设<G,*>为群，a, b, ceG。若a*b=c*b*a, a*c=c*a, b*c=c*b,a, b的阶分别为m, n，则c的阶整除m 与n的最大公因子(m, n)。

首先，我们知道如果a*b=c*b*a，则a*b*(c^-1)*(b^-1)=a*(c^-1)*(b^-1)*b*a^-1，即a*c^-1=b*a^-1，可以得到a*c^-1*b^-1=a^-1，因此c^-1*b^-1=a^-1*c*b的阶为m的因子。
同理，由b*c=c*b，可以得到b*c^-1=a*c^-1*b的阶为n的因子。
现在我们考虑证明c的阶是m和n的最大公因子的倍数。
设d=gcd(m,n)，则存在整数k和l，使得m=dk，n=dl。因为a的阶为m，所以a^m=e，即(a^k)^d=e。因为b的阶为n，所以b^n=e，即(b^l)^d=e。因为a和b对于群运算是可交换的，所以(a^k)^d*b^l=a^k*(b^l)^d=e。
又因为c*b=a*b*c，所以(c^k)*(b^l)=(b^l)*(c^k)，即(c^k)^d*(b^l)^d=(b^l)^d*(c^k)^d=e。
因此，c的阶为d的倍数。因为d是m和n的最大公因数，所以c的阶是m和n的最大公因数的倍数。
综上所述，c的阶整除m和n的最大公因数。

相关问题

设 G 为群，H 是G 的非空子集. <H，*>是<G，*> 的子群当且仅当∀a,b∈H 有a*∈H.

是的，这是一个正确的结论。如果我们要证明<H，*>是<G，*>的子群，需要证明以下三个条件：

1. 封闭性：对于任意的a，b∈H，有a*b∈H。
2. 结合律：对于任意的a，b，c∈H，有(a*b)*c=a*(b*c)。
3. 存在单位元素：存在一个元素e∈H，使得对于任意的a∈H，有a*e=e*a=a。

由于H是G的子集，因此对于任意的a∈H，a也属于G。因为G是一个群，所以满足封闭性、结合律和存在单位元素的条件。由于H是G的非空子集，因此至少存在一个元素e∈H，使得e也是G的单位元素。因此，对于任意的a∈H，都有a*e=e*a=a，满足存在单位元素的条件。又因为对于任意的a，b∈H，有a*b∈G，所以a*b∈H，满足封闭性的条件。因此，<H，*>是<G，*>的子群。

设<G,>为群，a, b, c∈G。若a*b=c*b*a, a*c=c*a, b*c=c*b,a, b的阶分别为m, n，则c的阶整除m 与n的最大公因子(m, n)。

首先，设m和n的最大公因子为d，则有m=dx，n=dy，其中x和y互素。因此，我们可以写出：

(a^d)^x = a^m = e
(b^d)^y = b^n = e

其中，e是群G的单位元。由于a和b的阶分别为m和n，所以d是它们的公因子，因此(a^d)^x和(b^d)^y都等于e。

现在我们来考虑c的阶。根据题目所给条件，我们有a*b=c*b*a，即a^-1*c*b=b*a^-1，从而(c*a^-1)*(c*b)^-1=a^-1*b，因此(c*a^-1)*(c*b)^-1的阶与a^-1*b的阶相同。

而根据题目条件，a*c=c*a和b*c=c*b，我们可以得到：

(c*a^-1)^d = (a^-1*c)^d = (c*a^-1)^d
(c*b)^d = (b*c)^d = (c*b)^d

因此，(c*a^-1)^d和(c*b)^d都等于群G的单位元e。又因为x和y互素，所以我们可以将(c*a^-1)^d和(c*b)^d写成：

(c*a^-1)^d = ((c*a^-1)^x)^d = e
(c*b)^d = ((c*b)^y)^d = e

因此，c的阶整除d，而d又整除m和n的最大公因子(m, n)。因此，c的阶整除(m, n)的最大公因子。