重塑相关性：随机逻辑电路抗故障设计技术

Gate Models (PGM), Probabilistic Transfer Matrices (𝑃 𝑇 𝑀), StochasticComputational Model (SCM), Monte Carlo Simulation [7] etc. Never-theless to mention that majority of works are aligned towards reliabilityassessment and analysis [8,9]. In [10], a multiple fault modellingmethodology was proposed for efficient estimation of the circuit’s reli-ability. Gates that have the highest impact on circuit’s reliability weredetermined to design trade-off at early stages of circuit design. Thereare several approaches proposed in literature for modelling and analysisof transient faults in logic circuits [11], modelling and reduction [12],soft error analysis tool [13] for combinational logic circuits. In [14]a Bernoulli distribution based-model for reliability calculation wasdeveloped to decompose the evaluation objective of circuits, with singleand double fault simulations. The proposed method is scalable withcircuit size and is independent of the soft error rate. But the aboveworks deal with the modelling and analysis of soft errors in weighted-binary logic circuits. Recently, Ting et al. [15] investigated the role ofconstant inputs in SC, and propose an algorithm to eliminate them byintroducing sequential circuits. But they do not deal with handling thetransient error scenarios in stochastic circuits. To our knowledge, nocorrection mechanism exists in the literature to generate reliable outputunder transient error scenarios for stochastic logic circuits.0Array 15（2022）1002190放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。0ScienceDirect提供的内容列表0Array0期刊主页：www.elsevier.com/locate/array0重塑相关性：一种抗故障的相关性敏感随机设计技术0Shyamali Mitra �，Sayantan Banerjee，Mrinal Kanti Naskar0印度加尔各答Jadavpur大学0文章信息0关键词：随机逻辑电路软错误 可靠性 重塑相关性基于优先级的方法0摘要0随机电路中的主要错误源是相关性错误、软错误和随机波动错误，这些错误影响了电路的准确性和可靠性。软错误会改变相关性状态，从而修改输出的概率。这对需要高度精确系统的安全和医疗系统有严重影响。为了解决这个问题，我们采用了一种抗故障的相关性敏感随机逻辑电路技术。为了确保可靠的运行，我们为相关性敏感的随机逻辑元件（SLEs）开发了一种重塑相关性（ReCo）框架。通过两个有趣的案例研究，我们提出了两种ReCo模型，用于具有矛盾要求的组合电路。为了实现更快的收敛到所需的均方误差（MSE）值，并占用更少的硬件面积，所提出的方法优先选择逻辑元件和校正块的放置。结果表明，该方法对电路的整体可靠性没有影响。为了证明所提出的框架的有用性，我们在噪声环境中研究了对CEED2016图像的对比度拉伸操作。使用所提出的方法，输出图像的平均多尺度结构相似性指数（MS-SSIM）为0.91±0.02，明显高于带有错误的原始图像，即0.75±0.12。01. 引言0使用随机计算[1]进行二进制数的计算如今越来越受欢迎，因为与传统的加权二进制计算相比，它提供了几个优势[2]。它是一种低功耗、低成本的复杂算术函数的替代方案。随机架构在尺寸、电路复杂度和功耗方面都有显著的减少，已经证明与传统的二值化算法[3]和各种其他图像处理任务[4]相比，对噪声具有免疫力。已经确定了不同类型的错误，如软错误、相关性引起的错误和随机波动引起的错误，这些错误影响了随机电路的准确性和可靠性[5]。因此，在存在错误的情况下使用不可靠的组件生成所需的功能已经成为一项具有挑战性的任务。瞬时或软错误是由于暴露于外部辐射而引起的，由芯片中的制造缺陷大大增加。这些会在电路的输出处引入错误逻辑[6]。如果在门的节点上发生多个故障，输出可能是错误的。软错误是随机比特流中的位翻转的原因，并可能导致两个数字之间不希望的相关性。有几种分析方法用于评估具有不可预测行为的概率电路的可靠性；概率门模型（PGM）、概率传输矩阵（� ��）、随机计算模型（SCM）、蒙特卡罗模拟[7]等。然而，需要指出的是，大多数工作都是针对可靠性评估和分析[8,9]。在[10]中，提出了一种用于高效估计电路可靠性的多重故障建模方法。确定了对电路可靠性影响最大的门，以便在电路设计的早期阶段进行设计权衡。文献中提出了几种用于逻辑电路中瞬态故障建模和分析的方法[11]，建模和减少[12]，组合逻辑电路的软错误分析工具[13]。在[14]中，开发了一种基于伯努利分布的可靠性计算模型，用于分解电路的评估目标，进行单故障和双故障模拟。所提出的方法可以随着电路规模的增大而扩展，并且不依赖于软错误率。但是上述工作都是处理加权二进制逻辑电路中的软错误的建模和分析。最近，Ting等人[15]研究了SC中常量输入的作用，并提出了一种通过引入时序电路来消除它们的算法。但他们没有处理随机电路中处理瞬态错误场景的机制。据我们所知，文献中不存在纠正机制，可以在随机逻辑电路的瞬态错误场景下生成可靠的输出。0� 通讯作者。邮箱地址：shyamalimitra.iee@jadavpuruniversity.in（S. Mitra）。0https://doi.org/10.1016/j.array.2022.100219收稿日期：2022年4月15日；修订稿收到日期：2022年6月21日；接受日期：2022年7月2日2𝐽 =𝑦 = 0𝑦 = 1⎡⎢⎢⎢⎣⎤⎥⎥⎥⎦10101001𝑀 =𝑦 = 0𝑦 = 1⎡⎢⎢⎤⎥⎥1 − 𝑝𝑒𝑝𝑒1 − 𝑝𝑒𝑝𝑒1 − 𝑝𝑒𝑝𝑒𝑝𝑒1 − 𝑝𝑒𝑍 = 𝐼𝑖𝑛.𝑀𝑐𝑘𝑡 = (1 − 𝑝𝑧)𝑝𝑧(1)𝐼𝑖𝑛 = 𝑖0𝑖1𝑖2𝑖3 = 𝑛00𝑛01𝑛10𝑛110Array 15 (2022) 1002190S. Mitra等人0所提出的工作侧重于随机行为的错误行为0电路，这主要归因于嘈杂条件下的瞬态错误，以及其使用基于相关性的方法进行校正。相关性是SC中引人入胜的话题之一，已成为分析相同逻辑电路在不同相关性状态下行为差异的有力工具。这项研究侧重于确定受软错误影响的电路的行为。为了减少瞬态故障的影响并确保电路的可靠性，bitstreams注入了所需的相关性。实验是在功能行为随相关性变化的SLE上进行的。目标是开发一个技术无关的框架，以在最小硬件情况下观察复杂电路的无误差输出。还进行了一项研究，以证明电路的可靠性不受相关性状态的微小变化影响。贡献如下：0•我们开发了一个基于相关性的框架，用于相关性敏感设计0在瞬态错误场景下对电路进行建模以模拟无误差输出。0•在选择SLEs时探讨了基于优先级的方法0以减少硬件复杂性并提高复杂电路计算的准确性。0•两个不同条件下的两个实际多输入多级电路0考虑并利用两种不同的算法处理条件。0•评估了对比拉伸操作的提议工作0在高瞬态错误率下的图像上。0实质上，这项工作不仅与相关性的普遍看法相矛盾，而且坚定地确立了注入受控相关性可以改善电路的抗错误行为。其余工作组织如下：在第2节中，我们介绍了���作为评估相关性敏感设计可靠性的工具。第3节讨论了随机电路中的两个主要错误来源，并介绍了在嘈杂环境中用于相关性敏感逻辑元素的提议方法。通过几个初始相关性假设，我们已经表明可以通过适当注入相关性来建立电路的正确工作点，从而在所述条件下生成准确的结果。在第4节中，我们扩展了这个想法，以模拟复杂的SLC，以展示所提出模型的有效性。演示了基于优先搜索模型的两种方法，分别遵循两种不同的条件。在第5节中讨论了所提议方法在图像处理任务背景下的适用性。在第6节中，记录了实验结果的亮点，以及所提议算法的优缺点。02. 概率传输矩阵0用于分析概率逻辑电路[16]的���0已被证明是小概率电路中错误[17]和可靠性分析[18]的方便工具。PTM源自逻辑电路的理想传输矩阵（���）。逻辑电路的���（�，�）中的每个条目= �0，�1，…，��−1和� =�0，�1，…，��−1描述了一组输入激发的逻辑行为。在真值表中，当特定的输入组合生成1时，在矩阵中观察到1。它可以被观察为一个条件概率矩阵，因此，�（�，�）=�（������ = � | ����� =�），其中�表示给定某个输入组合时特定输出为真的条件概率。在理想传输矩阵（ITM）中，当假设门是无误差时，元素要么是0，要么是1，代表确切的二进制值而不是概率。0在  � � � ( � ) 中，每个条目都包含区间 [0，1] 中的实值0与输出错误概率信息相关。对于大电路，使用  � � �进行计算是很麻烦的。但对于具有 � 个输入和0� 个输出的电路  � � � 的大小为  2 � × 2 � 。  �� � 和  � � � 代表两输入 AND 门的矩阵0�  和  �  中的行对应于输入组合  00 ,  01 ,  10 ,  11 。列对应于输出  �  = 0 , �  = 1。大电路的  � � � 可以通过各个门的  � � �和它们的连接方式进行计算，使用两种基本操作 [ 16 ]：0• 由 � 个 �� � s 组成的电路的整体  � � �0串联连接的  � 1 , � 2 ,  …  , � �  的整体由各个  � � �� 的乘积得到；  � ������  =  � 1 .� 2 ...� � .0• 由 � 个 � � � s  � 1 , � 2 ,  …  , � �  连接的结果  � � �0并联连接的整体由各个  � � � 的 Kronecker 乘积或张量乘积得到；  � ��������  =  � 1  � �2  � � 3 ... � � � 。Kronecker 乘积或张量乘积将矩阵 A 的每个元素（大小为（ �×  � ））与另一个大小为（ �  ×  � ）的矩阵 B 相乘，得到大小为（ �  ×  �）×（ �  ×  � ）的输出矩阵 C。0输入随机信号馈送到组合电路也可以通过 � � � 来表示0可以通过  � � � 来表示。我们定义一个大小为  1 × 2 � 的输入向量，其中  �是输入信号的总数，当乘以整体电路  � � � 时，  � ���  给出输出  � � � 。设  �为具有发生概率为  1 的伯努利分布的随机变量，表示为  � � 。  �表示为一个两元素行向量  �  = [ 1 −  � � � � ] 。对于具有不相关输入的组合电路0比特流 � 和 � 具有概率 � � 和 � � ，输出信号 � 具有概率 � � ，我们可以用 � � �来表示输入向量 � �� ，它是两个并行身份信号矩阵的张量积，表示为0= [ (1 −  � � )(1 −  � � ) (1 −  � � ) � � � � � � � � � � ]  这是一个4元素向量0输出分布  �  由  � ��  和电路  � ���  的矩阵乘积给出，使用方程（1）。0� ��  也可以用比特流的重叠来表示0其中， � 0 ， � 1 ， � 2 ， � 3 代表输入概率， � � 和  � � 分别为 00 ，  01 ，  10 和  11。因此，它也可以表示输入信号之间的相关性。当  ��� ( �, �  ) = 1时，比特流的最大重叠是有保证的 [ 17 ]。当  � �  >  � �  时，重叠  01永远不会发生，因此  � 01  = 0 。其他三种重叠的概率分别为  (1 −  � � ) ，  ( � �  −  � �)  和  � � 。因此，我们可以表示两个最大相关输入的输入向量为0= [ (1 −  � � ) ( � �  −  � � ) 0 � � ]  , � �  >  � � (3)0同样，对于两个负相关的输入，如果 � � + � � ≤ 1，则永远不会发生 11重叠。同样，如果 � � + � � ≥ 1，则永远不会出现 00 重叠。0� −1  = [ 1 −（ � �  +  � � ）� � � � 0 ]  , � �  +  � �  ≤  1（4）0= [ 0（1 −  � � ）（1 −  � � ）（ � �  +  � � ）− 1 ]  , � �  +  � �  ≥  1（5）3𝑅𝑐𝑘𝑡 =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪= 1 − 𝑝𝑒,∀ 𝑆𝐶𝐶 < 0= 1 − 𝑝𝑒,∀ 𝑆𝐶𝐶 > 0(8)0Array 15（2022）1002190S. Mitra等人。0图1.（a）带有不同瞬态错误的AND门的MSE；Min.  ��� 与不同初始���的  ���� ；（b）  ���  = 0；（c）  ���  = 0.5；（d）  ���  = 1。0对于两个不相关的数字，使用方程（6）编写输入向量。0� 0  = [（1 −  � � ）（1 −  � � ）（1 −  � � ）� � � �（1 −  � � ）� � � �]（6）0借助方程（2）-（6），我们可以为任何中间���值编写输入向量矩阵�����。这些计算对于推导给定输入之间的相关性状态的随机函数是有用的。� ��用于研究顺序电路，方式与用于研究和分析组合电路相同[18]。02.1. 具有不同相关性的电路的可靠性度量0我们经常关注在嘈杂条件下电路的可靠性。电路的可靠性定义为其定期产生正确输出的能力。对于随机电路，可以使用电路的�� �（�）和���（�）来评估。可以证明电路的可靠性不会随相关性的变化而改变，而是取决于电路中的概率误差。0定义1.  电路  � ���的可靠性不随输入之间的相关性变化而变化，并且取决于概率误差率‘ � � ’。0电路可靠性[18]是衡量其�� �和� � �之间相似性的指标，可写为：0� ��� 0�（ �,� ）=1 �（ � | � ）.�（ � ）（7）0其中，�（ � | � ）是� � �的（ �, � ）��项。使用方程（7），可以得到��� =0时电路的可靠性为（1 −  � �）。对于AND门，可以使用方程（8）得到不同范围的���的  ���� 。0（ � �  − 1）（ ���（1 −  � �  −  � �  +  � � .� � ）+  � � � �  − 1）+0（ ���（ � �  +  � �  − 1）−  � � .� � （ ���  + 1））（ � �  − 1）0（ � �  − 1）（ ���.� �  +  � � .� �  −  ���.� � .� �  − 1）−0（ ���.� �  −  � � .� � . ( ���  − 1))( � �  − 1)0方程（8）表明电路的可靠性与输入数字之间的相关性无关。因此，通过改变相关性来最小化错误对电路的可靠性没有影响。这种特性有助于后续分析，在存在瞬态错误时产生修正输出。03. 主要错误来源0随着特征尺寸、工作电压和设计裕度的持续缩小，电路对瞬变故障的脆弱性越来越大。宇宙射线、电容耦合、电磁干扰和电源瞬变是一些主要的物理现象。由辐射引起的瞬态故障近年来引起了很多关注，因为它们被视为进一步技术进步的潜在障碍。在随机计算中，另一个主要挑战是由于位翻转引起的比特重新排序而常常出现的相关性诱导错误。4−−0Array 15（2022）1002190S. Mitra等人。0图2.（a）带有不同瞬态错误的XOR门的  ��� ；Min.  ��� 与不同初始  ���的  ���� ；（b）  ���  = 0；（c）  ���  = 0.5；（d）  ���  = 1。0在考虑单级电路时，给定数字的概率会发生变化。但对于多级电路，这可以有效地改变整体值。在下一节中，我们将重点关注两个主要的错误来源，并研究它们对逻辑电路行为的影响。03.1.相关误差0已确定两个比特流之间的相关性是某些随机电路中不准确性的主要来源。随机计算中的相关性表示由LSFR [19]或SNG[20]生成的比特流之间存在某种依赖关系（交叉相关）或同一比特流的比特之间存在依赖关系（自相关）。早期，随机电路中的相关性只能模糊地识别为通过AND门传递时导致不准确的输出。但是，最近，随机计算中的相关性已经被明确量化和确定[20]。为了量化输入比特流�和�之间的相关性，类似于相似性系数[21]的随机相关系数���（Stochastic Correlation Coefficient）表示为0���（�，�）0��0���（��，��）−����，��∧�>�����0����−���（��+��−1，0），否则0其中，��∧�是�和�之间的按位AND运算得到的。表示SCC的另一种广义方式是：0���（�，�）0� � ��� ��0�.���（�11+�10，�11+�01）−（�11+�10）（�11+�01）0，�11.�00>�01.�100（�11+�10）（�11+�01）−�.���（�11−�00，0），否则0其中，�11，�10，�01和�00分别是�和�的重叠比特。因此，相关性的度量仅受比特流中相似和不相似比特的重叠影响。假设�=110011110100，�=010011110100，则���=+1。但是，如果�=101100010101，�=111111000101，则���=0.5。在这种情况下，Y中的每个1都不受�中该位置的1的影响。�中的0'�与�中的1'�以及�中的1'�与�中的0'�重叠。因此，一对比特流在一定程度上呈正相关。研究还发现，相关性对电路的行为有积极影响[22,23]。当输入正相关时，XOR门作为绝对减法器，如图3所示。使用二进制输入实现相同的函数会增加硬件复杂性[24]。但是对于概率的边界值，���的度量变得不确定，即为0或1。在这两种情况下，无法借助诸如相关器之类的外部电路改变���的值。为了说明这一点，考虑两个SNs �=00000000和�=50数组15（2022）1002190S. Mitra等0图3。当输入正相关时，XOR门作为绝对减法器。011111111。对这些数字进行逻辑运算往往会产生输出，该输出将粘附在边界值本身，即0或1，具体取决于SLE。试图改变相关性状态将导致概率值的变化，这是不希望的。使用诸如[25]的相关器电路将无法改变�和�之间的相关程度，因为只能对一种比特对（这里是01）进行分组，我们失去了对其他三种比特对（00，10，11）进行分组的杠杆作用。对于任何相关程度，我们可以将输出��写成其在���=0和���=−1时的函数的线性组合[20]，如下所示：0��=�（��，��）=（1+���）�0−���.�−1，����<0（9）0��=�（��，��）=（1−���）�0+���.�+1，����>0（10）0� 0，� −1，�+1是由逻辑实现的函数，其中���=0，−1，+1分别。考虑一个AND门，输入为��和对于不同输入之间的相关状态，实现不同的函数；�0=����（当输入不相关时），�+（��，��）（正相关），�−1=���（��+��−1，0）（负相关）。类似地，当输入关时，由XOR门实现的函数可以找到如下：0�0=��(1−��)+��(1−��)=��+��−2����(11)0�1=|��−��|(12)03.2. 软错误0随着半导体技术的进步，特征尺寸的减小和可扩展性的增加，软错误的发生率越来越高[6]。这些软错误的来源主要可以追溯到阿尔法粒子和高能宇宙射线[26]。虽然软错误并不是随机电路特有的，但其特性使其比加权二进制逻辑电路更能容忍软错误。软错误不会在物理上影响电路，但会通过引入虚假逻辑而在电路中引入行为变化，表现为位翻转[27,28]。瞬态或软错误是由于芯片的制造缺陷而暴露于外部辐射而引起的，这会在电路的输出引入虚假逻辑[6]。因此，如果一个门的节点遭受多个故障，可能会得到错误的输出。位翻转被建模为与电路中的每个门相关联的位翻转错误��，作为伯努利变量。随机数被分析为伯努利随机变量(BRV)，用其成功概率��来表示，以执行与其他BRV相似的操作。BRV中的错误通常使用均方误差(MSE)进行分析，写作��=�[(���−��)2]，其中，���和��分别代表估计值和精确值。许路的应用都是在噪声环境中进行的，其中电路容易发生位翻转错误。对于纳米尺度器件来说，瞬态或软错误随着器件特征被缩小到亚微米范围而日益突出。由于信号的预期值发生变化以及位翻转期间引入的不希望的相关性，观察到的输出可能会超过错误阈值。对于较大的电路，这可能是准确性的一个主要问题[29]。软错误的存在与其他固有的错误源结合在一起，可能导致多重响应中的模型不稳定。因此，为了实现所需的准确性，无论环境如何都是一个迫切的需求0在这种情况下需要。软错误可能改变位流之间的相关性状态，可能会改变概率值，也可能不会。如果由于瞬态故障而在位流中翻转了相等数量的1和0，那么概率值保持不变。然而，如果位更改的数量不相等，可能会影响改变整体概率值。图4显示了瞬态错误对相关敏感随机逻辑元件(���s)行为的影响。当没有故障时，与门实现两个数字的乘法。这种情况对另外两种情况不成立，其中，��为0.125，击中了图4(b)和(c)所示的不同位位置的输入节点，导致了两个数字之间的相关性状态的移位。随着瞬态错误的增加，���呈指数增长。在负相关性范围内操作的输入情况下，随着软错误率的递增注入，错误随着瞬态错误的增加而增加，如图1(a)、2(a)和6(a)(红色)所示。而在正相关性范围内操作的相同位流将显示随着软错误的注入而减少的���(黄色)。相关敏感逻辑元件(如AND、OR和XOR门)对不同瞬态错误的响应在图1(a)、(b)和(c)中被捕获。这些将在下一节中详细讨论，其中的目标是通过利用每个这些相关敏感电路的一些独特特性来减少瞬态故障对概率电路的影响。04. 使用提出的技术处理随机电路中的错误0最小化错误至关重要，因为这会扭曲电路的输出逻辑电平。我们假设由外部因素引入的门的瞬态故障会导致输入和输出概率的改变，从而在电路的相关性假设中引入不确定性。观察到由于瞬态错误在不同位置引起的位翻转可能导致相同位流之间的不同相关性状态。不期望的相关性也可能导致同一逻辑电路实现不同的随机函数，如图4所示，并阻碍自然函数的实现。相关性状态的改变也可能导致概率值的改变，如果翻转的0和1的数量不相等。因此，在这种错误情况下，为了实现准确的随机函数和输出，需要采取相关性恢复方案，以最小化电路中瞬态错误的影响。04.1. 提出的重塑相关 (ReCo) 框架0我们的工作建议 重塑相关 (ReCo)技术，以适应由于瞬态故障导致输入概率假设的变化。我们解释了相关敏感元素的技术，将  ���降至最低水平。在对相关敏感SLE进行研究时，我们证明了每个设计错误都可以通过在输入中引入一定程度的相关性来纠正。我们在这个不正确的环境中推断电路的工作点，并通过适当注入  ���  来将 ���  降至最小值。 ��������� 1  寻找在范围 [ − 1,1]内诱导相关性的唯一解，以找到输入参数的最小误差。我们通过考虑单个 ��� s来开始我们的分析。提出的框架的流程图如图5所示。04.1.1.  对零相关假设下相关敏感逻辑元素的�����分析当输入数字之间的相关性发生变化时，随机电路实现不同的实值函数。我们假设目标函数在 ��� ( �, �  ) = 0 时实现，任何偏差都被视为电路的故障行为。 (i) 与门:考虑一个受瞬态噪声影响的与门。由于我们设置了 ��� ( �, �  ) = 0 ，我们可以评估 � �  =  � � � �为真。随着瞬态错误的概率增加，观察到的输出偏离原始输出，显示 ���呈指数增加，如图1(a) (蓝色)所示。因此，我们使用了提出的方法来减小���。我们修改输入向量 � 00 , � 01 , � 10 和  � 11 的每个元素，使其在 � �  和  � �之间形成一个新的向量。对于两个独立的输入，假设零相关假设，我们将输入向量表示为，� 0  = [ (1 −  � � )(1 −  � � ) (1 −  � � ) � � � � (1 −  � � ) � � � � ] ，假设  � �  < � � 和  � �  +  � �  ≤1。让注入的相关性  ��� �  在  0 到  +1 的范围内。对于两个负相关的输入，� −1 = [ 1 − ( � �+  � � ) � � � � 0 ] 。使用方程 (9) 计算修改后的输入向量。Array 15 (2022) 1002196S. Mitra et al.𝑚0−1= (1 + 𝑆𝐶𝐶𝑖)(1 − 𝑝𝑥)(1 − 𝑝𝑦) − 𝑆𝐶𝐶𝑖{1 − (𝑝𝑥 + 𝑝𝑦)}(13)𝑖01𝑚 = (1 + 𝑆𝐶𝐶𝑖)𝑖01(𝐼0) − 𝑆𝐶𝐶𝑖.𝑖01(𝐼−1)= (1 + 𝑆𝐶𝐶𝑖)(1 − 𝑝𝑥)𝑝𝑦 − 𝑆𝐶𝐶𝑖𝑝𝑦(14)𝑖10𝑚 = (1 + 𝑆𝐶𝐶𝑖)𝑖10(𝐼0) − 𝑆𝐶𝐶𝑖.𝑖10(𝐼−1)= (1 + 𝑆𝐶𝐶𝑖)(1 − 𝑝𝑦)𝑝𝑥 − 𝑆𝐶𝐶𝑖𝑝𝑥(15)𝑖11𝑚 = (1 + 𝑆𝐶𝐶)𝑖11(𝐼0) − 𝑆𝐶𝐶𝑖.𝑖11(𝐼−1)= (1 + 𝑆𝐶𝐶𝑖)𝑝𝑥𝑝𝑦(16)𝐼𝑆𝐶𝐶𝑚 =⎢⎢− 𝑝𝑦(𝑝𝑥 + 𝑝𝑥𝑆𝐶𝐶𝑖 − 1)− 𝑝𝑥(𝑝𝑦 + 𝑝𝑦𝑆𝐶𝐶𝑖 − 1)𝑝𝑥𝑝𝑦(𝑆𝐶𝐶𝑖 + 1)⎥⎥⎥⎥⎦(17)𝐼𝑆𝐶𝐶𝑚 =⎡⎢⎢⎢−(𝑝𝑦 − 1)(𝑝𝑥𝑆𝐶𝐶𝑖 − 𝑝𝑥 + 1)𝑝𝑦(𝑆𝐶𝐶𝑖 − 1)(𝑝𝑥 − 1) − 𝑆𝐶𝐶𝑖(𝑝𝑥 − 𝑝𝑦)𝑝𝑥(𝑆𝐶𝐶𝑖 − 1)(𝑝𝑦 − 1)𝑝𝑥𝑆𝐶𝐶𝑖 − 𝑝𝑥𝑝𝑦(𝑆𝐶𝐶𝑖 − 1)⎤⎥⎥⎥⎥⎦⊺(18)𝑝𝑧𝑚 = 𝐼𝑆𝐶𝐶𝑚 ×⎡⎢⎢1 − 𝑝𝑒𝑝𝑒1 − 𝑝𝑒𝑝𝑒1 − 𝑝𝑒𝑝𝑒𝑝𝑒1 − 𝑝𝑒⎤⎥⎥(19)𝑝= 𝑝 + 𝑝 𝑝 (1 + 𝑆𝐶𝐶 )(1 − 2𝑝 )(20)𝑀𝑆𝐸𝑎𝑛𝑑 = {𝑝𝑒 + 𝑝𝑥𝑝𝑦(𝑆𝐶𝐶𝑖 − 2𝑝𝑒 − 2𝑝𝑒𝑆𝐶𝐶𝑖)}2(21)0图4. 由于瞬态错误在不同位置导致位翻转及其对相关性改变的影响，从而产生不同的随机函数。0Fig. 5.  提出的框架的流程图。0输出偏离原始输出，显示 ��� 呈指数增加，如图1(a)(蓝色)所示。因此，我们使用了提出的方法来减小 ���。我们修改输入向量 � 00 , � 01 10 和  � 11 的每个元素，使其在 � �  和  � �之间形成一个新的向量。对于两个独立的输入，假设零相关假设，我们将输入向量表示为，� 0  = [ (1 −  � � )(1 −  � � ) (1 −  � � ) � � � � (1 −  � � ) � � � � ] ，假≤  1。让注入的相关性  ��� �  在  0 到  +1 的范围内。对于两个负相关的输入，� −1 [ 1 − ( � �  +  � � ) � � � � 0 ] 。使用方程 (9) 计算修改后的输入向量。0其中， � 00 ( � 0) ,  � 01 ( � 0) ,  � 10 ( � 0) ,  � 11 ( � 0)  是输入向量  � 0的四个元素。类似地， � 00 ( � −1) ,  � 01 ( � −1) ,  � 10 ( � −1) , 和  � 11 ( � −1)  是向量� −1 的四个元素。现在， � ��� �  的修改后的向量可以表示为  � ��� �  = [ � 00 � � 01 � � 10 � � 11 �] 。进一步简化方程 (13) – (16) ，我们得到，0类似地，对于  � �  +  � �  >  1,0算法1：单个门的  ����  分析01:  输入  � � , � � , � � , ����� _ ���� ;  输出  ��� � ,  ��� � 2:  ReCo ( ����� _ ���� ) 3: [ � � , � � ]=输入概率  ����� _ ���� ; 4:  � � = 瞬态误差的概率  ����� _ ���� ; 5:  � ��� _ ������  =  Eval ( � � ,� � , ��� ); 6:  for  ��� �  = −1;  ��� �  < = +1;  ��� � + = 0 . 001  do0�������� _ ������  =  Eval ( � � , � � , � � , ��� � );  ��� �  =  � ��� _ ������  −  �������� _ ������ if  ��� �  ≤�  then0返回  ��� �  ,  ��� � end if end for 7: 返回 argmin ��� �  {��� �  ,  ��� � }0对于给定误差率  � � 的AND门，可以将修改后的输出  � �� 写成  � ��� �的函数，如下所示，0因此，观察到  � �� 为  � ( ��� � ) 。我们试图使  � �� 接近  � � 以减少观察到的误差  � �� 。因此，0计算  ( � ��  −  � � ) 2 得到的  ��� 为，72𝑝𝑥𝑝𝑦(1 − 2𝑝𝑒){𝑝𝑒 + 𝑝𝑥𝑝𝑦(𝑆𝐶𝐶𝑖 − 2𝑝𝑒 − 2𝑝𝑒𝑆𝐶𝐶𝑖)} = 0∴𝑆𝐶𝐶𝑖 =−(𝑝𝑒 − 2𝑝𝑒𝑝𝑥𝑝𝑦)𝑝 𝑝 (1 − 2𝑝 )(22)𝑆𝐶𝐶𝑖 =𝑝𝑒𝑝𝑥𝑝𝑦𝑝𝑥𝑝𝑦𝑝𝑒𝑝𝑥𝑝𝑦(2𝑝 − 1)(𝑝 − 1)(𝑝 − 1)(23)𝐼𝑆𝐶𝐶𝑚 =⎡⎢⎢⎢⎢(0.28 + 0.18𝑆𝐶𝐶𝑖)(0.42 − 0.18𝑆𝐶𝐶𝑖)(0.12 − 0.12𝑆𝐶𝐶𝑖)(0.18 + 0.12𝑆𝐶𝐶𝑖)⎤⎥⎥⎥⎥⊺= 0 18+ 0 64− 0 36+ 0 18=𝑝𝑧𝑚 = 𝐼𝑆𝐶𝐶𝑚 ×⎡⎢⎢1 − 𝑝𝑒𝑝𝑒𝑝𝑒1 − 𝑝𝑒𝑝𝑒1 − 𝑝𝑒1 − 𝑝𝑒𝑝𝑒⎤⎥⎥(24)𝑝𝑧𝑚 = 𝑝𝑒 − 𝑝𝑥𝑝𝑦 − 2𝑝𝑒(𝑝𝑥 + 𝑝𝑦 − 2𝑝𝑥𝑝𝑦) − 2𝑝𝑥𝑝𝑦𝑆𝐶𝐶𝑖(1 − 2𝑝𝑒)0数组15 (2022) 1002190S. Mitra 等0图6.  (a)  具有不同瞬态误差的OR门的  ��� ; 使用  ����  获得不同初始  ��� s的最小  ��� (b)  ���  = 0  (c)  ���  = 1  (d)  ���  = 0 . 5 .0将  ���  减少到范围 [ − 1,+1] 内的最小可能值的诱导  ��� � 通过对方程 (21)进行微分并将其置为  0  而得到，0方程 (22) 规定了在范围 [ − 1,0] 内获得  ��� 的最小值的条件。类似地，当  � �  +  �  1 且  � �  < � � 时，可以评估  ��� �  如下，0其中，  � � , � �  >  0 且  � �  < � � . 因此，  � � � �  >  0 .推导出表达式时假设相关性为负。然而，推导中没有阻止  ��� �为正以达到最小均方误差。为了利用方程的简单性并在计算中实现最大可能的准确性，通过图形验证出现在方程中的参数。图1(b)显示了在不同误差率下获得零输出的诱导相关性的不同值。注意，方程 (22) ,(23)  总是对于  � �  <  0 . 5  成立。通过类似的分析，我们得到了  � �  > � �的不同方程组。0示例1. 考虑一个AND门，其中  � �  = 0 . 3 且  � �  = 0 . 6 . 无误差输出为  � �  = 0 . 3× 0 . 6 = 0 . 18 . 观察到的输出为0� ��  = 0 . 28  在  � �  = 0 . 15 . 因此，040000 . 错误减少到  0  对于  ��� � = −0 . 76 . 观察到如果  � �  ≤  0 . 2(一个考虑周到的限制)，则  ���  可以减少到  0  . 通过考虑  � � 和  � �  在  � �  = 0 . 125时的不同值，图形确认了结果，如图7 (a)所示。0(ii) 异或门：在  ���  = 0 时，异或门实现  � �  =  � � (1 − � � ) +  � � (1 −  � � ) .由于瞬态误差导致目标函数的任何偏差都被视为均方误差的贡献。在异或门的分析中采用了类似的方法，以在不同瞬态误差率下使  ���  最小。现在，对于  � �  <  � �，可以将  � �� 写成如下，0代入等式 (17)  中的  � ��� � ，Array 15 (2022) 1002198S. Mitra et al.𝑀𝑆𝐸𝑥𝑜𝑟 = {2𝑝𝑒(𝑝𝑥 + 𝑝𝑦) − 𝑝𝑒 + 2𝑝𝑥𝑝𝑦(𝑆𝐶𝐶𝑖 − 2𝑝𝑒 − 2𝑝𝑒𝑆𝐶𝐶𝑖)}2(25)− 2(2𝑝𝑥𝑝𝑦 − 4𝑝𝑒𝑝𝑥𝑝𝑦)(𝑝𝑒 − 2𝑝𝑒𝑝𝑥 − 2𝑝𝑒𝑝𝑦−2𝑝𝑥𝑝𝑦(𝑆𝐶𝐶𝑖 + 2𝑝𝑒 + 2𝑝𝑒𝑆𝐶𝐶𝑖) = 0∴𝑆𝐶𝐶𝑖 =𝑝𝑒 − 2𝑝𝑒(𝑝𝑥 + 𝑝𝑦) + 4𝑝𝑒𝑝𝑥𝑝𝑦2𝑝𝑥𝑝𝑦 − 4𝑝𝑒𝑝𝑥𝑝𝑦(26)𝑆𝐶𝐶𝑖 =𝑝𝑒 − 2𝑝𝑒𝑝𝑥 − 2𝑝𝑒𝑝𝑦 + 4𝑝𝑒𝑝𝑥𝑝𝑦4𝑝𝑒 + 2(𝑝𝑥 + 𝑝𝑦)(1 − 2𝑝𝑒) − 2𝑝𝑥𝑝𝑦(1 + 2𝑝𝑒) − 2(27)Example 2.Consider XOR gate with inputs 𝑝𝑥 = 0.3 and 𝑝𝑦 = 0.6.Thus 𝑝𝑧 = 0.54 and 𝑝𝑧𝑒 = 0.52 at 𝑝𝑒 = 0.15. By substituting 𝐼𝑆𝐶𝐶𝑚we find= 0 72− 0 08− 0 36+ 0 54e 𝑀𝑆𝐸 =(9𝑆𝐶𝐶𝑖+2𝑝𝑝𝑧𝑚 = 𝐼𝑆𝐶𝐶𝑚 ×⎡⎢⎢⎢⎢⎣1 − 𝑝𝑒𝑝𝑒𝑝𝑒1 − 𝑝𝑒𝑝𝑒1 − 𝑝𝑒𝑝𝑒1 − 𝑝𝑒⎤⎥⎥⎥⎥⎦∴𝑝𝑧𝑚 =