高温度梯度问题的参数化扩展有限元法

@t可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报5（2018）329高温度梯度问题的参数化扩展有限元法[10]杨伟，张伟，张伟.宰赫a德国慕尼黑工业大学机械工程系，机床和工业管理研究所b德国奥格斯堡应用科学大学机械与工艺工程学院阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年9月12日收到2017年12月6日收到修订版，2017年在线提供2017年保留字：XFEM热方程陡峭的热梯度热冲击参数化仿射函数A B S T R A C T如果网格与所应用的时间步长相比过于粗糙，则有限元法会导致边界处温度变化的不准确性当相邻单元平衡边界单元的过多能量时，本文提出了一种通过参数化的具体问题解析函数对边界元进行外增广的扩展有限元法该方法是能够表示在边界处的高的热梯度与粗网格的富集功能补偿过多的能量在受温度变化的影响的元素。参数化覆盖了梯度的时间变化，并避免了进一步的反函数的富集。引入的参数化变量作为附加的自由度移交给方程组。分析积分是用于评估的积分在弱制定的anodynamic函数依赖于非线性的参数化变量。©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍仿真不再仅仅是为了生成过程理解（Langermann，2008）.如今，它被用作开发过程中的一个组成部分，从而降低了生产成本（Gausemeier等人，2013年）。然而，至关重要的是，模拟能够正确地建模的主要影响因素。在使用激光源的过程中，由于高的局部能量输入，在边界处出现陡峭的时间和空间热梯度此外，由于激光速度e，一个点经受激光光斑的加载时间可以非常短G. 对于激光束熔化，在1 m/s的量级（King等人， 2015年）。在热机械分析中，为了获得真实的翘曲行为，正确地确定温度场是很重要的由于热输入的短期发生，有限元法（FEM）需要在受激光束影响的区域中具有非常精细的网格，以便满足穿透深度条件并以足够的精度模拟热忽略穿透深度条件将导致解的空间振荡和热方程的极大值原理的破坏（Hogge&Gerrekens，1983）。使用FEM，所需的自由度的数量导致高计算量。否则，正确的由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电子邮件地址：christian. iwb.mw.tum.de（C. Zeller）。不能实现出现的热梯度的物理表示本文提出了一种有效计算边界处陡热梯度的方法，避免了精细的空间离散。代替网格细化，受影响的元素是局部丰富的参数化问题调整形状函数，其中参数化变量被视为一个额外的自由度。这不仅允许在一个时间的急剧梯度的表示，但也其时间行为。富集函数与参数化变量的非线性依赖关系需要解析积分。论文的提纲如下。第2节概述了避免精细局部离散化的方法。第三节介绍了参数化扩展有限元法的概念。结果见第4节。第5节给出了讨论和结论。2. 最先进的高热梯度热传导方程，也称为傅里叶方程，是一个二阶拟线性偏微分方程。一般的齐次形式是cTqT@Tx;t$·½kT$Tx;t]8x2X;t 2½0;tM]2：1利用温度相关的材料参数热导率K、密度Q和比热容C。https://doi.org/10.1016/j.jcde.2017.12.0012288-4300/©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。330C. Zeller et al./ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）329¼ð Þ 2DtQC@t1/2IJ@xX@x由于本文只考虑边界条件引起的温度变化，因此忽略了内部热源。此外，只考虑各向同性材料（kk）热方程要求初始和边界条件是适定问题，并获得唯一解。为了简单起见，不失一般性，仅考虑狄利克雷边界条件，并且在本文中不指示单位，因为在下文中使用无量纲形式。在大多数情况下，不可能找到式（2.1）中偏微分方程的解析解。因此，该方程被弱化为更一般的形式，其必须仅对某些测试函数wx V满足。 通过格林函数的附加变换ZcTqT@TwdXZXkuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu图2.1.符合（绿色）和违反（蓝色）有限元方法将区域X离散为n个节点x1;. ; xn ，并通过一个函数u<$x<$2 W来近似温度T：nTx;tTktukx2：3k¼1方程的穿透深度条件（2.6）。方程（Zienkiewicz Taylor，2002）。 在有限元程序中，通过以M矩阵的形式获得离散域的系统矩阵来满足这一要求。一个M-矩阵，一个可逆矩阵A，项aii>0;aij6 0和A-1>0，确保获得的结果其中Tk是节点xk处的节点温度。对于温度T以及测试函数w使用相同的预测函数u。通过在（2.2）中包括该近似，得到以下方程系统MT·T_ST·T¼02：4与MTijZcTqTuiujdx2：5aa和STZkT@ui@ujdx2：5b是物理相关的和一致的，e。G.热能从温度较高的节点流向温度较低的节点，而不是相反。（Fachinotti Bellet，2006）讨论了其他作者的工作，他们提出的方法提供了系统矩阵所需的M矩阵形式，并指出了该方法的缺点，其中对元素几何形状的约束限制了使用有限元软件中常用的网格划分方法。扩散分裂法引入了一个增广的电导率kωkω <$k Dtpd，如果Dtpd>Dt2：7以及伴随的刚度矩阵Sω，以便补偿并满足穿透深度条件对 于 一 维 情 况 是 示 例 性 的 更 详 细 的 推 导 可 以 在 （ ZienkiewiczTaylor，2002）中找到。在时间Dt之后，受边界条件变化影响的区域Dx可以由穿透深度条件来表示。对于具有常数材料参数的热方程，其内容如下：Dx6kskD k2R福音2：6k的值因边界条件的种类而不同（Hogge&Gerrekens，1983; Yan，2002）。为了获得正确的解而不振荡，在渗透深度内需要足够细的网格。（Hogge Gerrekens，1983）使用四个元素来离散化穿透深度。较少的元素导致振荡，从而违反最大值原理（图2.1）。存在几种方法，目的是避免在模拟具有高梯度的热过程中所需的细网格。这些建议将在下文中介绍。最方便的程序是网格的自适应细化。感兴趣区域中的元素被细分为更小的元素。然而，这并不是对每种元素都有效。为了克服这个问题，使用结构网格，并利用预定义的细化策略自动细化（Wavelet al.，2016年）。其缺点是，结构化网格只能获得简单的几何形状，或者如果接受网格的几何保真度的不准确性离散最大值原理是二阶偏微分方程经典解的基本特征性质之一对 于 给 定 的 Dx 值 和 来 自 等 式 （ 1 ） 的 相 关 联 的 Dtpd ， （ 2.6 ）（Fachinotti Bellet，2006年）。通过迭代过程获得适当的时间步长，直到解中不切实际的温度尖峰减少。由于该方法涉及控制方程的改变，因此不再进一步探讨。此外，在非结构化网格的情况下，由于不同的单元尺寸，DttsFEM基于使用分段可微多项式来近似问题，分段可微多项式不能用太粗糙的网格来表示陡峭的梯度。由于需要用每个新步骤更新网格的拓扑，所提到的网格的自适应细化可以进一步复杂化。这意味着当使用FEM的传统网格细化方法时，特别是在瞬态问题中，该过程变得繁琐（Khoei，2015）。扩展有限元法（XFEM）是对有限元法在计算域上的丰富对于能够以有效方式表示高梯度的特殊形状函数是感兴趣的。扩展有限元法提供了一种方法，以获得准确的结果，而不改变网格拓扑结构的节点附近的不连续性或细化附近的奇异性。（Abbas，Alizada，Fries，2010年）使用一组四个富集函数来涵盖热梯度随时间的总变化。 定义域X0; 1由10个元素离散化，通过XFEM获得的精度是几个数量级比之于《易经》，更是有过之而无不及。然而，为了获得富集函数的最佳集合，先前的优化运行是必要的。所提出的参数化扩展有限元法避免了由多个函数来丰富和先验确定这些函数。的XXXC. Zeller et al./ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）329331图3.1.通过有限元法假设剩余残差，在时间t1和t2具有正确的节点值; t1 。MATLAB 和符号数学（2016 年）。版本9.1.0.441655 （R2016b ），The MathWorksInc.，马萨诸塞州，纳蒂克D.，Patil，N.，Kutty，K.H、曾，K.，Moreland，A.，希克斯，A.，......这是什么？斯塔克湾（2016年）。金属激光烧结的广义前馈动态自适应网格加密与反加密有限元框架第二部分：非线性热模拟与验证2。制造科学与工程杂志，138（6），061003。https://doi.org/10.1115/1.4032078网站。Polifke，W. &Kopitz，J.（2009年）。Wärmeübertragung：Grundlagen，analytischeund numerische Methoden，2nd ed. Ing-Maschinenbau，Pearson Studium，慕尼黑u.a.网址<：lib.myilibrary.com/detail.asp? id=505990>。维德拉湖，Baloa，T.，Griffiths，D.五、&塞罗拉扎湾（2008年）。八节点平面弹性有限元刚度矩阵的符号计算精确积分。偏 微分方程的数值方法 微分 方程式， 24（1），249-261。https://doi.org/10.1002/num.20274网站。Yan，X.（2002年）的报告。傅立叶热传导中的穿透深度。在第八届AIAA/ ASME联合热物理和传热会议上，第1-7段）。doi：https：//doi. org/10.2514/6.2002-2881。齐恩凯维奇岛C.的方法，&泰勒河，巴西-地L.（2002年）的报告。有限元法（第五版）。Oxford：Butterfly.