稳定紧空间Xs及其性质的研究

理论计算机科学电子札记87（2004）225-238www.elsevier.com/locate/entcs稳定紧空间经由紧序空间Klaus Keimel1FachbereichMathematikTechnischeUniversitüat64289 Darmstadt，Germany摘要稳定紧空间Xs可以描述为从紧序空间X通过将其拓扑弱化为开上集而导出。 在本文中，利用紧序空间X和测度论、泛函分析等经典工具研究了稳定紧空间Xs.这允许以统一和优雅的方式导出已知的和新的结果，这些结果在定理5.4中总结。保留字：语义域，概率幂域，稳定紧空间，介绍在指称语义中，Jones和Plotkin [7]引入了赋值和概率幂域作为概率和概率测度空间的替代，以模拟编程中的近年来，概率幂域得到了越来越多的关注。关于概率幂域的大部分背景材料都包含在论文中，除了在[5]中对一些基本性质的阐述之外，这些论文不容易获得。指称语义学的基础是度量空间理论或D. S.Scott. 为了谈论1电子邮件地址：keimel@mathematik.tu-darmstadt.de1571-0661 © 2004 Elsevier B. V.根据CC BY-NC-ND许可证开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2004.10.002226K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-O语义的测度和概率，人们必须使测度、概率、积分的经典概念适应域。定义域是一个连续的、有向的、完全的、偏序的集合（见[5]）。每域携带一个内在拓扑，即Scott拓扑，它是T，但远从豪斯多变成了根据定义，估值将一种度量以连续的方式与每个斯科特开放集相关联，取代了度量。一个域上的赋值形成了一个域，称为扩展的概率幂域。当然，人们希望将赋值与经典测度联系起来，将扩展的概率幂域与所有测度的空间联系拓扑测度理论几乎专门研究Haus- dor空间，特别是局部紧空间和完备度量空间。由于这个原因，很自然地将我们的域限制为对于Lawson拓扑是紧Hausdor拓扑的那些域，Lawson拓扑是细化Scott拓扑的域上的内在拓扑。 这一限制并不过分，因为包含在一个范畴的闭范畴中的所有域都是Lawson紧的（见[8]）。Lawson紧的域也称为稳定紧的。这使我们考虑更一般的稳定紧空间这也表明是非常有用的语义最近（见[9]）。稳定紧空间（X，G）是指在Nachbin [14]的意义下，通过将拓扑弱化为所有开上集的集合G而从紧有序空间（X，O，≤）中为了使不熟悉域理论的读者尽可能容易地理解我们的论述，我们将坚持紧凑有序的设置。空间. 本文利用经典泛函分析方法，一方面导出了稳定紧空间（X，G）上的赋值与其概率幂域性质之间的密切联系，另一方面得到了正则空间（X，G）上的概率幂域性质与其概率幂域性质之间的密切联系。另一方面，在弱 *-拓扑中，讨论了（X，）上的Borel测度和概率测度的紧凸集。我们所有的结果特别适用于劳森紧域。我们的一些结果并不是新的。我欠M很多。Alvarez Manilla [1，2]研究了估值和经典测度理论之间的密切联系。本文的优点，希望，是一个简单的证明标准的功能分析的基础上的结果的简单介绍。我们也欠A的。荣格的有益评论和批评。K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-227††→∈†I††1序拓扑空间在Nachbin [14]的意义下，我们考虑一个偏序拓扑空间（简称序空间），即一个具有拓扑O和偏序≤的集合X，使得该偏序的图在X×X中闭。后者相当于说，对于X中的任意两个点x/≤y，存在x的不相交邻域U和y的不相交邻域V，其中U是上集，V是下集。这意味着有序空间是豪斯多尔空间。回想一下，X的子集U称为上集，如果x∈U蕴涵y∈U，对于所有y≥x。X的开上子集的集合G = O又是X上的拓扑，称为下拓扑。这个较低的拓扑是T0，但远不是豪斯多尔拓扑（见下一段的例子）。我们特别将这个术语应用于具有通常的全阶和由开区间生成的通常的Haus- dor拓扑I的扩展实数线R= [− ∞，+∞]= R <${−∞，+ ∞}。 真开上集是区间[r，+∞];它们代替了下拓扑I。 我们也将这个术语应用于R的子集，例如，实数R =] − ∞，+∞[，非负实数R+= [0，+∞[，以及扩展的非负实数R + = [0，+∞ [，R+= [0，+∞]。对于函数g：XR，将采用以下符号和术语：||：= sup||g（x）|、|,我们说g是有界的，如果||G|| +<∞。我们用C（X）表示具有s上范数的D连续函数f：X → R下的所有块的向量空间||F||而C+（X）是它的非负成员的正锥。对于任何r R我们采用以下符号表示逆图像[g > r]：= g−1（] r，+∞]）={x∈X：g（x）>r}。通常，g称为下连续的，如果[g > r]在X中是开的，对每个r∈R。我们用LSC+（X）表示所有非负、有界、下连续函数g：X→R+的集合。如果x≤y蕴涵g（x）≤g（y），则我们说g是单调递增的或保序的，这等价于说[g > r]是所有r∈R的上集。注意g是单调递增的和下连续的当且仅当[g > r]是对所有r∈R的开上集，也就是说，当且仅当g关于X和R上的下拓扑G=O是连续的。我们分别用LSC+（X）表示。C+（X）的非负集、有界集、单调递增集、下半连续集、连续的，功能的，反应g：X→R+。x∈X228K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-→††††††≤††−††我们需要一些关于紧序空间的结果。直接的是，任何（单调递增）下半函数族的（点态）上确界都是新的，R又是（单调的）低连续的。在紧致Hausdor空间上，每个下连续函数都是有向连续函数族的上连续函数。对于紧序空间有一个推广：引理1.1设X是紧序空间。每个单调递增下连续函数g：X→R+是单调递增连续函数fi：X → R+的有向族（fi）的点态上确界。证据设g∈ LSC+（X）.设x0∈X，g（x0）> 0，r满足0 ≤< rg（x0）.则U=[g > r]是一个包含x0的开上集. 根据[14]中定理4的推论，紧序空间是正规序的，由此，根据[14]中定理1，存在单调递增连续函数f：X→[0，1]，使得f（x）=0，对任意x∈U，且f（x0）= 1.函数r·f单调递增且连续，满足rf（x0）= r且r·f≤g.实际上，对于x ∈ U，rf（x）= 0 ≤g（x），并且对于x∈ U，rf（x）≤r< g（x）。由于我们可以对每个x 0构造这样一个函数，其中g（x0）> 0，并且每个0 r< g（x0），因此g是一族非负单调递增连续实值函数的点态上确界。通过取这样的函数的有限上确界，人们得到具有所需性质的有向族。Q所有非负单调递增连续实值函数的集合C +（X）是C（X）中的一个锥。事实上，对于f1，f2∈C+（X），显然有f1+f2∈C+（X），同样，对于任何实数r ≥ 0，rf∈C+（X）;此外，乘积函数f1·f2和常数函数1属于C++（X）的值为0。引理1.2对于紧致序空间X，锥C+（X）生成向量空间V = C+（X）C+（X），该向量空间V在C（X）中关于上范数是稠密的。证据（Edwards [4]）从这个引理前面的注释可以得出V是C（X）的一个包含常数函数1的子代数。从前面引理的证明中引用的Nachbin的结果可以得出，对于X中的任何元素x /≤ y，存在函数f ∈ C +（X）使得f（x）= 1且f（y）= 0。 因此，C+（X ）和V分离X的点。这个引理现在由斯通-维尔斯特拉特定理得出。QK. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-229≺2正则Borel测度的锥M（X设X是任意紧Hausdor空间，B是Borel集的σ-代数，即X的开子集生成的σ-代数。回想一下，X上的Borel测度是函数m：B →R+，使得m是严格的：m（n）=0，m是加法：m（A）+m（B）=m（A<$B），当A，B∈ B不相交时，m是σ-连续的：m（nAn）= supnm（An）每递增序列An∈B。请注意，我们仅限于积极的措施。 这种措施被称为内部正则，如果m（A）= sup {m（K）：K∈A且K紧}对所有Borel集A.内部正则性通过传递到补语来暗示外部正则性m（A）= inf {m（U）：A≠U且U开}对于所有Borel集A.我们将简单地讨论正则Borel测度。 我们表示为M（X）是X上所有正则Borel测度的集合，M≤1（X）是所有Borel测度的子集，其中m（X）≤1，M1（X）概率测度的子集，即，m（X）= 1。M（X）是从B到R的所有函数的向量空间中的一个锥，即两个正则Borel测度之和m1+m2以及任意非负实数r的标量倍rm都是正则Borel测度.子集M≤1（X）和M1（X）是凸的.在M（X）上，存在一个自然序关系：m1≤m2i ∈ m1（A）≤m2（A）.对于紧序空间X，M（X）上的以下关系，称为随机顺序，我们会更感兴趣m1<$m2i <$m1（U）≤ m2（U）.以下引理是标准知识：引理2.1关于正则Borel测度m，每个有界下连续函数g：X→R+是可积的，并且有一个有限积分230K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-阿斯图里岛∫ ∫ ∫ ∫∫+∞†G我fdm满足(i)（f+g）dm=fdm+gdm，rfdm=r fdm对所有f，g∈LSC+（X）和所有r∈R+，(ii)对于LSC+（X）中的每个有向族（gi）i，（supgi）dm= supgidm，(iii) m（ i Ui）= sup i m（Ui），对于开集的每个有向族（Ui）i.积分可以由以下黎曼积分定义：gdm=+∞m（[g > r]）dr.0这是对积分的一种Cho quet-ty定义（见K？nig[11]，第11节）。让我们解释一下，为什么这个定义是有意义的：设g∈ LSC+（X）。对于每个r，集合[g > r]是开的，并且有测度m（[g > r]）∈R+。 函数r<$→m（[g > r]）：R+→R+是单调递减的，且m（[g > r]）= 0，r≥||G||. 因此，这个函数是黎曼可积的，黎曼积分0m（[g > r]）dr，它实际上是在有限区间[0，||G||]，是一个实数。 前面引理的性质现在可以是由黎曼积分的性质导出。3有界连续赋值的锥V（X设X是紧序空间，G = O是开上集的集合. 一G上的赋值是一个函数μ：G →R+，具有以下性质：µ是严格的：µ（） =0，μ是模：μ（U）+ μ（V）= μ（UV）+ μ（UV），μ是单调递增：UVμ（U）μ（V）。一个赋值称为（Scott-）连续，如果对于每个开上集的有向族Ui∈G，μ（U i）= sup μ（U i）.我们用V（X）表示上所有连续赋值的集合。 我们赋予V（X）的随机序，定义为：对所有开的U ∈G，有μ∈ν i μ ∈（U）≤ν（U）。对于连续赋值，我们还定义了与非负标量r的加法和乘法：（μ+ν）（U）=μ（U）+ν（U）和（rμ）（U）=rμ（U）。∫∫我K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-231·∞∫†›→×→∫⇒ ∈†+∞µ（[g > r]）dr是一个定义(i)对于每个开上集U，μj（U）≤ lim inf jμj（U）。对于每个g∈ LSC<$+（X），g d µ j。0(We采用惯例0（+）= 0，如通常在测度论中那样）。我们表示为V（X）是所有有界连续赋值的集合，即，μ（X）+∞，其中V≤1（X）是所有子概率赋值的集合，即，<μ（X）≤1，通过V1（X），所有概率赋值的集合，即，µ（X）= 1。我们注意到V（X）是从G到R的V≤1（X）和V1（X）是凸子集。对于有界下连续实值函数g：X→R+（见第2节），我们可以定义有界单调递增下连续函数g：X→R+关于连续赋值μ的积分。 实际上，对于每个r，原像[g > r] =g−1（]r，+∞]）是开上像集故[g]（[g > r]）是一个定义良好的非负实数。此外，函数r<$→μ（[g >r]）：R+→R+是单调递减的，且是上单调递减的。实数注意，实际上积分仅在有限域上扩展interval [0，||G||]，因为μ（[g > r]）= 0，r≥ ||G||.我们定义gdµ：=+∞µ（[g > r]）dr.0从单调函数的黎曼积分的性质，我们可以导出下列性质：Lemma3. 1map（µ，f）fdµ：V（X）LSC+（X）R+是单调递增的，它保持有向上确界，并且在其两个上都是线性的。分别论证这个证明简单明了，但很乏味。 [16]和[13]中可以找到。我们应用这个引理的一部分来证明下面的引理3.2设（X，O，≤）是紧序空间。 对于网（μj）j∈J有界连续赋值和G = O <$的有界连续赋值μ，以下是等价的：(ii)fdµ≤li m infjfd µj，对每一个f∈C<$+（X）。∫ ∫证据显然，（三）（二）。进一步地，（iii）由于每个开上集U的特征函数χU是下连续的和递增的，且χUdμ=μ（U）。 ㈡ ㈢： 根据引理1.1，每个gLSC+（X）是单调递增连续函数∫不间断的。 因此它的黎曼积分（三）gdµ≤lim infj232K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-∫†∈Σ2N∫∫††（i）μν，即对于每个开上集U，μ（U）≤ ν（U）。≤1注意，我们已经使用了f→的事实µ fd通过以下方式保留定向sup：fi：X→R+。如果最后一个字母在fj中有一个字母，那么这个字母就不存在了。如果fi≤g，则对于所有i，我们在fjfidµj≤liminfjgdµj中有一个ve im，根据需要，sup ifidµ = sup ifidµ≤ sup i lim inf jfidµj≤lim inf jgdµj。引理3.1. (i)（iii）以类似的方式证明，gLSC+（X）是开上集的特征函数的有限线性组合的以下递增序列gn的1gn=2nn2ni=1χ[g>i]。Q如果我们选择一个常数netμj =ν，那么前面的引理会产生以下结果：推论3.3设（X，O，≤）是紧序空间.对于O <$上的连续赋值μ和ν，以下是等价的：（二）（三）µfd≤gdµ≤fdν对每个f∈ C+（X）.对任意g∈ LSC+（X），有gdν.4关于C（X）的局部线性函数的锥C_n~+（在这一节中，设X是一个紧序空间连续实值函数关于超范数形成Banach空间C（X）。我们用C（X）表示它的对偶，即C（X）上所有有界线性泛函回想一下，C（X）上的线性泛函f称为正的，如果对每个非负的f∈C（X），f（f）≥ 一切积极C（X）上的线性泛函关于上范数有界，且每个C（X）上的有界线性泛函可表示为两个正泛函的差。我们表示为C+（X）是所有线性函数C∈C（X）的点集之和，C∈（X）是正线性泛函的凸子集，其中∈（1）≤1，C∈1（X），则C∈ 1（X）是所有满足h ∈（1）=1的位置线函数的一个子集。在对偶空间C（X）上，我们有两个阶：首先是正锥C+（X）给出的通常阶，即，K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-233对于f∈C+（X），i∈C+（f）≤i∈C+（X），234K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-†≺†∈†≺†其次，非负有界单调增连续函数的锥C+（X）给出的随机序，即，如果f ∈ C+（X），则f ∈ C+（X），则f∈C+（X）.很明显，这个词是自反的和传递的。稍后我们将看到，π也是反对称的在对偶向量空间C∈（X）上，我们考虑两个弱拓扑.第一个是弱 *-拓扑，也就是说，最弱的拓扑使得映射C→R（f）：C→R（X）对所有f∈C+（X）都是连续的。第二个拓扑是所谓的弱 **-拓扑，根据定义，它是C（X）上的最弱拓扑，使得映射→（f）：C（X）→R对所有f都是连续的C+（X）因此，弱 **-拓扑是粗糙的弱 *-拓扑。在C_∞（X）上，它比弱 *-topology.命题4.1对于紧序空间X，有：(1) 随机序确实是反对称的，弱 **-拓扑是Hausdor拓扑。(2) C_∞（X）上的通常序≤和随机序≤是弱 *-闭的。(3) 子集C≤1（X）和C_1（X）是ak ~*-完备凸集。(4) 弱 **-拓扑与正锥上的弱 *-拓扑一致C+（X）.(5) 集合C≤1（X）和C_（11）（X）是一个凸的或具有r_e-随机序拓扑和任意一个弱拓扑。证据（1）若X是紧序空间，则由非负单调增连续函数锥C+（X）生成的向量空间V在C（X）中一致稠密1.2。这就意味着它确实是反对称的弱 **-拓扑是Hausdor拓扑。(2) 设j和j是有界线性泛函的网，它们分别弱 *-收敛于和，使得对于每个j，jj。然后，对每一个f∈C+（X），我们有<$j（f）≤<$j（f），并且当<$j（f）和<$j（f）分别收敛于<$j（f）和<$j（f）时，我们得出<$j（f）≤<$j（f），由此没关系 阶≤的证明是类似的。(3) 是Alaogu定理的标准应用(4) 限制于C_∞≤1（X）是Hausdor Neby（1），并且∗比弱 *-拓扑粗，弱 *-拓扑在C≤1（X）上是紧的。由于没有严格粗糙于紧拓扑的Hausdor拓扑，弱 *-和弱 **-拓扑在C上≤1（X）。由于C++（X）是K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-235≺††›→∈GGG|›→|→它是C_n~<1（X）的一个子集， n∈N，并且是C_n ~+（X）上的两个拓扑集，因此它是C_n ~+（X）上的一个拓扑集。(5) 由于关系由（2）封闭，因此断言由（3）和（4）证明。Q对于任何x ∈ X，由f <$→ f（x）定义的狄拉克泛函δ x是C（X）上的正线性泛函。对于紧Hausdor空间，xδx是空间X到C_∞（X）的拓扑嵌入，赋予弱 *-to po log y。函数δx实际上是C∈1（X）的极值点. 我们有更多：命题4.2设X是紧序空间。将其Dirac泛函δ x与每个元素x X相联系，得到X到C_∞（X）中的一个拓扑嵌入和一个序嵌入，并赋予其弱 **-拓扑和随机序.证据 它只需要表明我们有一个顺序嵌入。 若x ≤ y，则对任意f ∈ C +（X），δx（f）= f（x）≤ f（y）= δy（f），从而δx <$δy. 另 一方面，如果x/≤ y，则存在一个f ∈ C+（X）使得f（x）= 1但f（y）= 0，即δx（f）= 1/≤ 0 = δy（f），因此δx/<$δy。Q5主要结果在前面的三节中，我们考虑了三个锥，正则Borel测度的锥M（X），有界连续赋值的锥V（X），以及C（X）上的位置线泛函的锥C+（X）。我们将证明，对于紧序空间X，所有这些锥都是同构的，并且这些同构也是随机序这是为每一个圆锥体定义的。我们首先定义一个从M（X）到V（X）的映射。我们观察到序空间X上的每一个正则Borel测度m只要将m限制为，就能在开上集上导出一个连续赋值。事实上m（）= 0，从m的有限可加性，可以得出m是模的，并且在Borel集上单调递增。因此，M| G是一个估值。连续性从2.1（3）中可以得出mG 因此，我们有一个映射mmG：M（X）V（X）。这个映射保留了加法，乘非负标量，以及从定义中直接得出的随机顺序。我们拥有：引理5.1设X是紧序空间。对于X上的每一个正则Borel测度m，它对开上集集的限制是有界连续赋值，且映射M：m›→m|G：M（X）→V（X）236K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-›→→∫fdµ，对于每个f∈C<$+（X）。其中hf1，f2∈C<$+（X），我们定义eµ（h）=f1dµ−线性泛函是p（h）≥0的条件下的一个特例f1dµ−f2dµ≥0.是线性的，单调增加的随机顺序。本文定义了一个从M（X）到C_∞+（X）的映射。积分约束于正则Borel测度m定义了一个正线性泛函m：f›→在C（X）上。 此外，m∈m：M（X） C∈+（X）是线性的。对 于 一个互补的Hausdor空间，Riesz表示定理（参见例如[15]）告诉我们：引理5.2设X是紧Hausdor空间。则对于C（X）上的每一个正线性泛函，存在唯一的正则Borel测度m，使得的对于每个f∈C（X），因此地图C：m›→C：m：M（X）→C+（X）是圆锥的同构。我们最终定义了一个从V（X）到C+（X）的映射。 与测度类似，我们想证明开上集集合G上的每个连续赋值μ定义C（X）上的一个正线性泛函引理5.3设X是紧序空间。对于开上集G = O <$s的集合G = O <$s上的每个有界连续赋值μ，C（X）上的线性泛函µ，使得µ（f）=地图V（X）→C+（X）是线性的，是随机序的序嵌入。我的律师。 By3. 1，m a pf<$0 →mfdμisp线ronnC+（X）. Forh=f1−f2定义了一个关于vect或spa ceV=C<$+（X）−C<$+（X）的函数。Th是函数h∈V。事实上，如果h=f1−f2≥0，则nf2≤f1，当f2dµ≤由于常数函数1属于V，V上的正线性泛函对于超范数是有界的;事实上，||ϕµ||= µ（1）= 1dµ = µ（X）。 由于V在C（X）中由引理1.2是一致稠密的，因此，C（X）上的正线性泛函;我们再次将这个扩张记为πμ。f2dµ。 这就产生了一个很好的-f1dµ，因此为µ（h）=K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-237†††GO›→ G → ›→地图（μ，f）›→∫这些地图→fdμ：V（X）→R是连续的，对于所有的f∈C+（X），›→因此，我们有一个V_pμ→V_pμ：V（X）→C_p~+（X）。从线性的地图是线性的。从引理3.3可以得出，它是一个序关于随机顺序的嵌入。Q对于紧序空间X，我们现在有以下图表M（X）m ›→ m|GM）V（X）C+（X）这张图是对易的，也就是说，= M。实际上，设m是X上的正则Borelm，且μ=M（m）=m|G. 我们有一个VEOSOWWTHTm=µ。第2节和第3节中的积分公式表明，fdm=µfd，其中，对每个f ∈ C+（X），有<$m（f）=<$µ（f）。由于由C+（X）生成的向量空间在C（X）中是一致稠密的，我们得出结论：我们现在可以总结一下：定理5.4设（X，O，≤）是紧序空间.(i) 在集合上定义的每个有界连续赋值μ=开上集的可拓性可以以一种独特的方式扩展到X上的正则Borel测度μ。(ii) M：V（）M（X）和M：V（X）C+（X）是锥的同构和关于各自的序同构随机订单 凸子集V≤1（X）映射到C上（十）∗≤1且M≤1（X），且V1（X）映射到C1（X），M1（X）。(iii) 关于随机序和最弱拓扑，凸集V≤1（X）和V1（X）是紧序空间.(iv) 紧序空间X是拓扑和序嵌入在V1（X）是通过将每个x∈X映射到点赋值δx而得到的.(v) 紧序空间V≤1（X）和V1（X）的开上集的集合与最弱拓扑一致，使得映射μ<$→μ（U）对所有开上集U <$X都是下连续的。证据（1）在引理5.3中，我们已经看到，有界连续赋值G上的μ定义唯一的正线性泛函μ，使得μ（f）=fdμ在第一个参数中的µfd（见引理3.1），可以得出：238K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-†∫ ∫∫≺对于每个f∈C+（X）. 根据第5.2节中的RieszRepresnation，因此，μ是唯一的正则Borel测度，µ fd=χUdμ=μ（U）。（这里我们使用了f→）Fd和f→唯一的正则Borel测度μ使得对所有f ∈ C（X）有μμ（f）= fdμ。∫∫f∈ C+（X）. 对于开上集U，特征函数χU是下连续的。 根据引理1.1，χU是有向函数族fi∈C+（X）的逐点上超。Henceµ（U）=χUdµ=supifidµ=supifidµ=有向族的上确界（见2.1和3.1）。 这表明（1）。(2) 当n=nn nM，且n n是由5.2构成的双射时，我们得出n n是满射的结论。由于是5.3的阶嵌入，因此是单射的，我们得出结论也是双射的。当M=−1时，它也是双射的。(3) 从命题4.1中得出（2）。（4）从4.2得出，并且(5)由Lemma3.2推出。Q前面定理的不同部分已经在前面证明部分(1) 是因为劳森[12]。对于Lawson紧域，Jung和Tix [10]证明了概率幂域V≤1（X）和V1（X）也是Lawson紧的. 这是定理的一个特例或部分（3）。M. 阿尔瓦雷斯Manilla [1，2]已经发现，估值的排序与概率测度的随机排序密切相关，正如D.A. Edwards在1978年已经考虑的那样[4]。他证明了，对紧序空间M≤1（X）和M1（X）是紧序空间. 定理的第（5）部分指出，对于稳定紧空间X，概率幂域V≤1（X）和V1（X）也是稳定紧的. 这也由Alvarez Manilla证明[2]。引用[1] M. Alvarez-Manilla，半序空间上连续赋值的测度理论结果，学位论文，帝国学院，伦敦，2000年。[2] M. Alvarez-Manilla，局部紧清醒空间上赋值的扩展，拓扑及其应用（即将出版）。[3] P. 《概率与测度》，第二版，约翰·威利父子出版社，1986年。[4] D.A.爱德华兹，在存在的概率措施与给定的边缘，年鉴德[5] G. Gierz，K.H. Hofmann，K. Keimel，J.D.劳森，M。Mislove和D.S. Scott. 连续格与Domain，Encyclopedia of Mathematics and its Applications 93，Cambridge University Press，2003，xxxvi+591页。[6] Halmos，测度论，D.范诺斯特兰德公司，1950年。[7] C.琼斯，概率非决定论。博士论文，爱丁堡大学，爱丁堡，1990年。也作为技术报告发表。CST-63-90。所有的µfdµ fd保存K. Keimel / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87（2004）225-239[8] A. Jung，Cartesian Closed Categories of Domains，卷66CWI Tracts。Centrum voorWiskunde en Informatica，Amsterdam，1989，107 pp.[9] A. 荣格，M。Kegelmann和M.A.Moshier，Multi-linguistic微积分和相干空间。《理论计算机科学电子笔记》，1997年6月[10] A. Jung和R. Tix，The Troubleshooting Probabilistic PowerDomain。电子笔记理论计算机科学，13，1998。[11] H. K？nig，MeasureanddIntegration，Spri nger-Ve rlag，1997，xx i + 26 0 pp.[12] J.D. Lawson，Valuations on Continuous Lattices. In：Math. Arbeitspapiere27，Univ.Bremen，1982，Ed. R.- E.何世曼，204[13] J.D. Lawson，Domains，Integration，and Positive Analysis。计算机科学中的数学结构，2003年（即将出版）。[14] L. Nachbin，拓扑和秩序。新泽西州普林斯顿的范-诺斯特兰德一九六五年[15] W. Rudin，Real and Complex Analysis。Mc Graw-Hill Book Comp. 1966，Xi+412 pp.[16] R. 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