五、<G，*>是个群，u∈G，定义G中的运算“”为：a, b∈G，ab=a*u-1*b，，证明：<G，>是个含幺半群。

要证明<G, *>是一个含幺半群，我们需要证明它满足以下条件：

1. 封闭性：对于任意的a, b∈G，ab=a*u-1*b也属于G。

2. 结合律：对于任意的a, b, c∈G，(ab)c=(a*u-1*b)c=a*u-1*b*u-1*c=a*u-1*(b*u-1*c)=a*(b*u-1*c)也属于G。

3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，ae=a*u-1*e=a*u-1=a和ea=(e*u-1)a=e*u-1*a=a也属于G。

4. 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a-1∈G，使得aa-1=a*u-1*a-1=a*u-1*a-1*u=aa*u-1=a*u-1=ea=e和a-1a=a-1*u-1*a=a*u-1*a*u=a*aa*u-1=a*ea=a也属于G。

因此，由以上证明可知，<G, *>是一个含幺半群。

相关问题

设群<G,*>的运算表如下，写出<G,*>的所有子群，及其相应的左陪集

首先，我们来解释一下什么是子群：

在数学中，一个群（Group）是一组元素和一个二元运算，满足结合律和存在单位元。如果一个群的元素和运算都属于另一个群，那么第一个群就是第二个群的子群（Subgroup）。

回到你的问题，如果我们想要求出群 <G,*> 的所有子群，就需要满足以下条件：

1. H 是 G 的子集
2. 对于 H 中的任意两个元素 x 和 y，都有 x*y 属于 H

我们称 H 是 G 的左陪集（Left Coset），表示 H 是 G 的一个子群。

举个例子，假设群 G 有三个元素 {a, b, c}，且运算表如下：

| * | a | b | c |
|----|----|----|----|
| a | a | c | b |
| b | b | a | c |
| c | c | b | a |

那么，G 的所有子群可能是：

| H | 左陪集 |
|---------|------------------|
| {a} | {a}, {b}*{a}, {c}*{a} |
| {b} | {b}, {a}*{b}, {c}*{b} |
| {c} | {c}, {a}*{c}, {b}*{c} |
| {a, b} | {a, b}, {c}*{a, b} |
| {a, c} | {a, c}, {b}*{a, c} |
| {b, c} | {b, c}, {a}*{b, c} |
| {a, b, c} | {a, b, c} |

注意：对于每个 H，

如果集合A属于R且<A，*>是群，则称A是实数乘法群。证明<{0},*>,<{1},*>,<{1,-1},*>是所有有限实数乘法群。

### 回答1：
首先，我们需要明确实数乘法群的定义。实数乘法群是指一个由实数构成的集合A，其中满足以下条件：

1. A是实数域R的子集；

2. A关于实数乘法运算“*”是封闭的；

3. 存在一个元素1∈A，使得对于任意a∈A，都有a*1=1*a=a；

4. 对于任意a,b,c∈A，有(a*b)*c=a*(b*c)；

5. 存在每一个元素a∈A都有一个逆元素a’∈A，满足a*a’=a’*a=1。

现在我们来证明<{0},*>,<{1},*>,<{1,-1},*>是所有有限实数乘法群。

首先考虑<{0},*>。显然，0*a=a*0=0，因此<{0},*>是封闭的。对于任何元素a∈<{0},*>，它的逆元素a’满足0*a’=a’*0=0，因此a’=0。因此，<{0},*>满足实数乘法群的所有条件。

接下来考虑<{1},*>。由于对于任何实数a∈R，都有1*a=a*1=a，因此<{1},*>是封闭的，并且1是单位元素。另外，任何实数a的逆元素是1/a，因此<{1},*>满足实数乘法群的所有条件。

最后考虑<{1,-1},*>。显然，1*1=1和(-1)*(-1)=1，这意味着<{1,-1},*>是封闭的，并且存在两个不同的元素1和-1，满足对于任意实数a，a*1=a和a*(-1)=-a。此外，任何实数a的逆元素可以表示为a’=a/|a|，其中|a|表示a的绝对值，因此<{1,-1},*>也满足实数乘法群的所有条件。

因此，我们证明了<{0},*>,<{1},*>,<{1,-1},*>是所有有限实数乘法群。

### 回答2：
首先，我们需要证明<{0},*>是一个有限实数乘法群。

对于任意实数a，有0 * a = a * 0 = 0。即任意实数乘0结果都是0。

另外，对于任意实数a，有a * a = a。也就是说，任意实数乘以自身的结果都是它本身。

因此，<{0},*>是一个闭合性、结合性、存在单位元和逆元的群。而且由于该集合只包含一个元素0，所以是一个有限实数乘法群。

接下来，我们证明<{1},*>也是一个有限实数乘法群。

对于任意实数a，有1 * a = a * 1 = a。即任意实数乘以1的结果都是它本身。

另外，对于任意实数a，有a * a = a。也就是说，任意实数乘以自身的结果都是它本身。

因此，<{1},*>是一个闭合性、结合性、存在单位元和逆元的群。而且由于该集合只包含一个元素1，所以是一个有限实数乘法群。

最后，我们证明<{1,-1},*>也是一个有限实数乘法群。

对于任意实数a，有1 * a = a * 1 = a。即任意实数乘以1的结果都是它本身。

对于任意实数a，有(-1) * a = a * (-1) = -a。即任意实数乘以-1的结果都是它的相反数。

另外，对于任意实数a，有a * a = a。也就是说，任意实数乘以自身的结果都是它本身。

因此，<{1,-1},*>是一个闭合性、结合性、存在单位元和逆元的群。而且由于该集合只包含两个元素1和-1，所以是一个有限实数乘法群。

综上所述，<{0},*>,<{1},*>,<{1,-1},*>是所有有限实数乘法群。

### 回答3：
首先，我们需要了解一些基本概念：
1. 集合A属于R表示集合A是实数集R的一个子集。
2. 集合A是一个群，意味着在运算*下，集合A满足以下四个条件：
a) 封闭性：对于任意两个元素a和b来自于集合A，a*b也属于集合A。
b) 结合性：对于任意三个元素a、b和c来自于集合A，(a*b)*c = a*(b*c)。
c) 存在单位元素：存在一个元素e属于集合A，使得对于任意元素a属于集合A，a*e = e*a = a。
d) 存在逆元素：对于任意元素a属于集合A，存在元素b属于集合A，使得a*b = b*a = e，其中e是单位元素。

现在我们来证明给定的三个集合是有限实数乘法群：
1. 证明<{0},*>是有限实数乘法群：
a) 封闭性：对于任意两个元素0和0来自于集合{0}，0*0 = 0也属于集合{0}。
b) 结合性：对于任意三个元素0、0和0来自于集合{0}，(0*0)*0 = 0*0 = 0 = 0*(0*0)。
c) 存在单位元素：单位元素为0，对于任意元素0来自于集合{0}，0*0 = 0 = 0*0。
d) 存在逆元素：对于任意元素0来自于集合{0}，不存在元素b属于集合{0}，使得0*b = b*0 = 0 = e，因为这不违反逆元素的定义。

2. 证明<{1},*>是有限实数乘法群：
a) 封闭性：对于任意两个元素1和1来自于集合{1}，1*1 = 1也属于集合{1}。
b) 结合性：对于任意三个元素1、1和1来自于集合{1}，(1*1)*1 = 1*1 = 1 = 1*(1*1)。
c) 存在单位元素：单位元素为1，对于任意元素1来自于集合{1}，1*1 = 1 = 1*1。
d) 存在逆元素：对于任意元素1来自于集合{1}，不存在元素b属于集合{1}，使得1*b = b*1 = 1 = e，因为这不违反逆元素的定义。

3. 证明<{1, -1},*>是有限实数乘法群：
a) 封闭性：对于任意两个元素1和-1来自于集合{1, -1}，1*(-1) = -1也属于集合{1, -1}。
b) 结合性：对于任意三个元素1、-1和1来自于集合{1, -1}，(1*(-1))*1 = -1*1 = -1 = 1*(-1*1)。
c) 存在单位元素：单位元素为1，对于任意元素1来自于集合{1, -1}，1*1 = 1 = 1*1。
d) 存在逆元素：对于任意元素1来自于集合{1, -1}，存在元素b为-1，使得1*(-1) = (-1)*1 = -1 = e。

根据以上证明，我们可以得出结论，即<{0},*>,<{1},*>,<{1,-1},*>都是所有有限实数乘法群。