重建和可视化的代数技术

413理论计算机科学电子笔记46（2001）网址：http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume46.html17页用于重建和可视化埃德加·加德（EdgarGard）是一个，1，3和Ga b或T。Hermanb，2，4美国宾夕法尼亚大学生物工程系天普大学计算机科学与应用数学中心Center for Computer Scienceand Applied Mathematics Temple University美国费城摘要用于从投影重建分布的代数重建技术（ART）在医学成像和电子显微镜等不同领域取得了进步。这些方法的一个重要特性是它们允许使用各种基函数。最近球对称函数（斑点）已被引入作为重建的有效基函数。然而，其参数被发现适合用于重建的基函数不一定适合可视化。我们提出了一种方法来选择斑点参数重建和可视化。1从投影人们常常希望获得物体或物体内部的知识不幸的是，在大多数情况下，直接观察物体的内部然而，有可能从物体与某种类型的能量相互作用产生的测量中获得关于物体内部结构的信息在这篇文章中的测量被认为是线积分（的一些空间变化的物理参数，与当地的相互作用的对象与能量）通过对象从源到检测器。1份由墨西哥国家市政委员会的Grannt提供2由NIH Grant HL 28438和NSF Grant DMS 96122077支持3电子邮件：edgargar@seas.upenn.edu4电子邮件：gaborherman@netscape.net？2001年由ElsevierScienceB出版。 诉 在CCBY-NC-ND许可下开放访问。加杜·恩加洛和赫尔曼414----Σ在实践中，沿着物体周围具有不同取向的不同线进行大量测量其目的是从测量数据中重建空间变化的物理参数的分布。一般来说，有两类重建技术（重建算法）：变换和级数展开方法[8]。在本文中，我们对后者感兴趣，特别是所谓的代数重建技术（ART），因为这些已被证明是许多重建任务的有效方法[8，9，11，14，15，17]。在这些方法中，假设要重构的分布的近似可以由已知基函数的线性组合给出;即，（一）n（r，φ1，φ2）nJj=1 cjbj（r，φ1，φ2），其中（r，φ1，φ2）是球坐标，{c j}，j = 1. 是必须由重构算法确定的系数的集合，并且bj是已知基函数的集合。基函数bj极大地简化了重建算法的结果[12，13，19]。最常用的基函数是那些在立方体积内具有单位值而在外部具有零值的基函数（称为立方体素）。然而，使用立方体素产生的近似是分段常数函数，具有不期望的人工锐边;使用从1到0平滑过渡的函数似乎在从投影重建的领域中，Lewitt [12，13]和Matej [19]提出了使用基函数，称为斑点，具有球面对称性和从1到0的平滑过渡斑点是数字信号处理中称为Kaiser- Bessel[12]的一类众所周知的窗函数的推广单个blob的一般形式是：- 是的。Σ。R2 。。布勒姆（二）b（m，α，a;r）=Imα1−aI（α）。R-21一当 0≤r≤a时，布勒姆0.00，否则，其中，r是距斑点中心的径向距离，I m表示m阶的修正贝塞尔函数，a是斑点的半径，α是控制斑点形状的参数。三个参数m（非负整数）、a和α（非负实数）控制斑点的平滑度和形状，并影响重建算法产生的结果;因此，它们的适当选择非常重要。在本文中，我们设置m等于2，这使得斑点是可区分的两倍。除了在空间的紧凑区域中从1到0的平滑过渡之外，选择斑点作为基函数的两个理由是，存在三维傅里叶变换的封闭解析公式−加杜·恩加洛和赫尔曼415ˆ≥≥----图1.一、斑点的F变换。 Weplot log.b（2. 四十，十三。36，2;R）作为函数的b（2. 四十，十三。36， 2;0）频率R。任何由（2）定义的斑点（如果m= 2，它是球对称的）函数由第七章。√Σα2−（2πaR）22- 是的√Σ7 当2πaR≤α时，32 22π（2π）2α3α2π。α−（2πaR）<$（三）b（2，α，a;R）=碘2（α）BJ7√（2πaR）2−α22- 是的Σ72，若2πaR≥α，√（2πaR）2-α2其中J是贝塞尔函数），并且斑点是prac。蒂奇班德勒-米季德[12]第10段。我们在图1中说明了这一点，图1绘制了值日志b（2. 四十，十三。36，2;R）b（2. 四十，十三。36、2;0）作为频率R的函数。 从这个图中可以清楚地看出，40，13。36，2;R）小于其峰值的万分之一，如果R1，它小于其峰值的百万分之一，如果R2。关于在级数展开方法中使用斑点产生优于变换方法产生的结果的证据，请参见[10，11，14，17]。（1）的各个斑点函数bj是（2）中定义的斑点b的移位形式我们将在这种斑点表示中斑点的中心被移位到的点pj的集合称为网格。顺便说一下，斑点状基函数方法的线性组合也被提出作为计算机图形领域中建模三维对象的一种方式[3，5，21]。 从最大值到零平滑过渡的基函数的一些例子是[3]中使用的高斯函数和[21，22]中使用的多尺度小波。2Blob参数和网格点集pj的空间排列的选择对于最终重建的质量是重要的三个网格特别令人感加杜·恩加洛和赫尔曼416兴趣：加杜·恩加洛和赫尔曼417× ×SC4δ(a)(b)（c）第（1）款图二. 2中的简单立方（a）、体心立方（b）和面心立方（c）网格中的点 2 2部分空间（假设δ sc=δ bcc=δ fcc=1）。 的 其余的点可以通过在空间中填充所指示的2 ×2 × 2部分的最自然的重复来获得。a. 简单立方网格（sc）定义为：（四）G δsc ={（δ sc x1，δ sc x2，δ sc x3）|x1，x2，x3∈ Z}，其中Z是整数的集合，δsc是正实数（采样距离）。b. 体心立方网格（bcc）定义为：（5）Bδbcc={（δbc cx1，δbc cx2，δbc cx3）|x1，x2，x3∈Z且x1<$x2<$x3（mod2）}，其中δ bcc为正实数.c. 面心立方网格（fcc）的定义如下：（六）F δfcc={（δ fcc x1，δ fcc x2，δ fcc x3）|x1，x2，x3∈Z，且x1 + x2 + x3 <$0（mod 2）}，其中δ fcc是正实数。为了可视化这些网格，我们可以使用其中的一小部分，他们的周期性重复的优势，见图2。为了适应我们对参数优化的讨论，引入一些附加符号。 令IIIG，IIIB三、F指δscδ体心立方δFCC（广义）函数，通过放置（单位强度）脉冲获得[4]分别在方程（4）、（5）和（6）中定义的Gδsc、Bδbcc和Fδfcc的网格点很容易证实，（七）。G1GFIII = IIIδ1和δsc3δsc。B组1F组(8)F= III，Ⅲδbcc3BCC12δbcc其中F表示三维傅里叶变换。加杜·恩加洛和赫尔曼418≥11√联系我们δ3对上面定义的网格感兴趣的是，简单的立方网格是最常用的，也是最容易在当前计算机中实现的在[20，23]中已经表明，当函数的带限具有径向对称的谱时，bcc网格是三维欧几里得空间中最“有效”的为了说明这一点，我们考虑一个分布函数，其F_∞变换φ_∞具有函数φ_∞（R，Φ1，Φ2）=0，如果R0的情况。5（即，带宽为1）。 在G1点处采样（其中与乘以IIIG）的结果相同，其结果是傅立叶变换，用HIIIG表示的卷积;见（7）。由于假设的π的性质， 该傅立叶变换与以原点为中心的半径为0.5的球体内π的傅立叶变换一致（参见图2（a）），因此π可以从样品中明确地恢复然而，如果在Gδsc的点处进行采样且δsc>1，则不能保证同样的效果，因为在采样函数的傅立叶变换中半径为0.5的重复球体的重叠（混叠）。另一方面，在Bδbcc的点处采样λ会导致球体以网格点F1为中心重复;请参见2δbcc(8). 从图2（c）中可以看出，为了避免混叠，我们可以将δbcc设置为1（或2少一点覆盖固定空间部分所需的点数当点数来自B1时，2 而不是来自G1。这在这个意义上，BCC网格比SC网格更有效。联邦通信委员会网格比简单立方网格效率高，但比体心立方网格效率低有趣的是，体心立方和面心立方网格在实空间和傅立叶空间中是彼此的倒数，如（8）所示。出于重建目的，Matej和Lewitt [18]证明，无论何时使用斑点的线性组合来获得近似的BLOB，所使用的网格应该与简单的立方网格不同，并且bcc网格是最理想的因此，我们将考虑bcc网格对于其中斑点的中心应该被定位的集合{P}，即，，集合是由空间的某个有限凸区域与（5）的Bδbcc在决定使用m= 2和体心立方网格后，有三个参数可供选择：α、α和δ体心立方。显然，为了能够使用（1）近似任意分布，δbcc的值应该很小。然而，在一个固定的空间体积中，网格点的数量（因此，我们的重建算法的成本）与1成比例，因此是实用的BCC考虑不允许我们选择很小的δbcc。侦察的代价结构（在我们使用足迹的实现中[13，19]）也与α2成比例，我们很快就报告了α的大小对重建质量的影响在我们的实现中，计算成本不取决于α，因此可以纯粹基于所得到的重建的质量来选择该参数选择参数的一个合理标准是，对于1≤j≤J，cj= 1的斑点的线性组合应该是一个近似值√加杜·恩加洛和赫尔曼419δ体心立方2δbcccalculatedbyy（9）δbcc=1(a)（b）第（1）款图三.常值函数与使用几个值α和α的二进制大对象的线性组合的近似值之间的均方根（rms）误差其中（a）δbcc使用（9）计算，（b）δbcc=1 .一、粗线表示2这两个条件都满足的点的轨迹一个常值函数。 在这种情况下，（1）的右手边是一个（2）中的斑点b与IIIB的截断版本的卷积因此，F变换近似为F.为了最好地近似3BCC12δbcc常值函数的傅里叶变换（这是一个脉冲，原点），则在如下情形中选择b是有用的，即，如果αb（2，α，a;R）为零值1在F12δbcc 的具有最小2δbcc正距起源;即，距离R=12δbcc. 从我7岁开始2不是零值的，使J7（x）= 0的最小正x是x = 6。987932，它来自2(3)以及本段中的讨论，对于任何a和α，合理的选择是（九）πa2δbcc = δα2 + 6。2.按照这种方法，我们将未知数的数量从三个到只有两个，即，a和α。 在图3中，我们报告了一些基于[19]中提出的 这些图表示适当常数与（1）的右侧之间的均方根（rms）误差的水平集（具有指示值）（其中{c j}= 1，j = 1.（1）在一个G1的适当子集用于斑点参数的各种选择既然我们有三个参数a，α和δbcc（回想一下m= 2），水平集是三维空间中的表面;在图3中，我们显示了这些水平集与两个表面的相交：在（a）中，δbcc是使用（9）计算的，在（b）δbcc设置为2001年。（注意，δbcc具有长度的维数，但do如果δbcc和a都乘以相同的常数，表示长度单位的变化，则图纸不会改变。）在（a）和（b）2√4δ√加杜·恩加洛和赫尔曼4202}（b）we表示满足h（9）且δbcc=1的点的位置，这是曲面（a）和（b）相交的曲线可以看出图3（b）如果我们将δbcc固定在1，则对于半径a的任何固定值2由（9）确定的提供低RMS误差。此固定δbcc的均方根误差可以通过使用更高的值α来进一步减小，但是这是以增加的计算成本为代价的此外，这项研究忽略了分辨率，这是另一个重要的标准。没有特别的理由相信（事实上，人们可能会怀疑相反），用于表示非常光滑物体的参数也会导致高分辨率的重建。我们在下面回到这个问题。3隐式曲面和可视化在计算机图形学中，隐式曲面用于表示具有不同拓扑和几何形状的物体隐式曲面S在数学上定义为（10）S={（r，φ1，φ2）|（r，φ1，φ2）=t}。在许多科学领域，（10）被用来可视化由（1）描述的重建假设存在一个固定的阈值t，使得感兴趣的对象恰好由分布的值大于阈值的那些点组成。如果目标的总体积是已知的（如在某些应用中的情况，如电子显微镜），那么t是唯一确定的标准，S应该完全包围已知的体积。对于感兴趣对象的计算机可视化，显示其表面S就足够了，如由（10）定义的。一个合适的方法来可视化（10）中的表面是光线投射。在它的一种形式中，这种技术包括垂直于平面（通常是计算机屏幕）向S投射有限数量的光线;这种形式的光线投射在平面上产生正交投影。为了在最终图像中产生透视缩短效果（物体越远，它们在其中出现的越小），可以使用透视投影，其中所有从平面投射的光线都相交于称为投影中心的点[5，25]。由于我们处理的对象中透视缩短并不重要，因此我们仅使用正交投影呈现图像。对于每条射线，我们需要找到S中最接近平面的点q，并计算其距离和在q处S的法线（这些用于分配计算机屏幕上的强度值[5，25]）。实际上，找到点q在计算上是昂贵的。一般来说，没有关于q离平面多远的基于[3]中的方法，我们设计了以下方法。我们首先对集合{p，j}进行预处理，最后，对于平面上的每个点，我们需要从其投射一条射线，我们有这些网格点的列表（按照递增的顺序√加杜·恩加洛和赫尔曼421∇·--距离平面），其相关系数可能会影响沿射线任意位置的分布值（这些网格点都位于半径为a的圆柱体内，其中心轴是所讨论的射线这个预处理很容易通过在平面上识别以网格点为中心的斑点的阴影来完成在定位特定射线的q时，我们使用相关的网格点列表。对于列表中的所有网格点（回忆一下，这些网格点是按照与平面的距离增加的顺序排列的），我们在网格点到射线上的投影上计算blob系数（为此，我们只需要几个网格点的blob系数，所有这些网格点都在列表中的类似位置），直到我们找到（如果有的话）两个连续的投影qa和qb，使得blob的值在qa处低于阈值，在qb处高于阈值。然后通过在qa和qb之间进行二分搜索来定位q（为此，我们只需要用于计算qa和qb处的blob的系数）。假设（1）中的近似是精确的，我们知道，σ是一个连续函数，σ在任何一点的梯度由下式给出：J（十一）φ1，φ2=j=1cj<$bj（r，φ1，φ2）.集合{cj}由重建算法产生，并且我们已经关闭了用于计算的mulabj[12]。因此，通过y（10）和ray-铸造获得的表示是感兴趣对象的精确表示，仅通过重建和阈值处理。4用于可视化的斑点的选择第1节和第2节中描述的原理已应用于通过透射电子显微镜进行蛋白质结构分析的领域[2，14，15，16，24]。特别地，[2]的作者得到了一组系数，{cj}通过将ART应用于由透射电子显微镜成像的源自蛋白质（大分子复合物DnaB·DnaC）的一组投影图像，使用满足（9）的参数α、α和δbcc当我们通过上述光线投射方法，我们使用所得的集合cj来产生大分子复合物DnaBDnaC的表面的视觉表示，令我们惊讶的是，我们发现表面表示具有在重构分布的逐片呈现中不可观察到的伪影，参见图4。显然，被认为用于重建的“最佳”参数正如通过斑点的线性组合来近似函数的方法在图5中，我们说明了α和α值对所得曲面外观的巨大影响为了进一步研究blob参数对可视化的影响，加杜·恩加洛和赫尔曼4222·、、、、、，0）和斑点系数0，(a)（b）第（1）款图四、（a）大分子复合物DnaB·DnaC与斑点参数a=1。25，α=3。60，网格间距δbcc=101 [2]的文件。（b）中央用与（a）相同的参数通过ART重建大分子复合物DnaB DnaC的切片。我们使用了与第2节类似的方法，但现在我们的目标是最小化曲面与其近似值之间的误差，该误差由曲面法线之间的差异来测量。在这个测试中，我们选择了一个分布，在球体内部为1，外部为0。然后，我们模拟了数据收集的随机锥形倾斜方案（电子显微镜中的常见方案[6]），以从电子显微镜生成投影。这些预测是(a)(b)（c）第（1）款图五、在所有情况下，分布都由dy（1）定义，使用带有blob的gridB1在点（0 0 0）、（<$20 0）和（0<$22）处的系数为1所有其他点。所显示的表面由（10）定义，其中t= 0。5. a和α的值在所有情况下都满足（9）;它们是（a）1.25和3.60（与图4（a）相同），(b) 2.40和13.36以及（c）3.20和18.85。 （在本文中，我们报告了a和α的精度为0.01，然而，我们的程序实际使用的值总是计算出来的，因此（9）满足我们计算的精度。加杜·恩加洛和赫尔曼423--2(a)(b)（c）第（1）款见图6。隐式曲面的可视化（t= 0. （5）重建一个球体。对于情况（a）、（b）和（c）中的参数的选择，参见图5的标题用于使用不同α、α和δbcc值的ART创建重建。对于由重建算法产生的每个集合cj，使用光线投射来创建阈值为0.5的重建球体的隐式表面的可视化（对于与图5所做的相同的参数选择，图6中示出了所得到的表面显示中的对于每条射线，我们计算了重建分布中真实球面的法线与隐式曲面的法线之间的角度我们将rms误差定义为向量的范数，其分量是这些角度（对于投射光线穿过两个曲面的所有显示点结果以类似于图1中的显示的方式显示在图7中。δbcccalculatedbyy（9）δbcc=1(a)（b）第（1）款见图7。(a)隐式曲面的解析法线和法线之间的均方根误差变化a，α，并使用（9）计算距离δ bcc。(b)解析法线与隐式曲面法线之间的均方根误差，a，α变化，使用固定的δbcc=1。2加杜·恩加洛和赫尔曼424√√a= 1. 25，α =3。60a= 2. 40，α= 13。36a= 3。20，α=18。85（一）（b）第（1）款（c）第（1）款图8.第八条。二进制大对象的配置文件。a和α的值与图1中的值相同。5和6. 虚线在r=3处，这是B1到2√2最接近它的点（见图2（c））。图3. 正如在图3的情况下，我们可以从图6中看到，这种均方根也可以通过增加a来减少误差（保持δbcc=1、计算2故（9）是满意的。但是，正如我们已经指出的，这将不仅增加成本，而且会导致分辨率的损失我们可以在图5中观察到这种分辨率的损失此外，在图6（c）中，具有最高a的隐式曲面太大。在图8中，我们绘制了图5和图6中使用的三种斑点类型的轮廓，并指出了每种斑点的贡献，在B12最近的网格点。使的值的估计，使用（1），在为了在这两个相互冲突的目标之间找到一个折衷方案（为了减少图3和图7中绘制的均方根误差，需要高a，但为了降低成本和提高分辨率，需要低a），我们提出了以下标准：a应选择尽可能小的值，以符合以下条件：(a)(b)（c）第（1）款图9.第九条。隐式曲面在t = 0层的表示。5为组合在体心立方网格B1 的芯片是由2系数为1。斑点的参数与图5、图6和图8中的参数相√加杜·恩加洛和赫尔曼425√2(a)（b）第（1）款见图10。 图3的细节示出了参数a = 2的集合的位置。40,α=13。36和δbcc=101如箭头所示。(a)（b）第（1）款见图11。 图7的细节示出了参数a = 2的集合的位置。40,α=13。36和δbcc=101如箭头所示。bcc格网B1中最近格网点处的Blob2 被给予系数1，所有其他斑点给定系数0，则隐式表面阈值为t= 0。5应该包围一个凸集。这种隐式曲面（对于a也用于图5、6和8，α由（9）确定，假设δbcc=图1）示于图9中。将δbcc固定为be1和使用α，2由（9）确定，我们发现满足我们新标准的最小a是2.40（这对应于图5、6、8和9中的（b）相应的α为图13.36中，（a，α）对的位置在图3和图7中用箭头表示（图10和图11中更详细地表示我们用大分子复合物DnaB·DnaC的电子显微镜数据说明了这种参数选择的性能。得到的隐式曲面如图12（b）所示22√加杜·恩加洛和赫尔曼426√×}与图4（a）的先前所示的表面相比有很大的改进，图4（a）的表面在此被复制为图12（a）。同样值得注意的是，从传统的逐切片重建分布表示中，几乎不可能预测图12中表面显示之间的根本差异，见图13。5与显式曲面可视化的比较虽然实现光线投射以可视化隐式表面是直接的，但是由于不断搜索相交点q，这种可视化通常在计算上要求很高并且很慢。多边形投影方法是一种替代方法，因为它们的快速性能。这些方法通过多边形的集合显式地近似曲面[5，7，25]。在这里，我们比较第3节中描述的光线投射方法的性能与可视化软件OpenDX？[1]的文件。为了应用OpenDX？ 对于我们的重建，我们首先需要评估简单立方网格上的点的值。为的原因已经解释在第2节中，如果B12用于重建，估计是适当的使用（1），在G1的点处的重构值。 就像光线投射一样方法，OpenDX的多边形投影方法？需要指定阈值，基于该阈值，它自动计算形成要显示的显式表面的多边形。我们将这种方法应用于大分子复合物DnaB·DnaC的重建，其中心切片如图13所示。（顺便说一下，这些切片显示了G1点的估计值。）对于a = 1的斑点，计算G1点处的值花费3分18秒。25，α = 3。60和3分钟50秒的斑点与a= 2。40和α = 13。36. (All奔腾III的时代？的计算机，700兆赫，394兆字节的RAM，在Linux？.） 在两种情况下，显式曲面的计算一旦计算，表面的显示基本上是瞬时的。 这些时间比在相同分辨率（512 512像素）下进行光线投射所需的时间要好得多：a = 1的斑点为13 min 19 s。25，α = 3。60和1小时35分50秒的斑点，a= 2. 40，α = 13。36. 然而，重建时间（两种情况下的cj（ART）分别为32 h 15 min 36 s和65 h 22 min 48 s，标本制备和采集所需时间的电子显微镜数据是以周为单位测量的因此，可视化的质量很可能被认为比产生它们所需的计算机时间更重要在OpenDX的投影方法产生的结果？ 如图14所示。所有参数（用于斑点、网格、阈值、表面的假定方向等）被选择为与图12中的相应显示中的那些相同电脑图形显示加杜·恩加洛和赫尔曼427222(a)（b）第（1）款见图12。大分子复合物DnaB· DnaC的隐式曲面表示DnaB· DnaC的A-R-T重建和视觉再现分别以（a）参数δbcc=10，a=1。25，α=3。60作为（b）参数δbcc=δ1，a=2。40，α=13。36.(a)（b）第（1）款图十三.大分子复合物Dna B·DnaCbyA RT的重建的中心部分，其中（a）blob参数a=1。25，α=3。60和网格分离度δbcc=1，以及（b）斑点参数a=2。40，α=13。36和网格2分离度δbcc=δ1。在操作中使用的方法？图14的显式表面显示看起来比图12的隐式表面显示更平滑，这在情况（a）中是优点，但在情况（b）中似乎是缺点，情况（b）是使用我们在第4节中推荐的斑点参数的情况。如第3节末尾所述，使用光线投射的可视化的准确性仅受重建质量（{cj}）的限制，√加杜·恩加洛和赫尔曼42822(a)（b）第（1）款图14.用128 × 128 × 128体积分布的O p en DX重建大分子复合物DnaB·DnaC的隐式曲面表示。重建参数为：（a）δbcc=0.01，a=1。25和α=3。60和（b）δbcc=α1，α=2。40，α=13。36. 很明显，在这个例子中，通用的可视化软件隐藏了一些重要的细节;为了与光线投射方法的相应输出进行比较，请参见图12。阈值的准确性反投影方法在这个过程中带来了另外一个不精确的来源：由多边形集合对隐式曲面的近似因此，如果重建参数和阈值选择得当，我们可以预期光线投射将是更可靠的可视化工具。这是否值得非常可观的额外计算时间（以及随之而来的对结果表面的实时交互检查能力的损失）在很大程度上取决于应用;不可能提前知道更可靠的可视化是否会导致增加科学知识。确认我们感谢SamuelMatej、 RobertLewitt和CarlosOscarSa'nc hezSorzano对本手稿提出的有益建议我们感谢莫恩泽拉特·巴塞纳的帮助，他为我们提供了有关大分子复合物DnaB·DnaC。引用[1] G. 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