连续单子：从数学到计算机科学的一个重要推广

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记352（2020）173-190www.elsevier.com/locate/entcs连续单子Ernie Manes1美国马萨诸塞大学阿默斯特分校数学与统计系摘要连续单子是双幂集单子的子单子的一个公理类。ρ-集是有向集的公理化推广。 连续格的ρ-推广产生于代数一个连续的单子，反之亦然。每一个ρ-连续偏序集都有两个拓扑，它们分别推广了Scott拓扑和Lawson拓扑. 每个ρ-连续格在标准拓扑中是紧的当且仅当对应的连续单子包含超过滤单子。关键词：连续单子，条件上确界，连续格，完全分配格，Scott单子1引言1980年由六位作者撰写的《连续格纲要》[3]的活力部分源于两种不同的传统。在Scott拓扑中，连续格中的偏序x≤y“f的有限近似集”形成了一个这是“域理论”的先驱另一方面，具有劳森拓扑的连续格是一种特殊类型的紧拓扑半格，是拓扑代数非常不同传统的回想一下，连续格是满足x= {y：yx}对于所有x，其中关系y下面的方式x表示对于所有有向D，如果x≤D则存在d∈D且y≤d。 如果X是连续格，则U<$X是Scott开的，如果U是上集（即x≥u∈ U<$x∈U），并且如果每当D<$X是有向的，D∈U则U<$D/=<$。这些形成了Scott拓扑的open集。1电子邮件：egmanes@gmail.comhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2020.09.0091571-0661/© 2020作者。出版社：Elsevier B.V.这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。174E. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352在任何范畴中，给定一个子范畴M，一个对象I是M-内射的，如果给定我 fm<$−−X−−→Y，m∈M，存在g：Y→I，gm=f。设CLσ为保持定向上确界的连续格和态射的范畴。在开创性的论文[10]中，Dana Scott证明了CLσ是同构的（通过Scott拓扑）推广到T0-空间的满子范畴和所有M-内射对象的连续映射，其中M是子空间包含的子范畴。Scott拓扑决定偏序的条件是x≤y惠x∈ {y}。给定一个连续格，由Scott开集和主上集的补集（↑x）J生成的开集的拓扑称为Lawson拓扑。Lawson拓扑是紧Hausdor拓扑。在连续晶格上，Lawson拓扑决定Scott拓扑，因为Scott开集是Lawson开上集。由于4元布尔代数和4元链是具有相同Lawson拓扑的不同连续格，因此其偏序不是由Lawson拓扑决定的设CLλ为子范畴 再次以所有连续格为对象，但具有也保持任意无穷大的态射。通过Lawson拓扑，CLλ是紧致Hausdor拓扑半格范畴的一个满子范畴，其连续半格同态是态射。本初步报告基于以下想法。Alan Day [2]和Os-wald Wyler[11]分别证明了CLλ同构于滤波单子的代数范畴。过滤单子是更广泛的连续单子类的一员，其代数是连续格的表兄弟。在那里，有向集被ρ-集所取代，ρ -集具有特定单子的ρ特征。当连续单子是过滤单子时，这些新的拓扑具有分别恢复Scott拓扑和Lawson拓扑的Sierpin′ski拓扑和canonic拓扑.我们给出了具体的例子（见表5），并将开发工具来寻找其他例子。作为一个规则，拓扑半群的深结果要求紧性（见[7]）。定理8.12刻画了代数具有紧Hausdor正则拓扑的连续单子。我们感谢裁判提供的有益建议。2连续Monads我们首先提醒读者基本的定义。定义2.1范畴K中的单子T是T=（T，η，μ），其中T：K → K是函子，η：id→T，μ：TT→T服从方程μ（ηT）= idT =μ（Tη）和μ（Tμ）=μ（μT）的自然变换。定义2.2如果T=（T，η，μ）是K中的单子，则T-代数是（X，n），其中n：TX→X满足n ηX= idX和n μX=n（T n）。 在这里，n是代数的结构图。T-同态f：（X，Tf）→（Y，θ）是满足θ（Tf）=f <$的态射f：X→Y.这就产生了T-代数的范畴KT，E. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352175第一百一十二章G基础函子KT→ K。设T是一个目标函数ob（K）→ob（K），ηX：X→TX是每个X的态射。 给定态射μX：TTX→TX，为了证明（T，η，μ）是单子，必须对每个f定义Tf：TX→TY，并证明两个公理来证明T是函子;还有两个公理来证明η和T是自然的;然后，在验证其余三个公理时，必须追踪TTTX的元素（如果K是集合的范畴），这是可怕的，比如说，如果TX是X上的过滤器的集合。单子有一个众所周知的等价定义T=（T，η，（·）#），其中T也是一个目标函数ob（K）→ob（K），ηX是态射X→TX和一个新的算子f：X→TY<$→f#：TX→TY服从总共三个公理，其中T从不迭代。公理是fηX=f，（ηX）= idTXf#对于X−−→Y−−→Z，（g#f）=g#f#. 这里，（X，λ）是一个代数，如果ληX=idX且difgivenf，g：W→TX，其中nf=ng，则nf#=ng#。定义之间的对应关系如下。 f#=TXTfTTYμYfηY##−−→−−→TY，Tf=（X−−→Y−→TY） ，μX=（idTX） . （X，X）是一个代数对于（T，η，μ）当且仅当它是（T，η，（·）#）的代数。 我们将经常使用b/th视点，并将单子视为（T，η，μ，（·）#）。在本文中，我们只对集合和（全）函数的集合范畴例2.3单子B=（B，η，μ，（·）#）由y定义BX= 22XηX x= prin（x）={A<$X：x∈A}F对于X−−→ Y，（Bf）A={D<$Y：f−1D∈A}μX（H）={A<$X：QA∈H}其中QA={A∈BX：A∈A}F对于X−−→ BY，f#（A）={B<$Y：{x：B∈fx}∈A}定义2.4设T是集合中的单子。如果对于每个集合X，我们给定SX<$TX，则S是T的子单子，如果S在单子运算下是闭的，即，如果f#x∈X则ηX x∈SX，如果f：X→SY，则（X−−→SY）在SY。 在这种情况下，（S，n，（·）#）是一个简单的整数。地图SX给定一个群，一个子集是或不是一个子群，因为它在群运算下是封闭的。子单子的情况也完全相同。设T是集合中的单子，给定SX∈TX，对每个集合X，S要么是要么不是T的子单子S。显然，子单子的任何交集都是子单子。定义2.5对于A ∈BX，设Ac={D<$X：<$A∈ AD<$A}。则A在超集下是闭的当且仅当A=Ac。对于F∈BX，F是X上的一个滤波器，如果176E. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352如果F的两个元素的交集又在F中，则f/=F=Fc。当f∈ F时，唯一的滤波器是2X，它被称为非正常滤波器。所有其他过滤器都是正确的。例2.6FX={F∈BX：F是X上的滤波器}是B的子单子，滤波器单子。论文日和怀勒已经引用建立了F-代数是一个连续格。 这里，结构映射<$：FX→X是<$（F）= A∈F A.这种类型的f作为拓扑极限的有限逼近收敛到f（在Scott拓扑中）。我们希望连续单子具有这种结构。为了更深入地了解，让我们回忆一下单子的代数是泛代数的模型[6]。我们认为（TX，μX）是由X生成的自由代数其中包括生成元ηX。如果（Y，θ）是一个代数，且f：X→Y是一个函数存在唯一的T-同态<$：（TX，μX）→（Y，θ），TfθX=f，即X=TX−−→TY−−→Y。 建立了自由代数的元素通过将操作应用于已经构建的表达式，从给定操作的变量递归向上现在注意，X上的滤波器F满足(1)F=prin（x）A∈Fx ∈A这说明了滤波器是一个lim-inf表达式（注意prin（x）是典型的变量），并表明代数至少应该是完备的格。不是B的每个子单子都是合适的。事实上，B本身就很难。B-代数是完备的原子布尔代数，其结构映射为：BX→X，<$（A）={x：x是一个原子，↑x∈A}（这在[6]的116-118页中得到证明） 这里没有lim-inf。现在注意，F ∈BX满足（1）当且仅当F=Fc。这就引出了前连续单子的定义。例2.7Bc X={A ∈BX：A=Ac}是B的子单子.我们现在定义本文的中心结构。定义2.8一个连续单子是Bc的一个子单子，满足以下三个公理。（CM. 1）若P_n=/A_n（A）∈T_ X，其中P_n（A）={A}c.（CM.2）若A∈TX，则{2 A：A ∈ A}c∈T（2 X）.（CM.3）若Ai∈TXi（i∈I），则{Ai：Ai∈Ai}c∈T（Xi）.一个预连续单子是满足（CM.1）的Bc的子单子 对于Bc的子单子T，若 ToX ={A∈TX：A = 2X}，则To是T的子单子.证明在引理7.2中。 这是例行检查，如果T是，则To是预连续的，如果T是，则To是连续的。我们将把（CM.2，CM.3）的作用推迟到后面的部分。E. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352177O{x}，μ XA = A.这里对于f：X→PY，f#A= a∈Afa.比如说，A∈TX。（1）A（x，y）A）=（fA）例2.9 Bc是连续单子。例2.10过滤单子F是连续单子。例2.11在[5]中定义的第一个邻域单子是子单子由NX={F∈Fo X：F}。 对于f：X→NY，对于每个x∈X，设yx∈A，对每个A∈fx.给定F ∈NX，设xo∈W，对所有W∈ F，y= y x。 考虑W∈f#F。 由于{x：W∈fx} ∈ F，W∈fxo，所以y∈W. 这monad是连续的。例2.12设βX是X上的超滤子集。这是过滤单子的子单子，但它不是预连续的。例2.13IX={A∈BcX：A具有有限交性质}是Bc的子单子。为了证明这一点，设A∈IX，设W1，.，Wk∈f#（A）. 然后Ai={x：Wi∈fx}∈A所以存在x∈A1<$··<$Ak.对于x，所有Wi∈fx，因此根据需要，W1<$··<$Wk/=<$这个单子是连续的。我们注意到空族是每个IX的成员。这是不可避免的如下。设P是集合X的一个划分，使得X的一个子集A不是P的块的并集。 设f：X → X/P为正则投影。则{A} ∈IX且（If）{A}={W<$X/P：f−1W=A}=<$。因此，连续单子的每个交集都是连续单子。这是构造示例的重要通用工具。例如，给定一个特定的超滤器，存在一个包含该超滤器的最小连续单子3Nonempty Infima在本节中，我们建立了一个预连续单子的每个代数都是一个具有非空不动点的偏序集幂集单子P=（P，η，μ）是众所周知的，PX= 2X，ηX x=（g#）（f）#=g#f#因为两边都把A映射到a∈Ab∈fa gb。注意Po X={A∈PX：A}是P的子单子。以下建议-位置是不寻常，因为我们能够刻画所有子单子的代数一下子命题3.1设T是P的子单子。 则T-代数范畴在Set上同构于偏序集范畴（X，≤），其中A∈X有一个下确界，只要A∈TX。态射是那些保持这种不动点的函数。证据 设D是所有偏序集（X，≤）的范畴，其中A是当A∈TX时，注意fA=（Tf）A确实在TY中。 给定D中的（X，≤），定义：TX→X，其中A=A。T-代数公理是n（{x}）=x，对于所有x∈X178E. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352→−−→<${<${a，y}：a∈A}=<${y}=y所以<$A≤y且<$A=A.Q对于所有A∈TTX，<$（A）=<${<$A：A∈A}为了证明这些公理成立，我们可以得到：<$（{x}）=<${x}= x，对于A∈TTX ， <$ （ {<$A ： A∈ A} ） =<$ （{A ： A ∈A} ） ={A ： A ∈A}= （ A）=<$（A）。一个T-同态f：（X，Tf）→（Y，θ）必须满足θ（Tf）=f <$.这正是（fA）=f（A）对所有A∈TX的陈述。 对任意的T-代数（X，λ），存在一个偏序≤，使得（X，≤）∈D，其中λ（A）=A，对所有的A∈TX.为此，定义xy=<${x，y}。则x<$y=y<$x平凡地和x<$x=<$（{x}）=x。要看到这个操作是关联的，x<$（y<$z）=<${<${x}，<${y，z}}=<${{x}<${y，z}}=<${x，y，z}（x，y，z）={x，y，z}。因此，（X，≤）是一个偏序集，其中x≤y，如果x∈y=x。为了完成这个证明，我们必须证明对于任意的A∈TX，有A=A。如果则对于llx∈X，x=}=}=x，所以是最伟大的元素，最空洞的极限。 现在让A∈TX。 对于a∈A，<${a，<$A}=<$（A <${a}）=<$（A）所以<$A ≤ a对所有a ∈ A。最后，假设y≤a对于所有的a∈A。 然后我们有{y，A}= {A 1998年， （{a，y}：a∈A）=在前面的定理中，传递到相反的顺序（X，≤）<$→（X，≥）是范畴D与偏序集范畴（X，≥）的同构，其中每个A∈TX都有一个上确界，且A = A。这只是一个品味的问题，是否应该是一个最低限度，而不是一个最高限度。由于结构映射μX：TTX→TX是并映射，我们的选择似乎很不好。这个选择的正当性在于我们希望表示子单子的子单子，用它的主滤子Prin（A）={A}c∈BcX来标识子集A<$X，并且Prin是反序的，A<$W惠Prin（A）<$Prin（W）.命题3.2τ：PBc，τX（A）=Prin（A）是单子映射，表示P作为B c的子单子。证据 关于单子映射的基本事实，我们请读者参考[6，定义2.2，命题2.15，定理3.39]。 我们必须证明XηXPXτXBc X=印刷XcXτX−−→−−→PτXX−→B X，PPX−→PX−→BcX=PP X −−−−→PBcXτBcXc cμXc−→BBX−→BX。 第一个等式是显而易见的。对于第二种情况，μX τBcX（P τX）A=μX τBcX{ Prin（A）：A∈ A}=μX{B <$Bc X：{Prin（A）：A∈ A}<$B={W<$X：{Prin（A）：A∈ A}<$QW}={W<$X：<$A∈AA<$W}={W<$X：A <$W}= τ X（ A）。Q一般地，如果λ：S→T是单子映射，且λ：TX→X是T-代数，然后SXλXTX − <$ X是一个S-代数。如果T是连续单子，则P是−→oE. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352179−−−−→（CM.1）.因此，每个T-代数（X，n）是一个偏序集，其非空无穷元A=n（Prin（A））。命题3.3如果T是连续单子，X是任意集合，则偏序集（TX，TX）在非空交叉点下关闭。证据 （TX，μ）的非空下确运算）由P TXτTXTTXμXTX。 此操作Xo−→Ai=μX{ Prin（Ai）}=μX{B <$TX：{Ai}<$B}={W<$X：{Ai}<$QW}={W<$X：W∈Aifor alli}=AiQ设L表示Po-代数的范畴，即具有非空内射和保持这些内射的态射的偏序集的范畴。我们有下面的“L -分裂引理”，它将在下面的引理6.3、命题6.4、定理7.4、引理8.5和推论7.6中找到用途。引理3.4 L中的每个满射射分裂。证据设f：X→Y是满射L-态射，g：Y→X由非空下确界定义gy={x：fx=y}检查g是否是一个具有fg= idY的态射是例行的。Q4条件句X上的滤波器集合FX是{A ∈Bc X：A在（2X，X）中定向}。根据下一个定义，新的单子通过将“有向集”推广到“ρ -集”而产生有两个定义和两组公理，取决于语义中是否需要最大元素定义4.1上确界的预条件是对X的子集集合（称为ρ-集）的每个偏序集（X，≤）的赋值ρ，使得公理（ρ. 1，ρ. 2，ρ. 3）保持。（ρ. 1）每个具有最大元素的子集都是ρ-集。（ρ. 2）ρ-集在保序映射下的象是ρ-集。（ρ. 3）若Ai是（Xi，≤i）中的ρ-集，则Ai是（Xi，≤i）中的ρ-集对于预条件ρ，定义（二）（三）Tρ X={A ∈Bc X：A是（2X\{n}，n）中的ρ-集}Tρ X={A ∈BcX：A是（2X，<$）中的ρ-集}有了进一步的公理，这些将被视为Bc的子单子，它们是连续的。是的我们注意到，如果（ρ.2）成立，则Tρ X<$T ρ X。我们说一个前提条件180E. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352j∈Jk∈K（j）G j∈Jρ 是 一 个 适 当 的 条 件 如 果 公 理 （ ρ. 4 ， ρ. 5 ） hold while ρ is an inproperconditional if axioms（ρ. 4，ρ. 5）保持。（ρ. 4 |ρ. 4）如果{Ai：i∈I}是（T ρ X，τ）中的ρ -集|（T ρ X，<$）则Ai∈T ρ X|Tρ X。（ρ. 5|ρ. 5）若A ∈ T ρ X |T ρ X和Bx∈ T ρ Y|对于每个x ∈ X， T ρ Y 则{D<$Y：{x：D ∈ Bx}∈ A} ∈ T ρ Y |T ρ Y。预条件、非正常条件和正常条件各自形成一个完全格，其点态相交为最终点。我们举出下列例子，它们都同时是非正常条件和正常条件。检查是例行的。例4.2最小条件是ρg，其中ρg-集合是具有最大元素的集合。最大条件是ρa，其中所有子集都是ρa-集。一个ρc-集是一个相容集，即每个有限子集都有一个上界。 一个ρb-集是一个有界集，也就是说，整个集合都有一个上界。ρd集是一个有向集。ρdb=ρd<$ρb。5ρ-连续偏序集设ρ是一个适当的条件。ρ-偏序集是一个偏序集，其中每个非空子集都有一个下确界，每个ρ-集都有一个上确界。ρ-偏序集的态射必须保持非空的无穷大和ρ-上确界。设ρ是一个不适当的条件。非正常ρ-偏序集的子范畴把所有具有最大元素且其态射也保持最大元素的ρ在ρ-偏序集中，定义ρ-below关系对Daρ-集，且D≤y∈D，x≤d，xρy惠一个ρ-连续偏序集是一个ρ-偏序集，使得对于所有x，存在一个ρ-集D，D∈ {y：yρx}，使得x=D。 态射保持非空无穷大和ρ-上界。非正常ρ-连续偏序集是指具有最大元素的ρ-连续偏序集。态射还必须保留最大的元素。因此，一个不适当的ρd-连续偏序集只不过是一个连续格，而一个ρd-连续偏序集只不过是一个非空内点的dcpo。关于下面的定义，请注意，我们假设选择公理。定义5.1一个ρ-偏序集是完全ρ-分配的，如果它满足以下方程：x jk=x j，gj（CD ρ）当verJ/=∞，K（j）∈（j∈J），g∈j∈JK（j）且所有的上确界都是ρ-上确界时.在（CDρ）中，左手边总是≥右手边，所以如果≤可以证明，则方程成立。在进一步讨论之前，我们注意到，在（CDρ）中，如果左侧的上确界是ρ-上确界，则右侧的上确界也必然是E. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352181J坐标系，α=（αi）=A. 使用类似的推理，如果（CDρ）成立，如下我们假设Qj={xjk：k∈K（j）}是每个j的ρ-集。通过公理（ρ. 3），Q=Qj是X中的ρ-集。 注意（qj）∈Q惠f∈K（j）其中ithqj=xj，fj.由于J/=π，：X J→ X存在并且是保序的，所以，由（ρ. 2）上确界右边是一个ρ-上确界。定理5.2 ρ-偏序集是ρ-连续的当且仅当它是完全ρ-分配的。证据 其证明与[3，定理I.2.3]或[1，定理7.1.1]的证明非常相似。 Q下一个引理的证明是显而易见的。引理5.3设ρ是上确界的条件，如定义4.1所示，设X ∈ 2 Y，包含下的偏序集。设（X，X）有非空交和ρ-上确界，它们是并. 则（X，X）是一个完全ρ-分配偏序集。例5.4反常ρa-连续偏序集是完全分配格。ρ-偏序集的6个泛代数性质集合上的任何范畴单子都具有我们在这一节中研究的关于积、子代数和同态像的性质。我们建立了ρ-偏序集的一些性质。命题6.1设ρ是一个真条件或非真条件，（Xi，≤i）是ρ-偏序集（i∈I）.考虑具有投影π i：X → Xi的乘积偏序集（X，≤）=（Xi，≤i）（具有坐标序）.则（X，≤）是ρ-偏序集，如果每个（Xi，≤i）是且πi：（X，≤）→（Xi，≤i）是ρ-偏序集范畴中的乘积。如果每个（Xi，≤i）都是ρ-连续的，则（X，≤）也是。证据 π i：（X，≤）→（Xi，≤i）是L 中的乘积。如果A是（X，≤）中的ρ-集，则A i= π i A是（Xi，≤i）中由（ρ. 2）所以αi=Ai存在。因为偏序是坐标方向。 其余的细节都是例行公事。Q定义6.2设ρ是一个真条件或非真条件，令（X，≤）是一个ρ-偏序集，A<$X。说A是一个子ρ-偏序集，如果它在非空的无穷维下是闭的，如果它包含最大的元素，如果ρ是不适当的，如果A中的每个ρ-集都有它在A中的上确界。(In更详细地说：如果B是A中的ρ-集，它是X中的ρ-集，所以在X中有一个上确界，我们要求它在A中）。很明显，如果A是一个子ρ-偏序集，那么它本身就是一个ρ-偏序集，并且（A，≤）在（X，≤）中的包含是ρ-偏序集的一个态射。更清楚的是，（CDρ）在A中的一个实例也是（CDρ）在X中的一个实例，所以（A，≤）是ρ-连续的，如果（X，≤）是。引理6.3设ρ是一个真条件或非真条件，f：（X，≤）→（Y，≤）是L中的满射态射。设C是（Y，≤）的ρ-集.则存在一个ρ-集A<$X，其中fA = C。182E. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352p（a∈x：a∈A）≤θx。 这说明R= 0（ （a∈x：a∈A），A）∈R（注意，R假定是闭的证据 根据引理3.4，在L中存在γ：（Y，≤）→（X，≤），其中fγ = id Y. 然后A=γC是ρ-集，且fA=fγC=C.Q命题6.4设ρ是一个真条件或非真条件，设f：（X，≤）→（Y，≤）是具有象分解f=（X，≤）−−→（fX，≤）的）−−i→（Y，≤）（i是包含）在L中。 其中n（fX，≤）是（Y，≤）的子ρ-偏序集，p：（X，≤）→（fX，≤）是ρ-偏序集的态射.此外，如果（X，≤）和（Y，≤）是ρ-连续的，那么（fX，≤）也是ρ-连续的。证据结果在L.当p是L中的满射时，如果B是（fX，≤）中的ρ-集，则根据引理6.3，存在（X，≤）中的ρ-集A，使得fA=B。 因此f（A）= B在（Y，≤）中。当f（A）<$fX，（fX，≤）在ρ-上确界下是闭的。为了证明（fX，≤）是ρ-连续的，从（y jk）在（CD ρ）中开始，对于fX，使用引理6.3来选择（xjk），其中f（x jk）= y jk，并且每个{x ik：k∈K（j）}是（X，≤）中的ρ -集。这样，X中的（CD ρ）给出fX中的（CD ρ）。Q命题6.5设（X，≤）是一个ρ-偏序集，R∈X×X是一个等价关系，它也是一个子ρ-偏序集.设θ：X→X\R为正则投影。则X \ R上存在唯一的ρ-偏序集结构，使得θ：（X，≤）→（X\R，≤）是ρ-偏序集的态射.证据存在唯一的≤使得θ：（X，≤）→（X\R，≤）是L中的态射.设A∈X是一个ρ-集。对于所有的a∈A，存在x∈X，其中θa≤θx（例如，设x=A）。 对于任何这样的x，映射X→X，y<$→y<$x是保序的，所以{a<$x：a∈A}是（X，≤）中的ρ -集。 对于a∈A，θ（a<$x）= θa <$θx = θa，所以对 所 有 a ∈ A ， （a<$x，a）∈ R。{（a∈x，a）：a∈A}是一个ρ-集，在ρ-上界下）。 因此，θ（A）=θ（（A）= （θA）所以X\R有且θ保持ρ-上确界。Q7主要定理定义7.1Bc的子单子T是不恰当的，如果对所有集合X2X∈TX，否则是恰当的。很明显，T是不变的。引理7.2设T是B c的非正常子单子。则ToX = TX\{2X}是真子单子.证据 设f：X→ToY，A ∈ToX. 设2 X∈f#A. 则n={x：2X∈fx}∈ A，所需的矛盾，所以To是一个子单子。Q定理7.3若ρ是真条件的，则T ρ是真连续单子。如果ρ是一个非正规条件，则T ρ是一个非正规连续单子。相反，如果T是一个连续单子，那么，相应地，当T是真的或非真的时，存在一个最大的真条件ρ，相应地，存在一个最大的非真条件ρ，T = T ρ，E. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352183C我T=Tρ;对于这个ρ，A∈（X，≤）是ρ-集当且仅当{↑a：a∈A}c∈TX.证据首先假设T是一个连续单子。对于（ρ. 1），若A∈（X，≤）有最大元素ao，则{↑a：a∈A}c= Prin（（↑ao））∈TXby（CM.1）.对于（ρ. 2），设f：（X，≤）→（Y，≤）是单调的，A∈X是ρ-集. 我们必须证明B={↑fa：a∈A}c∈TY，给定A={↑a：a∈A}c∈TX。 定义g：X→TY通过gx= Prin（↑（fx））。 这由（CM.1）明确定义。 则b≥a <$↑（f b）<$↑（fa）所以B={D<$Y：<$a∈A↑（fa）<$D}={D<$Y：<$a∈A<$b≥a↑（fb）<$D}={D<$Y：<$a∈A{x：↑（fx）<$D}<$↑a}={D∈Y：{x：D∈gx}∈A=g#（A）∈T Y对于（ρ. 3），设Ai是（Xi，≤i）中的ρ -集，使得{↑a：a∈Ai}c∈TX i.我们必须证明 i（↑a：a∈A i）∈T（X i）。我们有（↑a：a∈Ai）c={↑a：a∈Ai}c={A} Xi：a∈ Ai↑aA}={A} Xi：iai∈Ai ↑aiA}为 （1）A（1）A（2）A（（按CM.3）我们可以证明T=T ρ，只要{τ}∈Tτ。如果T=Tρ，{}∈/T是相似的。Tρ X={A ∈BcX：A是（2X，<$）中的ρ-集}={A∈Bc X：{↑A：A∈A}c∈T（2X）}={A ∈Bc X：{2A：A∈ A}c∈T（2X）}所以TX<$Tρ X由（CM.2）表示。 相反，如果A ∈Tρ X，考虑PrinX：2X→TX将A映射到Prin（A）。 我们有(PrinX）#（↑A：A∈ A}c={D<$X：{E<$X：D∈Prin（D）}∈ {↑A：a∈ A}c={D<$X：<$A∈A 2A< $2D}={D<$X：<$A∈AD<$A}=Ac=A表明Tρ X<$TX。特别地，T ρ或T ρ是给出（ρ. 5）或（ρ. 5）。为了完成一个方向的证明，我们将显示（ρ。4）。 的证明（p。（4）相似。 让{Ai：i∈I}是（T ρ X，τ）=（TX，τ）中的ρ -集，使得{↑Ai：i∈I}c∈TTX. 然后Ai={D<$X：<$iD∈Ai}={DX：iQD↑ Ai}184E. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352CC−−−−→^ ^您的位置：fx=^{A<$X：A<$↑x}是保序的，所以fA={↑a：a∈A}c∈Tρ^X=TX所以A是ρ-集。Q=μX{↑Ai：i∈I}c∈TX=Tρ X现在是相反的陈述。 设ρ是一个真条件，并证明T ρ是一个连续单子 不适当的情况是类似的。 因此Tρ X={A ∈Bc X：A是（2X\{n}，n）}中的ρ-集.为了证明（CM.1），令A=X。 则Prin（A）∈T ρ X by（ρ. （1）因为A是最大的优点是（A）。特别地，对于x∈X，prin（x）∈Tρ X。 与（p。5）这表明Tρ是B的子单子。对于（CM. 2），映射f：（2 X，<$）→（2 2X，<$），fA= ↑ 2 A={D：D<$2 A}是保序的，所以由（ρ. 2）将一个ρ-集A∈ TX映射到一个ρ-集{2 A：A ∈A}c ∈ T（2 X）.对于（CM. 3），设Ai∈TXi（i∈I），证明{Ai：Ai∈Ai}∈ T（Xi）. 通过（ρ.3），Ai是一个ρ-集，（2 Xi\{n}，{n}）。使用选择公理，我们有一个保序映射（（2 Xi\{n}），n） f（（2 Xi）\{n}，n）定义为f（Ai）=Ai。 h{Ai：Ai∈Ai}是（2）中的ρXi，X i）. 作为B → Bc是保序的，{Ai：Ai∈ Ai}c∈T（Xi）。为了完成证明，我们必须证明，如果ρ是一个适当的条件，Tρ=T然后是ρρ L∈A∈（X，≤）是ρ^-集. 则映射f：（X，≤）→（2X\{n}，n），定理7.4设T是Bc的连续子单子，ρ是定理7.3中相应的最大条件.如果T是真的，则它的代数集T的范畴是ρ-连续偏序集范畴.如果T是非正常的，则集合T是非正常ρ-连续偏序集的范畴。证据 由命题3.3可知，TX在非空交下是闭的，并且通过（ρ.4，ρ.4），ρ-上确界存在。因此，根据引理5.3，（TX，TX）是完全ρ-分配ρ-偏序集. 对于包含i：A→ X的A <$X，Ti：TA → TX将A映射到{B<$X：A<$B∈A}。将这一定理应用于A=A，如果A∈T，则（T i）A = A∈T，则（T i）A=A ∈ T，因此（TX，A）A是A的最小元素。此外，如果{T}∈T，则（Ti）{T}=2X提供（TX，T）具有最大元素2X。因此（TX，n）是C（T，ρ）的一个对象，这里定义为ρ-连续偏序集的范畴，如果T是真的;或者定义为非真的ρ-连续偏序集的范畴，如果T是非真的。现在设（Y，≤）是C（T，ρ）的一个对象，设f：X→Y是一个函数。声称（TX，TX）是由X自由生成的。 为此，我们必须证明在C（T，ρ）中存在唯一态射<$：（TX，<$）→（Y，≤），其中X=f。定义这样一个词（四） A=FXA∈Ax ∈A这张地图定义如下。将（PTX，n）定义为（2X\{n}，n）或（2X，n）因此，T是适当的或不适当的。 映射（PTX，X）→（Y，≤），B<$→B是保序的，因此，对于每个B ∈TY，将ρ-集B映射到ρ-集{B∈B}。对 于A ∈TX，（Tf）A={B<$Y：f−1B∈A}∈TY。 因此E. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352185J如果A∈jAj，则定义g∈Aj为常数函数gj=A。nx∈Afx =JJ A∈Ajx∈Ag∈一个jJ x∈gjA∈Ax∈Afx=f−1B∈AB是所希望的。 这是一个证明，如下：（prin（x））=x∈AA∈Ax∈Aprin（x），任意扩张f的态射必须与非空A上的射一致。 既然你是空的但事实上，它是独一无二的。为了完成这一部分的证明，我们必须证明，π保持非空的内点和ρ-上确界。 ρ-上确界的情况很容易核实：1999年，Ai）=fx =阿吉亚岛i A∈Aix ∈A i对于infima，计算如下。Aj=fx=fx（CDρ）1999年，Aj）=fxJA∈jAjx∈Ajx∈gjfx≤Jx∈gj2019 - 05 -2200：00：00（x∈gj fx≤jAj）≤j<$Aj。反之，设g∈A∈ Ajx∈A fx，因为<$gj∈<$AcjAj。 然后j<$Aj≤<$（Aj）。为了完成证明，我们必须建立C（T，ρ）中的态射。为此，设R是R的等价关系，R={（A，B）∈TX×TX：<$A=<$B}。设p，q：R→X为两个投影，并考虑p#，q#：TR→TX. Sincep#和q#是T-同态（T R，μR）→（X，μ R），它们在前有yprinR时一致，p#=q#. 存在唯一的函数θ：TR→R，其中pθ=p#，qθ=q#. Asp，q是联合幺半群，θprinR = idR.(In事实上，我们很容易证明（R，θ）是一个T-代数，但我们这里不需要这个）。证明了θ是满射的，使得R是[p#，q#]：TR→TX×TX的像，且该映射是C（T，ρ）中的态射6.4. 现在使用Propositon 6.5。Q很容易计算出三个元素上的自由连续格有七个元素。一般来说，TX是有限的，如果X是，所以我们有推论7.5有限生成的ρ-连续偏序集是有限的。下一个结果是已知的连续格[3，引理I.1.12]。推论7.6每一个ρ-连续偏序集都是ρ-交连续的，即律（xi）x=（xix）（MCρ）只要{x i}是一个ρ-集，就成立。证据该定律在（TX，TX）中平凡地成立，并且这样的定律被使用引理6.3的证明所保持。Q引理7.7设T是具有最大条件ρ的连续单子，其中T = T ρ。设A∈（X，≤）是一个ρ-集，B∈ X使得A，B相互一致，fA= prin（fx）。 因为A==Aj. 因此FX=186E. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352也就是说，对于a∈A，有d ∈D，其中a ≤d，对于d ∈D，有a ∈A，其中d ≤ a。 则B是一个ρ-集。证据 {↑a：a∈A}c={↑b：b∈B}c。Q推论7.8设ρ是最大条件，T= T ρ，对连续T。若（X，≤）是ρ-连续偏序集且x∈X，则{y：yρx}是ρ-集。 因此，对于所有的x，x ={y：yρx}。根据本节的理论，很容易建立下表来识别特定连续单子的条件。我们只在文献中对相应的ρ-连续偏序集有一个确定的名称的情况下才（五）第8 章Sierpin′ski和Canonical拓扑对于连续单子T，它在Bc中的包含是一个单子映射，由此从完全分配格范畴导出Set上的遗忘函子 到ρ-连续偏序集这样的函子总是保持极限。由此得出2是规范ρ-连续偏序集，且幂2X是完全分配格、T=Tρ时的ρ-连续偏序集和非空幂的偏序集三个范畴的乘积。 所有这三个都是偏序集，因为限制 P决定了最小值现在通过，（X，X）是自由代数的商X（TX，μX），它又是乘积代数22的子代数。它遵循二元代数生成ρ-连续偏序集簇，因为每个代数是2的幂的子代数的商。同样地，2上的每个拓扑诱导T-代数（X，X）上的一个拓扑，即TX具有乘积拓扑的子空间拓扑，X则具有商拓扑。定义8.1设（X，λ）是 一个T-代数。（X，X）上的Sierpin′ski拓扑是由2 ={ 0，1}上的拓扑导出的，其中{1}是开的{2}不是。（X，X）上的正则拓扑是由2上的离散拓扑导出的ρρaρbρdρdρdbρfbρgρg单TBCρ-连续偏序集完全分配格BC OF连续格FoN具有非空浮点数的我P完备下半格PoE. Manes/Electronic Notes in Theoretical Computer Science理论计算机科学352187−−→）π我们现在探索这些拓扑的一些性质。引理8.2设2具有任意拓扑，且TX→22X具有乘积拓扑的子空间拓扑，其中T是B的任意子单子。设f：X→Y是一个函数。则Tf：TX→TY是连续的。证据单子包含体ιX：TX→BX是一个自然的变换，对于AY，它产生了图TXiX）BX \Tf Bf\πf−1A\v v\）的方式Y三角形表示Bf是连续的。由于iY是子空间并且（Bf）iX是连续的，TF是连续的。Q引理8.3Let T是一个连续单子。 在Sierpin′ski拓扑和canoni cal拓扑中，TX是2 2 X的一个子空间.证据 考虑一下图表TTXμX）TXιTXvB（iX）（imonad map）iXv）νX）XBTX BBXBX= 22这里，ν