FPGA作为反馈控制的鲁棒控制算法的设计与实现

可在www.sciencedirect.com上在线ScienceDirect电气系统与信息技术学报2（2015）328FPGA作为反馈控制Ján Zánek， MichalK ocúr，S.f anK ozák斯洛伐克布拉迪斯拉发理工大学电气工程与信息技术学院，斯洛伐克布拉迪斯拉发Ilkovic ova3，84104Bratislava12015年12月2日在线发布摘要提出了一种基于反射向量法的鲁棒控制算法。这种控制器的设计方法是保证稳定性，鲁棒性和高性能。该方法成功地测试了稳定，不稳定和强振荡过程和系统的参数模型的不确定性。所提出的算法可以有效地实现使用现场可编程门阵列（FPGA）结构，因为它是在案例研究中所示-采用FPGA技术对直流电机进行硬件实现。所有的仿真和联合仿真都是在MATLAB-Simulink中实现的。© 2015作者。Elsevier B.V.代表电子研究所（ERI）制作和主持。这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词：鲁棒控制;鲁棒稳定性;参数不确定性;二次规划;反射向量; FPGA1. 介绍在过去的十年中，鲁棒控制基本原理的发展和新的鲁棒控制方法的发展，不同的模型不确定性类型是可见的。基于理论假设、建模和仿真方法，设计了一种有效的方法来控制具有强不确定性的过程。这样的不确定性是典型的生物技术过程，化工厂，汽车工业，航空等，对于这样的过程中，有必要设计强大的和实用的算法，确保高性能和鲁棒稳定性，使用建议的数学技术方面的参数和未建模的不确定性。解决这些问题是可能的，使用强大的预测方法和鲁棒控制用于保证参数变化时对象的稳定性鲁棒控制器设计包括两个步骤：*通讯作者。电子邮件地址：jan.ciganek@stuba.sk（J。米哈尔。k ocur@stuba.sk（M. K ocúr），ste f an. k ozak@stuba.sk（S）。Kozák）。1http://www.fei.stuba.sk。电子研究所（ERI）负责同行评审http://dx.doi.org/10.1016/j.jesit.2015.11.0042314-7172/© 2015作者。制作和主办：Elsevier B.V.电子研究所（ERI）这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。J. Kazánek等人/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）328329z−−μ• 分析参数变化及其对闭环稳定性的影响• 鲁棒控制综合使用数字技术实现控制系统有两种方法第一种方法是基于软件，这意味着存储器-处理器交互。存储器保存应用程序，而处理器获取、解码和执行程序指令。可编程逻辑控制器（PLC）、微控制器、微处理器、数字信号处理器（DSP）和通用计算机是用于软件实现的工具另一方面，第二种方法基于硬件。早期的硬件实现是通过在旧工业自动化系统中广泛使用的磁继电器实现的然后，通过数字逻辑门和中等规模集成（MSI）元件实现当系统尺寸和复杂性增加时，使用专用集成电路（ASIC）。ASIC必须在生产线上制造，这个过程需要几个月的时间，然后才能使用甚至测试（Kozák，2002; Kocúr，2013）。 FPGA是可配置的IC，用于实现逻辑功能。今 天 它 们 确 保 了设计的简 易 性 、 更 低 的开 发 成 本 、 更 多 的产 品 收 入 和 加 快 产 品 上 市 的 机 会（Viswanathan，2005）。与此同时，它们优于基于软件的控制器，因为它们更紧凑，更节能，同时增加了高速功能。2. 问题公式化让我们考虑标量离散时间控制回路的鲁棒控制综合。原连续时间系统的传递函数用传递函数来B<$（s）−Dsb<$msm+b<$m−1sm−1+···+b<$0−DsGP（s）=A<$（s）e=a<$nsn+a<$ n−1esn−1+···+a<$0（一）（1）的传递函数可以转换成其离散时间对应物GP（z−1）=b0+b1z−1+···+bn z−n−d1+a1z−1+···+an z−n（二）对于（2），离散时间控制器被设计成形式q0+q1z−1+···+q< $z−<$Q（z）U（z）GR（z）=1+p1z−1+· · ·+p z−μ=P（z）=E（z）（3）相应的闭环特性方程为：1+GP（z−1）GR（z−1）=0（4）将（3）和（2）代入（4），经过简单处理后，得到特征方程1+GP GR=（1+p1z−1+···+pμ z−μ）（1+a1z−1+···+anz−n）+（q0+q1z−1+···+q <$z −n）（b1z−1+···+bn z−n）z−d=0（5）离散控制器的未知系数可以使用各种方法来设计。本文采用了一种基于反射向量的鲁棒控制器设计方法。极点配置问题如下：找到控制器GR（z），使得C（z）=e（z），其中e（z）是给定的k次（目标）多项式。已知（Keel和Bhattachayya，1999），当μ=n 1时，只要被控对象没有公共的极点-零点对，上述问题对于任意的e（z）都一般来说，对于μn1，精确达到期望的目标多项式e（z）是不可能的。让我们放松精确地获得目标多项式e（z）的要求，并将目标区域扩大到包含表示期望的闭环特征多项式的点e的多项式空间中的多面体V在没有任何限制的情况下，我们可以假设an=p0= 1并处理一元多项式C（z），即，α= 1。330J. Kazánek等人/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）328×Σ××=Gx=最小值Gx−e−Σ让我们引入稳定性度量为ρ=cT c，其中c=S−1C（6）并且S是表示目标多面体V的顶点的维度为（n+μ+1）（n+μ+ 1）的矩阵。对于monic多项式，K+1ci=1（7）i=1其中k=n+μ。如果所有系数都是正的，即， c i> 0，i = 1，. . . ，k+1，则点C被放置在多面体内V.最小ρ是达到，如果1c1=c2=···=ck+1=k+1（8）然后点C被放置在多面体V的中心。在矩阵形式中，我们有C=Gx（9）其中，G是具有维度（n + μ + d +1）（μ + d+2）的被控对象的Sylvester矩阵（Kozánek和Kozák，2010），并且x是控制器参数的（μ + d +2）-向量：x=[p μ，. . . ，p1，1，q n，. . . ，q0]T.现在，我们可以公式化以下控制设计问题：找到一个离散控制器，其中放置闭环特征多项式C（z）：a) 在一个稳定的目标多面体V中，C（z）∈V（以保证稳定性），b) 尽可能接近目标多项式e（z），e（z）∈V（以保证性能）。设多胞形V表示由系数向量vj组成的（k +1） N矩阵，j = 1，. . . ，N对应于多面体V的顶点（Nurges，2006）。然后，我们可以将上述控制器设计问题公式化为优化任务：找到使成本函数最小化的xJ1minxT GTXGx2eT2X（十）受线性约束Gx=Vw（x），（11）wj（x）> 0，j=1，.，N，（12）w j（x）= 1。（十三）J这里，w（x）是获得点C=Gx的多面体V顶点的权重的向量。后两个约束（12）和（13）的满足保证了点C确实位于多面体V内。然后，找到鲁棒极点配置控制器系数表示可以使用具有约束条件的MatlabOPTIM（quadprog）来解决的优化问题J. Kazánek等人/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）328331通常J1是到目标多面体V的中心的一种距离。最好使用另一个标准J2，它测量到Schur多项式E（z）的距离：J2=（C-E）T（C-E）=（Gx-E）T（Gx-E）.（十四）可以使用J1和J2J=（1−α）J1+αJ2， 0≤α≤ 1（15）332J. Kazánek等人/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）328X×−⎡Σn1n1Ri并解决以下二次规划任务：J=min{xT GT [（1−α）（SST）−1+αIK+1] Gx− 2 αE TGx}，S−1Gx <0。（十六）假设离散鲁棒控制器的设计任务与参数不确定性的系统描述。让我们还假设离散时间系统传递函数的系数a n，. . . ，a1和b n，. . . ，b1被放置在多胞形W中，其中顶点dj=[aj，. . .aj，bj，. . 、.、bj]：W=conv{d}， j=1，...，中文（简体）由于（9）在系统参数中是线性的，因此可以声明，对于控制器系数x的任意向量，是放置在顶点为a1，.的多面体A中的特征多项式系数C（z）的向量。. . ，aM：A=conv{a，j，j= 1，...，中文（简体）其中a j= D j x，D j是维度为（n + μ + d +1）（μ + d +2）的西尔维斯特矩阵，由顶点集d j组成，如精确模型（9）的情况。2.1. 基于反射系数的稳定区域计算多项式通常由其系数或根来指定。它们也可以通过使用Schur-Cohn递归的反射系数来表征设Ck（z−1）是一个k次单多项式，其实系数ci ∈ R，i = 0，... . . ，kC（z−1）=1+c1z−1+···+ck z−k（19）多项式Ck（z−1）的倒数多项式C k（z − 1）在Diaz-Barrero和Egozcue（2004）中定义如下：Ck（z−1）=ck+ck−1z−1+···+c1z−k+1+z−k（20）反射系数ri，i = 1，. . . ，k，可以从多项式Ck（z−1）使用向后Levinson递归获得（Picinbono和Bendir，1986）−1（z −1）=1[C（z−1）−rC（z−1）]（21）2我我我z Ci−11−。里岛其中ri= −ci，ci是Ci（z−1）的最后一个系数。从（21）中，我们可以直接得到：C i（z−1）=z−1C i−1（z−1）+r i Ci<$1（z−1）。（二十二）多项式系数Ci−1（z−1）和Ci（z−1）的表达式可由等式（22）和（23）：Ci−1（z−1）=1i−1.二、⎣（ci，j+1−rici，i−j−1）z−j（23）我1−j=0J. Kazánek等人/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）328333ΣCi（z−1）= （ci−1，j−1+ rici−1，i−j−1）z−j.（二十四）j=0反射系数ri也被称为Schur-Szegö参数（Diaz-Barrero和Egozcue，2004）、偏相关系数（Kay，1988）或k参数（Oppenheim和Schaffer，1989）。 提出的形式和结构被有效地用于信号处理（Oppenheim和Schaffer，1989）和系统识别（Kay，1988）的许多应用中。在（Diaz-Barrero和Egozcue，2004）中给出了使用其反射系数而不是多项式的根（零）的多项式的完整表征和分类。使用反射系数的主要优点是从反射到多项式系数的转换非常简单。实际上，根据（22）和（24），多项式系数ci多线性地依赖于反射系数ri。如果系数ci∈R是实数，则反射系数ri∈R也是实数。334J. Kazánek等人/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）328K我±}{∈ −我=±=|= −===|=-从反射系数ri，i = 1，. . . ，k，到多项式系数c i，i = 1，. . . ，k，如下Ci=（）下一页ci，c（i）= −ri，c（i）=c（i−1）−ric（i−1）（二十五）j j i−ji= 1，. . 、.、k; j= 1，. . 、.、 i − 1引理1. 一个线性离散动态系统是稳定的，如果它的特征多项式是Schur稳定的，即，如果它的所有极点都在单位圆内反射系数方面的稳定性标准如下（Diaz-Barrero和Egozcue，2004年）。引理2.多项式C（z−1）的所有根都在单位圆盘内，当且仅当|R i|1<，i = 1，. . . ，k.一个多项式C（z−1）位于稳定边界上，如果某个r i= 1，i = 1，.. . . ，k. 对于一元Schur多项式，C =[ck，. . . ，c1] T和r =[r1，. . . ，rk]T.反射系数空间中的稳定区域简单地是k维单位超立方体R= Ri（ 1、1）， i = 1，. . . ，k.多项式系数空间中的稳定区域可以从超立方体R开始找到（Nurges，2005）。2.2. 反射向量它将表明，对于一个家庭的多项式的线性覆盖的所谓的反射向量是舒尔稳定的。定义1. Schur稳定一元多项式C（z−1）的反射向量定义为改变多项式C（z−1）的单个反射系数ri所让我们将C（z−1）的反射向量表示为v+i（C）（Cri1），i1，. . 、.、k，以及C（z−1）的n个gative反射向量为v−i（C）（Cri1），i1，. . 、.、K.以下说法成立：1. 每一个多项式都有2 k个反射向量v+i（C）和v−i（C），i1，. . 、.、k、2. 所有反射矢量都落在稳定边界上（rv1）;3. 反射向量v+i（C）和v−i（C）之间的线段是舒尔稳定的。在下面的定理中，定义了一族稳定多项式，使得由这些多项式的反射向量生成的多面体是稳定的（Nurges，2006）。定理1. 考虑rC∈（−1，1），rC∈（−1，1）且rC=· · ·=rC=0。那么多面体的内点1 k2k−1V（C）由点C的反射向量生成V（C）=conv{v±i（C），i=1，. . 、.、k}（26）舒尔稳定。2.3. 鲁棒控制器设计鲁棒控制器的设计使得闭环特征多项式被放置在反射向量的稳定多面体（线性覆盖）这意味着必须解决以下问题J. Kazánek等人/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）328335- -- -1. 选择初始多项式C（z-1）以生成多面体V（C），2. 选择V（C）的k+1个最合适的顶点来构建目标单纯形S，3. 目标多项式E（z−1）的选择。在下面的部分中，为了选择目标单形S的k + 1个顶点，我们使用了众所周知的事实，即具有正实部的极点比具有n个零实部的极点更受欢迎（Ac k ermann，1993）。选择具有i奇数的n个反射向量v+i（C）和具有i even的n个反射向量v−i（C），产生k个顶点。选择目标向量xS的第（k+1）个向量x作为剩余反射向量的平均值。k阶的目标多项式E（z-1）在反射向量V（C）. 一个常见的选择是E（z−1）=C（z−1）。对于高阶多项式，目标单形S的大小远小于多面体的体积反射矢量V。这就是为什么只有当不确定性足够小时，具有预选目标单纯形S的上述二次规划方法才起作用。否则，使用某种搜索过程来找到鲁棒控制器使得闭环特征多项式的多面体被放置在反射向量V（C）的稳定多面体内是合理的。3. 控制算法控制器的数字形式可从（3）获得。控制算法的递归形式由以下等式表示：u（k）=q1e（k−1）+q2e（k−2）−p1u（k−1）−p2u（k−2）（27）为了实现FPGA的控制算法（27），需要将等式分解为简单的算术运算：e（k）=w（k）−y（k）q1e−1=q1<$e（k−1）q2e−2=q2<$e（k−2）p1u−1=p1<$u（k−1）p2u−2=p2<$u（k−2）s1=q1e−1+q2e−2s2=p1u−1+p2u−2s3=s1−s2控制输出u必须在umin到umax的范围内。umax→if（s3> umax）u（k）=s3→if（umin≤s3≤umax）umin→if（s3

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