内外偏心弯曲环空流动的数值研究及影响因素分析 - 2016年工程科学与技术国际期刊1334.

工程科学与技术，国际期刊19（2016）1334完整文章具有内外偏心的弯曲环道入口区的数值研究M.R.H. Nobari，N.Nekoubin1Amirkabir University of Technology，424 Hafez Ave.，P.O. Box 15875-4413，Tehran，Iran阿提奇莱因福奥文章历史记录：2015年11月15日收到2016年2月11日修订2016年2月25日接受2016年4月13日在线发布关键词：弯环偏心不可压流有限差分投影法A B S T R A C T本文用数值方法研究了不可压缩流体在具有内外偏心的弯曲环空中的流动。为此，采用基于投影算法的二阶有限差分法求解控制方程，该控制方程采用三维交错均匀网格，在一般双极-环面坐标系中进行。研究了无量纲参数如Dean数、Reynolds数、曲率比、高宽比和偏心率等对入口区流场和摩擦系数的影响。数值计算结果表明，外偏心对二次流和轴向速度分布有明显的影响。随着偏心距的增大，二次流强度减小，摩阻系数减小。©2016 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍流体在偏心弯曲环中的流动发生在许多工程和工业设备中，用于润滑系统、流变学、加热和冷却系统等。在医学科学中，进行冠状动脉造影测试时血管内的血液流动是一个可能与当前研究主题直接相关的例子。因此，更好地理解问题的物理学有助于工程师在设计和预测设备性能时考虑关键点。在这方面，目前研究的目的是集中在偏心弯曲环空中的发展流动。二次流是在弯曲的管道中由于弯曲产生的离心力而产生的。与直管相比，这一现象增加了弯管流场的复杂性。Yao和Berger[1]描述了这个问题的物理方面。在弯曲管道中，由曲率产生的离心力增加了摩擦系数，需要更大的泵送功率。另一方面，它提供了流体颗粒的更好混合，增加了热交换器中的传热速率和不同工业设备（例如食品加工设备）中的混合速率。尽管存在大的泵送功率缺点，但在热交换器中的热传递速率和混合功率的增加是有利的。*通讯作者。联系电话：+98 21 64543412;传真：+98 21 66419736。电子邮件地址：mrnobari@aut.ac.ir（M.R.H. Nobari）。由Karabuk大学负责进行同行审查1名研究生。弯曲管道系统已经引起工程师的注意，考虑到这些优点以设计更紧凑的单元。因此，研究弯管系统发展区和充分发展区的流场形态和重要的物理参数如摩擦系数，为优化设计提供了工具。偏心环空中的流动与传热问题，在许多研究中都作了数值和解析的研究，分别考虑了充分发展和发展流动，以及不同的热边界条件。其中，Trombetta的研究[2]研究了考虑充分发展层流的偏心环空中的强制对流传热。Suzuki等人进行了类似研究[3]。Snyder和Goldstein[4]提出了偏心环空中充分发展层流的速度分布的精确解，他们计算了内部的局部剪应力，和外壁，以获得总摩擦系数。他们给出了大范围偏心率和半径比的结果。Feldman等人[5]的数值研究调查了在双极坐标系下，用Navier-Stokes方程模拟了偏心环形管道中的层流发展流动。 他通过求解能量方程来扩展他的工作，以预测热入口区域的温度分布[6]。Arabi等人[7]使用有限差分法研究了垂直环空中的自然对流。 Ho等人[8]研究了偏心水平圆柱环空中的相同问题，发现普朗特数对传热的影响很小而且他们http://dx.doi.org/10.1016/j.jestch.2016.02.0092215-0986/©2016 Karabuk University.出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：www.elsevier.com/locate/jestchM.R.H. Nobari，N. Nekoubin/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）1334-13451335Fig. 1. （a）物理域的几何形状，（b）双极-环面和位移双极-环面坐标中物理域的横截面，（c）双极-环面和位移双极-环面坐标中计算域的横截面。表1在Ei=0.5，N=0.5，k=0.769，Re= 400时，三种不同网格的轴向速度等值线及其最大值结果表明，修正瑞利数和偏心距对传热率有重要影响。在一项实验研究中，Naylor等人[9]研究了两个偏心管之间的自然对流，并将实验结果与数值结果进行了比较。其他类似的研究自然Hiroso et al.[10]和Shaarawi等人[11Mokheimer和Shaarawi[15]研究了垂直偏心环空中的混合对流。他们研究了水动力和热边界层的发展。Nobari和Asgarian[16]已经求解了完整的40*20*5060*30*7580*40*100小行星1336诺巴里， N. Nekoubin /工程 科学 和技术， 一个 国际 杂志 19 （2016）13342.521.510.50050 100 150 200250300被许多研究者研究。Dean[21，22]进行了两项主要的初始研究，他研究了弯曲管道中的流体流动，并引入了Dean数，该数可适当测量曲率对流场参数（如摩擦系数和传热率）的影响。McConnor和Srivastava[23]进行了类似的工作，他们使用傅立叶级数来进行数值求解。Collins和Dennis[24]研究了弯曲管道内的稳定流动，并计算了流动参数，如摩擦系数。Choi和Park[25]研究了弯曲环形管道中的层流入口流。他们研究了半径比对流动发展和二次流形态的影响。在他们的下一项研究中，Park 和Choi[26] 研 究了 弯 曲 环形 空 间 中的 混 合对 流 。 Petrakis 和Karahalios[27] 研 究 了 弯 曲 环 形 管 道 充 分 展开 区 域 的 流 体 流 动 。Jayaraman和Dash[28]考虑了小曲率以简化通过有限差分法求解的控制方程。 他们的结论是，压力梯度和摩擦系数大大增加，图二、发 展 区摩擦系数随轴向变化的比较对于40× 20× 50、60× 30× 75和80× 40× 100三种不同筛孔尺寸，Ei= 0.5，N= 0.5，k= 0.769，Re= 400。图3.第三章。 E = 0.01，N = 0.5，k = 0.0133，Re = 200时充分发展区轴向速度的数值和解析比较。结合能量方程，研究了垂直偏心环空中的混合对流。Manglik和Fang[17]的研究调查了偏心环形管道中的非牛顿流体流动。得到了环形通道内的速度分布、温度分布、摩擦系数和努塞尔数。他们指出，由于非线性剪切行为，流场和温度场变得不均匀导致不规则的热工水力性能。Nikitin[18]、Merzari和Ninokata[19]对偏心管道中的湍流进行了数值研究。他们考虑到大规模的相干结构，在不同的雷诺数，考虑不同的偏心率，并比较他们的结果与实验和DNS的。Hosseini等人[20]进行了另一项实验研究，以研究端部开口的垂直偏心环中的强制对流。上述所有研究都考虑了偏心环空中的流动，而没有一个研究考虑了本研究中所研究的相互曲率效应。研究了曲率对管道内流体流动的影响，更高的纵横比值。Siggers和Waters[29]研究了有限曲率弯管中的定常流动。他们研究了离心力和科里奥利力对流动的影响，并宣布曲率和迪恩数控制弯曲管道中的流动行为他们已经用他们的结果来预测动脉中的血流行为Galdi和Robertson[30]的研究考虑了轴向压力梯度对弯曲管道中充分发展的流动结果表明，当压力梯度为常数时，对于任意曲率和Dean数，Robertson[31]曾在交错网格上用有限差分法求解Navier-Stokes方程，研究了具有非均匀横截面的弯曲管道中的Jarrahi等人研究了圆弯管中的层流脉动流动[32]使用粒子图像测速仪（PIV）。他们已经表明，弯曲管道内的脉动流的流动拓扑结构是复杂的。此外，还提出了一个有利于混合强化的脉动条件. Clarke和Denier[33]研究了通过弯曲管道的突然阻塞瞬态流。他们采用ADI数值方法研究曲率对流速衰减的影响。Nobari等人[34]研究了同心弯曲环形管道中的不可压缩流动和传热。他们计算了摩擦系数和努塞尔数，并研究了它们随迪恩数平方根的变化。Mekheimer和El Kot[35]的研究调查了通过同轴弯曲管的血流。他们在环形坐标系中求解控制方程，以研究曲率、狭窄高度和导管半径的影响，并表明曲率对导管狭窄动脉中的流体流动有很大影响。尽管是直管，偏心对流体的影响弯曲管道中的流动和热传递没有被充分研究。Nobari和Mehrabani[36]研究了偏心率对偏心弯曲环空中充分发展的流动和传热的影响。在接下来的研究中，Nobari等人。[37]专注于相同几何结构中的弗劳德数效应。他们得出结论，弗劳德数的影响在其小值时更明显。此外，Nekoubin和Nobari[38]研究了偏心弯曲环中的传热。以往的研究都考虑了弯曲环空中的向内偏心效应本文首次提出了一种通用的摩擦系数2EOMM.R.H. Nobari，N. Nekoubin/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）1334-13451337图四、 在E = 0.001、N = 0.2、k = 0.228和（a）K lc= 286.8（Re = 600）、（b）K lc= 23.9（Re = 50）条件下，本研究与[34]之间的二次流型比较。偏心率成为可能，如图所示。凌晨1 基于这一事实，将控制方程写在一般双极-环面坐标系中，使用f作为环面（轴向）方向，g和n为双极坐标系方向，如图12所示。 1 b和c。g在gi和go之间变化，即内管和外管壁，并且n在0和p之间变化。比例因子对于这里使用的一般小时01/4小时01/4小时01/4a1 2coshg- cosn图五、 在Ei= 0.5，N = 0.5，k = 0.769和Re = 400的条件下，不同公差标准对发展区摩擦系数随轴向变化的影响。双极坐标系的距离。因此，由连续性和完整的Navier-Stokes方程组成的控制方程h03¼r0h0sinhg1其中r0是调谐参数r，负号表示向外偏心，正号表示向内偏心，a是坐标系的极点，表示为a<$risinhgi<$ro sinhgo2其中ri和r0分别是内管和外管的半径。偏心率（e）是指图1所示内外管中心之间的距离。1.一、无量纲偏心率（E）和纵横比（N）定义为：eacothgo-cothgiE¼e<$cothgo- cothgi< $coshgo-N coshgi方程写在一般双极-环形坐标系中ro-ricschgo-cschgiNRISINHGO1 -Nð3Þ采用精确二阶有限差分法离散控制方程。利用投影算法，研究了Dean数、雷诺数、曲率比、半径内外偏心率比对流动特性的影响¼ro¼sinhgi因此，偏心弯曲环的内壁和外壁可以表示为：-一个N 1 E 21-E2！轴向流、二次流和摩擦特性因素进行了详细的研究。gi¼cosh2NE2 2ð4Þ2. 控制方程本文研究了不可压缩粘性流体在偏心弯曲环空中的流动。内管和外管被视为共面。为了描述边界拟合坐标系，g¼cosh-1。N1-E1 E！为了在一般双极-环面坐标系中表达无量纲控制方程，包括连续性和系统是在这项研究中首次开发，其中包括h<$h0r<$r0u<$u0v<$v0w<$w0p<$均p0t¼t0Re无论是内在的还是外在的怪癖。为了做到这一点，我们定义了一个基因-使用被称为R的调谐参数的环形标度因子（第三标度因子），其被并入标准环形标度因子中。这使我们能够旋转2-D双极部分，Dh Dh wm wmwm Dh1/4米wmqw2Dh=wmð5Þ在x轴上和垂直于x轴的任意轴。 这样，一般产生向内和向外的环带其中u是n方向的无量纲速度，v是g方向的无量纲速度。g方向，w为无量纲（）下一页. Σ¼-@@hrhsinhgv@2018年2月28@n@nH2@gH@g@nH@n @g@nH@g@g@g新格山@grhsinhg@/rhsinhg@/-u在--@-@Rev@h2αr黄胜杰@n@n@g@gðÞ（u小行星1338诺巴里， N. Nekoubin /工程 科学 和技术， 一个 国际 杂志 19 （2016）1334-1345见图6。 在Ei= 0.4，N= 0.5，k= 0.588，Re= 400条件下，进口区轴向速度等值线和二次流场的发展。f方向的速度，w是平均轴向速度，Dh是g方向的动量偏心环空的水力直径定义为@vu2@hu@vuv@hv@vw@v之间的外和内管直径（Do-Dp是无量纲压力，q是密度，t是无量纲时间，Re是雷诺数，m是运动粘度，h是无量纲比例因子，r是无量纲调节参数。使用上述无量纲参数，@t-h2@g h@nh2@nh@grhsinhg@/西2@hsinhg1@pnhrhsinhg@g¼-h@g1 1rhsinhg@u@h@rhsinhg@h无量纲控制方程一般的两极环形坐标系可以写成连续性Reh2rhsinhgh@n @g@n2h@g“嘿。”rhsinhg@hrhsinhg@u@hh2rhsinhg@n@gg/¼0@。RHSINHG@H@。@vrhsinhg.@h2ð6Þ@guh@n@grhsinhg@g-vh2@n出现的改善的势头方向u@juanhsinhg@juanhsinhg@。H2@v！n-rhsinhg@n@g@/rhsinhg@/@uu@uuv@hv@uv2@hw@uv.@陈星华2h@w@jiahsinhg@th@nh2@g h@g-h2@nrhsinhg@/-rhsinhg@gnrhsinhg@/@gw2@sanhsinhgsanh1@pn@。hw @jiuhsih gjiuhsihjiuhsihnhrhsinhg@n¼-h@n@/ RHSinhG@G1（1“@.@u方向的动量rhsinhg@h2雷h2rhsinhg@n rhsinhg@wu@w v@w uwþ þ@陈胜杰@t h@nh@g黄兴杰你是我的儿子。vrhsinghg@hsing hg@。吴胜杰@uvw@jiuhsinhgjiuhw @w1@p荣兴港h2 rhsinhgvh. 荣兴国和2nH@g@n@gH@n1（1）rhsinhg黄兴杰@黄h@h@u@hsinhg@。h@ jiangjiang.二号！.Σ2罗兴格/@n@/ 黄胜君@h@u u-@陈胜杰胡武兴.H兴基@/rhsinhg@/罗兴根@@rhsinhg@/@g@@/rhsinhgv@@gv@juhsinhg@juhsinhgh@w@juhsinhg@。h2@w！W.@陈星华2-rhsinhg@g@nnrh sinhg@/@n@/rhsinhg@/-rhsinhg@n@。h@jiangjiang jiangW.（@陈信h hg2#）1n@/rhsinhgw@nð7Þ-rhsinhg@gð9Þ@/.Σð-pÞH 我一F1/4。 Σr10的M.R.H. Nobari，N. Nekoubin/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）1334-13451339见图7。 在Ei=0.4，N=0.5，k= 0.588时对称面上轴向速度的发展历史。使用的边界条件是入口处的均匀流w = 0; n = 1;ug; n; 0 0;vg; n; 00 10第8周时1例Lig@ggRe内壁处15ÞF1.@w2018ð外壁处@u@v@w@/<$/<$/<$/<$0分11秒墙壁上无滑动条件根据上述方程，可计算出内外壁的平均周向摩擦系数为：f2 1-NZpf hd内壁处内墙：ug; n;/vg; n;/wg; n;/0i½pN林林0我我我2 1NZp0ð16Þ由于流动相对于平行于偏心弯曲环空平面的中平面是对称的，因此当考虑半域数值时，可以在该平面上应用以下条件偏心弯曲环空的每个横截面处的平均摩擦系数可以表示为：仿真f¼Nfifoð17Þ@v@w1000N@n<$$>@n<$$> 0和u<$0<$13除了无量纲的偏心率，纵横比和雷诺数，其他两个重要的无量纲参数，包括曲率比和迪恩数涉及在偏心弯曲环空内的流动它们可以写成千分之四 DH;Klc¼Rek1=2 14其中k是曲率比，Klc是迪恩数。偏心弯曲环空的内外管壁处的局部摩擦系数可分别写为：入口长度（L）是根据完全开发的通过计算两个连续轴向速度分布的最大相对差为10- 5，3. 数值方法为了求解偏心弯曲环空中的不可压缩粘性流动，采用基于投影算法的二阶有限差分法[39]，在均匀正交交错网格上离散控制方程以来出口处的充分发展条件Lohgo@g戈雷外墙：ugo; n;/vgo; n;/wgo; n;/012关于f外壁处的Lohdn我1340M.R.H. 诺巴里， N. Nekoubin /工程 科学 和技术， 一个 国际 杂志 19 （2016）1334-1345见图8。 在Ei = 0.4，N = 0.5，k = 0.588条件下，不同雷诺数下充分发展区的轴向速度分布和二次流场。见图9。 在四个不同的Dean数在四个不同的长宽比和Ei= 0.4的入口区域的摩擦系数的变化。. . .. ..@t@t@t-¼ -t~Vn1-~VωGn/M.R.H. Nobari，N. Nekoubin/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）1334-13451341见图10。在Eo=0.4，N=0.5，k= 0.588条件下，不同雷诺数下充分发展区的轴向速度等值线和二次流场。这里考虑稳态解，必须使用以下最大. @u。;。@v.;。@w.2018年12月本研究中e的值被认为是10- 5。投影算法中的连续性和~Vn1-~Vn~~nn112~nDtAVrp~A~Vn。~Vn·r~~Vn关于Vð19Þr~·~Vn≤1<$0<$20Hz使用~Vω作为临时速度，动量方程可以分为两个方程，如下所示~Vω-~Vn~~n12~n图十一岁（ a）充分发展的轴向速度等值线和二次流场DtAVRVð21ÞN= 0.5，k= 0.37，Klc= 100时不同偏心率的区域（b）轴向速度在Eo= 0.4，k= 0.454，Klc= 100条件下，得到了不同半径比下充分发展区的等值线和二次流场。~Vn1~VωDtrpn1 ¼0ð22Þ当量（24），下面的Neumann压力条件可以是通过计算Eq.（22）使用Eq。（20）、Pois-压力场的Son方程采用以下形式适用于所有边界。.@p¼0 ð25Þr2pnð23Þ@nCDt压力的Neumann边界条件可以通过投影方程得到。（22）垂直于边界，如下所示由于这里使用了显式离散化，必须满足稳定性条件[34，36]Dt1.@pn11.Σ@n其中下标C表示边界。可以很容易地表明，投影法中的压力场是最小值为2;最小值为2;最大值为2;最小值为2。最大值2000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000该域显示在图1中的（g，n）空间中。 1 c其中独立于~Vω。因此，通过设置~Vω等于~Vn1，在两个方向上使用均匀网格。C c C·~n24CDCC小行星1342诺巴里， N. Nekoubin /工程 科学 和技术， 一个 国际 杂志 19 （2016）1334-1345图12. 在Eo=0.4，N=0.5，k= 0.588的对称面上轴向速度的发展历史。4. 网格独立性测试和代码准确性为了显示此处开发的数值代码的网格独立性，如表1所示，使用了Ei=0.5（Ei表示向内偏心，Eo表示向外偏心）和N= 0.5的三种不同网格。通过对三种网格的轴向速度等值线和充分发展区轴向速度最大值的比较，表明最大偏差小于1%。此外，在图2中比较了入口区域中三种不同网格的摩擦因子，表明了数值代码的网格独立性和保守性为了验证数值代码的准确性，将偏心弯曲环空的偏心率和曲率设置为E= 0.01和k= 0.0133的值，以使其尽可能接近于存在充分发展流场的解析解的相应同心环空对同心环的数值结果与相应的解析解的比较如图所示。3.第三章。从图中可以此外，0.001的偏心率与图4中相应同心弯曲环空[34]的二次流进行了比较。从图中可以看出，它们显示了与预期相同的模式为了检查在数值模拟中使用的公差标准（10- 5）的准确性，在图5中绘制了Ei= 0.5时五个不同公差值的摩擦系数与f的关系图N= 0.5，k= 0.769，Re= 400。因此，本研究中公差标准的建议值，即10-5表示在计算范围内具有足够的精确度。5. 结果和讨论本文首先研究了不同雷诺数和迪恩数下内偏心对发展区流场和摩擦系数的影响。与同心环空相比，偏心弯曲环空增加了两个物理量：曲率和偏心度。曲率的存在产生了二次流，使轴向速度分布从抛物线型扭曲，并使轴向速度峰值向外壁移动。M.R.H. Nobari，N. Nekoubin/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）1334-13451343图13岁（ a）在Eo= 0.4，k = 0.454，Klc= 100时，四种不同半径比的入口区摩擦系数变化;（b）在N = 0.5，k = 0.37，Klc= 100时，四种不同偏心率的入口区摩擦系数变化。图图6表示发展区内不同截面的轴向速度等值线和二次流。从图中可以明显看出，轴向速度分布从初始入口分布开始变化，并且由于曲率产生的离心力，此外，二次流发展为两对涡流;一个大的在外管壁，一个小的在内管壁。离心力控制了核心区（远离壁面）的二次流方向，这一事实解释了旋涡形成的机理。因此，由于离心力，核心区域中的二次流动方向是从内弯曲部朝向外弯曲部另一方面，由于粘性效应，内外管壁附近的离心力不占因此，管壁附近的二次流方向是从外弯管向内弯管，这与质量守恒是一致的这两种逆流的相互作用在偏心弯曲环空中产生了两对涡。由于曲率和离心力，轴向速度分布变形，使得离心力的值在管道上平衡。图7显示了在六种不同雷诺数下对称平面上的轴向速度发展历史，向内偏心率为0.4，纵横比为0.5，曲率比为0.588. 从图中可以看出，随着雷诺数的此外，随着雷诺数的增加，轴向速度分布与较低雷诺数50相比有所改善。此外，当雷诺数大于400时，内管壁面上的涡对变得更强、更大，导致外弯管壁面上较宽区域的轴向速度分布出现两个峰值在六种不同的雷诺数下，充分发展的轴向速度等值线和二次流如图所示。 8，向内偏心率为0.4，纵横比为0.5，曲率比为0.588。随着雷诺数的增加，最大轴向速度移向更靠近外壁，并且该对涡变得细长，并且在内管壁上显著增大。从图中可以看出，在雷诺数为1200和较大;由于较强的离心力，外管壁上的一对较大的涡流分裂成两对较小的涡流图9表示在恒定向内偏心率为0.4的情况下，考虑不同纵横比，在在所有情况下，由于壁面上的轴向速度梯度非常大，在近入口处摩擦系数急剧减小，但在充分发展区域保持在给定的长宽比、曲率和偏心率下，摩擦因数随着Dean数减少。现在讨论向外偏心的影响。不同雷诺数下的轴向速度等值线和二次流如图10所示。将图10所示的二次流和轴向速度等值线与图8所示的向内偏心的二次流和轴向速度等值线进行比较，表明向外偏心使二次流流型变形，并增加了速度场的畸变，这是由于其较大的离心力造成的 图图11表示展弦比和向外偏心对轴向速度分布和二次流的影响。从图中可以看出，通过增加偏心率，与较窄的区域相比，在较宽的区域此外，还指出，向外偏心的增长显着变形的轴向速度场。偏心率对二次流流型的影响不大。从图中可以明显看出，通过减小纵横比，在内管壁和外管壁附近产生的成对涡流由于小的内管表面而变得更大图12显示了在不同雷诺数下，向外偏心率为0.4时轴向速度的发展历史，与向内偏心率相比，向外偏心率使轴向速度另一方面，由于窄区边界较近，窄区边界层发展较宽区快此外，由于宽区存在较大的惯性力，离心力对宽区轴向速度剖面变形在给定的迪恩数和曲率下，不同的外偏心率和不同的高宽比下，入口区摩擦因数的变化如图所示。 13岁如可以小行星1344诺巴里， N. Nekoubin /工程 科学 和技术， 一个 国际 杂志 19 （2016）1334-1345图14. 在四个不同的迪恩数和N = 0.5的四个不同的偏心率在入口区域的摩擦系数变化。图15. 在N= 0.5时，内、外偏心对入口区摩擦系数变化影响的比较。从图中可以看出，纵横比对摩擦系数的影响此外，偏心率的增长略微降低了摩擦系数，这一方面是由于曲率产生的二次流的强度降低，另一方面是由于流量降低。 图图14示出了在不同的向外偏心率和曲率下发展区域中摩擦因子的变化。该图表明，由于离心力的增加，曲率增长显著地增强了摩擦系数。最后，在不同的向内和向外偏心率的入口区的摩擦系数的变化示于图。 十五岁从图中可以明显看出，在给定的曲率和迪恩数下，小偏心率的摩擦系数（例如，E= 0.1），无论是向内还是向外，几乎保持不变。然而，在大偏心率（例如，EP0.3），向内或向外偏心的摩擦系数取决于迪恩数而彼此不同对于给定曲率和偏心率下的大Dean数（例如，200），向外偏心的摩擦系数变得大于向内情况的摩擦系数，而对于小的迪安数（例如，100）。这来自于这样一个物理事实，即在小迪恩数处，M.R.H. Nobari，N. Nekoubin/Engineering Science and Technology，an International Journal 19（2016）1334-13451345二次流在内部弯曲区域中更强，而在大迪恩数处，二次流在外部弯曲区域中更强。6. 总结和结论本文采用基于投影算法的二阶有限差分法离散包括连续性和完整Navier-Stokes方程在内的控制方程，数值研究了具有内外偏心的弯曲环形空间内的不可压粘性发展流动。在这里，偏心率和曲率的相互影响进行了调查，第一次采用一般的考虑到控制无量纲参数，包括偏心率，长宽比，曲率比，迪恩数，和雷诺数，不同的流动模式在入口区域可视化，并计算了摩擦因子的宽范围内的参数。数值结果表明，与向内偏心相比，向外偏心使二次流和轴向速度分布发生了显著的变形此外，高宽比对摩擦系数的影响可以忽略不计，而偏心率的增加会略微降低摩擦系数。此外，随着曲率比的增加，由于强烈的二次流效应，摩擦因子显著引用[1] L.S. 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