们说=的类型为m A→(A→m B)→m B,且f<$=(=f),f。例如,为了模拟H矩阵在SN模型中的应用取一个向量并返回另一个向量,我们抽象中使用的H(等式2)。(2))定义如下H0 =|+100。(三)H1 =| −⟩同时,=可以定义如下7:,a,= f =(a ' * '(f0))' + '(b ' * '(f1)).(四)从Eqs。(3)和(4),在输入上应用(=H|它等于将它与相应的矩阵相乘 ,因为1(a)|+"+“b| −)= 2a+ba−b=H|好吧[6]范畴理论提供了一个更有经验基础的单子定义。.L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)1911997200L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191Q力学示意性返回A = |A.|A.=Op=QOp·|A.返回A=|A.=Op=图3.SN模型的一元运算• 重要的是,为了确保基于这些单子的计算的一致性,必须满足三个定律:· 左恒等式:ma=return=ma· 右恒等式:return x=f=f x· 结合性:(ma=f)=g=ma=(\a→(fa)=g)现在,我们可以清楚地描述我们的抽象。3.2.2一元抽象对于我们在此的抽象,我们基本上返回将计算基础(经典)的元素A提升到量子层 到|一个小女孩。然而,只要合适,它可以将信息进一步提升到模型特定的量子层,例如,OW模型。(We我们很快就会回到后者)。现在,每个表情|A=\A→Op A-或等效地|A=Op,我们将模拟下面的矩阵乘法的运算QOp关联为等式2。(四)、然后,基于这种关联,我们说明了如何定义图1中SN模型的一元运算。3 .第三章。从这样的抽象产生的实现构成了一个层次的实现细节隐藏的抽象。实际上,这些细节操作起来往往很繁琐,正如我们之前在MC方法下对OW模型表示CCZ操作的考虑一样但是,考虑到这一点-现在,我们可以简单地把它表示为图1。四、图4. CCZ-MonadicAbstraction。在这一点上,现在让我们来看看OW模型,并定义它的一元层。3.2.3单向模型我们从一个表达式开始|A.=Opi;(5)其中(=Op i)对应于某个OW实现R i和某个操作Q Opi 的应 用。 这是微不足道的,因为人们可以继续并应用上述实现,并且仍然符合OW程序,通过定义。CCZ(A0,B 0,C0)=C阶段(B 0,C 0)=\(B1,C1)→π2CNot(A0,B 1)=\(A0,B 2)→C(−2)相(B2,C 1)=\(B3,C2)→ππCNot(A0,B 3)=\(A0,B 4)→2return(A1,B 4,C 3)C阶段(A 0、C 2)=\(A1,C3)→L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191201| ⟩、、、作为输出Monad作为状态Monadreturn A ={|A;}{|A i; R i}= Op = let R j='extract_from'QOp在令R = &CS(Ri,Rj)中{|A; R}return A =\R→(|A、R)01- 02|A(i,R i)=(SA R)在令R= CS(R i,R j)中,在(|A),R)图5.OW模型的一元运算现在考虑从等式2中取输出B。(5),并将其应用于另一个实现Rj,如在|A.=\(A)→Op i(A)=\(B)→(6)Opj(B) =\(C)→(7)返回(C)在由Eq.(7),必须知道先前的R i,以便在将结果应用于初始输入之前将其与R j的组合标准化|一个小女孩。因此,在某种意义上,第一个应用程序的输出必须以某种方式包含初始状态和先前的实现。我们现在对一元层的定义(图3)-返回A=|一个人,不能做到这一点。人们必须至少提升价值观-说A -进一步到{|其中R表示&到当前位置为止的C S化实现的值。因此,通过定义=,在合成的步骤(7),标准化之前的相应Q Opj将返回|C;Rj.然后,我们有一个函数“extract_from”,它在QOpj中进行运算并返回Rj。我们在图5中定义了一元层。事实证明,在编程语言中,这里描述的行为对应于一些特殊类型的monad,其角色围绕维护和操作全局数据,例如,输出和状态monads。为了保持简单,在每个一元步骤中,我们不更新输入状态,而是简单地传递它;将其留给以后考虑将相关的C S实现应用于它。重要的是,请注意,对于我们前面在2.2节中回顾的所有不同的OW方法,一元抽象的格式看起来完全相同。唯一的区别是在实现和相关的C S过程的表示然而,我们确实想知道是否可以以某种方式改进一元层的定义;如果可以,这个过程可能涉及哪些因素在下一该过程揭示了一组用于C S过程抽象的条件,其在定义用于推理电路的附加方法中具有应用。OW模型。202L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191∼对于每个交织量子比特q,(i) X校正总是在交织量子位的邻居(在电路2内)上引入移位。同时,测量(a) 要么保持不变,如果它是在X基础上(b) 或者保持不变并在q引入移位(c) (C:)或变得依赖于校正(ii) Z-校正总是保持测量不变,并在q上引入位移。图6. 抽象的基本条件3.3改进抽象有两点很重要,特别是对于转换电路。首先,我们要减少作为单子被操纵的第二,我们要改进=的执行。3.3.1C S条件通过观察标准化的效果,传递最终模式,作为基本的C S过程(Alg. 1)被执行,我们能够丢弃那些输入(来自后续应用)和输出(来自先前应用)量子位,这些量子位不是输出-转向-输入,或者我们称之为交错量子位。此外,当实现被认为是在执行CS过程之前被简化时,我们也丢弃了以前的纠缠和测量,因为它们不再对随后的应用有任何影响(参见。- 阿尔格的勋章①的人。本质上,我们归结为图6中的一组条件,作为任何C S过程必须满足的标准。在没有步骤3的基本过程之后,条件通知可以在何处引入移位中的一个,因此可以考虑针对所测量的每个q传播它们-执行可选步骤3-或者将它们保留为Z依赖性8。在本文中,移位的引入指的是Z-校正的引入,其最终转化为对相关联的测量的Z-依赖性(第v遍),其然后被移出测量模式(第viii遍)。请注意,由于后者,我们的推理偏向于简化模式,如步骤3中的结果,我们使用术语通过vi)。在任何情况下,基于C-S条件,我们抽象和改进我们的C-S程序甚至更多。Alg. 3描述了抽象的C S过程,并讨论了其工作原理。时间复杂度在子电路的数量上是线性的,并且在输入大小s上是二次的,有或没有考虑基本CS过程的步骤3[8]Z相关性是指在测量值上传播Z校正的效应(第五遍)。L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191203作为输出Monad作为状态Monadreturn A ={|A;}{|A i;C i}=Op=让R j=' extract_from 'QOp(1)A = 1&|A); C}return A =\R→(|A、R)01- 02|A(i,C i)=(SA R)在 let Rj=&' extract_from 'QOp中 , 在 let ( C · ME ) =CS(C i,R j)中,在(ME(|A)、C)图7.OW模型的简化一元运算3.3.2简单单子关于我们早期的一元抽象,我们重新定义我们的返回为将A提升到{|A;C};while =,on input {|现在遵循抽象C& S过程来组合C i和R j。图7示出了新单子。请注意,现在,我们可以始终将模式的纠缠和测量部分应用到输入状态上,然后传递更新的值;只留下最终校正序列的应用供以后考虑(而不是像前面那样的整个实现)。C S条件的其他应用引入了OW模型的替代方法,从抽象的C S过程扩展或减少。例如,我们提出了一种方法,是基于一个特定的图形表示OW实现,一个将允许一个一致的近似电路。我们稍后将使用这种方法来说明我们的电路从SN模型的翻译(第5节)。4图形单向方法定义:我们从不同类型的量子位的表示开始,例如,辅助,逻辑输入/输出如图。8两个纠缠的量子比特由一条只要有可能,就通过将两个量子比特并排粘合来减少“电线”的使用:从更广泛的角度来看,这项工作的前景是最终实现可视化地表明它离成为一个集群状态总的来说,这种表达是一种适应-图8. 一些量子比特。Raussendorf et al. ’s为了组合两个电路1和2,引入有向箭头()来指示来自电路1的哪个输出量子比特正在成为来自电路2的哪个输入量子比特。从左到右:X、Y、Z和自适应测量;以及输出量子位。从左到右:要测量的输入量子位在X,Y中,任意角度,-,和。π π4 4204L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191∈∩4Q4Q• 将测量设置为自适应。mq<$t<$Mα<$rQ算法2是一个简化的图C-S过程.一个量子比特q(01I2):考虑唯一的测量mq和修正cq。(i) 如果其中一个修正满足(cq==Xr)和(mq==t<$Mα<$0):(ii) 否则:• 保持测量类型不变,但从输入/输出模式转换q的表示安西拉仅考虑自适应测量以及X、Y和±π中的测量。然后,标准化过程通过一致地消除箭头的出现来减少整个电路表示;同时尊重图6中的抽象条件。在任何情况下,正如我们将在即将到来的实际例子(第5节)中看到的那样,这种图形状态的视觉表示的一个重要用途是,当人们可以忽略某些定义细节时,可以快速地变得复杂,得到它们组合结果的近似值例如,让我们看一下下一节。4.1近似组合:一个简化的方案无论人们是否缺少关于受限范围之外的测量或确切的泡利修正的信息,或者只是对它们不太感兴趣,下面的框架总是会导出最终电路的纠缠和基本测量模式。本质上,类似于人们可能在普通论文中发现的内容- 例如Raussendorfet al. ’s自适应和特定的测量在X,Y,和±π时,他们不是。因此,基于抽象条件,具有自适应(即,依赖)测量的交织量子位不需要进一步分析。事实上,我们的整个连接过程归结为Al-出租2中的过程.步骤i检查标记为(C:)的条件是否满足,如果测量还不是自适应的。时间复杂度是在输入大小s上的线性增益,并且是在子电路的如果我们决定继续进行基本的C S过程的步骤3(图1),我们可以简单地假设信号以递增的顺序积累,因此永远不会抵消。此外,当关于交织量子比特上的精确校正的信息丢失时,可以假设它至少是X校正的。为了说明,我们从图9中的CCZ的抽象表示构造了图9中的CCZ的表示。四、4.2推广方案这里定义的图形方法相当于MC,因为它最终是解释如下。L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191205(a)(b)第(1)款图10.6量子位加法电路(a),及其更高并行度版本(b)。[图片来自[2]]当扩展简化的图形表示(第4.1节)以包括关于测量角度、校正类型的更多具体信息时,X或Z,或现有的信号,一个移动到一个更一般的代表性框架。从概念上讲,相应地扩展了表征推理,修改了相关的级联过程,最终完全模仿MC5一个(新的)单向量子撕裂进位加法电路的考虑翻译Cuccaro等人的版本。’s “new quantum ripple-carry addition circuit” [10. 这两种电路都减少了典型的纹波进位加法电路所需的辅助电路[13,6,5])下降到一个单一的从一个线性绑定。如果我们然后,第二个循环优化第一个循环通过降低深度,从而产生一个版本图9. 从受控旋转中构建CCZ星门。具有更高的并行性。本质上,第二个版本重新安排了电路表示中的门,在用适当的版本替换UMA按照构建块的方法,我们从以下开始我们的组合过程206L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191(a) 从一般图状态(b)从簇状态图11. 建造MAJ大门。使用某些基本CX和CCX-或H、CZ和CCZ的子划分,推导MAJ和UMA(均为版本9)子划分的实现。对于一般的图-状态实现,我们可以使用我们在图1中生成的CCZ-实现第九章然而,在此基础上构建的表示很快就变得不可识别。例如,看看图1中MAJ电路的实现(11a)。幸运的是,我们可以从Raussendorf等人那里得到另一种CCZ实现。 [11 ]第10段。然而,这没有关于自适应测量的角度的明确信息,也没有信号,也没有使用中的校正。因此,我们不得不应用我们简化的图形连接程序。这里获得的MAJ实现(图11b)并不完全是一个簇状态,但它很接近。我们最终从下面的10个中建立了图12中的6量子比特加法平移。首先,我们从每个MAJ-UMA组合形成1-量子比特加法平移然后,按照SN模型中的电路结构,我们适当地链接逻辑输入和输出,在适当的时候使用双阿达玛变换11。后者允许(1)从视觉角度保持易读性,以及(2)保持实现的类簇结构分析:优化在翻译即使我们缺少了一些来自底层CCZ实现的信息,我们仍然可以近似地评估OW模型中两个版本的电路之间的复杂性差异。首先,我们假设与MAJ或UMA细分相对应的所有部件可以并行运行。然后,我们把底层CCZ实现上的自适应测量的每次出现作为在单独的一轮测量中执行。 事实证明,无论我们转换原始加法电路(图10a),还是其更高并行度的版本(图10b),所得到的OW实现都具有较低的恒定有界深度,并且额外附属电路的差异可以忽略不计。这似乎不是一个非常令人惊讶的结果。事 实 上,正如Raussendorf et al.[9]请注意,在我们对电路的更高并行度版本的翻译中,我们不需要重新排列门,因为这不会改变我们正在使用的基本门的数量。[10]当然,这个过程可以扩展到n>6个量子位的加法平移。11本质上是多次与同一性构成。L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)19120722ππ(a)(b)更高并行度版本图12. 图的单向实现10.[11]指出,在Cli- Cli此外,Danos et al. ’s “no dependency theorems”因此,我们认为,在电路模型下执行的电路优化不能期望在单向模型下产生相当大的差异,除非它们至少涉及非Cli-order操作。对于我们在此的示例,我们可以关注的唯一非Cli-Phase效应来自CCZ,因为它们在受控旋转方面的分解包括C(±)Phase-和C(±)Phase不在Cli-Phase群中。将OW实现的复杂性与SN实现的复杂性进行比较,不存在将线性过程转化为常数过程的问题唯一的其他考虑因素是应用OW实现的物理限制,这可能会将结果图分割成几个连续应用的6结语:走向完整的翻译框架我们考虑了OW合成阶段的转换电路从标准电路(或网络)模型的单向。以提高经济效益为重点208L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)191科学性和系统化的翻译,我们考虑了两个主要的方法,从目前的文献,并抽象它们使用数学概念的单子;更一般地说,提出了一个抽象的模型量子计算。抽象使我们能够定义一些基本条件,用于在单向模型中组成这些条件后来作为改进单向模型中的抽象的基础,包括引入基于电路的图形表示的附加方法。这种方法解决了偶尔需要电路近似的问题,因此非常适合我们实际例子中收集的信息不完整的翻译。这里值得注意的是,这种使用monad进行抽象的想法可以扩展到其他模型,超越这里关注的标准和单向模型。 此外,考虑到最近关于单子的推广的发展,称为箭头[8,14],我们发现考虑使用这些结构也可能有帮助在任何情况下,另一个值得长期考虑的问题是更正式地定义图形方法,将简化的一元层与更一般的层明确分离;也许将额外的(完整的)信息建模为一元(或基于箭头的)效应。在效率和有效性方面,可以将优化通道添加到翻译过程中,并考虑它们在整体复杂性中发挥作用的不同方式,以及它们满足的实际/实现需求的类别最后但并非最不重要的是,人们还可以考虑将这种合成方法的复杂性与其他方法进行比较,例如阶段-映射分解[4]。我们希望,所有这些考虑将潜在地引导我们到一个完整的翻译框架,即有效地和系统地生成具有立即实际使用的电路实现。确认我们要感谢所有直接和间接的贡献者。我们感谢科学交流研究所量子信息单元小组以及印第安纳大学编程语言小组的富有成效的投入。我们要特别感谢Amr Sabry教授和Gerardo Ortiz教授在整个工作中的持续指导。引用[1] 布朗,D。E.和H. J. Briegel,单向量子计算-教程介绍(2006)。网址http://www.citebase.org/abstract? id=oai:arXiv.org:quant-ph/0603226[2] Cuccaro,S.一、T. G. Draper,S. A. Kandy和D. P. Moulton,A new quantum ripple-carry additioncircuit(2004)。网址http://www.citebase.org/abstract? id=oai:arXiv.org:quant-ph/0410184[3] 达诺斯,五,E. Kashe Fiand P.Panangelo,The Measurement Calculus(2004).网址http://www.citebase.org/abstract? id=oai:arXiv.org:quant-ph/0412135L. 电子笔记理论计算机科学270(1)(2011)1912091[4] de Beaudrap,N.,诉Danos和E.Kashe F,Phase map decompositions for unitaries(2006)。网址http://www.citebase.org/abstract? id=oai:arXiv.org:quant-ph/0603266[5] Draper,T. G.,量子计算机(2000)URLhttp://www.citebase.org/abstract? id=oai:arXiv.org:quant-ph/0008033[6] Draper,T.G.,S. A. Kenda,E.M. Rains和K.M. Svore,A mathemic-depth quantum carry-lookahead adder(2004).网址http://www.citebase.org/abstract? id=oai:arXiv.org:quant-ph/0406142[7] Ekert,A.,P. Hayden和H.稻盛和夫,量子计算的基本概念(2000)。网址http://www.citebase.org/abstract? id=oai:arXiv.org:quant-ph/0011013[8] Hughes,J.,将单子推广到箭头,计算机编程科学37(1998),pp。67比111[9] Mermin,N. D、“Quantum Computer Science: An introduction,” Cambridge University Press, CornellUniversity, New York,[10] 张文生,[11] 劳森多夫河,D. E. Browne和H. J. Briegel,Measurement-based quantum computation with clusterstates,Physical Review A68(2003),p.022312网址http://www.citebase.org/abstract? id=oai:arXiv.org:quant-ph/0301052[12] Sabry,A.,Haskell39-49.[13] Vedral,V.,A. Barenco和A. Ekert,Quantum networks for elementary arithmetic operations(1995)。网址http://www.citebase.org/abstract? id=oai:arXiv.org:quant-ph/9511018[14] Vizzotto,J.,T. Altenkirch和A. Sabry,Structuring quantum effects:superoperators as arrows,Mathematical。Comp.中的结构Sci. 1
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