设G=<V,E>为任意无向图,,它的关联矩阵为 则 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

在一个无向图中，每条边连接两个顶点，因此它的关联矩阵是一个n x m的矩阵，其中n是顶点数，m是边数。对于每个顶点i和每条边j，关联矩阵A的第(i,j)个元素定义为：

- 如果顶点i是边j的一个端点，则a(i,j) = 1；
- 如果顶点i不是边j的一个端点，则a(i,j) = 0。

因此，对于这个问题中的关联矩阵A，它有5行，3列，因此它的图G有5个顶点和3条边。

我们可以通过计算A的秩来确定矩阵A的列空间的维数，从而确定图G的连通分量的数量。因为矩阵A的秩等于它的列空间的维数，也等于图G的连通分量的数量。

通过高斯消元法，可以将A化简为行阶梯形式：

1  1  0
0  1  1
-1 0  1
0 -1 -1
1  0 -1

其中，前3行是主元行，其余两行是自由行。因此，矩阵A的秩为3，也就是它的列空间的维数为3。

因此，图G有3个连通分量，答案为 B. 3。

相关问题

设图G=<V,E>，其中V = {1,2,3,4}，E={<1,4>,<2,1>,<2,3>,<3,1>,<4,2>,<4,3>}。写出该图的邻接矩阵A，并计算图中长度为2,3,4的通路总数，最后判断该图是否为强连通图或单向连通图

该图的邻接矩阵A为：

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

长度为2的通路总数可以通过计算矩阵$A^2$来得到，即：

$$
A^2 = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

因此，长度为2的通路总数为9。

同理，长度为3的通路总数可以通过计算$A^3$得到：

$$
A^3 = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$

因此，长度为3的通路总数为16。

长度为4的通路总数可以通过计算$A^4$得到：

$$
A^4 = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$

因此，长度为4的通路总数为16。

该图是强连通图，因为从任意一个节点出发都可以到达其他所有节点。

无向图G=(V, E)，其中：V={a，b，c，d，e，f}， E={<a，b>10，<a，e>8，<a，c>3，<b，e>10，<b，f>7，<c，f>6，<f，d>5，<e，d>2}，请回答以下问题： （1）画出该无向图的示意图；（2）画出图的邻接矩阵存储结构示意图；（3）用普利姆算法构造由顶点a开始的最小生成树，写出构造过程。

（1）无向图示意图如下：

     10       7
 a------b------f
 |  8 / | \   |
 |  /   |   \ |
3|/     |6   \|5
 c------f-----d
       2

（2）邻接矩阵存储结构示意图如下：

   a  b  c  d  e  f
a  0  10 3  0  8  0
b 10  0  0  0 10  7
c  3  0  0  0  0  6
d  0  0  0  0  2  5
e  8 10  0  2  0  0
f  0  7  6  5  0  0

（3）普利姆算法构造最小生成树的过程如下：

1. 选定起点a，将a加入最小生成树中，同时将所有与a相邻的边加入候选集合中。
2. 在候选集合中选取权值最小的边，该边的另一端点如果未被加入最小生成树，则将该点加入最小生成树中，并将与该点相邻的边加入候选集合中。
3. 重复步骤2，直到最小生成树包含了所有的节点。

具体构造过程如下：

第一步：选定起点a，将a加入最小生成树中，同时将所有与a相邻的边加入候选集合中。此时最小生成树为{a}，候选集合为{<a,b>10, <a,e>8, <a,c>3}。

     10       7
 a------b------f
 |  8 / | \   |
 |  /   |   \ |
3|/     |6   \|5
 c------f-----d
       2

最小生成树：{a}
候选集合：{<a,b>10, <a,e>8, <a,c>3}

第二步：在候选集合中选取权值最小的边<a,c>3，将c加入最小生成树中，并将与c相邻的边加入候选集合中。此时最小生成树为{a, c}，候选集合为{<a,b>10, <a,e>8, <c,f>6}。

     10       7
 a------b------f
 |  8 / | \   |
 |  /   |   \ |
3|/     |6   \|5
 c------f-----d
       2

最小生成树：{a, c}
候选集合：{<a,b>10, <a,e>8, <c,f>6}

第三步：在候选集合中选取权值最小的边<a,e>8，将e加入最小生成树中，并将与e相邻的边加入候选集合中。此时最小生成树为{a, c, e}，候选集合为{<a,b>10, <b,e>10, <c,f>6, <e,d>2}。

     10       7
 a------b------f
 |     / | \   |
 |  10/  |   \ |
3| /    |6   \|5
 c------f-----d
       2

最小生成树：{a, c, e}
候选集合：{<a,b>10, <b,e>10, <c,f>6, <e,d>2}

第四步：在候选集合中选取权值最小的边<e,d>2，将d加入最小生成树中，并将与d相邻的边加入候选集合中。此时最小生成树为{a, c, e, d}，候选集合为{<a,b>10, <b,e>10, <c,f>6}。

     10       7
 a------b------f
 |     / | \   |
 |  10/  |   \ |
3| /    2|6   \|5
 c------f-----d

最小生成树：{a, c, e, d}
候选集合：{<a,b>10, <b,e>10, <c,f>6}

第五步：在候选集合中选取权值最小的边<c,f>6，将f加入最小生成树中，并将与f相邻的边加入候选集合中。此时最小生成树为{a, c, e, d, f}，候选集合为{<a,b>10, <b,e>10}。

     10       7
 a------b------f
 |     / |    /|
 |  10/  |  /  |
3| /    2|/   5|
 c------f-----d

最小生成树：{a, c, e, d, f}
候选集合：{<a,b>10, <b,e>10}

第六步：在候选集合中选取权值最小的边<a,b>10，将b加入最小生成树中。此时最小生成树为{a, c, e, d, f, b}，候选集合为空。

     10       7
 a------b------f
 |     / |    /|
 |  10/  |  /  |
3| /    2|/   5|
 c------f-----d

最小生成树：{a, c, e, d, f, b}
候选集合：{}

因此，由顶点a开始的最小生成树为{a, c, e, d, f, b}。