合幺半群与有限维C*-代数的新几何定义

理论计算机科学电子笔记270（1）（2011）129-145www.elsevier.com/locate/entcs高维C ~*-代数Jamie Vicary杰米·维卡里1，2理论物理BlackettLaboratory ImperialCollege London伦敦，SW7 2AZ英国摘要我们发展了对合幺半群的概念，并用它来证明有限维C*-代数与有限维复希尔伯特空间范畴中的特殊酉<$-Frobenius幺半群相同。这给出了有限维C*-代数的一个新的几何定义，与传统的代数定义不同。保留字：C*-代数，Frobenius代数1引言这篇论文的主要目的是描述<$-Frobenius幺半群是如何以范畴的方式描述有限维C*-代数的正确工具。以来†-弗罗贝纽斯幺半群有完全的几何公理，这提供了一种新的方式来看待这些传统的代数对象。这种视角上的差异可以被认为是从“内部”视角转向“外部”视角。 传统上，我们将C*-代数表示为向量空间的元素集合，以及告诉您如何相乘元素，找到单位元素，应用对合和取范数的额外结构。 这是一个“内部”的观点，因为我们直接处理集合的元素。“外部”的1感谢Samson Abramsky、Bruce Bartlett、Bob Coecke、Chris Heunen、Chris Isham和Dusko Pavlovic进行了有益的讨论。2电 子邮件：jamie. comlab.ox.ac.uk1571-0661 © 2011 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2011.01.012130J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129其他向量空间，这些关系给出了完全定义C*-代数的另一种方法。当然，范畴论使这个比喻完全精确，这两种观点之间的过渡是非常熟悉的。在范畴理论上，我们的主要结果可以表述如下：在定理3.26中，我们证明了有限维C*-代数与有限维复希尔伯特空间范畴Hilb预计这些结果将对信息理论产生有趣的分支。C*-代数技术通常用于探索量子信息的性质;这方面的一个很好的例子是CBH定理[3]。本文给出的C ~*-代数的描述为研究这一问题提供了一种新的、更抽象的方法。这些结果也提出了一个新的，更抽象的路线调查的物理应用的C*-代数。最直接的应用，我们不讨论在本文中，是研究酉拓扑量子场理论。我们还注意到，我们在本文中所关注的特殊酉Frobenius幺半群已经被证明可以产生共形场理论[9];本文的结果表明，这样的理论应该被认为是广义C*-代数。1.1为什么是Frobenius monoids？关于为什么选择†-Frobenius幺半群是正确的结构的见解包含在下面的观察中，这是由于Coecke，Pavlovic和作者[5]。设（V，m，u）是复向量空间V上的结合酉代数，具有乘法映射m：V<$V）V和单位映射u：C）V. 我们可以映射任何元素α∈VV上的算子代数通过构造正确的动作，线性映射Rα：=m<$（idA<$α）：V）V.我们以如下方式绘制此正确操作：α这张图是从下往上读的。这是我们对Rα的定义的直接表示：垂直线表示向量空间V，点表示状态α的准备，两条线的合并表示多个折叠操作m：VV）V. 如果V 实际上是一个希尔伯特空间构造伴随映射Rαt：V）V。这个伴随也是V的某个元素的右作用吗？在（V，m，u）实际上是一个<$-弗罗贝纽斯幺半群的情况下，答案是肯定的。我们通过将图在水平轴上平移来绘制伴随Rα†，但保持J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129131α†箭头指向其原始方向：α†直线一分为二表示乘法的伴随，点表示线性映射α<$：V）C。乘法和单位法<$-Frobenius么半群的各态及其伴随必须服从以下方程（见定义3.3）：- -左边是弗罗贝纽斯方程，右边是单位方程。单位方程中的短横线代表幺半群的单位，直竖线代表幺半群上的单位同态。事实上，我们还有两个额外的方程，因为我们可以取单位方程的伴随。我们可以使用单位方程和弗罗贝纽斯方程，以如下方式重新绘制Rα†α†α†=-=α†因此，我们看到Rα的伴随确实是某个元素的右作用R αu。为了更好地理解这个变换α）αJ，我们使用Frobenius和单位方程以及†-函子是一个函数的事实，将它应用两次来计算（αJ）J。132J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129αα内卷：（αJ）†- -（αJ）J（α<$）<$α我们看到（αJ）J= α，因此运算α）αJ是一个对合。就任国家主席后展开伴随Rα）R†显然也是一个对合，因此，进入V上的算子环的幺半群是保持对合的，因为它将一个对合映射到另一个对合。我们将看到映射是单射的，并且保持（V，m，u）的乘法和单位，因此实际上我们有一个全边对合保持幺半群嵌入，如引理3.19和3.20所描述的。这个观察是为什么Frobenius幺半群是如此强大的工具的原因之一。事实上，给定V上的算子代数是一个C*-代数，其对合由算子伴随给出，并且由于C*-代数的任何对合闭子代数也是一个C*-代数，我们已经证明了在Hilb中的每个<$-Frobenius幺半群都可以被给出一个C*-代数范数。2†-categories结构2.1†-函子在我们将使用的所有范畴结构中，最基本的是<$-函子。它是两个希尔伯特空间之间的线性映射的伴随运算的公理化，并且由于知道所有的映射C）H等价于知道H上的内积，它也可以作为一个内积的公理化。定义2.1范畴C上的一个<$-函子是一个反变内函子<$：C）C，这是对象上的恒等式，满足<$<$=idC。定义2.2A †-类别是一个配备了特定选择的类别，†-函子。我们把一个<$-函子在一个态射f：A）B上的作用记为f<$：B）A，按照惯例我们把态射f<$称为f的伴随。我们现在可以做出以下简单的定义：定义2.3在一个<$-范畴中，态射f：A）B是一个等距的，如果f<$$>f=idA;换句话说，如果f<$是f的一个收缩。定义2.4在一个<$-范畴中，态射f：A）B是酉的，如果f<$$> f=idA且f<$f<$=idB;换句话说，如果f是一个同构且f−1=f<$。J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129133一一2.2Monoidal†-范畴现在我们研究在我们的monoidal范畴既有π又有一个<$-函子的情况下的适当的相容性条件。定义2.5一个monoidal<$-范畴是一个monoidal范畴，它配备了一个†-函子，使得结合性和单位自然同构是酉的。如果monoidal范畴具有辫状自然同构，那么这些自然同构也必须是酉的。关于monoidal范畴理论的要点，一个很好的参考文献是[7]。在monoidal <$-范畴中，我们可以给出通常与希尔伯特空间相关的一些重要术语的抽象定义。定义2.6在么半群范畴中，标量是么半群Hom（I，I）。 在么半群的<$-范畴中，标量形成一个具有对合的么半群。定义2.7在monoidal<$-范畴中，对象A的状态是态射φ：I）A.定义2.8在monoidal<$-范畴中，状态φ的平方范数：I）A是标量φ<$φ：I）I。如果我们的<$-范畴也有一个零对象，我们注意到一个非零状态的平方范数很可能为零。因此，按照目前的情况，2.8似乎是向量空间上平方范数概念的一个糟糕的抽象。在[11]中，我们描述了一种克服这个问题的方法，但在这里它不会影响我们。定义2.9一个具有π的monoidal<$-范畴是一个monoidal<$-范畴，使得每个对象A都有一个指定的左对偶对象和右对偶对象Aπ，这个指定满足（Aπ）π=A，并且每个对象都有指定的左对偶态射和右对偶态射，使得这些指定与<$-函子以下列方式相容：L=ηR <$=ηL<$=AA AA由于左和右对偶态射可以用<$-functor相互得到，从现在开始我们将只直接涉及左对偶态射，定义为Δ A：= ΔL和η A：= ηL。 此外，由于对偶函子（−）<$L 和（−）R相同，我们使用更简单的符号（−）。事实上，这个对偶函子是一个对合，并且与<$-函子交换。因此，对偶和<$-函子的合成也是一个对合。定义2.10在一个具有π的幺半群<$-范畴中，共轭函子（−）π在所有态射f上定义为fπ=（fπ）<$=（fπ）π。因为<$-函子是对象上的单位元，所以对于所有对象A，我们有A=A。 为了使这个等式更清楚，我们将只写A，而不使用A形式134J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129对于任何态射f：A）B，我们可以使用这些函子来构造f：A）B、f：B）A和f<$：B）A，并且能够以图形方式容易地区分这些 我 们 将 使 用 最 初 由 Selinger [10] 提 出 的 方 法 ， 其 形 式 为 Coecke 和Pavlovic[4]：AB在其他工作中，一个重要的概念是强紧闭范畴[1，2]中所述。 使用这里给出的定义，这等价于对称monoidal†-带的类别。2.3对合幺半群泛函分析中的一个重要工具是代数-代数：一个复杂的，结合的，酉代数，它配备了一个反线性对合同态，从代数- bra到它本身，它颠倒了乘法的顺序范畴理论上，这样的同态不是很方便处理，因为向量空间范畴中的态射通常被选择为线性映射。然而，如果向量空间有一个内积，这会导致从向量空间到它的对偶的一个标准反线性同构。将其与反线性自对合相结合，我们得到了从向量空间到其对偶的线性同构从范畴的角度来看，这种同构形式要有用得多，我们用它来定义对合幺半群的概念。我们将证明，这是等价于一个传统的代数时，适用于一类复杂的希尔伯特空间。研究这些范畴对象的自然背景是具有共轭函子的范畴，如上所定义。定义2.11在幺半群范畴中，幺半群是一个有序三元组（A，m，u），由一个对象A，一个乘法态射m：A<$A）A和一个单位态射u：I）A组成，它们满足结合性和单位方程：（2）2.12在monoidal<$-范畴中 有了它， 对合幺半群（A，m，u;s）是一个内部幺半群（A，m，u），它配备了一个态射s：A）称为线性对合的A，它是幺半群关于A上幺半群结构（A，m，u）的态射，并且满足对合条件ss = id A.（三）BF一一f†BfB组fA.J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129135从这个定义可以得出，s和s是相互逆的态射，因为将共轭函子应用于对合条件得到ss=idA。我们还注意到，对于任何这样的对合幺半群s：A）A和s：A）A是平行态射，但它们不一定相同。定义2.13在一个具有π的monoidal<$-范畴中，给定对合幺半群（A，m，u;sA）和（B，n，v;sB），态射f：A）B是对合幺半群的同态，如果它是幺半群的态射，并且如果它满足对合-保存条件s Bf = fs A.（四）如果对象B是自对偶的，则对合s B：B）B有可能是单位元。设（B，n，v; idB）是这样一个对合幺半群. 在这种情况下，即使当线性对合s A不是平凡的时，也有一些困难来找到一个在幺半群中的非平凡对合s A的f：（A，m，u ; s A）n）（B，n，v ; id B）！我们将看到一个例子在下一节中。下面的引理证明了在适当的上下文中，传统的对合-代数的概念和对合幺半群的范畴概念是相同的。我们证明了有限维代数的等价性，因为有限维复向量空间的范畴形成了一个具有π的范畴。引理2.14对于有限维复希尔伯特空间V上的酉结合代数，存在以下结构之间的对应(i) 反线性映射t：V）V是对合，是反序代数同态;(ii) inear映射ss：V）V_n，其中V_n是V_n的二分之一，满足s_nes=idV，并且它们是V_n上共轭代数的代数同态。此外，这些结构的同态的自然概念也是等价的。由于篇幅的原因，我们省略了证明。3关于†-Frobenius幺半群的3.1引入†-Frobenius幺半群我们从重要概念的定义开始。定义3.1在monoidal范畴中，一个余元是一个monoid的对偶概念;也就是说，它是一个有序三元组（A，n，v）×，由一个对象A、一个余元n：A）AA和一个余元v：A）I组成，它们满足余结合性。136J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129和计数方程：=（5）如果一个对象既有选择幺半群结构又有选择幺半群结构，那么有一个重要的方法可以使它们彼此相容定义3.2在么半群范畴中，Frobenius结构是对某个对象A选择么半群（A，m，u）和余半群（A，n，v）×，使得乘法m和余乘法n满足以下方程：==（6）从下到上阅读这些图表，一条线的分裂代表乘法n，两条线的合并代表乘法m。弗罗贝纽斯结构的这种几何定义虽然众所周知，但在精确配对方面与Kock [6]的书中对各种可能的定义进行了很好的Frobenius结构的一个重要性质是它可以用来证明底层对象是自对偶的。如果我们在一个<$-范畴中工作，从任何幺半群（A，m，u）中我们都可以正规地得到一个定义3.3在一个幺半群<$-范畴中，一个幺半群（A，m，u）是<$-Frobenius幺半群，如果它与它的伴随（A，m<$，u<$）×形成一个Frobenius结构。给定一个<$-Frobenius幺半群（A，m，u），我们称m<$为它的余乘，作为它的计数。3.2关于†-Frobenius幺半群的现在我们来看一下<$-弗罗贝纽斯幺半群和第2节的对合幺半群之间的关系。我们将看到，一个<$-Frobenius幺半群可以用两种典型的方式给出一个对合幺半群的结构，这两种典型的方式一般是不同的。定义3.4在一个具有π的么半群<$-范畴中，一弗罗贝纽斯幺半群（A，m，u）有一个左对合sL：A）A和右对合sR：A）AJ. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129137††定义如下：（七）.- 是的ΣsL：=（（um）idA）（idAA）sR：=idA（um）AidA在每一种情况下，第二幅图只是一种方便的简写，它应该被解释为第一幅图。这些对合以有趣的方式与共轭函子和转置函子相互作用，正如我们在下一个引理中探索的那样。引理3.5在一个具有π的monoidal<$-范畴中，一个<$-Frobenius幺半群的左对合和右对合满足以下方程：sL=sR，sR=sL（8）sL=s−1，sR=s−1（九）L Rs−1=sR<$，s−1=sL<$（10）L R现在我们将这些关于<$-Frobenius么半群的对合的结果与第2节中的对合么半群的概念结合起来。引理3.6在一个具有π的monoidal<$-范畴中，给定一个<$-Frobenius monoid（A，m，u），我们可以正则地得到两个对合monoid（A，m，u; sL）和（A，m，u;sR），其中sL和sR分别是对应于monoid的左对合和右对合。证据 我们处理右对合的情况;左对合的情况是类似的。我们必须证明s R：A）A是幺半群的态射，并且它满足对合条件。我们首先表明，它保留乘法，采用弗罗贝纽斯，单位和结合定律：=-我们省略了sR保持单位的证明，因为它很简单。对合条件sRsR= idA由引理3.5中的一个方程（9）得出。Q=====138J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129这使我们得出以下定义。定义3.7在一个具有π的monoidal<$-范畴中，一个<$-Frobenius左（或右）对合幺半群是一个对合幺半群（A，m，u;s），使得幺半群J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129139jJjJJ JJ（A，m，u）是<$-Frobenius，并且使得对合s是<$-Frobenius幺半群的左（或右）对合，其方式由定义3.4描述。以下引理描述了<$-Frobenius右对合幺半群的一个有用性质，它给出了幺半群同态是等距的一个充要代数条件。引理3.8在一个具有π的幺半群<$-范畴中，<$-Frobenius右对合幺半群的同态是等距的当且仅当它保持可数性。证据设j：（A，m，u））（B，n，v）是<$-Frobenius右对合幺半群之间的同态.假设j保持计数，我们通过下面的图形论证证明它是等距第三步利用了j保持对合的事实，第五步是它是幺半群的同态，第六步是它保持可数。==-- -现在改为假设j是等距的。 它是一个同态，所以我们有unit-pre s ervationju=v，以及ju=u=jv的r e。Applyingthehee我们得到u<$=v<$<$j，这是计数保持条件。Q3.3特殊酉†-Frobenius幺半群我们将主要对两个对合相同的情况感兴趣，现在我们探讨在什么条件下这成立。定义3.9在一个具有π的幺半群<$-范畴中，一个<$-Frobenius幺半群是幺半群，如果左对合或等价的右对合是幺半群。从引理3.5可以得出它们是等价的。定义3.10在一个有的辫子monoidal <$-范畴中，a<$-Frobeniusj†jJJ140J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129如果满足以下方程，则幺半群是平衡对称的=（11）术语对称是标准的（例如，参见[6，2.2.9节]），描述了一个类似的属性，在方程的右侧的一条腿上没有“平衡环”。在Hilb中，这个循环是恒等式，因此概念是相同的，但在其他感兴趣的类别中可能不是这种情况。引理3.11在一个具有π的monoidal<$†-Frobenius幺半群等价：(i) 它是单一的;(ii) 它是平衡对称的;(iii) 左对合和右对合相同;其中只有当单体结构具有编织时，性质2才适用证据我们首先给出一个图形证明，证明3≠ 2，使用性质3将第二个表达式转换为第三个：- -一个类似的论点表明，2× 3。从引理3.5的方程（10）可以得出1惠 3，因此所有三个性质都是等价的。Q我们将主要用“酉”这个术语来指这些等价的性质，因为它更明显地符合<$-范畴的一般哲学，即所有的结构同构都应该是酉的。我们还注意到，如果一个<$-Frobenius左对合幺半群或右对合幺半群是酉的，那么我们可以简单地称它为"<$-Frobenius对合幺半群“，因为在这种情况下左对合和右对合重合。酉<$-Frobenius幺半群的一个特别好的特征是，我们可以从乘法、单位、余乘和可数中正则地获得它们的底层空间的抽象“维数”，如下面的引理所示。它们也迫使这个维度行为良好。在向量空间和线性映射的范畴中，这个维度将对应于向量空间的维度。定义3.12在一个monoidal <$-范畴中，对象A的维数由标量A<$A<$A：I）I给出，记为dim（A）。J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129141==引理3.13在一个有m的幺半群m u;也就是说，A的维数等于m u的平方范数。也就是说，dim（A）= dim（A）。证据 我们用以下一系列图片来证明这一点：dim（A）== dim（A）中心图是uu，所以这证明了引理。Q现在我们介绍一个Frobenius么半群的一个最终性质。定义3.14在么半群<$-范畴中，<$-Frobenius么半群（A，m，u）是特殊的，如果m<$m<$= idA;也就是说，如果余乘是等距的。这个属性简化了底层空间的维数的表达式。引理3.15在一个有m的幺半群u;也就是说，A的维数等于u的平方范数。证据 直接从引理3.13开始。Q3.4自同态幺半群给定一个希尔伯特空间H，考虑H上有界线性算子的代数通常是有用的。这些给出了C*-代数的典型例子，取伴随算子给出的对合。在一个具有自同态的幺半群范畴中，我们可以构造自同态幺半群，它们是这些有界线性算子代数的范畴类似物。我们将看到它们构成了一类重要的<$-Frobenius幺半群，并且它们具有特别好的性质。定义3.16在monoidal范畴中，对于具有左对偶AL的对象A，自同态幺半群End（A）定义为：.LLL结束（A）：=A阿贾克斯，id A 安·阿.（十二）下面的引理描述了范畴对偶和弗罗贝纽斯结构之间的一个众所周知的联系引理3.17在一个具有π的monoidal<$-范畴中，一个自同态monoid是一个[2]弗罗贝纽斯幺半群。证据 对于自同态幺半群End（A），==142J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129从它的图形表示中可以清楚地看出，我们在这里给出=-Q它们是前一节讨论的酉幺半群的例子。引理3.18在一个具有π的幺半群的<$-范畴中，自同态幺半群是酉的。证据根据等式（7），对于与一个†-Frobenius幺半群相关联的左对合，我们得到以下结果：这分明就是阿阿的身份。 右对合也是恒等式，通过这个图像的共轭。根据引理3.11，†-弗罗贝纽斯幺半群因此必须是幺正的。Q下面的引理是一个直观概念的形式描述，即一个代数应该有一个同态到基础空间上的算子代数，通过对每个元素采取正确的行动引理3.19设（A，m，u）是monoidal范畴中的monoid，其中对象A有左对偶。 则（A，m，u）有一个幺半群同态到A的自同态幺半群.嵌入态射具有以下图形表示：AAˆh=一正如我们在引言中看到的，对于<$-Frobenius幺半群的情形，这种嵌入有一个特殊的性质：它保持对合。我们在下面的引理中正式地证明了这一点。引理3.20设（A，m，u; s R）是一个Frobenius右对合幺半群。 则（A，m，u; s R）到对合幺半群End（A）的正则嵌入是对合幺半群的态射。J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129143证据根据引理3.19，嵌入必须是幺半群的态射。注意，我们不需要指定我们是使用End（A）的左对合还是右对合，因为根据引理3.18，它们都是恒等式。我们必须证明这种嵌入momorphismk：A）AA满足invonditionk=kRgivenin定义2.13. 证明使用Frobenius定律和单位定律。==-Q3.5Hilb中特殊酉<$-Frobenius幺半群从现在开始，我们将主要研究有限维复Hilbert空间和连续线性映射的范畴Hilbert，它是一个对称的么半群†-带的类别。特殊的酉<$-Frobenius幺半群在这种情况下具有特别好的性质。下面的引理包含了Coecke、Pavlovic和作者的重要见解，如引言和[5]中所述引理3.21在Hilb中，一个<$-Frobenius右对合么半群有一个范数使它成为一个C*-代数。证据根据引理3.20，一个<$-Frobenius右对合幺半群（A，m，u）有一个保持对合的嵌入到End（A）中，当配备算子范数时，End（A）是一个C* 代数因此，对合幺半群（A，m，u）有一个C*-代数范数，取自嵌入下End（A）上的范数Q我们还需要下面的重要结果，它证明了范畴Hilb的一个重要的抽象性质。引理3.22在Hilb中，特殊酉<$-Frobenius对合幺半群的同构保持可数。证据任何特殊的酉<$-Frobenius对合幺半群都是特别的<$- Frobenius右对合幺半群，因此允许一个范数，利用引理3.21它成为一个C*-代数。二维C*-代数是半单的，因此以规范的方式同构于矩阵代数的有限直和;两个有限维C*-代数之间的同构则由矩阵代数的成对同构的直和给出。因此，我们只需要证明引理对于特殊的酉<$-Frobenius对合幺半群是成立的，这些幺半群是矩阵代数，对合由矩阵伴随给出。设（A，m，u;s）和（B，n，v;t）是特殊的酉<$-Frobenius对合幺半群，两同构到一些矩阵alge- bra End（Cn）.它们之间的任何同构都必须有某种分解成同构F：（A，m，u;s））结束（Cn）和g：End（Cn））（B，n，v;t）。gf保持可数性的陈述是144J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129u†v†n等价于下图的外侧菱形互换的陈述：Cˆ（A，m，u;s）FTr结束（Cn）（B，n，v;t）G（十三）我们将证明每个三角形都是对易的，因此整个图也是对易的。我们重点讨论了包含同构的三角形另一个三角形的处理是类似的。我们的策略是展示ρg：=1·v<$g是End（Cn）的一个迹态它将单位取为1，因为1·v<$gL=n n B1·v<$v=1· dim（B）=1·n= 1，其中我们使用g是同态n n n引理3.15;这就是我们要求†-Frobenius么半群是特别. 我们可以用下面的方法简化ρg在正元素上的作用，其中φ：I）CnCn是End（Cn）的任意非零状态，φJ是对这个状态应用对合的结果：=右边的表达式是g <$φ的平方范数，它是正的，因为Hilb中的内积是非退化的，φ是非零的;这表明ρ g取正元素为非负实数，End（Cn）的状态也是如此。根据引理3.11，对合幺半群End（A）是平衡对称的，并且由于我们在Hilb中，平衡环可以忽略;这意味着对于所有a，b ∈ End（A），ρ g<$（a<$b）= ρ g<$（b <$a），因此ρ g是迹的。ρg是矩阵代数的一个迹态。然而，一个标准的结果是复n维向量空间上的矩阵代数具有由1Tr给出的唯一迹态（例如，见[8，例6. 2. 1]）。因此，三角形按要求进行交换。Q我们可以把这个引理和前面的一个引理结合起来，得到一个非常有用的结果。引理3.23在Hilb中，特殊酉对合幺半群的同构是酉的。证据 从引理3.8和3.22直接推导。Q给定一个在Hilb中的<$-Frobenius幺半群，在复向量空间上缩放内积会产生一族新的<$-Frobenius幺半群。我们首先注意到线性映射的标度内积和伴随之间的关系。nρgg=-φφJφφJGφGφJφ†φ†φ †g<$g<$Gg†φ=G=GφφJ. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129145n引理3.24设V是一个具有内积（−，−）V的复向量空间，f：V <$n）V <$m是一个线性映射，伴随f <$在这个内积下。 如果内积被标度为α·（−，−），其中α为正实数，则f的伴随为α m−nf <$。引理3.25对于一个<$-Frobenius么半群（A，m，u），将A上的内积按任意正实数缩放，得到一个新的<$-Frobenius么半群。此外，这种缩放保持了酉性。现在我们准备证明有限维C*-代数和对称酉<$-Frobenius幺半群之间的主要对应定理。定理3.26在 Hilb中，对合么半群的下列性质是等价的：(i) 它允许一个范数使它成为C*-代数;(ii) 它允许一个内积，使它成为一个特殊的酉对合幺半群;(iii) 它有一个内积，使它成为一个<$-Frobenius右对合幺半群。此外，如果这些性质成立，那么1和2中的结构是唯一允许的。证据首先，我们指出，性质1的范数与性质2或性质3的内积没有直接关系，这是从内积得到范数的通常方法，有时反之亦然。事实上，C*-代数的范数通常不满足恒等式，因此不能直接由任何内积产生。我们先来看看1- 2。我们首先将有限维C*-代数分解为矩阵代数的有限直和。对于任何这样的矩阵代数，内积由（a，b）：= Tr（a<$b）给出。这给出了一个在Hilb中的自同态幺半群End（Cn），对于某个n，它是一个酉的<$-Frobenius幺半群，如所描述的引理3.17和3.18。这样的幺半群不是特殊的，除非它是一维的;我们有m A，其中m是自同态幺半群的乘法。我们重新调整内积，用（a，b））：=n Tr（a<$b）代替。如引理3.24所描述的，将m在这个新的内积下的伴随记为m，我们将有m=1m†，并且mm=id AA。 通过引理3.25，这保持了幺半群的对合和酉性，因此我们得到一个特殊的酉<$-Frobenius幺半群，它具有与原矩阵代数相同的基础代数和对合。 对分解中的每个矩阵代数取它们的直和，得到一个特殊的酉<$-Frobenius对合幺半群，其基础代数和对合与原C*-代数相同。蕴涵2<$3是平凡的，而蕴涵3<$1包含在引理3.21中，因此这三个性质是等价的。我们现在证明，如果这些性质成立，性质1和2中的范数和内积是唯一的众所周知，C*-代数有唯一的范数。现在假设一个有限维复代数有两个146J. Vicary/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）129不同的内积，这产生了两个特殊的酉<$-Frobenius对合幺半群。由于这些幺半群具有相同的基本元素集和相同的对合，因此它们之间存在由该集合上的恒等式给出的明显的保持对合的同构。但是根据引理3.23，特殊的酉<$-Frobenius对合幺半群在Hilb中的任何同构必然是等距的，因此是酉的，因此两个幺半群上的内积实际上是相同的。Q确认我感谢EPSRC和QNET的财政支持交换图是使用Paul Taylor的图包生成的引用[1] Abramsky ， S. 和B. Coecke， A categorical semantics of quantum protocols ，Proceedings of the 19thAnnual IEEE Symposium on Logic in Computer Science（2004），pp. 415-425，IEEE计算机科学出版社。[2] Abramsky， S.和 B.Coecke ， Abstract Physical Traces ， Theory and Applications of Categories 14（2005），pp.111-124URLhttp://tac.mta.ca/tac/volumes/14/6/14-06abs.html[3] 克利夫顿河J. Bub和H.Halvorson，Characterizing quantum theory in terms of information-theoryconstraints，Foundations of Physics 33（2003），pp.1561-1591年。[4] 科克湾和D.Pavlovic，[5] Coecke，B.，D. Pavlovic和J.FdHilb中的Vicary、（2008），技术报告。[6] Kock，J.，“Frobenius Algebras and 2D Topological Quantum Field Theories,” Cambridge University[7] Mac Lane，S.，[8] Murphy，G. 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