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第九届国际会计师联合会控制教育进展国际自动控制联合会,俄罗斯下诺夫哥罗德,2012年控制中的慢积分流形与萨马拉大学的M. Osintsev,V. Sobolev,†,科罗廖夫萨马拉国立航空航天大学(SSAU)技术控制论151 Molodogvardeiskaya Samara 443001 Russia(电子邮件:michaelos@myplaycity.com)†萨马拉州立大学(SSU)微分方程与控制系1 Ak. Pavlova Samara 443011Russia(电子邮件:hsablem@yahoo.com)翻译后摘要:历史,理论,应用和传统的研究生教育计划中使用的慢积分流形的问题被认为是在给定的文章中参考大学的萨马拉。关键词:研究生教育,奇异摄动,控制,慢积分流形1. 介绍奇摄动微分方程组的理论和应用,传统上与流体动力学和非线性力学问题相联系,目前正得到深入的发展,其方法正积极地应用于自然科学其他领域的广泛问题的求解。这可以解释 事实上,这种系统在各种性质的物体的建模和研究过程中自然出现,其特征是能够同时完成缓慢和快速运动。因此,致力于奇异摄动系统理论及其应用的研究工作数量迅速增加也就不足为奇了。尽管如此,各种各样的问题与所使用的相对有限的分析手段相结合。在大多数情况下,关于所讨论主题的书籍和项目都有作为其基础的构造渐近展开式的技术,奇异摄动控制系统领域理论和应用问题的多样性与研究生教育项目的成功密切相关。简要概述了慢积分流形理论的基础,其次是简要描述了研究生在一些论文中所取得的成果2. 慢积分流形众所周知,自然界各个方面的各种过程的特征在于变量变化率的极端差异,因此奇摄动常微分系统被用作这些过程的模型Mishchenko(1980);考虑常微分系统dx dy=f(x,y,t,ε),ε=g(x,y,t,ε),(1)初值或边值问题的解。在dt dt同时,在许多情况下,有必要观察行为的系统作为一个整体,而不是单独的轨迹,并解决问题的定性分析的系统。在萨马拉的方法,结合使用渐近和几何分析技术的研究奇异摄动控制系统,开发了。这种方法的本质在于分离所研究系统的慢动作类。在这一点上,微分系统的阶数降低,但较低阶的降阶系统继承了原系统在相应域中的定性行为的主要元素。事实上,产生了所考虑的对象的简化模型,但在这一点上,更简单的模型以高精度反映了原始模型的这项工作得到了RFBR(赠款12-08-00069)和RAS EMMCP部门(计划15)的支持向量变量x和y,以及一个小的正参数,eterε。定性研究的常用方法(1)首先考虑简并系统DX=f(x,y,t,0),0 =g(x,y,t,0),DT然后对充分小的ε得出关于整个系统(1)的定性的结论。这种方法的一个特例是准稳态假设。该方法的数学证明可以通过奇异摄动系统的积分流形理论给出(1)(例如参见Baris(1968,1970); Fenichel( 1979 ) ;Kaper ( 1999 ) ;Knobloch ( 1084 ) ;Kokotovi′c(1986);Mitropol(1988); Zadiraka(1957,1965))。积分流形方法已被应用于广泛的问题(见E。G. Bogatyrev(1988);Fridman(1988,1990,1992);Ghorbel(2000); GolKokotovi'c(1986);Naidu(2002);Sobolev(1990,1991,1978 a); Spong(1987); Strygin(1976,1977);Tsengand© 2012 IFAC 45 10.3182/20120619-3-RU-2024.000472012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会46→∞∈××××−∞∞m→∈M≤n+m+1.ΣΣ阿勒特阿克斯nK(1995)),并且特别地,涉及在Mortell(2005)的第7章和第8章中讨论的机械学、控制和化学动力学问题为了回顾奇摄动系统几何理论的基本结果,我们引入下列术语和假设。方程组DX=f(x,y,t,ε)(2)DT代表慢子系统,方程组dyε=g(x,y,t,ε)(3)DT将x和t作为参数。我们将假设这个子系统的某些稳定状态y0=y0(x,t)是渐近稳定的,并且从域的任何点开始的轨迹尽可能接近这些状态之一。例如,如果矩阵(x,y0(x,t),t,0)对部分定态是稳定的,且该区域可表示为渐近稳定定态的吸引域之和。设Ii为区间Ii:={ε∈R:0εεi},其中0εi<<<1,i=0,1.................................快速子系统,所以很自然地调用(2)慢速子系统子系统和(3)系统(1)的快速子系统。本文利用一种方法对具有奇异摄动的微分方程进行定性渐近分析。 该方法依赖于积分流形的理论,它本质上是用一个积分流形上的另一个系统来代替原来的系统,该系统的维数等于慢子系统的维数。在零-ε近似下(ε= 0),这种方法导致准稳态近似的修正。回想一下,RmRnR中的光滑曲面S称为系统(1)的积分流形,如果系统的任何轨迹与S至少有一个公共点完全位于S中。形式上,如果(x(t0),y(t0),t0)S,则轨迹(x(t,ε),y(t,ε),t)完全位于S中。自治系统的积分流形xstec=f(x,y,ε),εystec=g(x,y,ε)具有形式S1(、其中S1是相空间RRn中的曲面。系统(1)的唯一相关的积分流形是那些可以表示的维数为m(慢变量的维数)的积分流形。作为向量值函数y = h(x,t,ε).我们还规定h(x,t,0)=h(0)(x,t),其中h(0)(x,t)是其图是慢曲面,并假设h(x,t,ε)是ε的充分光滑函数。在自治系统中,积分流形将是函数y = h(x,ε).这样的积分流形被称为慢运动流形-这个术语的起源在于非线性力学。积分流形可以被认为是相速度具有局部最小值的表面,也就是说,由最持久的相变(运动)表征的表面。慢运动的积分流形构成了慢曲面片的细化,通过考虑小参数ε沿积分流形的运动由以下方程控制:(A1)。f:Rm×Rn×R×I0→Rm,g:Rm×Rn×R×I0R是充分光滑的,并且与它们的导数一致有界.(A2)。 存在某个区域G∈Rm和一个映射h:G×R→Rm具有与g相同的光滑性,使得g(x,h(x,t),t,0)<$0,<$0(x,t)∈ G× R.(A3)。雅可比矩阵对所有(x,t)∈ G × R,gy(x,h(x,t),t,0)与象轴一致分离.那么以下结果是有效的(例如,参见Strygin(1988);Zadiraka(1965)):提议1.1. 在假设(A1)-(A3)下,存在一个充分小的正ε 1,ε 1 ε 0,使得对于ε I1,系统(1)有一个光滑的积分流形ε,其表示为Mε:={(x,y,t)∈ R :y =<$(x,t,ε),(x,t)∈ G×R}.备注。通过在Rn×Rm的某个有界区域外修改f和g,可以放松(A1)中关于(x,y)的全局有界性假设.沿着这条线最有趣的理论和应用结果弗里德曼湖Fridman,S. Bogatyrev和N. 沃罗帕耶娃2.1 积分流形当用积分流形方法求解某一具体问题时,一个中心问题是如何根据所描述的流形计算函数h(x,t,ε)。精确的计算通常是不可能的,需要各种近似。一种可能性是h(x,t,ε)在小参数的整数幂中的渐近展开h(x,t,ε)= h0(x,t)+ εh1(x,t)+···+ εkhk(x,t)+. . . .x stec = f(x,h(x,t,ε),t,ε).如果x(t,ε)是这个方程的一个解,则对将该形式展开代入等式(3),即,∂h ∂hx(t,ε),y(t,ε),其中y(t,ε)=h(x(t,ε),t,ε),是一个解.因为它在积分流形上定义了一个轨迹,所以它是原系统(1)考虑相关的子系统,即,ε+εf(x,h(x,t,ε),t,ε)=g(x,h,ε),埃斯特尔·埃斯特尔我们得到了ε<$εk<$hk+ε<$εk <$hkf(x,<$εkh,t,ε)k≥0k≥0k≥0dy =g(x,y,t,0),τ=t/ε,dτ= g(x, εkhk,t,ε).(四)k≥02012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会47ΣΣΣΣ埃什基ε<$h(v+w,t,ε)∈拉克什00我们使用形式渐近表示f(x,εkh,t,ε)= εkf(k)(x,h,. . . ,h,t),在积分流形上是稳定的(渐近稳定,不稳定)。将李雅普诺夫降阶原理推广到具有Lipschitz右端的常微分系统和k≥0k0k≥0g(x,εkhk,t,ε)=k≥0k−1Pliss(1964)中的边,以及奇摄动系统Strygin ( 1977 , 1988 ) 。 由 于 约 化 原 理 和 表 示(6),通过分析方程,B(x,t)εkhkk≥1+εkg(k)(x,h0,., Hk≥1k−1,t),在歧管上。沿着这条线最有趣的理论和应用结果是由博士生E。弗里德曼湖其中,矩阵B(x,t)<$(x,h0,t,0),并且其中,g(x,h(0)(x,t),t,0)= 0.将这些形式展开式代入(4)并使ε的幂相等,我们得到Fridman,S.Bogatyrev和N.沃罗帕耶娃3. 快速积分流形与几何分解hk−1+阿勒特0≤p≤k −1因为B是可逆的hpf(k−1−p)=Bh阿克斯克+g(k)。为了研究快积分流形,我们通过公式y=z+h(x,t,ε)引入新变量z,将考虑转移到慢积分流形y=h(x,t,ε)的邻域。此外,介绍H=B−1g(k)−Σ∂hpf(k−1−p). (五)变量v,满足方程,描述了慢积分流形上的流动,即e.克钦阿克斯0≤p≤k−1vstec=f(x,h(v,t,ε),t,ε)变量w由公式x=v+w表示。为新注意慢积分流形的渐近展开Sobolev(1978 a)、Strugin(1977,1976)和Sobolev(1977)首次用于具有几个小参数的系统。沿着这条线最有趣的理论和应用结果是由博士生E。弗里德曼和N. 沃罗帕耶娃2.2 慢积分流形在实际应用中,通常假设雅可比矩阵变量z、v和w辅助微分系统vstec=F(v,t,ε),(8)wstec=W(v,w,z,t,ε),(9)εzstec =B(v,t)z+Z(v,w,z,t,ε), (10)哪里F(v,t,ε)=f(v,h(v,t,ε),t,ε),B(v,t)=big(v,h0(v,t),t,0),gy(x,h(x,t),t,0)位于左半平面。根据这一补充Z(v,w,z,t,ε)=g(v+w,z+h(v+w,t,ε),t,ε)−B(v,t)z−阿勒特假设流形Mε指数吸引对于εI1.在这种情况下,解x=x(t,ε),y=y(t,ε)满足初始条件的原始系统x(t0,ε)=x0,y(t0,ε)=y0可以表示为x(t,ε)=v(t,ε)+ε1(t,ε),(6)y(t,ε)=y<$(t,ε)+2(t,ε).存在一个点v0,它是方程vstec=f(v,h(v,t,ε),t,ε)的解v(t,ε)的初始值;函数ε1(t,ε),ε2(t,ε)是修正值,它决定了当t增加时,通过流形附近的轨迹渐近趋向于流形上相应轨迹的程度它们满足以下不等式:|≤N|y− h ( x , t 0 , ε ) |exp[ − β ( t-t 0 ) /ε ] ,|exp[−β(t−t0)/ε],i=1,2,−ε<$x(v+w,t,ε)f(v+w,z+h(v+w,t,ε),t,ε),W(v,w,z,t,ε)= f(v + w,z + h(v,w,t,ε),t,ε)− F(v,t,ε)。注意,对于慢积分流形,如果f和g相对于t是独立的、周期的或几乎周期的,则可以陈述H的微分性质并描述它相对于t的依赖性。在许多情况下,函数H可以作为一个渐近展开式找到H(v,z,t,ε)= H(t,v,z)+ εH(t,v,z)+ε2H(t,v,x)+. . .2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会48对于t≥t0。(七)0 1 2从等式中∂H ∂H ∂H从(6)和(7)中,我们得到了以下的归约定理:ε+ε F(v,t,ε)+特什托夫[B(v,t)z+拉斯由函数定义的稳定积分流形的一个例子y=h(x,t,ε):原系统(1)的解x=x(t,ε),y=h(x(t,ε),t,ε)是稳定的(渐近稳定的,不稳定的)当且仅当+ Z(v,εH,z,t,ε)]= W(v,εH,z,t,ε).(十一)这是关于向量分量的一阶拟线性偏微分方程方程组=F(v,t,ε)=f(x,h(x,t,ε),t,ε)函数Hi(t,v,z).2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会49∈ ×}M {∈ × ×××ǁ ǁ ǁ −ǁ∈我们下一个问题是转型x=v+εH(v,z,t,ε),(12)y=z+h ( x , t , ε ) ,( 13)它将原系统(1)的解与系统(2)的解联系起来vstec =F(v,t,ε),(14)εzstec =G(v,z,t,ε),(15)G(v,z,t,ε)=B(v,t)z+Z(v,εH(v,z,t,ε),z,t,ε),描述(8)-(10)的解在快速积分流形上的行为。设(x(t),y(t))是方程(1)的解,初始条件为x(t0)=x0,y(t0)=y0.在初始条件v(t0)= v0,z(t0)= z 0下,存在(14)-(15)的解(v(t),z(t)),x(t)= v(t)+ εH(v(t),z(t),t,ε),y(t)= z(t)+h(x(t),t,ε).(十六)在t=t0下发生(16)是足够的。代入t=t0(16),我们得到x0=v0+εH(v0,z0,t0,ε),y0=z0+h(x0,t0,ε)因此,如果这部分特征值是纯虚的,但在考虑高阶扰动后,它们移动到复左半平面,则所考虑的系统具有稳定的慢积分流形。第三节讨论了具有高频和弱阻尼瞬态区的陀螺仪和机械手的力学问题。(3)雅可比矩阵gy(x,y,t,0)在集合上是奇异的0:=(x,y,t)RmRnR:y=h(x,t),(x,t)G R.在这种情况下,y =h(x,t)一般是g = 0的孤立根,但不是简单根。还考虑了与稳定性交换现象有关的其他有趣的情况。沿着这条线最有趣的理论和应用Gorelov ,E.Shchepakina,I.Andreev,E.谢蒂尼娜,E. Kitaeva和E. Gologovaz0= y0− h(x0,t0,ε)。对于v0,我们得到方程:v0= x0− H(v0,z0,t0,ε)= V(v0).(十七)很容易证明,对于任何x0Rm和固定的z0,t0,这样,z0=y0h(x0,t0,ε)< ρ1,V(v0)是从Rm到自身的压缩映射,因此方程(17)有唯一解.从而证明了在慢积分流形y=h(x,t,ε)的ρ2 -邻域中,系统(1)通过变量的变换x=v+εH(v,z,t,ε),y=z+h(x,t,ε)=z+h(v+εH(v,z,t,ε),t,ε)可以简化为(14)、(15)。这意味着系统(1)分解为两个方程,第一个方程是独立的,并且相对于ε有规律地扰动,参见Sobolev(1984)。沿着这条路线最有趣的理论和应用结果是由博士生E.弗里德曼湖Fridman,S.Bogatyrev,E.扎里科娃,N. Voropaeva,M. Semenova和O. 维迪莉娜4. 危重病例违反假设(A3)的情况称为临界.我们区分以下子情况:(1) 雅可比矩阵gy(x,y,t,0)在RmRnR的某个子空间上是奇异的.在这种情况下,系统(1)被称为奇异奇异摄动系统。Gu(1989); Kalachev( 1996 ) ; Kononenko ( 1994 ) ; O'Malley(1994);?); Vasil在这种情况下,可以引入新的变量,使得变换后的微分系统具有较低维度的结构双曲快速子系统。这意味着原微分系统具有一个高维的慢积分流形。下一节将研究这种情况以及Sobolev(1990)在高增益控制问题中的(2) 的 雅可比 矩阵 gy(x,y,t,0) 有特征值具有非零虚部的虚轴上。在Sobolev(1976,1978);Strugin(1988)和Sobolev(1978 a)中也研究过类似的情况。2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会50结论在我们的介绍中,积分流形的方法论遵循萨马拉大学的一些论文作品中在结束时,我们给一个简短的清单,专门的论文慢积分流形的控制和接受博士学位的大学在萨马拉与选定的出版物在英语。Adviser V. Strygin:E. Fridman,Integral Manifoldsof Singularly Perturbed Neutral Type Systems and theirApplications ( 1986 ) , Fridman ( 1984 ) andFridman(1984a);S. Bogatyrev,奇异摄动微分系统解的渐近方法及其在磁场中固体动力学问题中的应用(1986)Bogatyrev(1988).Adviser V. Dikusar:L. Fridman,具有不同运动速度的滑模控制系统的分解(1988),Sobolev(1988)。顾问V。索博列夫:N。Voropaeva(Pendyukhova),小 参 数 微 分 系 统 在 导 数 处 的 分 解 ( 1989 ) ,Pendyukhova(1986);G. Gorelov , Stable , Unstable and ConventionallyStable Integral Manifolds of Singular Perturbed Systemsand Its Applications(1992),Gorelov(1992);E.Shchepakina , IntegralManifoldsandDuck-TrajectoriesinaProblemsofThermalExplosion(1995),GolE. Smetanzova ( Zharikova ) , Singularly PerturbedPeriodic Problems of Control ( 1995 ) , Smetanzova(2005)and Smetanzova(2005a);S. Ozersky ,用积分流形方法研究奇摄动边界问题(1997);I. Andreev,反应扩散系统中临界现象的建模(1998);E. Kitaeva,逆非线性抛物问题的数值方法及其在建模中的应用,2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会51热爆炸的临界条件(2005),Kitaeva(2005);E. Shchetinina , 积 分 流 形 和 失 稳 延 迟 ( 2005 ) ,Schneider(2006);M. Semenova,多速率控制系统的分解(2006);O. Vidilina , Integral Manifolds in Problems of Time-OptimalControlforSingularPerturbedDifferentialEquations(2007),Vidilina(2004).顾问E。Shchepakina:E. Golodova,Dynamics of Critical Regimes of SingularlyPerturbed Models with Retardation of Loss of Stability(2009),Golodova;A.Zhezherun , GeometricMethodsofAnalysisofComplex Behavior in Dynamical Models with NonsmoothNonlinearities(2009),Pokrovskii(2011).引用Ja. S.巴里斯不规则扰动微分系统的积分簇(俄文,MR38:3535). 英国人。Mat. Z.,20,第429Ja. S. Baris和V. I. 我的天啊。用积分流形方法研究非线性不规则摄动系统的有界解(俄文,MR41:596)。 英国人。Mat. Z.,22,第3S. V.Bogatyrev和V.A.索博列夫刚体和陀螺仪系统动力学问题中快慢运动的分离应用数学机械学报,52(1),第34-41页N.菲尼切尔常微分方程的几何奇摄动理论。J. Diff.当量,31,第53-98页E. Fridman和V. Strygin。具滞后变元的奇摄动微分方程积分流形的渐近性。数学纳赫,117,第83- 109页E.中立型奇异摄动系统的弗里德曼稳定,中心稳定,中心,中心不稳定,不稳定流形。微分方程的近似方法研究与应用(俄文)。古比雪夫国立大学出版社,第119-137页,1984年a。E.弗里德曼,于。米切耶夫和V.索博列夫。数字控制系统的渐近分析。自动化和远程控制,第49卷,第1175-1180页E.积分流形的Fridman渐近与中立型奇摄动系统的分解.微分方程,26,第457E.时滞线性最优奇摄动系统的Fridman分解。自动化和远程控制。第51卷,第1518-1527页E.中立型奇摄动系统条件稳定边值问题的Fridman分解。微分方程,28,第6期,第800-810页F. 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