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主p-代数的d-滤子的同余与D滤波器性质
∇∇={∈}Journalof the Egyptian Mathematical Society(2016)24,160埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章主p-代数的同余与dAbd El-Mohsen Badawy埃及坦塔坦塔大学理学院数学系接收日期:2014年5月27日;修订日期:2014年10月28日;接受日期:2015年4月25日2015年7月9日在线发布在p -代数中引入了d -滤子的概念。研究了D滤波器的一些性质。证明了p-代数L的所有d-滤子的类Fd(L)是有界完备格.给出了主p-代数的d-滤子的一个刻划.还导出了由d-滤波器建立了主p-代数L的d-滤子与[n,n]中同余的关系2010年数学学科分类: 06A06; 06A20; 06A30; 06D15版权所有2015,埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。1. 介绍伪补的概念是O。Frink[1]和G. Birkho[2]. O。Frink[1],R.Balbes[3]和G.格拉策[4]等。最近,有界伪补分配格的布尔滤波器的概念是由M. Sambasiva Rao和K.P. Shum in[5].A. 巴达维和K. P. Shum[6]引入并刻画了拟模p-代数的同余和布尔滤子也∗ 联系电话:+21 158538877;传真:+20 403302785。电子邮件地址:abdel-mohsen. science.tanta.edu.eg,abdelmohsen.yahoo.com,mohamedmohsen994@yahoo.cm埃及数学学会负责同行评审。A. Badawy和M. Sambasiva Rao[7]研究了分布p-代数的σ-理想. A. Badawy和M. Atallah[8]引入了主p-代数本文进一步研究了p-代数L中的d-滤子,并给出了d-滤子的一些性质.给出了主p-代数L的d-滤子的一个特征定理。我们还注意到p-代数的所有d-滤子的集合Fd(L)构成一个完备格。引入了主p-代数L的d-滤子与[λ,]中同余的关系.我们还证明了布尔代数B(L)和ConB( L)θa:aB( L)是同构的,其中θa是L上由d-滤波器[a)d对闭元a诱导L.证明了布尔代数ConB(L)可以嵌入到Con B(L)的区间[n,]中证明了有限主p-代数L的所有d-滤子的格同构于Con(L)的子格[n,n]制作和主办:ElsevierS1110-256X(15)00037-1 Copyright 2015,Egyptian Mathematical Society.制作和主办:Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.04.003关键词p-代数;主p-代数;滤子;同余主p-代数的同余与d161∨ ∧∧=⇔ ≤∨ ∧∨ ∧={∈ ≥}{} ={}∈={∈=ę∧ę=∧={∈ =}=∇==∈⇔∨ ∧≤ ⇔ ⊆≤≤2. 预赛在这一节中,我们引用一些已知的定义和基本结果,这些结果可以在文献[1,9p-代数是泛代数(L,n,0,1),其中 (L,0,1)是一个有界格,一元运算的定义为x a 0 x a。已知所有p-代数的类都是等式的.拟模p-代数是满足恒等式的p((x <$y)<$z <$$>)<$x =(x <$y)<$(z <$$><$x)。p-代数L的一个元素a称为闭的,如果a是a的子集.则B( L)a L:aa是L的所有闭元的集合。已知(B(L),,,0,1),其中ab(a<$b<$)<$,形成布尔代数。集合D( L)x L:x0xx:L的所有稠密元素的x L是L的一个滤子。对于任意格L,L的所有滤子的集合F(L)或-由集合包含所排序的形成格。已知F(L)是模(分配)格当且仅当L是模(分配)格。设a L和[a)是由a:[a) xL:x a生成的L的主滤波器。p-代数(L;, ,则称为同余关系,如果(1) θ是格同余,即,对所有(x,y),(x1,y1)∈θ蕴含(x<$x1,y<$y1),(x<$x1,y<$y1)∈θ,(2) (x,y)∈ θ蕴涵(x∈,y∈)∈ θ。通过下面的讨论,对于p-代数L,我们将用L上的泛同余来表示.格的上核一个格L上的同余θ定义为Cokerθ={x ∈ L:(x,1)∈ θ}.p-代数L的关系由(x, y)<$ x<$y<$定义,称为Glivenko同余关系。已知Glivenko同余确实是L上的一个同余,使得L/Glivenko B(L)成立。我们经常在计算中使用以下规则:p-代数(参见[10,13]):(1)0=0和1= 1,(2)intsum=0;(3) a≤b意味着b≤a,(4)a≤a≤ 1,(5)a=a,(6)(ab)=ab,(7)(ab)≥ab,(8)(a)(a)(b)(a)(b)(b)(a)(b)(a)(b)(b)(a)(b)(b)(a)(b)(b)(c)(b)(c)(c)(b)(c)(b)(c)(c)(b)(c)(c)(d)(c)(b)(c)(c)(d)(c)(c)(d)(b)(c)(c)((9)(ab)=(ab)=(ab)。Haviar[14]引入了主p-代数类,它包含所有具有最小稠密元的拟模p-代数。定义2.1([14])。一个p-代数(L;,,L,0,1)称为主p-代数,如果它满足以下条件:(i) 过滤器D(L)是主要的,即,存在一个元素d[1]D( L)=[d],(ii) 元素d是分布式的,即,(xy)d=(xd)(y<$d)对所有x,y∈L,(iii) 对任意x∈L,x=x<$$>d(x<$d).在本文中,d表示主p-代数L的最小稠密元,除非另有说明。3. D过滤器的特性在这一节中,我们引入p-代数的d-滤子的概念。导出了p-代数中d-滤子的一些性质。给出了主p-代数的d-滤子的一个特征定理定义3.1. 对于p -代数L的任意滤子F,定义F的扩张为集合Fd= {x∈L:x∈ F≥f,对于某些f∈F}下面的两个引理表示集合Fd的一些基本性质。引理3.2. 集合Fd是包含F的p-代数L的一个滤子。证据 显然1 ∈ F d。设x,y∈Fd.则对F的某个f,g,x∈ f≥f,y∈ g≥g.因此(xy)=xy≥fg。当f∈F时,x∈f∈Fd.设z∈L使得z≥x∈Fd.则对某个f∈F,z≥x≥f.因此z∈Fd。因此,Fd是L的一个滤波器。由于对任意x∈F,x <$$> ≥x,我们有x∈Fd和F<$Fd。Q引理3.3. 对于p-代数L的任意两个滤子F,G,我们有:(1) FG蕴涵FdGd,(2) (F<$ G)d= Fd<$ Gd,(3) (Fd)d= Fd。证据(1) 假设F.设x∈Fd.那么,对于某个f,∈F. 当f∈G时,x∈Gd成立.(2) 显然(FG)d<$Fd<$Gd。反之,设x∈Fd<$Gd. 则对某个f,g∈F,x≥f且x≥g.因此,x≥f≤g。得到x∈(F<$G)d,其中f<$g∈F<$G.因此Fd<$Gd<$(F<$G)d。(3) 由上述(1),Fd(Fd)d。反之,设x∈(Fd)d.则对f∈Fd,x∈ f≥f.由于f∈Fd,对某些f1∈F,我们有f∈ f≥f1.因此x≥f≥f1。则x∈Fd为f1∈F.Q现在我们在p-代数中引入d-滤子的概念定义3.4. p-代数L的一个滤子F称为如果满足条件,则F=Fd。从引理3.3(2)中,我们可以观察到p-代数的两个d-滤器的交集也是一个d-滤器。但是,一般来说,两个D-滤波器的上确界不一定是D-滤波器。然而,在下文中,我们得到了L的所有d-滤器的类Fd(L),这是一个有界格。定理3.5. 对任意p-代数L,类Fd(L)自身构成一个完备格.证据 对于任意两个D-滤波器F,G的L,定义排序在Fd(L)上,使得F G F G。显然,(Fd(L),)是一个偏序集。现在,考虑以下情况:FG=(FG)d和FG=(FG)d。162A. Badawy==-∈=∩=∈∨ ≥ ∈ ∨ ∈⇒ ∈⊆∈ ≥ ∈∈∈==∈∈ =∈∈∈=∈ ∨ ≥ ∧ ∈ ⊆ ∈ ⊆⊆⊆∨∩∈=∈⊆=={∈ ∈}= ∈ ==∈∧=∈=={∈}=∨ ∧====根据引理3.3(2),(F g)d是F和G在Fd(L)中的最小值。显然(FG)d是F和G在Fd(L)中的上界.设K是L的一个D-滤波器,使得F K和GK.让X(F)G)d.然后xF g为fF K和XGK.因此xKDK.因此,(F G)d是两者的上确界H和G在Fd(L)中。则(Fd(L),[d),L)是有界格,其中[1]d [d)和Ld[0]dL分别是Fd(L)的最小和最大成员通过推广性质F<$G=(F<$G)d和F<$G=(F<$G)d,(Fd(L),n,[d),L)是完备的.Q在下面的定理中,我们刻画了主p-代数的d定理3.6. 设F是具有最小稠密元d的主p-代数L的滤子。则以下条件是等价的:(1) F是一个D-过滤器,(2) x∈F蕴涵x∈F,(3) 对x, y∈L, x ∈F,x∈ L=y∈ L,x∈F蕴涵y∈F,(4) d∈ F。证据(1) (2)设F是L的一个D-滤波器。设x∈F.由于(x<$d)<$$>=1∈F ( 当 x<$d∈D ( L ) ) , 我 们 有x<$d∈Fd=F。则xd∈F.根据定义2.1(iii),我们得到.(2)(3):假设条件(2)。设x,yL,xy和xF.然后,yxF。因此,通过条件(2),我们得到yF。(3)(4):假设条件(3)。由于d01π,我们通过(3)得到d F。(4)(1):假设dF.我们总是有F F d.相反,让XF d. 然后xf对于一些fF. 因此,xF.由于x d d F,我们得到x d F。因此,根据定义2.1(iii),x x(xd)、F和F dF. 故F是L的一个滤子。Q4. 主p-代数在这一节中,我们研究主p-代数的所有d定义4.1. p-代数L的一个同余θ称为闭同余,如果对所有x∈L,(x,x)∈θ.我们首先提出以下主张。4.2号提案设L是一个主p-代数L,其小-所以θd是L上的一个同余。根据定义2.1(iii),我们有xd = x(x d)d = x d。然后我们推出(x,x)∈θd。现在Cokerθd={x∈L:(x,1)∈θd}= {x∈L:x<$d=1<$d=d)}= {x∈L:x≥d)}=[d]。(2)已知t(L/θ d, 、,[0]θd,[1]θd)是有界格,其中L/θd[x] θd:x L,[x] θd[y] θd[xy] θd和[x] θd[y] θd[xy] θd.由式(1),θd是一个闭同余。因此,对于每个x L,[x]θd[x]θd。这就立即推断出L/θ d是分布的。由于xx<$0和(x x<$,1)θd(as(x x<$)d d1d对于所有xL),我们得到[x] θd[x]θd[xxθd[0] θd和[x] θd[x <$] θd[xx θd[1]分别为θd 由此可知,同余类[x∈] θd是[x]θ d在L/θ d 中的补. L/θ d是一个布尔格。 Q引理4.3. 设θ是主p-代数L上的一个闭同余,其中d是最小稠密元.则Cokerθ是L的一个滤子。证据 Coker θXL:(x,1)θ是L的过滤器。由于θ是一个闭同余,我们得到(d,1)(d, d)θ。因此d是Cokerθ。根据定理3.6(4),Cokerθ是L.Q从命题4.2(1)和引理4.3,我们得到以下推论推论4.4。[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][12][14][15][16][17][18][19][10][11][10][19][10][11]对于主p-代数L的D-滤波器F,定义一个关系L上的θF如下:(x,y)∈ θF惠x<$$> a = y<$$><$$> a,其中a ∈ F <$B(L).现在我们对L的一个D-滤波器建立下列定理。定理4.5. 设F是具有最小稠密元d的主p-代数L的d-滤子. 那么以下陈述成立:(1) θF是L上的一个同余,使得(2) θF是L上的闭同余,Est稠密元素d.定义关系θd(x, y)∈θd当且仅当x<$d=y<$d那么我们有以下:在L上,使得(3) 焦化器θFF,(4) [001 pdf 1st-31 files]当F与[1]相同时,θ[1]和θ[0(5) L/θF是一个布尔格。证据(1) θd是L上的一个闭同余,Cokerθd[d],(2) 集合L/θ d是布尔格证据(1)很明显,θd是L上的格同余.设(x,y)(1) 显然,θF是L上的等价关系。现在我们证明θF是L上的格同余。设(x,y),(c,d)∈θF.则对a,b∈Fa,cb.现在我们有以下等式。(x c)( a b)= xca b∈θd。则xd=yd。因此x=xd=(xd)=(yd)=yd=yasdd= 1.它遵循=y德·萨奇 拉吉卜即x=y。因此xd=yd且(x,y)∈θd。=(yd)(ab)XF主p-代数的同余与d163∧ ∧∈=∈=∈∨ ∨ ∈ ∧ ∈ ∩=∈ ∩ ∈⊆==∈===∈==联系我们⊆={∈}则(xc,yd)θF。现在,通过B(L)的分配性,我们有(x c)(a b)=(xc)( a b)=(xc)(a b)=(xc)(a b)=(xa b)( c ab)=( ya b)( da b)=(yd)(a b)=(y d)(a b)则(x c,y d)、 θF作为 B F B(L)。现在我们证明θF保持了运算θ F。设(x,y)θF.然后对于a F B(L),xaya现在,通过B(L)的分布,我们有以下隐含集合选项。x a=ya(xa)a=(ya) a(x=(ya)(aa)x(x(xx<$(x<$,y<$)∈θF直接证明了θF是L上的一个同余。设(x,y)- 是的那就xy。因此,对于某个a F B(L),xaya因此(x,y)θF和θF。(2) 因为xax a对于某个aF B(L),(x)所以F是闭同余。(3) 已知CokerθF[1]θF.设x CokerθF.然后我们得到以下含义:=[(x]θF=[x(yz)]θF=[x(yz)]θF=[(xy)(xz)]θF=[(x(x]θF=[((x]θF=[(x<$y)<$(x<$z)]θF=[x<$y]θF<$[x<$z]θF=([x]θF<$[y]θF)<$([x]θF<$[z]θF)这表明L/θF是一个分布。 显然,[0] θF和[1] θFF是L /θ F的零和单位元。 证明了L/θF是有界分配格. 现在我们继续证明,每个[x] θ FL/θF有一个补数。由于x x<$0,[x]θF[x <$] θF[xx <$] θF[0] θF。由于F是一个d-滤波器,x xF.因此,我们有[x]θF[x<$]θF [x x <$]θF。从而证明了L/θF是一个布尔代数。Q现在,设F=[a)d,其中a∈B(L).则a∈F<$B(L).为了简洁起见,我们写θa而不是θ[a)d。在下面的推论中,我们给出了主p-代数的一些同余性质.推论4.6。 设L是主p-代数。那么以下陈述成立:(1)(x, y)∈θa惠xa=ya,(2) Cokerθa=[a]d和Kerθa=(a],(3) θ1= θ 1,θ0 = θ2。证据(1) 设(x,y)∈θa. 然后x∈CokerθFn(x,1)∈θF对于某个a∈F<$B( L),<$x<$$><$a=1<$$><$a(x, y)∈θa<$x<$$><$b=y<$$><$$>b对于某些b∈[a]<$B( L)x当b = b时,x a = y a≥ a。xx∗∗反之,设xa=ya。则(x,y)∈θa[a]B(L)。作为∈阿克斯∈F(2) 根据定理4.5(3),我们有Cokerθa=[a)d。 现在我们当F是L的一个d-滤波器时,然后是CokerθF<$F。反之,设y∈F。然后y∈Fyy =y=1y当y <$$> ∈F <$B( L)时,<$(y,1)∈θFCokerθF则F CokerθF。(4) 由于[1]B( L) 1和[0]B( L)B( L),我们推导出以下等式:θ[1]={(x, y)∈L×L:x1=y 1}={(x, y)∈L×L:x=y}=0,θ[0]={(x, y)∈L×L:x0=y 0}={(x, y)∈L×L:x, y∈L}=0。(5) 由(2)我们有,L/θF= {[x]θF:x∈L} ={[x]θF:x∈L}。 设[x]θF,[y]θF,[z]θF∈L/θF. 然后[x]θF<$([y]θF<$[z]θF)=[x<$(y<$z)]θF证明(2)中的第二个等式如下:Kerθa= {x∈L:(x,0)∈θa}={x∈L:xa=0a}={x∈L:xa=0} as 0= 0={x∈L:x≤x≤a}=(a)。(3)利用定理4.5(4),我们得到θ1=θ[d]d=θ1,θ0=θ[0)d =θL= θQ结合引理4.3和定理4.5(1),(3),我们建立了L的D滤波器的如下特征定理.定理4.7. 主p-代数L的滤子F是同余θ∈ [n,n]的上核当且仅当F是d-滤子.考虑ConB(L)θa:aB( L),我们发现ConB(L)在集合包含下是偏序集.现在我们研究集合ConB(L)中元素的性质。定理4.8. 设L是主p-代数。那么对于每一个a,b164A. Badawy∈B(L),下面的陈述在ConB(L)中成立:主p-代数的同余与d165∇≤⊆=→==∇(1) 一b当且仅当θbθa,(2) 集合Con B(L)本身就是一个布尔代数。此外,ConB(L)n=B(L),(3) θa<$θb=θa<$b和θa<$θb=θa<$b,(4) θa<$θa<$=θ,θa<$θa<$= θ。证据(1) 设a≤b,(x,y)∈θb.则xb=yb。因此xba=yba。这导致 xa=ya 。 故 ( x , y ) ∈θa 且 θb<$θa 。 反 之 , 设θb<$θa。然后我们有(b,1)∈θb<$θa。这意味着b=1,a.因此a≤b。(2) 定义映射W:B(L)→ConB(L)如下:对于所有a∈ B(L),W(a)= θ a.由上述(1)可知,W是B(L)与Con B(L)的序反同构.这直接意味着ConB(L)是一个布尔代数。现在如果我们定义映射f:B(L)ConB(L)为f( a)θa≠0,则f是布尔代数B(L)与ConB(L)之间的同构。(3) 由于通过上面的(2)W是反同构,我们有W(a b)W(a)W(b)和W(a b)W(a)W(b),其中和是Con B(L)上的连接和相遇运算。现在θa<$θb=W(a)<$W(b)=W(a<$b)=θa<$b和θa<$θb= W(a)<$W(b)= W(a <$b)= θa<$b。(4) 从上面的(3)我们有θa<$θa<$=θa <$a<$= θ1=<$,θa<$θa<$=θa<$a<$= θ0= θ。因此ConB( L)=(ConB( L),θa,θa,θa是ConB(L)中θa的补数,θ a是Con B(L)的最小和最大元素,分别 Q在下面的推论中,得到了Con(L)的子格[M,]与L的所有d-滤子的格Fd(L)之间的同构推论4.9。 设L是有限主p-代数。然后[,]F= Fd(L)。证据由于L是有限的,F d(L)的元素是主滤波器,因此ConB(L)=[k,k]。根据上述定理4.8,我们推导出Fd(L)=[λ,λ].Q致谢在此,作者感谢各位审稿人对本文提出的宝贵引用[1] O. Frink,半格中的伪补,Duke Math.J.29(1962)505-514。[2] G.李文,《格理论》,北京:中国数学出版社,北京,1996.[3] R. Balbes,A. Horn,Stone lattices,Duke Math.J.37(1970)537- 543.[4] G. Grätzer , A generalization on Stone's representations theoremfor Boolean algebras,Duke Math. J. 30(1963)469[5] M.S. Rao,K.P.Shum,分配格的布尔滤波器,Int。J. Math.Soft Comput. 3(2013)41[6] A.沈庆平,拟模p -代数的同余和布尔滤子,讨论。Math. Gen.Algebra Appl.34(2014)109-123.[7] A. Badawy , M.S. Rao,分配 p -代数的 σ -理想, Cham. J.Math.6(2014)17[8] A. Badawy,M.张文,张文辉,等.主p -代数的Bollean滤波器.计算数学杂志. 26(1)(2015)15[9] R. Balbes , P. Dwinger , Distributive Lattices , Univ. Miss.Press,1975.[10] G. 格理论,第一概念和分配格,W.H.弗里曼公司,圣弗朗西斯科1971年[11] G.格点理论,北京:清华大学出版社,1998。[12] T.卡特里因 瓦 克 山口 Mede rly , P-alg ebras的构造, AlgebraUni-versalis 4(1983)288-316.[13] P.V. Venkatanarasimhan , 半 格 中 的 理 想 , J. Indian 。 Soc.(N.S.)30(1966)47-53。[14] M.张文龙,等.主p-代数的构造与完备性.北京:高等数学出版社,1995(4).
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