33+1Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，416埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate伪伽利略空间类空和类时容许Smarandache曲线M. Khalifa Saada，b，a数学。部门，沙特阿拉伯麦地那伊斯兰大学理学院b数学。部门，Sohag University，82524 Sohag，Egypt接收日期：2015年3月9日;修订日期：2015年9月2日;接受日期：2015年9月7日2015年10月9日在线发布本文研究了伪伽利略空间G1中的空间和类时可容许Smarandache曲线.此外，我们还得到了空间位置向量的Smarandache曲线和任意类时曲线及其一些特殊曲线。最后，我们支付和说明一些例子来确认我们的主要结果。MSC：53A35; 53B30版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍近年来，研究者们开始分别研究伽利略空间和伪伽利略空间G3和G1中的曲线在空间曲线的基础理论和特征研究中，曲线之间的对应关系是一个非常有趣和重要的问题。联系人：数学系，科学学院，Sohag大学，82524 Sohag，埃及。联系电话：201007620614。电子邮件地址：mohamed_khalifa77@science.sohag.edu.eg同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier已知Smarandache几何是至少有一个Smarandache否定公理的几何[1]。一个公理是如果它在同一空间内以至少两种不同的方式表现，则被称为Smarandache否认。斯马兰达奇几何与相对论和平行宇宙有关。Smarandasche曲线是Smarandasche几何的对象.根据定义，如果曲线的位置向量δ由另一条曲线β的Frenet标架向量构成Smaran-dache曲线已经被一些微分计研究过（例如，见[2Turgut和Yilmaz定义了这种曲线的一种特殊情况，称之为E4空间中的SmarandacheTB2曲线[2]。他们研究了由切线和第二副法线向量场定义的特殊Smarandache曲线。在[3]中，作者在欧氏空间中引入了一些特殊的Smaran-dache曲线.他研究了Frenet-Serret不变量的一个特殊情况。 最近，Abdel-Aziz和Khal-ifa Saad研究了一些特殊S1110-256X（15）00070-X Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.09.001关键词伪伽利略空间;Smarandache曲线;容许曲线; Frenet标架伪伽利略空间中的类空和类时容许Smarandache曲线417..vvv1 233333=-stec/=±stecstec/=stec==33333==3=+= −==+= −3κ（s）=|y<$（s）−z<$（s）|， τ（s）=y<$（s）z（s）−（s）z<$（s），（2.3）232e=γ3==-（u，v）1=.你好，Galilean三维空间中的曲线，并介绍了一些重要结果[4]。在计算机辅助设计和计算机图形学领域，螺旋线可用于刀具轨迹描述、运动学运动模拟或公路设计等[5]。一般螺旋线的主要特点是切线与一条固定的直线成一个恒定的角度，这条直线称为一般螺旋线的轴线。由Lancret在1802年提出并由de Saint Venant在1845年首次证明的一个经典结果是：曲线是一般螺旋线的一个必要和充分条件是ratio（κ/τ）沿曲线ve是常数，其中κ和τ分别表示曲率和挠率。此外，螺旋线也被称为圆形螺旋线或W曲线，这是一般螺旋线的特殊情况[6]。Salkowski（resp.欧氏空间叉积由下式给出：0 −j ku×G1v=. u1u2u3. 、其中j（0， 1， 0）和k（0， 0， 1）分别是单位类空和类时向量让我们回忆一下关于G1中曲线的基本事实一条曲线γ（s）（ x（ s）， y（ s）， z（ s））称为容许曲线，如果它没有交点（γ γ0），也没有在绝对平面上投影为类光向量（yz）的各向同性切线（x0）或法线。G1中的容许曲线是欧氏空间中正则曲线的类似物[9].对于容许曲线γ：I<$R→G1，曲率κ（s）和通常被称为具有恒定曲线挠率的曲线vature（resp.扭转），但非恒定扭转（分别为曲率）...，2 2...ylier paper[7].在本文中，我们得到了Smarandache曲线的一个位置，（x分格）2|5· κ 2（s）|5·κ2(s)G1 中 任 意 曲 线 及 其 特 殊 曲 线 （ 螺 旋 线 、 圆 螺 旋 线 、Salkowski 曲线 和Anti-Salkowski 曲线 ） 的矢 量。 换句 话说，根据所考虑曲线在伪伽利略空间G1中的Frenet标架e1，e2和e3，得到了平均Smarandache曲线e1e2，e1e3和e1e2e3据作者以组件表示。因此，对于容许曲线γ：由具有微分形式ds=dx的弧长s参数化的IR→G1由下式给出：γ（x）=（x， y（ x）， z（ x）），（2.4）公式（2.3）采用以下形式在深度上因此，本研究旨在服务于一种需要κ（x）=，|yrr（x）2−zrr（x）2|、yrr（x） zrrr（x）− yrrr（x） zrr（x）2. 基本概念和性质τ（x）=κ2（x）.（二、五）在本节中，让我们首先回顾伪伽利略几何的基本概念[8在不均匀的一个coor-相关的三面体由下式给出：e1=γr（x）=（1，yr（x），zr（x）），为点和向量（点对）标注相似性组G1的H8具有以下形式1个rr2κ（x）（十）1（0，yrr（x），zrr（x）），κ（x）x <$= a + b。X，y<$= c + d。x+ r。cosh θ。y+ r。sinh θz，1e3=κ（x）（0，<$zrr（x），<$yrr（x）），（2.6）z<$= e + f。x+ r。sinh θy+ r。cosh θ。z，（2.1）其中a、b、c、d、e、f、r和θ是实数。特别地，对于br 1，群（2.1）成为伪伽利略空间G1的等距群（自行）的群B6 H8。 运动群使绝对图形保持不变，并定义了这个几何的其他不变量。它具有以下形式x<$= a+ x，y<$= c + d。x+ cosh θ。y+ sinh θ。z，z<$= e + f。x+ sinh θ。y+ cosh θ。z.（二、二）根据伪伽利略空间中的运动群，存在非各向同性向量A（A1，A2，A3）（其中A1f =0）和四种类型的各向同性向量：类空（A1=0，A2−A2>0），类时（A1=0，A2−A2 0）和两种类型<其中<$1或<$1，由标准Det（e1，e2，e3）1、这意味着|=<$（y r r（x）2 − z r r（x）2）。|=‹(yrr(x)2−zrr(x)2).由式（2.4）给出的曲线γ是类时的（分别为：类空的），如果e2（s）是类空的（相应地，类时）向量。主法向量或简单法向量是类空的，如果<$1，类时的，如果<$1。对于切向量场e1、法向量场e2和副法向量场e3的导数，G1中的以下弗伦内公式成立：er1（x）=κ（x） e2（x），er2（x）=τ（x） e3（x），e3r（x）=τ（x）e2（x）.（2.7）从（2.5）和（2.6）中，我们得到以下在伽利略和伪伽利略空间中为真的重要关系式[12-14]：类光矢量（A1=0，A2= ±A3）。 标量积的 G1中的两个向量u（ u1，u2，u3）和v（ v1，v2，v3）定义为：如果u1/=0或v1/=0，则u1v1G3u2v2−u3v3如果u1=0且v1=0一个明确的参数化。他们在一只耳朵里被定义，418M.哈利法·萨阿γrrr（x）= κr（x）e2（x）+ κ（x）τ（x）e3（x）.定义2.1[2]。闵可夫斯基时空中的一条正则曲线，其位置向量是另一条正则曲线上的Frenet标架向量之和，称为Smarandache曲线。伪伽利略空间中的类空和类时容许Smarandache曲线419.¸¸Σ=,3中国==333=-311 2 3E1+E2+E3cosh（T（ s））+κ（s）sinh（T（ s）） dse1 e2 e3=eT（ s）+κ（s）sinh（T（ s）） ds1αMM（）=，−κ（）（（））、 κ（）（（））κrcosh（T（ s））+κ（s）τ（ s）sinh（T（ s））αe e =，−m（（））−1（（）），、11.ΣM根据上面的定义，我们将其适用于伪伽利略空间中的容许曲线，如下所示：定义2.2. 设η = η（s）是G1中一条容许曲线，帧向量场如下获得（e1）r=.1，κ（s）cosh（T（s））ds，κ（s）sinh（T（s））ds，e2，e3}是它的移动Frenet标架。Smarandache曲线e1e2、e1e3和e1e2e3分别定义为：（e2）r=（0， cosh（T（ s））， sinh（T（ s），（e3）r=（0， sinh（T（ s））， cosh（T（ s），（3.6）ηe1 e2e1+e2，e1+e2因此，Smarandache曲线是ηe1e3ηe e ee1+e3，e1+e3=e1+e2+ e3。（2.8）re1e2R1， cosh（T（ s））+κ（s） cosh（T（ s）） d s，κ（s）sinh（T（ s）） ds+ sinh（T（ s））=.1，κ（s）cosh（T（s））ds+sinh（T（s）），，R.1，eτ （s）ds+κ（s）cosh（T（s））ds，（第3.7节）本文利用文献[3]在Galilean 3-空间G3中引入的位置向量，在伪Galilean空间G1中引入了曲率为κ（s）挠率为τ（s）的任意类空曲线和类时曲线的位置向量，并计算了它们的Smaran- dache曲线.我们从G1中的一条任意曲线r（s）开始，它由它的曲率κ（s）和τ（s）给出（为了简化大量的公式，我们将K（s）κ（s）ds和T（s）τ（s）ds），因此我们得到案例3.1. r（s）是类空的：4. G1中几类特殊曲线的Smarandache曲线4.1. 一般螺旋线设α（s）是G1中的一个容许的一般螺旋线，且（τ/κm）为常数. ）.然后我们有案例4.1.1. α（s）是类空的：α（s）=.s，−1cosh（mK（s））ds，1sinh（mK（s））ds，r（s）=.s，−<$K（s）sinh（T（s））ds，<$K（s）cosh（T（s））ds<$。（3.1）M m（4.1）在计算了αr、αrr、αrrr之后，α（s）的移动Frenet向量如下所这条曲线的一阶、二阶和三阶导数分别为：实际上，由（e）=。1，−1cosh（mK（s）），1sinh（mK（s）），rrs。1ssinh T sdss cosh T sds（e2）α=（0，− sinh（mK（ s））， cosh（mK（ s），（e3）α=（0，− cosh（mK（ s））， sinh（mK（ s），（4.2）rrr（s）=（0，−κ（s） sinh（T（ s）），κ（ s） cosh（T（ s），其中，Smarandache曲线由下式给出：rr rr（s）=.0，−κ rsinh（T（s））−κ（s）τ（s）cosh（T（s）），π，（3.2）r的框架向量场如下11 coshmK s m sinhmK s1 2cosh（mK（ s））+m sinh（mK（ s））.∫∫（e1）r=1，−κ（s）sinh（T（ s）） d s，第一节第三节。Σ=、 1，−m [（1+m） cosh（mK（ s））]，m[（1+m）sinh（mK（ s））]（e2）r=（0，− sinh（T（ s）），cosh（T（ s），.1Σ（e3）r=（0，− cosh（T（ s））， sinh（T（ s），（3.3）根据定义（2.2），r的e1e2，e1e3和e1e2e3Smarandache曲线分别写为：αe1e2e3=1，− m[（1 + m）cosh（mK（s））]+ m sinh（mK（s）），.emK（ s）+1sinh（mK（ s））（4.3）==3第一季第三集3. G1中任意曲线的Smarandache曲线.、、κ（s）cosh（T（ s）） ds420M.哈利法·萨阿e1e2cosh（T（ s））+κ（s）cosh（T（ s）） dseτ[s]ds+κ（s）cosh（T（ s）） ds1αMMr=. 1，−κ（s）sinh（T（s））ds−sinh（T（s）），，R.1，−cosh（T（s））−κ（s）sinh（T（s））ds，案例4.1.2. α（s）是类时的：α（s）=.s，1sinh（mK（s））ds，1cosh（mK（s））ds，e1 e3=Rκ（s）cosh（T（ s）） ds+ sinh（T（ s））. 1，−e<$τ[s]ds−<$κ（s）sinh（T（s））ds，<$M m（四、四）如上所述，我们得到以下Frenet向量案例3.2. r（s）是类时的：r（s）=.s，K（s）cosh（T（s））ds，K（s）sinh（T（s））ds，（3.5）（e）=。1，1sinh（mK（s）），1cosh（mK（s）），（e2）α=（0， cosh（mK（ s））， sinh（mK（ s），（e3）α=（0， sinh（mK（ s））， cosh（mK（ s），（4.5）e1 e2 e3=.（3.4）、伪伽利略空间中的类空和类时容许Smarandache曲线4213B第一季第三集MM案例4.3.1. γ（s）是类空的：1（1+m） cosh（MmK（ s））+sinh（mK（ s）），.（4.6）γ（s）=s，−aβBB1 2BB1，−asinh（T（ s）） ds− sinh（T（ s）），（（B（ ）1 2 3βBB3==-α的Smarandache曲线如下所示. 1，1sinh（mK（s））+cosh（mK（s）），n、M4.3. Salkowski曲线αe1e 2=M1cosh（mK（ s））+ sinh（mK（ s））设γ（s）是G1中的一条Salkowski曲线，其中（τ τ（s），κ a常数）α=.1，1（1+m）sinh（mK（s）），1（1+m）cosh（mK（s））sinh，.1，e mK（s）+1sinh（mK（s）），- 是的∫ΣM4.2. 圆螺旋线设β（s）是G1中的一个容许圆螺旋线，其中（τ=a=常数，κ = b =常数）. 然后我们有案例4.2.1. β（s）是类空的：β（s）=.s，a，a。sin h（bs）ds cosh（bs）ds（4.7）从上面进行必要的计算，我们有（e1）=.1，一个 cosh（bs），一个 sinh（bs），（e2）β=（0， sinh（bs），cosh（bs）），如果我们对这个方程进行三次微分，可以得到：γr（s）=.1，−asinh（T（s））ds，acosh（T（s））ds，γrr（s）=（0，−a sinh（T（ s））， a cosh（T（ s），γrrr（s）=（0，−aτ（s） cosh（T（ s））， aτ（s） sinh（T（ s），（4.14）除此之外，γ的切线、主法线和副法线向量的形式如下.∫∫Σ（e1）γ=、 1，−asinh（T（ s）） d s， acosh（T（ s）） ds（e3）β=（0，− cosh（bs），− sinh（bs）），（4.8）考虑到最后的弗伦内矢量，即e1e2，e1e3和e1e2e3，β的Smarandache曲线分别如下（e2）γ=（0，− sinh（T（ s））， cosh（T（ s），（e3）γ=（0，− cosh（T（s）），sinh（T（s）.（4.15）此外，γ的Smarandache曲线是βe e =.1，cosh（bs）+sinh（bs），cosh（bs）+sinh（bs），.¸Σ.（a −b）（a−b）γe1e2=cosh（T（ s））+a cosh（T（ s）） ds，βe1e3=1，bcosh（bs），βe1e2e3一、双曲拐bsinh（bs），. 1coshT s a puzzinhT sds1 3一 cosh（T（ s）） ds+ sinh（T（ s））. . 一个γee=，−（（））−（（））、、、新堡科什BS（a−b）sinhbs（4.9）γe e e=.1，−eT（s）−asinh（T（s））ds，eT（s）案例4.2.2. β（s）是类时的：β（s）=.s，−a。cos h（bs）dssinh（bs）ds（4.10）β的Frenet标架计算如下（e1）=.1，−a sinh（bs），a cosh（bs），（e2）β=（0，− cosh（bs）， sinh（bs）），（e3）β=（0， sinh（bs），− cosh（bs）），（4.11）因此，β的Smarandache曲线分别由下式给出：+acosh（T（s））ds。（4.16）案例4.3.2. γ（s）是类时的：γ（s）=.s，a，a。cosh（T（s））dsasinh（T（ s）） dsds，（4.17）我们对这个方程进行三次微分，得到γr（s）=.1，apascosh（T（s））ds，apascinh（T（s））ds，RR.1γ （s）=（0， cosh（T（ s））， sinh（T（ s），βe1e 2=1，−b（b cosh（bs）+a sinh（bs）），cosh（bs）+sinh（bs），γrrr（s）=（0，a sinh（T（s））τ（s），a cosh（T（s））τ（s））.（4.18）γ的切线向量、主法线向量和副法线向量具有以下形式βe eαe1 e2 e3=sinh （T（ s））DSds，=B -1+），）+的.422M.哈利法·萨阿Bβe1e2e3 =1，−是bs+sinh（bs），=.1，−（a+b）sinh（bs），（a+b）cosh（bs），1.∫∫Σ1 3b b..Σ（e1）γ=1，acosh（T（ s）） ds， asinh（T（ s）） ds，γ（a + b）cosh（bs）+sinh（bs）（4.12）（e3）γ=（0，sinh（T（s）），cosh（T（s）.（4.19）B（e2）=（0， cosh（T（ s）），sinh（T（ s），伪伽利略空间中的类空和类时容许Smarandache曲线4233==--2。3u1，−e−1 2sinh（T（ s））+asinh（T（ s）） ds02案例4.4.1. δ（s）是类空的：δ（s）=.s，−<$K（s）sinh（bs）ds，<$K（s）cosh（bs）ds<$，（4.21）我们得到以下形式的弗伦内向量e1，e2，e35（e1）δ =.1，−<$κ（s）sinh（bs）ds，<$κ（s）cosh（bs）ds<$，（e2）δ=（0，− sinh（bs）， cosh（bs）），（e3）δ=（0，− cosh（bs）， sinh（bs）），（4.22）上述Frenet向量的计算给出如下05δe1e20年=.1，−<$κ（s）sinh（bs）ds−sinh（bs），cosh（bs）+ cosh（bs）ds，5δe1e3=.1，−cosh（bs）−<$κ（s）sinh（bs）ds，x4πκ（s）cosh（bs） ds+ sinh（bs）π，图1G1中的类空一般螺旋α，其中κα=1，τα=u.BS所以γ的Smarandache曲线如下e bs+κ（s）cosh（bs）ds。（4.23）γe e=.1，acosh（T（s））=s+cosh（T（s）），n，γe e=. 1，sinh（T（s））+acosh（T（s））ds，，.∫∫Σ13a.sinh（T（ s）） ds+ cosh（T（ s））∫ ∫δ（s）=s，K（ s）cosh（bs） ds，K（ s）sinh（bs） ds，（4.24）γe1 e2 e3=1，eT（s）+acosh（T（ s）） d s，eT（s）+asinh（T（s））ds.（4.20）对于这条曲线，我们可以得到以下的Frenet矢量4.4. Anti-Salkowski曲线的Smarandache曲线设δ（s）是G1中的Anti-Salkowski曲线，其中（κκ（s），τ为常数. ）（e1）δ=.1，κ（s）cosh（bs）ds，κ（s）sinh（bs）ds，（e2）δ=（0， cosh（bs）， sinh（bs）），（e3）δ=（0， sinh（bs）， cosh（bs）），（4.25）0.00.5x011.01.52.0y2y503y41045108z 2z42 00.00.51.01.5δe1e2e3=κ（s）sinh（bs） d s，案例4.4.2. δ（s）是类时的：424M.哈利法·萨阿Z6420. 0 0。15. 十个25.0x2.0X图2α的e1e2，e1e3和e1e2e3Smarandache曲线。伪伽利略空间中的类空和类时容许Smarandache曲线42533==-436Xδe1e2e3 =.1，ebs+εκ（s）cosh（bs）ds，e bs+κ（s）sinh（bs）ds。（4.26）符号4.1. 从上面的结果来看，没有e2e3Smaran-G1期5条dache曲线。因此，我们有以下主要结果作为定理定理4.1. 设ηη（s）是伽利略系统中的一条容许曲线，z或伪伽利略空间，κ κ（s）和τ τ（s）是它的性质。05个非线性方程。如果{e1，e2，e3}是它的活动Frenet标架，则在G3或G1中不存在该曲线的e2e3Smarandache曲线.0年025X5. 示例实施例5.1. 考虑α（u）是G1 中 的类空一般螺旋线∗ 11参数化图3类时广义螺旋α2在G3中，其中κα=u 和d.1τα=u。Smarandache曲线如下获得α（u）=u，6u（−cosh（ 2 ln（u））+ 2 sinh（ 2 ln（u），1u（2 cosh（2 ln（u））− sinh（2 ln（u）。δe1e2=.1，cosh（bs）+εκ（s）cosh（bs）ds，我们使用α的导数αr，αrr，αrrr来得到α的相关三面体（图1）。①的人。然后，使用（2.5），曲率和挠率如下获得κ（s）sinh（bs） ds+ sinh（bs）1κ=，τ=−2，αuαuδe1e3=.1，nκ（s）cosh（bs）ds+sinh（bs），α的Smarandache曲线（图2）如下：cosh（bs）+pkk（s） sinh（bs）dsn，.11 + 3 u4X电话：0512 -8888888传真：0512-88888888y42αe1e2=1，2 cosh（ 2 ln（u））+ sinh（ 2 ln（u）），4u2，500Y5Y0105z1588Z65z64420.426M.哈利法·萨阿X0 0。15. 十个25.0图4本文给出了α_1的e_1e_2、e_1e_3和e_1e_2e_3Smarandache曲线。20的情况。0的情况。15.十个25.0伪伽利略空间中的类空和类时容许Smarandache曲线4276z4202z101.00.50.02.01.5x3333−→Xαe一、4 u2，2 cosh（2 ln（u））+sinh（2ln（u））6αe1，2 sinh（ 2 ln（u）），2 cosh（ 2 ln（u））6αeα e1， cosh（ 2 ln（u））+2 sinh（ 2 ln（u）），1α22u，9e（4 cosh（ 2u）+ 5 sinh（ 2u）），9E（5 cosh（ 2u）+ 4 sinh（ 2u））50zy052 1012X210X024126岁图5G1中的类空Anti-Salkowski曲线δ，其中κδ=e-uτ δ=-2。α=.1，−1cosh（ 2ln（u）），−1sinh（ 2ln（u）），图7在G 1中的时间线性keAnti-Salkowskicurveδ，其中κδ=e−u并且dτδε=2。利用公式（2.5），可以得到该曲线的曲率函数（图3）：e1e32 21 2.−3+ u3+u4κα=u，τα=u，αe1e2e3 =1，4u2，4 u2。和Smarandache曲线（图）。 4）的απ由下式给出：实施例5.2. 考虑αε（s）是G1 中 的类时一般螺旋线.1 + 3 u411 2α（u）=.u，1u（2cosh（ 2ln（u））−sinh（ 2ln（u），.33Σ1 31u（−cosh（ 2 ln（u））+ 2 sinh（ 2 ln（u），我们使用απ的导数;（απ）r，（απ）rr，（απ）rrr得到απ的关联三面体为：（e）=。1，1sinh（2ln（u）），1cosh（2ln（u）），.31 + 5 u41 2 34u2实施例5.3. 设δ：I G1是由下式参数化的类空Anti-Salkowski曲线（图5）：.1−u（e2）αn=（0， cosh（ 2 ln（u）），sinh（ 2 ln（u），（e3）αn=（0， sinh（ 2 ln（u）），cosh（ 2 ln（u），1−u54z31y2322.01年.51.00.5y 23103z24 51.5 1.0 0.5 0.00.00.51.01.52.02.0x4给出=、=、=.δ（u）=、428M.哈利法·萨阿图6从左到右分别为δ的e1e2、e1e3和e1e2e3Smarandache曲线。伪伽利略空间中的类空和类时容许Smarandache曲线42333.3 uu+−−6，6（ ），−6+ 2−（ ）9E（4 cosh（ 2u）+ 5 sinh（ 2u））+6+.[1]C.张文，张文，张文辉.1.5y2.02.50.00.5X1.01.52.02.0z1.51.02.5z2.00.00.51.0X1.52.00.54z2.01.5y1.0图8从左到右分别为δ ε的e1e2、e1e3和e1e2e3 Smarandache曲线。通过微分并使用式（2.6）和式（2.8），δ的Smarandache曲线（图6）由下式给出：6. 结论δe1e2 =（1，.e−3u+3eu+ sinh（ 2u），−1EUe−3u6 2+cosh（ 2u）），在三维拟伽利略空间G1中，得到了空间和类时任意曲线的Smarandache曲线及其一些特殊曲线。其中一些例子. 11.e−3u3EU6 cosh 2u盘1e−3ueu新二路诸如一般螺旋和Ant-Salkowski曲线的曲线具有被给予和策划。δeee=.1，1e−3 u（1−6eu+3e4 u），1e−3 u（−1+6eu+3e4 u）。1 2 36 6示例5.4. 设δε是G1中的类时Anti-Salkowski曲线给出确认作者非常感谢推荐人的有益建议δε（u）=.u，1e−u（5 cosh（ 2u）4sinh（ 2u）），9和修订版的备注。1−u引用那么方程(2.6) 导致8（1 -3）（1997）212-215。[2] M. Turgut，S.Yilmaz，Smarandache曲线在Minkowski空间-（e1）δθ=.1，−1e−3u6eu1， e−3e2 6但是，时间，Int. J. Math. Combinatorics 3（2008）51-55。[3] A.T. Ali，Position vectors of curves in the Galilean spaceG3，Matematicki Vesnik 64（3）（2012）200-210.（e2）δε=（0， cosh（ 2u）， sinh（ 2u）），（e3）δε=（0， sinh（ 2u）， cosh（ 2u）），从（2.5），我们得到曲率（图）。（7）曲线为κ δε = e-u， τ δε= 2。因此，Smarandache曲线（图）。 8）的δε，得到：[4] H.S. Abdel-Aziz ， M. Khalifa Saad ， Smarandasche curves ofsome special curves in the Galilean 3-space，Honam Math.J.37（2）（2015）253[5] X. 杨，用五次曲线高精度逼近螺旋线辅助Geomet。Des. 20（2003）303[6] D. J. Struik ， 《古典 微分几 何讲座 》， Addison-Wesley ，Reading，MA，1961年。[7] E.Salkowski ， Zurtransformationvonraumkurven ，Mathematis-che Annalen 66（4）（1909）517-557.[8] Z. 埃尔亚韦茨湾Divjak，曲线的等形微分几何在伪伽利略空间数学Commun. 13（2008）321（δ）e1e2=1、1e6−3ueu+2+cosh（ 2u），[9] Z. Erjavec，关于伽利略和伪伽利略空间中螺旋线的推广，J。数学Res. 6（3）（2014）39. e−3u +3euuu+sinh（ 2u），[10] B. Divjak，伪伽利略空间G 1中曲线的Frenet微分方程组的一般解6Commun. 2（1997）1433（δ）e1e3=1、1e6−3ueu+2+sinh（ 2u），[11] B. Divjak，Geometrija pseudogalilejevih prostora，Ph. d.论文，萨格勒布大学，1997年[12] B. Divjak，伪伽利略几何中的曲线，Ann。Univ. Sci.1 .一、e−3u+3eu+ cosh（ 2u），y432320.00.5x1.52.01.01δe1e 3=+−、1、+.430M.哈利法·萨阿2U2U+Σ布达佩斯41（1998）117-128。[13] I. Yaglom，一个简单的非欧几何及其物理基础，（δ）e1e2e3=.1，−1EUe−3u6 2+e， e−3ueu6+2 + e。Springer-Verlag，New York，1979.[14] B. J. Pavkovic′，等距空间中曲线的等形几何I1and I2，Rad JAZU（1986）393 3
