量子多体理论精确对角化工具包libcommute/pycommute：领域特定语言和高性能计算Python库

··软件X 17（2022）100937原始软件出版物libcommute/pycommute：量子算子代数领域特定语言和精确对角化工具包伊戈尔·克里文科I. Institut für Theoretische Physik，Universität Hamburg，Notkestraße 9，22607 Hamburg，Germanyar t i cl e i nf o文章历史记录：2021年10月25日收到2021年12月1日收到修订版2021年12月1日接受关 键 词 ：量子代数多体物理精确对角化a b st ra ct我还介绍了一个C++11/14/17模板库libcommute，它实现了一种特定于领域的语言，可以方便地操作量子多体理论中使用的多项式运算符作为精确对角化代码的软件开发工具包。该库在编写时考虑了表现力、可扩展性和性能。它为常用的抽象和算法提供了简单的语法，有很好的文档记录，并由单元测试覆盖libcommute补充了Python 3绑定pycommute。它们对于解决小规模对角化问题，快速原型设计和在Python中包装基于libcommute的高性能计算版权所有2021作者。由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）中找到。代码元数据当前代码版本v0.7.0指向此代码版本所用存储库的永久链接·libcommute：https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX-D-21-00208Code Ocean计算舱https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX-D-21-00208_1https://codeocean.com/capsule/9762614/tree法律代码许可证Mozilla公共许可证2. 0使用git的代码版本控制系统使用C++11/17、CMake、Python 3.6+的软件代码语言、工具和服务C++11兼容的编译器（某些功能需要C++17支持并构建pycommute）、pybind11 2.6.0+、NumPy、Sphinx 2.1.0+来构建文档。开发人员文档链接· libcommute：https://krivenko.github.io/libcommute/问题支持电子邮件pycommute：https://krivenko.github.io/pycommute/igor.s. gmail.com1. 动机和意义在过去的三十年里，计算量子多体理论领域出现了繁荣。一方面，分析方法的效率有限，另一方面，计算机资源的可用性不断增加。精确对角化（ED）[1，2]已成为该领域最重要和最常用的数值方法之一。简而言之，ED计算相当于将感兴趣的量子系统简化为有限有效模型，该有限有效模型保留了原始系统的一些基本特征，并且其哈密顿量可以进行数值对角化。电子邮件地址：ikrivenk@physnet.uni-hamburg.de。https://doi.org/10.1016/j.softx.2021.100937然后将计算的能级和本征态结合起来，形成物理观测值和相关函数的期望值。除了作为一个独立的求解器，ED是更复杂的方法的一个组成部分，例如杂交扩展量子蒙特卡罗[3]和非平衡动力学的主方程求解器[4]。在许多情况下，ED可以提供物理见解，而不揭示问题的全部在由一组量子数定义的扇区内执行部分对角化通常就足够了，或者应用迭代方法[5在本文中，我介绍了libcommute[8]，这是一个C++库，旨在为开发ED代码建立一个可靠且高度可扩展的框架。libcommute的开发一直在追求以下目标。2352-7110/©2021作者。 由Elsevier B.V.出版。这是一篇开放获取的文章，使用CC BY许可证（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softx伊戈尔·克里文科软件X 17（2022）1009372i，j，k，...±±±αβ+ −·αβ+·∑提供了一个轻量级的，只有头的库，没有外部依赖，用成熟的C++11方言编写（一些高级功能需要更新的C++17）。采用C++11元编程技术，以确保表现力，易用性，灵活性和高度的可扩展性。面向高性能计算和超大规模问题的解决方案，特别是在迭代对角化方法的背景下。通过全面的单元测试（建立在Catch 2框架之上[9]）实现了健壮性和良好的可维护性。文档涵盖了库的所有基本概念，包括详细的类和函数描述以及一组使用示例。值得注意的是，libcommute不提供任何容器类型来存储矩阵，或者算法来找到它们的特征系统。用于在不损失灵活性的情况下写入高性能ED代码。pycommute[26]是一个Python包，它使用pybind11 [12]来包装libcommute功能的一个子集它还提供了一个额外的模块，可以方便地构造在量子多体系统理论、量子光学和自旋晶格理论中广泛使 用 的 一 些 模 型 哈 密 顿 量 pycommute 可 以 从 Python 包 索 引（PyPI）[27]中获得，并作为公共Docker镜像的一部分[28]。2.2. 软件功能2.2.1. 领域专用语言libcommuteE= C+∑Cα gα+∑Cαβ gα gβ+∑Cαβγ gα gβ gγ+···（1）ααβαβγ这些任务留给了丰富和优化的C++表达式是从非交换代数生成组装线性代数库，如Eigen [10]和Blaze [11]。相反，生成子gα（如费米子产生/湮灭算符c，libcommute专注于提供一种方便的方式来指定量子运算符语言中的相关对象libcommute附带了一组名为pycommute的Python 3绑定。这些都是为了进一步简化开发的ED代码在以下方式之一。当性能不是问题时，pycommute可以直接用于解决中等规模的问题。pycommute对于基于libcommute的代码的快速原型化非常有用。pycommute代码可以作为一个Python输入层，用于用C++编写的高性能计算核心，并通过pybind 11 [12]包装在Python中。libcommute借用并极大地扩展了TRIQS库[ 13 ]的一些思想，该库由本文作者共同编写。的H. C.句法特征从KristoferBjörnson编写和维护的优秀TBTK库中借来。另一个相关的工作是SeQuant库的C++移植[15]，它具有一些类似于libcommute的其他C++的开源ED构造工具包包括EDLib [16]，pomerol [17]，ALPS库的部分[18]，Qbasis [19]和这一类中最著名的Python项目是QuSpin [21，22]，PYED [23]，pybinding [24]和KWANT [25]（后两个专门用于非交互紧绑定模型的对角化）。2. 软件描述2.1. 软件构架libcommute是一个C++11/14/17模板库，包括两个主要部分。一种特定领域语言（DSL），旨在轻松构建和操作由量子多体理论中使用的量子力学算子（费米子和玻色子创建和湮灭算子，自旋阶梯算子）构建的多项式表达式。这种表达式最常用的例子是多体哈密顿算子和代表物理观测量的算子。• 多项式表达式的表示形式为：c i，j，k，. ）和数值系数C αβ. 使用与数学符号非常相似的语法。它们支持基本的算术运算、以及对结果的简化、厄米共轭和h。C.速记（加/减厄米共轭）。算子值表达式在内部以显式形式（1）而不是矩阵表示存储，这意味着它们不会遭受指数维数爆炸，并且它们的允许次数几乎是无限的。（1）中的独立项和生成器可以通过常量STL类迭代器访问。代数生成器携带索引i，j，k，.的静态类型列表。. .其可表示整数晶格位置坐标、准动量分量、自旋或轨道弦标记或用户定义类型的索引。在C++17可用的情况下，还可以通过特别提供的索引类型dynamic_indices从具有在运行时定义的索引类型的生成器构造表达式。libcommute支持从费米子梯形算子c，c<$，玻色子算子a，a<$（正则（反）对易关系代数的生成元）和任意（半）整数自旋算子S z，S中构建表达式。此外，新代数的生成元可以通过从抽象基生成元导出并实现一些描述（反）对易关系和新算法的化简规则。1一般来说，libcommutegαgβ−cgβgα=Fαβ+fγgγ（ 2）γ具有实常数c、Fαβ和fγ。这样的代数结构包括李代数和克利福德代数。DSL的另一个定制点是数字系数Cαβ的类型。实数和复数，可以使用自定义数字-喜欢的类型。这个特性在处理含时哈密顿量时很有用。相应表达式的系数可以是存储插值器或幂级数w.r.t.时间变量。为新的系数类型专门化scalar_traits结构将教会libcommute如何在表达式中使用它。从数学上讲，任何类型的值形成一个环的操作，并可以作为一个系数类型（事实上，一个环没有乘法单位元就足够了）。线性算子，这使得它们对状态向量的作用有限维希尔伯特空间中的向量。这一特点，加上一套辅助工具，1在线文档包含了如何实现Virasoro代数和Dirac γ-矩阵代数的例子。·········伊戈尔·克里文科软件X 17（2022）1009373H=HH·+| ⟩|⟩|− ⟩| ⟩|⟩2.2.2. 线性算子和精确对角化工具libcommute的第二个主要部分是线性算子框架，这使得它在编写精确对角化求解器时非常有用。在有限维Hilbert空间中，LOPERator类的函数表示多项式（1）对状态向量的作用这类空间由Hilbert_space对象描述，并构造为初等空间Hi的有序直积，H=H1H2···HN。（三）每个基本空间i对应于单个量子自由度（DOF），并且可以是以下之一由 费 米 子 占 据 数 态 构 成 的 二 维 空 间0和1（classelementary_space_fermion）.玻色子占据数态的截断2b维空间0，1，. . .，2b1 .一、特别是B1空间对应于硬核玻色子DOF（classelementary_space_boson）。对应于自旋S DOF（class elementary_space_spin）的（2S1）维空间.对应于用户定义代数中某个自由度的基本空间.相应的C++类型是实现elementary_space接口的类hilbert_space的API允许显式地构建对应于因子i的elementary_space_* 对象。另一种选择是将此任务委托给函数make_hilbert_space（），该函数自动分析多项式表达式并构建容纳相应运算符所需的最小空间loperator的对象是可调用的C++对象，可以应用于状态向量对象libcommute直接支持std：：vector和Eigen 3库[10]的一些类似于vector的类型作为状态向量对象，包括Eigen：：Map视图。其他矩阵向量代数库提供的类型可以很容易地通过为它们重载一些自由函数来StateVector概念的要求相当宽松，甚至可以通过基于GPU内存的[29 - 31 ]和分布式阵列[ 32 -35 ]遵循与expression相同的设计原则，loperator内部不存储任何矩阵（既不密集也不稀疏），并且仅将状态向量上的操作描述为一组元素选择和转换规则。这种解决方案是内存有效的，特别适合广泛使用的部分对角化的迭代方法，如幂迭代[5]和Lanczos算法[6，7，36]。除了ED求解器的基本构建块-希尔伯特空间，状态向量和线性 算 子 - libcommute 还 提 供 了 一 些 补 充 工 具 。sparse_state_vector是一种轻量级稀疏数组类型，可用于实现 迭 代 ED 解 算 器 ， 重 复 消 除 可 忽 略 的 量 子 幅 度 [37] 。mapped_basis_view是底层状态向量容器的视图它根据预定义的映射转换希尔伯特空间的基态，并且当仅对模型的特定扇区（其哈密顿量的块）进行对角化时非常有用这种视图的一个更专门和更少内存消耗的版本被称为n_fermion_（multi）sector_view，适用于具有多个费米子DOF的模型的N粒子扇区。最后，space_partition效用类使用[ 38 ]的第4节中描述的自动空间划分算法揭示了Hamilton的不变子空间。 该算法重新排序的基础状态，以这样的方式，哈密顿量是一个块对角的形式与最小的可能的块大小。它为mapped_basis_view生成输入基态映射，因此，可以在不知道所研究模型的运动积分的情况下对角化各个扇区。2.2.3. PycommutePython包pycommute有三个模块。1. expression 将 多 项 式 表 达 式 C++ 类 型 包 装 为 实 数 （ 类ExpressionR）和复数系数（ExpressionC），它们的算术和函数，以创建费米子，玻色子和自旋代数的计划在未来的版本中支持用户定义的代数。2. loperator包含希尔伯特空间类型的包装器和作用于一维NumPy数组的线性算子[39]。它还公开了一些状态向量视图类型，自动空间分区实用程序以及make_matrix（）函数的一些重载，该函数以二维NumPy数组的形式返回线性运算符的矩阵表示。3. 模型是一组工厂函数，用于表达一些广泛使用的模型哈密顿量。这些包括紧束缚模型，费米子和玻色子相互作用项，伊辛，海森堡和可以在Python脚本和pybind11模块中定义的C++函数之间传递表达式、线性运算符和其他pycommute对象。这使得编写混合C++/Python ED代码的接口层成为一项轻松的任务。3. 说明性实例本节简要介绍几个libcommute/pycommute的使用示例。这些代码的完整清单和进一步的例子与深入的解释是要找到各自的文档网站。3.1. Libcommute示例第一个例子[40]涉及一个可积的量子系统，一个自旋为1/ 2的海森堡链。libcommute第二个例子[42]演示了如何使用libcommute和Eigen 3 [ 10 ]部分对角化一维该模型描述了晶格上强关联电子与局域声子耦合的行为。对角化在具有固定数量的电子的扇区内执行。3.2. Pycommute示例下面提到的两个pycommute示例都是简单的Python脚本，它们使用models模块中的函数来轻松构建Hamilton，并使用NumPy [39]将它们对角化。[45]：由斯莱特积分Fk[46，47]参数化的原子d[48]：广义Jaynes-Cummings（Tavis-Cummings）模型的谱4. 影响所呈现的软件的主要预期影响是大幅减少用C++编写的精确对角化代码的开发时间，并（可选地）使用Python脚本作为其输入/输出层。libcommute·····伊戈尔·克里文科软件X 17（2022）1009374量子力学算子，而loperator模块抽象出了很多小的和难以跟踪的细节。一个开源的、经过良好测试的、有良好文档记录的和高度可重用的框架（如libcommute）的可用性可以使构建ED代码成为一项不那么乏味和容易出错的任务。 由于libcommute已经并将继续在考虑速度和内存消耗的情况下进行开发，因此它的用户可以享受良好的性能水平，而无需花费太多时间进行分析和微调。通过首先在基于pycommute的Python脚本级别上尝试新的想法，由于libcommute和pycommute共享同一组基本概念，因此将脚本转换为HPC就绪的C++代码相当容易。最后但并非最不重要的是，pycommute允许定义物理观测量的哈密顿量 和算子， 并以统一的 方式将它们传 递给各种基于libcommute/pycommute的求解器。因此，它可以建立一个通用的输入数据格式，这样的计算程序。libcommute/pycommute仍然是一个非常年轻的项目。目前，它为最近发布的Pomerol ED库[17]以及一些私人开发的求解器提供了基础。尽管如此，社区更广泛地采用该框架肯定会简化现代和复杂ED求解器的开发，同时提高其结果的可靠性和可重复性。5. 结论最后，我介绍了libcommute/pycommute，这是一个C++11模板库及其Python绑定的组合，其主要目标是快速开发量子多体理论模型的复杂精确微分求解器。尽管是一个年轻的项目，它已经有潜力为未来的高性能科学软件，这是易于编写和使用。libcommute 的 未 来 开 发 将 集 中 于 扩 展 ED 构 造 工 具 的 库pycommute的新版本将公开更多libcommute的功能，特别是，可以在Python代码中定义新的竞合利益作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，可能会影响本文报告的工作致谢我想感谢董新阳的贡献，他在项目开发的早期阶段提供了有用的反馈，以及Hugo U。R.斯特兰德为他的专题节目做准备。我也感谢约瑟夫·克莱因亨茨校对这份手稿。这项研究没有从公共、商业或非营利部门的资助机构获得任何具体的资助。引用[1] Weiße A，Fehske H.精确对角化技术。在：计算多粒子物理学。Berlin，Heidelberg：Springer; 2008，p.529-44 网址：//dx.doi.org/10.1007/978-3-540-74686-7_18网站。[2] 张文，张文，等.有限温度Lanczos方法及其应用.北京：科学出版社，2001.相关绝缘体、金属和超导体的物理学。Jülich：Forschungszentrum Jülich;2017.[3] Werner P，Millis AJ.杂交扩展杂质解算器：一般公式和应用于近藤晶格和双轨道模型。PhysRevB2006;74：155107。http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.74.155107网站。[4]托雷斯JM。无增益Lindblad主方程的封闭解。物理学修订版A 2014;89：052133。http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevA.89的网站。052133。[5]作者声明：John H. 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