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工程科学与技术,国际期刊23(2020)527完整文章直流电阻性网络电源最优配置最佳候选节点的凸最优潮流近似奥斯卡·达尼洛·蒙托亚哥伦比亚卡塔赫纳市图尔巴科路Km 1号玻利瓦尔理工大学电气工程和电子工程学院阿提奇莱因福奥文章历史记录:收到2019年2019年6月3日修订2019年6月26日接受在线提供2019年保留字:直流电网线性潮流近似凸模型二元变量的松弛最优潮流功率损耗降低A B S T R A C T提出了一种用序列二次规划法求解直流网络最优潮流的凸逼近方法。基于泰勒级数的线性化方法用于功率平衡方程的凸化。为了选择分布式发电机(DG)在直流网络上的最佳位置的最佳候选节点,提出了一种松弛的二进制变量,代表DG的位置。这种松弛允许识别用于减少功率损耗的最重要的节点以及不重要的节点。所提出的凸模型得到的最优解是最好的可能的解决方案,并用于调整组合优化技术,以恢复决策变量的二进制字符。非凸OPF模型的求解通过GAMS软件结合CONOPT求解器实现;此外,序列二次规划模型通过MATLAB中的quadprog求解,以减少在计算功率损耗方面的估计误差为了比较所提出的凸模型的结果,三个元启发式方法,采用遗传算法,粒子群优化,连续遗传算法,黑洞优化。©2019 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。1. 介绍1.1. 一般上下文在世界各地,电网是经济的发动机[3,33,37,42]。这些电网对于向人口提供其他主要服务至关重要,例如:电力、交通、水和无线连接[13,19,20,23,35,43]等。然而,这些网络的设计对于公用事业公司来说并不是一件容易的事情,因为它们的规划、建设、运营和管理需要仔细研究,以便使它们在长期内具有经济效益[15,17,21,22]。电网可以设计为交流(AC),直流(DC)或混合配置[34],以便为所有最终用户提供可靠,安全和优质的服务[18];公用事业公司的主要挑战之一是采用/提出有效的数学模型来分析他们的电网,以便对其进行投资[4]。本文提供了一种新的数学工具,以帮助公用事业在其规划和运行,特别是注意直流参数,电子邮件地址:o.d. ieee.org,omontoya@utb.edu.co卡拉布克大学负责的同行审查。digm作为一种有前途的方法,用于设计现代电气网络。1.2. 动机从高压到低压应用的直流电网的优化设计已成为专门文献[10,32]中的重要主题,因为这些电网允许通过避免额外的电力电子逆变器[11,24]将多个分布式能源直接集成到直流网络,这显然可以降低安装、操作和管理方面的成本[2,18]。与交流网络相比,直流网络的最大优势是消除了无功功率和频率的概念[31],这使得它们的控制和操作更容易[2]。然而,对于这两种类型的电网,当给定一组确定的功率注入、消耗和电网拓扑结构时,潮流分析是了解电网稳态行为的最重要工具[30]。本文的目的是为多台分布式发电机的直流电网最优潮流问题https://doi.org/10.1016/j.jestch.2019.06.0102215-0986/©2019 Karabuk University.出版社:Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页:www.elsevier.com/locate/jestch528O.D. 蒙托亚/工程 科学 和 技术, 一个 国际 杂志 23 (2020)527nXX¼-我K我我我我我我p-p¼viXGijvj8i2S;105ap-p½vkXGkmvm8k2D;105b1.3. 文献调查对于直流网络,最近提出了著名的牛顿-拉夫森收敛性的[8]和然而,当主要兴趣是确定最佳功率注入集合以减少功率损耗时,则最优潮流(OPF)分析似乎是主要工具[1]。请注意,DC网络的OPF模型是一个非线性非凸问题,难以有效求解[36];因此,最近提出了基于半定规划方法[11,9,25]、二阶锥规划方法[16]以及基于泰勒展开的方法的[28]和基于Taylor和Newton-Raphson线性化的序列二次近似当我们集中精力确定华盛顿最近的发展时本研究的主要结论以及未来研究的可能方向。2. 最优潮流建模OPF问题的数学建模是一个非线性非凸最小化问题[16],它试图找到电压变量和发电量的最佳组合,以减少电网导体上的总功率损耗本节介绍了传统的OPF模型和提出的凸逼近。2.1. 非线性最优潮流建模非线性非凸OPF问题的完整公式如下所示[30]。目标函数:网格规划,一些相关的工作,可以找到在专门的nn文献:[2]提出了一种混合交直流网络的一般设计,以最小化规划期间的投资和运营成本。此外,[18]比较了AC和DC规划模型,从经济和技术角度说明了它们最重要的方面。在[32]中,提出了一种用于设计具有光伏发电的DC微电网的规划方法。然而,可再生能源发电的位置和DC电网拓扑结构对应于规划问题的众所周知的输入,这降低了其数学复杂性。请注意,直流电网中DG的最佳位置和尺寸尚未在专业文献中得到充分研究,因此,替代了下面介绍的研究的贡献最小z¼G ijvivj联系我们其中Gij是电导矩阵的第i个分量,vi和vj分别表示节点i和j处的电压值,z是与网络的总功率损耗相关联的目标函数的值[31]。注意,n是节点的总数。约束条件:pg-pd¼viXGijvj8i2N;102N第1页vmin6vi最大6V8i2N;103N1.4. 贡献pg;最小值6pg6pg;最大值8i2N;104N其中,Pg和Pd是发电量和消耗量,在对现有技术进行审查之后,我们看到,关于直流电网在节点i处连接;pg;min和pg;max是最小值和最大值我我在专业文献中已有报道,除了[32],其中节点i处的发电能力;而vmin和vmax是我我研究了含光伏发电机的直流电网基于这一研究空白,本文提出了一种重新制定的OPF问题,结合放松的二进制特性的变量相关联的电源的最佳位置,从而获得一个凸的制定,允许确定最佳候选节点的电源在直流网络中的最佳位置与上述凸OPF方法(参见[30])相比,所提出的二次凸重构的主要区别在于检测用于电源分配的候选节点的最佳集合的可能性,以及通过使用用于处理表示该问题的所有二进制变量的任何离散化方法来确定其最佳大小1.5. 本文件的结构本文的其余部分组织如下:第2节探讨了最优潮流问题的经典公式,以及提出的凸重构使用基于泰勒级数展开的第三节给出了直流网络中电源最优配置问题的传统混合整数非线性形式此外,提出了建议的凸公式第四节介绍了由21个节点和69个节点组成的两条配电试验馈线和多个恒功率负荷的主要特性第5节提供了与计算实现和结果相关的所有细节第6节介绍每个节点处的电压分布的下限和上限。注意,N是DC网络的节点的集合。在由(1)-(4)给出的数学模型(3)和(4)分别是电压调节和发电能力约束重要的是要强调,只有一个约束使OFP模型(1)-(4)成为非线性非凸公式:功率平衡方程(参见等式(1))(2))[36]。然而,并非所有包含在(2)中的约束都是非线性的。其中一些与松弛节点(电压控制节点)相关,并且是线性的[6]。因此,节点集合N可以被划分为SD,其中S表示松弛节点集合,D表示松弛节点集合剩余节点(需求节点,即, DN S)。基于考虑到这些因素,功率平衡方程可以分解如下[30]。nGD我我第1页nGDKKm¼1这里,(5a)中的V1是电压控制节点s处的电压分布,其是恒定的且明确定义的[7]。此外,在需求节点上pg的存在意味着有可能存在内部O.D. 蒙托亚/工程 科学 和 技术, 一个 国际 杂志 23 (2020)527529ðÞnðÞðÞXXXnPS¼PSKK我我KKpg-pd ¼G吉夫v吉夫v -vv8k2D;我我pg;最小6pg6pg;最大8i2S;KXXK在这些节点上连接电源而不能控制它们的电压分布,即,小型分布式发电[11]。OPF模型凸化的主要挑战是获得(5b)[5]中给出的非线性约束的线性等价表示,这是本文的主要贡献之一,将在以下部分中介绍2.2. 最优潮流问题的凸逼近为了将OPF模型转换为凸近似,让我们考虑连续变量的简单乘积,如下[31]。fx;yxy;6其中主要的兴趣是找到围绕操作点x0;y0的f<$x;y <$x的线性表示。为了做到这一点,我们使用泰勒fx;yx0x0y-x0y0 Ox;y;7其中Ox;y对应于泰勒级数展开式的高阶项[30] ;然而,出于潮流分析的目的,由于与线性分量相比,这些项的连续性较小,因此现在,请注意,如果我们将乘积xy改变为乘积vkv m(在v k0;v m0附近),则表达式(5 b)可以变换为:(7)如下所示pg-pd¼XGkmvk0vmvm0vk-vk0vm0;8k2D;8m¼1最后,请注意,(9)给出的拟议模型与[28,30]报告的先前工作不同,因为这里采用泰勒级数的方式3. 电源的最佳位置和大小确定DC网络中电源的最佳位置和大小是非凸混合整数非线性规划(MINLP)模型[12],其中连续变量与OPF模型相关联,即,表达式(1)-(在本节中,我们提出了精确的MINLP模型以及建议的凸松弛,以确定一组最佳节点的可能位置的电源在直流电网。3.1. MINLP模型为了获得表示DC网络中电源的最佳位置和大小的精确模型,当功率平衡时,仅需要向表达式(4)如(5a)和(5b)中所示,将ance方程拆分。这个问题的完整数学模型如下所示。这显然是一组线性约束,可以将OPF模型转换为凸模型。为了完整性,完整的数学模型2(精确MINLP模型)。下面给出了具有所提出的凸近似的模型nn模型1(DC网络)。最小值z/Gijvivj;联系我们nnnminz<$XGijvivj;pg-pd<$XGijvj8i2S;联系我们n我我第1页npg-pd¼viXGijvj8i2S;29pg-pd¼vkXGkmvm8i2D;210第1页m¼1Xvmin6vi6vmax8i2N;KK公 M米0Kk0米0k0vmin6vi 6vmax8i2N;我我我xkpg;最小6pg6pg;最大8k2D;我最小值我pg6pg;最大8i2N;k k kjD ji6 i iXxk6Nmax;备注1.数学模型(9)是最优潮流问题的凸近似,明确功能,两仿射超平面,和两个线性k¼1jD j jD jpg6apd;k¼1k¼1不等式备注2.线性超平面(5a)和(8)也可以用于通过采用与基于在[31]中使用的泰勒级数的方法或在[8]中提出的常规牛顿-拉夫森形式相比的线性替代形式来求解经典潮流问题备注3.与经典的半定OPF模型相比,[25]或二阶锥近似[16]的优点在于,模型(9)不创建与电压分布相关联的n2个变量xk2 f0; 1g;8k2D;这里,Nmax是标量,可用于安装的电源的数量,α是允许电源进入DC电网的发电的百分比因子,即, 一0: 6表示a最多60%的电力消耗可以由分布式发电提供。注意,xk是与分布式发电的位置(xk1/ 4)的可能性相关联的二进制变量,节点k,或不(xk1/40)。备注4. MINLP模型(10)是非凸的,这是由于存在与需求节点相关联的功率平衡约束以及与电源的位置相关的二进制变量。m¼1530O.D. 蒙托亚/工程 科学 和 技术, 一个 国际 杂志 23 (2020)527XXpg-pd¼viXGijvj8i2D;12我我我我我PK 6aKKpd;Xn为了放松模型(10)的非线性灵敏度因子,以最佳选择最佳节点,用于在DC网络中定位分布式发电机,我们提出xk的二进制性质必须放松如下。06xk6 1;8k2D:1011mm在(11)中采用的松弛允许在网络中分配多个发电机,以便识别用于分布式发电机在电网中的最佳位置的最重要节点。考虑到这一点,我们在下面的部分中提出了凸松弛来完成这项任务。3.2. 建议凸松弛所提出的凸松弛对应于在由(9)定义的凸OPF模型中包括与如(11)中所呈现的电源的最佳位置相关联的约束集合,这是通过考虑如(11)中所示的二进制变量的性质被松弛来实现的。基于这些考虑,所提出的凸模型采用以下形式。模型3(松弛凸模型)。Fig. 1. 21节点测试系统的电气配置。4.2. 69节点测试馈线该测试系统是经典AC 69节点测试系统的改编,用于通过AC网络中的分布式发电集成降低功率损耗[12,14,39]。为了将该系统改造成直流电网,我们采用12.66 kV和100 kW作为电压和权力基础。此外,各支路的电抗分量以及各节点的无功功率消耗nN被忽略了。图2显示了69节点测试最小值z/Gijvivj;联系我们pg-pdGkmvk0vmvm0vk -vk0vm0;8k2D;m¼1n我我第1页馈线。其参数可以在[12]中找到。5. 计算实施和结果非凸非线性模型(10)和所提出的凸近似(12)的求解已经由通用代数建模系统(GAMS)结合CONOPT求解器来执行。在具有INTEL(R)CoreTMi 5- 3550处理器的台式计算机中,在3: 50vmin6vi 6vmax8i2N;GHz,8 GB RAM,运行64位Windows 7专业版操作系统,ing系统。pg;最小6pg6pg;最大8i2S;xkpg;最小6pg6pg;最大8k2D;对于这两个测试馈线,定位三个发电机的可能性进行了评估。对于21节点测试馈线,最大-k k kXjDjMax1.5 p.u.的最大容量而在69-节点测试馈线,此界限扩展到12 p.u.注意这些x k6 Nps ;k¼1XjDjgXjDjKk¼1k¼1根据[30,28]中为21节点试验开发的模拟试验,选择了两个[12][13][14][15][16][17][18][19][106×k6 1;8k2D;备注5.模型(11)和所提出的凸松弛(12)之间的主要区别在于,后一模型保证唯一解,而对于如(10)的非线性非凸模型,利用当前的优化技术这是不可能的。4. 测试系统为了验证所提出的凸近似选择最佳候选节点的最佳位置的电源在直流网络中,我们使用两个配电直流馈线,一个有21个和其他69个节点。4.1. 21节点测试馈线图1描述了测试系统,它是在[8,31]中提出的21节点测试系统的改编。松弛节点处的电压值被设置为1: 0 p.u.该测试系统的所有参数见[30,28]。5.1. 21节点测试馈线出于模拟目的,在该测试系统中,电源的穿透百分比固定为总功耗的60%图图3显示了激活二进制变量松弛的节点,这意味着这些节点是21节点测试系统中电源最佳位置的最佳选择。注意,在该图形解决方案中,12个节点作为最重要的节点出现,这意味着对于具有12个节点的分布式发电机的三个可能位置,当所有节点都被认为是候选节点时,1140个组合中有286个组合(不计算松弛节点的20个节点),这构成了解决方案空间大小的80:70%减小从图 在图3中,可以观察到,精确MINLP模型以及所提出的凸松弛识别对于电源的最优位置具有最佳性能的节点的相同子集,这意味着这些模型是等效的。1这些值是通过使用不重复组合的公式计算的O.D. 蒙托亚/工程 科学 和 技术, 一个 国际 杂志 23 (2020)527531×图二. 69节点测试系统的电气配置。图3.第三章。21节点试验馈线x凸模型的松弛解表121节点测试馈线中的功率损耗行为图图4描述了最重要的节点子集,这些节点是69节点测试馈线中电源最佳位置的候选节点。注意,这些节点是按区域集中的 在21至27之间的节点,不包括节点23和25(如图1所示,节点23和25位于主馈线的端部)。 2),以及从61到69的节点,除了节点63。注意,在该解决方案中(见图4),有13个重要节点组合了分配电源的三种可能性,这产生了286种组合,而原始解决方案空间有50,116个选项,这意味着所提出的宽松模型允许解决方案空间的大小减少99:43%重要的是,MINLP以及所提出的凸近似产生用于电源的最佳位置的最佳候选节点的相同子集,这在表2中呈现的结果中得到证实,表2中呈现的结果通过在每种情况下展示误差低于0: 04%的结果而示出两个模型在数值性能方面注意,正如在21节点测试馈线中发生的那样,对于69节点测试馈线,序列二次规划模型使用七次迭代来求解潮流模型,并且使用四次迭代来求解松弛的建议模型。5.3. 附加结果请注意,方法初始功率损耗[p.u.]最终功率损耗[kW]21节点和61节点测试馈线表明,模型20.276034110.02085889分别为92:44%和89:91%,这显然是Model 30.27603411(4)0.02086787(7)考虑到对于21节点测试,误差[%]00.04305馈线电源允许的最大穿透率为60%的总需求,而对于69节点测试馈线,这渗透率不超过40%。这些结果在表1中得到证实,其中当没有安装电源时,精确模型和凸提出的模型获得相同的目标函数值。最小误差为0:04%,表明在考虑二元变量松弛的情况下求解这些模型后,两个模型在目标函数方面获得了非常相似的解请注意,为了改进所提出的凸模型(见模型3)的解决方案,我们采用了最近在[30]中提出的序列二次规划方法。 这种方法允许通过在每次迭代n处更新初始点v 0来改进泰勒线性化的估计。因此,表1中括号中的数字4和7这些值指示顺序当考虑收敛误差较低时,在每种情况下求解凸模型的二次规划方法比110-10。这些结果是通过MATLAB结合quadprog工具箱获得的。5.2. 69节点测试馈线在这个测试系统中,我们假设分布式发电渗透率的百分比固定在总功耗的40%此外,为了证明解空间缩减在本文中提出的对应于候选节点的最佳可能的选择电源的最佳位置,我们评估了所有286种可能性的两个测试馈线,产生的结果提供在表3中。从表3中可以观察到,21节点测试馈线的最优解(离散解)对应于图3中绘制的较高条。此外,对于69个节点的测试馈线,也证明了相同的行为,其中条与节点21、61和64相关联。在降低功率损耗方面,注意,对于21节点和69节点测试馈线,离散解分别达到88:31%和89:78%最后,这些解决方案证实,所提出的方法选择最佳候选节点的最佳位置的电源表269节点测试馈线中的功率损耗行为方法初始功率损耗[p.u.]最终功率损耗[kW]模型21.538475530.15523231Model 31.53847556(4)0.15528870(7)误差[%]1:9500 × 10-60.0363图四、69节点试验馈线x凸模型的松弛解532O.D. 蒙托亚/工程 科学 和 技术, 一个 国际 杂志 23 (2020)527×表3两条试验馈线电源的位置和尺寸测试馈线节点尺寸[p.u]节点尺寸[p.u]节点尺寸[p.u]损失[p.u]21节点系统90.8350121.0258161.46320.030669节点系统211.41406110.2627643.88030.1573在直流电网中,对于解决本研究中分析的问题,在最终候选节点的质量方面具有出色的数值性能,用于可能的电源分配5.4. 与组合方法的比较为了证明所提出的方法有效地达到最佳可能的解决方案时,减少的解决方案空间进行评估,在本节中,我们提出了一个比较与经典的超启发式方法的基础上的遗传算法(GA)结合三个最优潮流(OPF)的方法也基于元算法。这些方法是粒子群优化(PSO),在[41]中报道,黑洞优化(BHO)[40]和连续遗传算法(CGA)[29]。请注意,GA是一种Chu Beasley方法,负责解决最佳位置问题,而OPF方法允许解决尺寸问题。为了在这些元算法之间进行公平的比较,我们采用了100个连续的评估,以确定标准差r,平均值l,功率损耗的最小值min,以及每种方法解决问题所需的平均时间tave此外,遗传算法的参数化与人口中的10个个体和100代周期,而OPF方法的工作与人口中的10个个体和200次迭代。表4示出了由每个元启发法提供的解决方案(即,GA-BHO,GA-CGA和GA-PSO),并与所提出的方法进行了对比时,减少的解决方案空间中的所有个人的评价。从表4中的结果,我们可以确认以下事实:所提出的凸逼近比所有的比较方法都快。对于21节点测试馈线,如果我们将列6中的所有时间相加,则所提出的方法花费4:23%的计算时间,而GA-BHO花费52:75%,这是处理时间方面最差的方法在69节点测试馈线的情况下,我们的方法使用1:81%的处理时间,而GA-BHO方法消耗53:49%的计算时间。● 两个测试系统的标准差证明了低于110- 16,这意味着对于每个连续的评估,所提出的方法达到相同的解决方案。这意味着松弛OPF模型由于其凸性而存在且仅存在一个解。对于两个测试馈线,可以观察到分布式发电机的最佳位置至少通过三种方法确定:GA-CGA,GA-PSO和所提出的方法(见表4中的第2列)。尽管如此,它们中的每一个都证明了不同的最小值(第5列),这意味着只有所提出的方法才允许达到全局最优值对于两种模拟情况,即0: 0306p.u.对于21节点测试馈线和0: 1573 p.u.对于69节点测试馈线,如表3所示。表4的第4列中给出的解的平均值证实,当使用元启发式方法优化连续问题时,需要多次此外,组合方法可以在最终溶液中显示出高分散性,如第3列中的标准偏差所证实的。6.结论和今后的工作提出了一种求解最优潮流问题的凸逼近方法,为直流网络中电源的最优选址提供了最佳候选节点的最优子集。为此,使用基于泰勒级数展开的线性化方法来分解电压变量的乘积。这种分解可以将平衡潮流方程从非线性非凸约束集变换为仿射超平面集,从而获得凸最优潮流近似。与精确非凸OPF模型的解相比,序列二次规划还用于减小功率损耗和电压值之间的估计此外,用于获得连续凸公式的与电源的最佳位置相关联的二进制变量这种放松允许减少80%以上的研究直流测试馈线的解决方案空间。该方法可以与组合优化技术相结合,探索简化的解空间,以达到问题的全局最优解在这种情况下,元启发式优化技术可以被用来作为一个大规模的搜索算法委托与定义的电源的位置,而所提出的凸最优潮流问题可以用于确定其最佳尺寸。表4与组合方法的比较。方法节点r[p.u.]l[p.u.]最小值[p.u.]tave[s]21-节点测试系统GA-BHO {9,12,16}2: 2761× 10-030.0368 0.0318 111.94400.031133.19740.0329 0.0311 33.1974GA-PSO {9,12,16}1: 8437× 10-030.0319 0.0306 58.0934建议{9,12,16}1: 0257× 10-160. 0306 0.0306 8.968869- 节点测试系统GA-BHO {23,61 67}2: 5207× 10-030.1633 0.1593 713.7193Copyright© 2018-2019 www.cn-gz.com版权所有GA-PSO {21,61,64}5: 4023× 10-040.1689 0.1588 378.4731建议{21,61,64}1: 0520× 10-160. 1573 0.1573 24.1868●●●O.D. 蒙托亚/工程 科学 和 技术, 一个 国际 杂志 23 (2020)527533财政支持这 项 工 作 得 到 了 哥 伦 比 亚 科 学 , 技 术 和 创 新 行 政 部(COLCIENCIAS)通过国家奖学金计划资助727-2015的部分支持,以及玻利瓦尔理工大学项目C2018 P020的部分支持。引用[1] H. 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