可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记325（2016）29-45www.elsevier.com/locate/entcsShu-e拟单子与可分可积模Marc Bagnol，Richard Blute渥太华大学数学与统计系加拿大安大略省渥太华JRB Cockett卡尔加里大学计算机科学系加拿大阿尔伯塔省卡尔加里J.S. Lemay卡尔加里大学数学与统计系加拿大阿尔伯塔省卡尔加里摘要二元线性逻辑和相应的范畴结构，二元范畴，引入了二元结构与（共）单子相关联的思想。 通常在代数几何等环境中，一个代数的微分结构表示为一个具有导子的模，即一个满足莱布尼茨规则的映射。 在一元方法中，我们能够继续处理代数和导子，但是附加的结构允许我们为这样的模块定义其他的微分演算规则;特别是可以定义链式规则的一元版本以及其他基本恒等式。在试图发展一个类似的积分线性逻辑理论时，我们被引导去考虑shu-e乘法。这是由郭和Keigher是根本的建设自由Rota-Baxter代数，Rota-Baxter方程是积分模拟莱布尼茨规则。这种Shu-e乘法在向量空间范畴上导出了一个拟单子。拟单子的概念，维斯鲍尔称之为r-unitalmonad，比monad的概念稍弱，但仍然足以定义一个具有分化和整合的模块的合理本文证明了这种拟单结构，证明了它的自由模既有满足Leibniz和Rota-Baxter规则的微分算子，又有满足Leibniz和Rota-Baxter规则的积分算子，并满足基本定理微积分。保留字：线性逻辑，微分范畴，Rota-Baxter代数1介绍由Ehrhard和Regnier [9，10]引入的离散线性逻辑理论扩展了Girardhttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2016.09.0301571-0661/© 2016由Elsevier B. V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。30M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）29语法上的。相应的范畴结构，即区分范畴[1]，扩展了西利范畴[26]的传统概念，使其包含区分组合子。在线性逻辑1的模型中出现的单子T具有与形式TV的每个对象相关联的交换结合代数的附加结构。这样的单子被称为代数模态。给定一个代数模，我们需要一个映射d：TV→VTV满足自然性，并且如在Küahler微分理论[18，2]中，我们要求合并器满足微分演算的莱布尼茨规则，将VTV视为右TV-模。但是一元结构允许我们表达微积分的其他规则，如链式规则。详情见第2节。本文的研究是从尝试对积分学进行类似的程序设计开始的。积分学中莱布尼茨规则的类似物是Rota-Baxter方程。 虽然不像莱布尼茨规则和代数上的导子理论那样著名，但自从郭和Keigher [16]构造自由Rota-Baxter代数以来，特别是因为这个方程在微扰量子场理论的重整化中被观察到是重要的见[8]。关于这个问题的历史，我们建议读者参阅郭[14]的专著。通过考虑[7，8，12，13，15，16，29]以及具有详细参考书目的Li Guo的网页，可以找到该方程的深远应用从自由交换Rota-Baxter代数的Guo-Keigher构造中可以清楚地看出shu-e乘法的重要性。这个运算自然是在向量空间的张量代数上定义的，但令人惊讶的是，这样得到的代数结构并不产生单子，而只是稍微弱一点的quasimonad，我们用§表示。准单胞菌保留了足够的结构，写出我们感兴趣的积分和微分结构。特别地，我们可以定义关于拟单子的代数模态的概念，并且我们证明了舒氏乘法确实给出了一个代数模态。就我们所能发现的而言，与具有微分的模相对应的积分的概念似乎还没有被探索过。给予在交换代数A中，我们定义一个具有积分的模为一个右A-模M，其映射P：M→A满足Rota-Baxter方程的一个版本。看到第6节详细信息。我们证明了对于Shu e拟单子，存在一个典范自然变换P：V<$V→<$V，使V<$<$V成为一个有积分的模，以及一个映射d：<$V→V <$<$V，使V<$<$V成为一个有扩张的模.这两个映射一起满足微积分的第一和第二基本定理。我们称这种模为FTC模。备注1.1作者感谢NSERC的慷慨支持。第一作者还获得了菲尔兹研究所的资助[1]实际上，我们是在线性逻辑模型的对偶设置中工作的，其中一个有余代数和相关的余代数。M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）29312Codi代数范畴与代数模态我们现在定义与（共）双范畴理论相关的基本结构。定义2.1对称monoidal范畴C上的代数模态由C上的单子（T，μ，η）和C中的每个对象C的一对态射（注意我们用k表示张量单位）组成。m：T（C）T（C）T（C），e：kT（C）使得T（C）是一个交换代数，使得这个结合代数结构族满足明显的自然性条件[1]。定义2.2一个具有代数模态的加法对称monoidal范畴是codi-范畴，如果它也具有导变换2，即 一个转换，在CdT（C）：T（C）CT（C）满足以下四个等式3：（d1）e;d= 0（常数的导数为0。）（d2）m;d=（d<$1）;（1 <$m）+（1 <$d）;c;（1 <$m）（其中c是适当的对称性）（莱布尼茨法则）（d3）η; d = 1e（线性函数的导数是常数）（d4）μ;d=d;dμ;1μm（链式法则）注2.3对我们来说，加法范畴仅仅是一个在交换幺半群上丰富的范畴。 对于本文的其余部分，我们将假设我们正在研究 一个加法范畴，尽管有些定义不需要它。编码范畴的基本例子是（离散）向量空间和线性映射的范畴单子由对称代数构造给出，导出变换是多项式的常用导式。我们参考[1]了解更多详情。 便利向量空间和连续线性映射范畴给出了一个拓扑例子，它们构成了一个微分范畴[3]。3准单胞菌我们对弱化单子定义的思想进行了阐述。我们遵循Wisbauer[28]的陈述，其中部分基于Büohm[5]的工作。这个较弱的概念将更相关的研究shu-e乘法。2.我们在派生变换和编码变换类别中都使用派生变换的术语[3]为了简单起见，我们假设monoidal结构是严格的。32M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）29注3.1我们选择用拟单子这个术语来表示维斯鲍尔所说的r-酉单子. 我们注意到这不同于Wisbauer和Bohm所说的弱单子。它也不同于Hoofman和Moerdijk所谓的半单胞菌[21]。我们从以下初步定义开始。定义3.2·设C是一个范畴，一对（F，μ）是一个带乘法的函子如果F：C → C和μ：F2→F是一个自然变换，且F μ;μ=μF;μ.• 一个三元组（F，μ，η）是一个q-单位单子，如果（F，μ）是一个带乘法的函子，并且η：idC→F是一个自然变换，称为拟单位。(No需要的公式）。• 如果η等于合数，则准单位是正则的η Fη μID2C−→F− →F−→F• 如果μ等于复合，则乘法μ是相容的F μ F μFF−→FFF−→FF−→F我们现在可以将拟单子的概念定义如下：定义3.3一个三元组（F，μ，η）是一个拟单子，如果它是一个q-酉单子并且：• η是正则的。• μ是兼容的。正如单子总是由一个附加项诱导，拟单子总是由一对函子诱导，定义如下。设C和D是范畴，并假设我们有一对函子，如下所示L：C −→ DR：D −→ CL和R之间的配对是一对映射，在两个变量中都是自然的，其形式为：α：HomD（LA，B）−→HomC（A，RB）β：HomC（A，RB）−→HomD（LA，B）给定这样一个配对，就像在一个附加物的情况下一样，我们得到自然的变换：ηA：A−→LR（A）<$B：RL（B）−→B然后我们通过F=L;R定义F：C → C，并且通过μ=μL;R定义μ =：F2→F。定义3.4一个配对是正则的，如果α;β;α=α和β;α;β=βM. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）2933.ΣΣ给定一个q-单位单子（F，η，μ），我们定义一个F-代数范畴，类似于单子的情形，我们得到一个配对（αF，βF），就像在单子的情形下得到一个定理3.5（Wisbauer [28]）以下是等价的：• （F，μ，n）是一个拟单子。• 配对（αF，βF）是正则的。注3.6在q-酉单子的情况下，Kleisli构造产生结合复合，但没有恒等映射。在下面定义的shu_e结构中，人们实际上获得了Kleisli结构的单侧单位4舒晓宁我们描述了一个准单子结构，这将是我们的定义和例子的基础。我们是在Guo和Keigher [15，16]的基础工作的引导下考虑这个操作的。我们在任意域k上的向量空间范畴中工作。所以让§（V）=kVVVVV ···这有一个著名的单子结构，因为它是自由张量代数。但它也有一个我们现在描述的准单子结构我们将使用同质元素。参见[24]，第16.7章。将齐次元素的长度W表示为：|W|.我们有关于§（V）的明显的自由乘法，但我们也有如下描述的shu e乘法：§（V）<$§（V）→ §（V）。我们首先提醒读者注意以下几点：定义4.1· 广义二项式系数定义为：. n1+ n2···+nm=（n1 + n2···+nm）！n1，n2···，nmn1！n2！嗯！其中每个n是非负整数。这些系数满足明显的方程，这将是在验证乘法的结合性，除其他事项。• 如果w1和w2是某个字母表中的单词，则w1和w2的shu是连接单词w1w2的排列，使得两个单词的内部顺序保持不变。如果w1，w2是§V的齐次元素，则定义w1-w21=|+| w 2 |w2||w1|、|w2|Ww∈Sh（w1，w2）34M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）29=12n|+| w 2|+ ···+|w n|wn||w1|、|w2|，···，|wn|Σw∈Sh（w1，w2，.，（w/n）这里的和是在所有w上，这是两个词的shu e。 (We将发现用w1<$w2表示没有首项系数的shu-e乘法是方便的。例如，w1=a1<$b1和w2=a2<$b2的乘积是1w1<$w2=6[a1<$b1<$a2<$b2+a1<$a2<$b1<$b2+a1<$b1<$b2<$a2+b1a1b2a2+b1a1a2b2+b1b2a1a2]1=6w1w2我们还注意到乘法可以递归地定义如下[14]。如果w1=aw1J且w2=bw2J，则：w1<$w2=a（w1J<$w2） +b（w1<$w2J）由于二项系数的基本组合恒等式，因此，π-运算是在§（V）上的交换的、有单位的结合乘法，因此导出一系列映射：§（V）<$n−→ §（V）这些映射可以直接通过公式定义：1我的天啊。Σ乘法导致自然变换μ：§§ → §。还有一个明显的自然变换η：Id→ §，这是生成函数的通常包含。定理4.2这使得§成为一个 拟单子。证据 我们逐步证明了这个结果。• （§，μ）是一个带乘法的函子。我们需要为各种迭代的齐次元素建立一些符号§nV：· 我们把V的元素记为{xi}i∈I。· 我们写出§ V的（齐次）元素 as（x1x2. xn）。特别是xi∈V和（xi）∈ §V。所以（xi）是长度为1的单词我们也有在所有§nV中的空词ε，例如注意（ε）· 我们将§2V的元素写为§2（V）中的ε。[（x11x12. x1 n1）（x21x22. x2 n2）. （xm1xm2. xmnm）]。WM. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）2935.Σ1|11岁以下|、|W12|，...，|w1m1 |.Σ1|WP1|、|W12|，...，|wpmp |1|、|W 12|，...，|,..., |，...，|,..., |、|W 12|，...，|,..., |wpmp|1m1，m2，.Mp哇... 你...1我们还将把这种形式的元素写成[w1w2. wm]。·我们将§ 3 V的元素写成[w11w12. w1 m]... [wp1wp2.下午五时]1个p现在计算如下：§μ（[w11w12. w1 m1]. [wp1wp2. wpmp]） =[w11 w12.. . 1m1].. . [wp1wp2.. . wpmp]=1 1. |+|W 12|加...|+... + |w1个月|Σ ... . |+|W P2|加...|+... + |wpm|Σ [w11 ∗ w12 ∗...[1 m1]. [wp1wp2. [wpp]将μ应用于该元素并使用组合恒等式，我们得到：1. |+|W 12|加...|+... + |w1个月|加... + |WP1| + |WP2|加... + |wpm|11121 m1wp1 pwpmp=w 11 w12.. . 宽1米1英 寸 . wp1. P.M.P另一方面，μ§（[w11w12. w1 m1]. [wp1wp2. wpmp]）=[w11w12.. . w1m1].. . [wp1wp2.. .wpmp]=1m1+. + mp[w11w12. w1 m1]. [wp1wp2. wpmp]m1，m2，. Mp请注意，在这个乘法中，我们将w视为 注意μ（[w11w12. w1 m1]. [wp1wp2. wpmp]）是：m1+. + mp[wm1，m2，.， mp 11第12章我... 埃夫1m1你.. . . p1 p2我... 埃夫下午p]以来 我们 有. m1+. + mp方面 在 的 产品 [w11w12. w1 m]. ∗[wp1wp2.. . Wpmp] ea chofwhi chgivesw11 w12.. . 宽1米1英 寸 . wp1. P.M.P当我们使用μ。这样我们就有了一个带乘法的函子。36M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）29、• η是正则的。我们注意到§η就是idη（ηη）。. .所以η; §η就是映射v<$→（v），把v看作一个长度为1的单词则μ（（v））=v。• μ是兼容的。我们考虑由下式给出的§2V[（x11x12. x1 n1）（x21x22. x2 n2）. （xm1xm2. xmn2）]我们也用[w1w2. wm]。映射FηF在这个元素上的作用是将它发送到[w1][w2]. [wm]，其中每个（wi）是§2中长度为1的字，将μ§应用于该元素给出：1m！[m（[（w1）（w2）. （wm）]]其中，m表示置换群Sm在列表[（w1）（w2）.上的作用上的和。（wm）]。将μ应用于[μ m（[（w1）（w2）... （wm）]），我们得到m！复制的w1w2.. . 你好，我们结束了。这就完成了（§，μ，η）是拟单子的□定义4.3一个q-酉单子或拟单子§是一个代数模态，如果对于每个对象V，存在一个结合代数结构：：§V这在V中是自然的，并且以下两个附加等式成立：第五章第五章 μμVV布拉奇c§§Vμ§VI，e、、、e，，μ，zc第五节这些方程说μ是一个代数同态。引理4.4 shu-e乘法使§成为一个代数模态。证据第二个等式很简单。对于第一个方程，我们进行得非常像证明我们有一个带乘法的函子的情况。所以我们考虑一个形式为[w1w2. [u1u2...] unn]。应用μμ，然后是，我们得到M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）2937.Σn1.一 、m+nxf（t）dt.则P是RB-算子。m，n0[w1w2.. . [u1u2.. . un] ›→[w1<$w2<$.. . wm] . ⬦un]›→w1w2.. . wm. n应用μ，则μ给出1[w1w2. [u1u2...] un] →. m+ n（w1w2. wm）（u1u2. un）›→m+nm，n结果如下。m，nw1w2.. . wm. n□5Rota-Baxter方程现在我们介绍Rota-Baxter方程并给出例子。本节的所有材料都可以在[14]中找到定义5.1设A是k-代数，其中k是基域。A是Rota-Baxter代数，如果配置一个k-线性映射P：A→A使得对所有x，y∈AP（x）P（y）=P（xP（y））+P（P（x）y）映射P被称为Rota-Baxter算子或RB-算子4。我们只举几个例子。一个更广泛的列表可以在[14]中找到。• 设C（R）表示在下的从实数到实数的连续函数环，Rota-Baxter方程成为通常的分部积分公式。• 考虑R [x]与由xm·xn=给出的乘法。mxm+ n。 则P（xn）=xn+1是一个RB算子。• 设V是任意k-向量空间.设T（V）= k<$V<$V<$V。. . ，但配备了算术乘法。 如果v∈V，则我们有一个算子Pv：T（V）→T（V），定义为Pv（w）=vw。则Pv是RB-算子。4本文只考虑权为0的算子点式操作。 定义P（f）（x）=38M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）296具有分散和集成功能的导子的概念长期以来一直是代数几何和交换代数的基础[18，25]，最近将这一思想扩展到非交换设置也很重要[23]。我们从经典的概念开始：定义6.1设A是交换k-代数。设M是（左）A-模. M上的一个导子是k-线性映射A→M使得对所有x，y∈A（xy）=x我们也将把（M，M）称为一个具有微分的。现在我们介绍相应的积分结构。据我们所知，尽管对Rota-Baxter方程进行了深入的研究，但在文献中并不存在这种精确的定义当然，这在这项工作中是不言而喻的。定义6.2设A是交换k-代数。设M是右A-模.M上的积分是k-线性映射π：M→A使得对所有x，y∈Mπ（x）π（y）=π（xπ（y））+π（yπ（x））对（M，π）称为具有积分的。注6.3注意等式左边的乘法是A的乘法，而右边的乘法是A对M的作用。我们注意到每一个Rota-Baxter代数都是一个模，它在自身上的积分具有明显的右模结构。事实上，当完整的线性逻辑理论建立起来时，我们将有更多的例子。定义6.4设A是一个交换代数。A上的FTC模是一个A-模M与映射P：M→A和d：A→M一起使得• （M，d）是一个带微分的模。• （M，P）是一个有积分的模。和• （微积分第一基本定理）P;d=id我们把FTC模写成（M，P，d）。6.1存在（拟）单子如前所述，在单子存在的情况下，我们可以用代数模态来表示额外的微分结构这一点可以从上文对编码解码类别的定义中看出。现在我们引入积分情形的一些附加结构。M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）2939X中国−−−−→−−−−→定义6.5在下面的内容中，设（T，μ，η）是一个q-单位单子和形式s的自然变换：idT→T• 自然变换满足U-替换规则，如果对所有f：X→XTX，复合材料sTfTsμX<$TX−→TX−→T（X<$TX）−→TTX−→TX等于合成的id Tf−−−−→fμXT（XTX）idTsID密码XTTXS−→X TXTX −→XTX−→TX• 如果η：X→TX等于复合，则形式s：id_T→ T的自然变换满足常数积分规则。X=XIideSXTX−→TX我们注意到，这些方程在shu e拟单子的情况下不一定满足，刻画这些附加方程成立的那些情况将是有趣的。如果我们在存在一个拟单子的情况下也有对偶结构，我们也可以陈述微积分第二基本定理。定义6.6假设我们有一个代数模态（T，μ，η，m，e）和一个T（V）上的FTC-模（M，P，d）那么我们说M满足微积分第二基本定理，如果：其中0：V→V。d;P+T（0）=idT（V）如果代数模态具有自然变换P：idT→T和d：T→idT →T，使得每个TV都是一个FTC-模，那么我们说代数模态满足第二基本定理，如果这些自然变换满足相同的方程。注6.7我们注意到，与微积分的第一基本定理不同，这个定理只能在存在附加的拟一元结构的情况下定义7Shu-e拟单子中的对偶与整结构引理7.1算子P：V<$<$V→ <$V定义为P（v<$w）=|连接词）满足：1W|+1个大众（The40M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）29⬦.Σ.Σn，1，m， 1.Σn，1，m， 1• Rota-Baxter方程，其中V § V是由V生成的自由右§ V-模。• 常数积分法则。证据 我们注意到常数的积分规则是平凡的。我们假设v，vJ∈V，w，wJ∈X<$，其中|W|= n和|WJ|= m。我们必须表现出P（v<$w）P（vJ<$wJ）=P（（v<$w）P（vj<$wJ））+P（（vJ<$wJ）P（v<$w））该等式的左侧由下式给出：11JJ111J J[大众 vw]=n+1m +1n+1 m +1n+ m +2（vwvw）=n+1，m +11J J右侧由下式给出：n+ m +2 （vwvw）n，1，m， 1P（v）1）w<$vJwJ） +P（vJ<$（1）wJvw）=1 11m+1J Jn+1个111 jJm+1。n+m+1v（w<$v w）+n+1。n+m+1v（w vw）=n，m+1n+m+21JJ1n+1，mJn+m+2J. n+ m +2v（wvw）+. n+m+2v（wvw）这个结果是由递归定义的n-算子得出的。□引理7.2在赋有拟Shu代数的向量空间范畴模态，对于每个代数§V，微分算子由下式给出：2019-05-25 01：01：02（|W| +1）vw满足莱布尼茨规则。证据 我们必须表明d（vw<$vJwJ）=d（vw）<$vJwJ+d（vJwJ）<$vw注意，我们使用的是运算，也表示§V对V的作用。我们让|W|= n和|WJ|= m。对于左侧，我们计算：JJ1JJ J Jd（vw<$v w）= d [n+ m +2 （v（v wn+1，m +1（v）+v（vw））]=M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）2941.Σ⊗ ∗ ⊗∗⊗ ∗ ⊗∗§||⊗1JJ J Jn+m+2[（n+m+ 2）（v<$（w<$vw）+vn+1，m +1（vw（n+1）！（m+1）！[v（wvJwJ）+vJ（vwwJ）]（n+ m +1）！对于右侧，我们计算：d（vw）<$vJwJ+d（vJwJ）<$vw=（n+1）v<$（w<$vJwJ） +（m+1）vJ<$（wJ<$vw）=1JJ1JJ（n +1）。n+ m +1<$v <$（w <$v w）+（m + 1）。n+m+1v（wvw）=n，m+1n+1，m（n+1）！（m+1）！[v（wvJwJ）+vJ（vwwJ）]（n+ m +1）！□最后我们得出结论：定理7.3对于代数模态§，由V ∈ § V给出的V上的自由§V模是一个FTC-模，它进一步满足微积分第二基本定理。证据这两个基本定理有待验证。第一种是直来直去。我们必须考虑单项式V<$n的两种情况，当n= 0和n≥1时。当n= 0，k∈K时，回想一下d（1）= 0，P是线性的：P（d（k））+§（0）（k）=P（0）+k=k当n≥ 1时，则对vw∈V<$n（其中v∈V，w∈ §（V）的长度|W|= n− 1）：（1）（1）（2）（3）（3）（4）（3）（3）（4）（3）（4）（4）（5）（4）（5）（5）（4）（5）（4）（5）（5）（4）（5）（5）（6）（6）（7）（7）（8）（7）（7）（8）（7）（8）（8）（9）（8）（9）（9）（10）（10）（1 |W| +1）vw = vw（|W|+1）这就建立了第二个联邦贸易委员会。□我们现在考虑其他§V模满足第二基本定理的可能性。我们将证明，要求第二基本定理实际上是一个重要的限制。引理7.4设（M，P，d）是满足微积分第二基本定理的§ V上的FTC-模。则以下等式42M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）29成立：P; §（0）=0M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）2943证据P;§（0）=P+P;§（0）−P=P;d;P+P;§（0）−P=P（d;P+ §（0））−P=P−P=零□命题7.5对于代数§V，我们考虑FTC-模（V <$§V，P，d）如上所述。假设有另一个在§ V上的FTC-模（M，R，d）也满足第二基本定理。则M和V之间存在k-线性同构，由下式给出：P;D：V<$V−→M R;d：M−→V<$V此外，如果P;D对所有a∈V满足以下条件：D（P（aw））=wD（a）则P; D是模映射，意味着V ∈V与M同构为V-模。证据通过上面的引理，R; §（0）= 0和P; §（0）= 0，因此我们得到以下等式：R=R（dP+§（0））=RdP+R§（0）=RdP P=P（DR+§（0））=PDR+P§（0）=PDR计算如下：P;D;R;d=P;d=idVR;d;P;D=R;D=idM所以PD和Rd是K-线性同构.现在假设对所有的a<$w∈V<$$>V：D（P（a<$w））=wD（a）。通过一个简单的计算，我们有对所有v∈ §（V）：D（P（v（aw）=D（P（avw））=（vw）D（a）=v（wD（a））=v（D（P（a）44M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）29证明了P;D是一个模映射。□第八章结论这项工作起源于发展一个整体线性逻辑和整体范畴理论的目标这项工作正在进行中，但我们相信，shu-e结构提供了一个关键的理解积分理论。但更重要的是，它本身也是有意义的。把单子的概念弱化为拟单子的思想对于线性逻辑来说是新的，值得进一步探讨。(We请注意，在[20，21]中引入了弱结构的不同版本。）此外，我们发现舒淇及其变体的组合学很吸引人，想知道在那里还能找到什么其他结构，以及它对线性逻辑有什么影响我们还注意到，当T是拟单子时，仍然可以考虑T-代数参见[28]。O 'Neill在[ 27 ]中将文[2]中建立的泛导子理论推广到一般T-代数这个理论随后被归入[4]，其中引入了关于代数模态的T-导子的一般概念这将是有趣的，看看在何种程度上的工作有电梯的quasimonad设置。在[14]中研究的Rota-Baxter代数的概念和其中的参考文献实际上比这里给出的定义更一般。特别地，它们有权λ的Rota-Baxter代数的概念。定义如下：定义8.1设A是k-代数。A是一个权为λ的Rota-Baxter代数，如果它具有一个k-线性映射P：A→A使得对所有x，y∈AP（x）P（y）=P（xP（y））+P（P（x）y）+λP（xy）我们的集成模块概念只捕获权重为0的情况。但有一个明显的模的概念与权重λ的积分。这一点的逻辑意义可能相当有趣。与此同时，Guo和Keigher也发展了相应的权λ的对偶代数的概念，定义如下：定义8.2设A是k-代数。A是一个权为λ的双线性代数，如果有一个k-线性映射d：A→A使得对所有x，y∈Ad（xy）=xd（y）+d（x）y+λd（x）d（y）他们在[16]中结合了这两种结构。文[17]研究了相应的一元和共元结构。显然，这里有大量的结构需要研究。我们还注意到，Rota-Baxter余代数也有相应的理论[22]。这里定义的许多结构都可以在coolge/comonadic设置中重新定义。当然，我们还需要找到一个令人信服的例子，M. Bagnol et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 325（2016）2945这里考虑的shuangye结构关于今后工作的另外两个想法如下。首先，在非对易情形下发展上述理论是很重要的这项工作的差异设置开始于预印本[6]。Ebrahimi-Fard和Guo在[7]中利用根树上的运算构造了非交换情形正是这种结构出现在微扰量子场理论的重整化中[8]。我们还想在权为0和权为λ的情况下构造自由的FTC-模。显然，这些将与[16，17]中发现的结构相关。这种广义的shu-e概念也与Ho-man的quasisishu-e有关[19]。引用[1] R.布鲁特，J.R.B. Cockett，R.A.G.西利分类目录。计算机科学中的数学结构16，pp。1049-1083，（2006）。[2] R. 布 鲁 特 河 Cockett ， T.波 特 河 Seel yKüahler 分 类 。 CahiersdeTo pologieetGeometrieDiEscherentielle 52，pp. 253-268，（2011）.[3] R. Blute，T. Ehrhard和C.塔森一个方便的分类。53.第五十三章大结局pp. 211-233，（2012）.[4] R. 布鲁特，R.B.B.Lucyshyn-Wright，K. 在codi-derivatives类别。出现在Cahiers de Topologie et Geometrie Di Scherentielle，（2016）.[5] G. B？ohm. 单子的弱理论。 Adv. 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