3.H是<G,*>的子群，R={<a,b>|a-1*b∈H},证明 R是G上的等价关系。

为了证明R是G上的等价关系，我们需要证明以下三个条件：

1. 自反性（Reflexivity）：对于任意的a∈G，都有<a,a>∈R。
2. 对称性（Symmetry）：对于任意的<a,b>∈R，都有<b,a>∈R。
3. 传递性（Transitivity）：对于任意的<a,b>,<b,c>∈R，都有<a,c>∈R。

首先证明自反性。由于H是<G,*>的子群，那么根据子群的定义，e∈H，其中e是<G,*>的恒等元素。因此，a-1*a=e∈H，即<a,a>∈R。因此，自反性得以满足。

接下来证明对称性。设<a,b>∈R，即a-1*b∈H。则b-1*a=(a-1*b)-1∈H，因为H是G的子群，所以它对于乘法是封闭的。因此，<b,a>∈R。证明了对称性。

最后证明传递性。设<a,b>∈R，<b,c>∈R，即a-1*b,b-1*c∈H。则(a-1*c)=(a-1*b)*(b-1*c)∈H，因为H是G的子群，它对于乘法是封闭的。因此，<a,c>∈R，证明了传递性。

综上所述，我们证明了R是G上的等价关系。

相关问题

1、在〈Z6,⊕〉中，计算元素的幂2^-3，1^-4。 2、设G为群，a∈G且 |a| = r, k是整数，证明 若 a^k = e 则 r | k . 3、下列关于格的说法中正确有的哪些 A 若<S,○,*> 是格，H是S的非空子集，则H关于S中的运算构成格。 B 若<S,○,*> 是格，则这两个运算都满足交换律、结合律、吸收律、分配律 C 若<S,○,*> 是格，且S是有穷集合，则该格一定存在全上界和全下界。 D 若偏序集<S,≤> 是格，且S是有穷集合，则集合S存在最大元和最小元。 E 若<S,○,*> 是有界分配格，则S中所有元素都有补元。 F 若<S,○,*> 是有界分配格，则S中的元素若有补元，补元一定唯一。

1、在〈Z6,⊕〉中，计算元素的幂2^-3，1^-4。

在〈Z6,⊕〉中，元素的幂可以表示为 a^n = a⊕a⊕...⊕a (n个a相加)，其中 ⊕ 表示群运算。因此，可以得到：

2^-3 = 2⊕2⊕2 = 0
1^-4 = 1⊕1⊕1⊕1 = 0

2、设G为群，a∈G且 |a| = r, k是整数，证明 若 a^k = e 则 r | k。

根据群的定义，a^r = e。因此，可以把k表示为 k = qr + t，其中q是整数，0 ≤ t < r。那么，可以得到：

a^k = a^(qr+t) = (a^r)^q ⊕ a^t = e^q ⊕ a^t = a^t

因为a^k = e，所以a^t = e。由于t < r，所以t只能为0，否则会与a的阶的定义矛盾。因此，k = qr，即 r | k。

3、下列关于格的说法中正确有的哪些

A 若<S,○,*> 是格，H是S的非空子集，则H关于S中的运算构成格。 正确
B 若<S,○,*> 是格，则这两个运算都满足交换律、结合律、吸收律、分配律 错误
C 若<S,○,*> 是格，且S是有穷集合，则该格一定存在全上界和全下界。 正确
D 若偏序集<S,≤> 是格，且S是有穷集合，则集合S存在最大元和最小元。 正确
E 若<S,○,*> 是有界分配格，则S中所有元素都有补元。 错误
F 若<S,○,*> 是有界分配格，则S中的元素若有补元，补元一定唯一。 正确

G={0,90,180,270},a*b定义为“在直角坐标原点为圆心的单位圆中，从0度即x轴的右半轴方向出发先逆时针方向转a度，再接着逆时针方向转b度得到的角度值”。写出运算表，若构成群则写出其单位元、每个元素的逆元。写出拉格朗日定理，据此定理分析子群的元素可能个数，找出元素个数最小的非平凡子群H,写出三个子群判断定理，并在子群H上验证3个判断定理的正确性。写出该子群所导出的关系R={<a,b>|a∈G,b∈G,a°b¹∈H}的所有序偶，验证R是等价关系，找出G中各元素的等价类，写出G中每个元素a与子群H的陪集，验证[a]R=Ha。

运算表如下：

| * | 0 | 90 | 180 | 270 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 90 | 180 | 270 |
| 90 | 90 | 180 | 270 | 0 |
| 180| 180| 270 | 0 | 90 |
| 270| 270| 0 | 90 | 180 |

可以验证该运算满足结合律、有单位元0、每个元素都有逆元。因此，该运算构成一个群，单位元为0，每个元素的逆元为其相反角度。

根据拉格朗日定理，子群的元素个数必定是原群元素个数的约数。由于G共有4个元素，因此可能的子群元素个数为1、2或4。由于只有1个元素的子群显然不满足群的定义，因此只需要考虑2个元素和4个元素的子群。

设H为G的一个子群，则H的元素必须是G中某些元素的积，且H必须包含单位元0。考虑所有可能的H：

1. H={<0, 180>}，此时H中共有2个元素，可以验证H满足群的定义，因此H是G的一个子群。

2. H=G，此时H中共有4个元素，显然满足群的定义，因此H是G的一个子群。

因此，G的所有子群为{<0>, <0, 180>, G}。

接下来验证三个子群判断定理在子群H={<0, 180>}上的正确性：

1. 封闭性：对于任意a、b∈H，有a*b∈H。

显然成立，因为H只包含0和180两个元素，其运算表中所有元素的积都属于H。

2. 结合律：对于任意a、b、c∈H，有(a*b)*c=a*(b*c)。

因为H中只有两个元素，因此可以直接验证该定理成立。

3. 存在单位元和逆元：对于任意a∈H，存在e∈H，使得a*e=e*a=a；对于任意a∈H，存在a^-1∈H，使得a*a^-1=a^-1*a=e。

显然成立，因为H中只有两个元素，0为单位元，180为每个元素的逆元。

根据关系R的定义，R={<a,b>|a∈G,b∈G,a*b¹∈H}，即R中的序偶为所有满足a*b¹∈H的(a,b)。根据H的定义，可以知道当a和b分别取值为0和180时，a*b¹∈H，因此R中包含以下4个序偶：<(0,0), (0,180), (180,0), (180,180)>。

现在需要验证R是否满足等价关系的三个条件：

1. 自反性：对于任意a∈G，有(a,a)∈R。

显然成立，因为a*a¹=0∈H。

2. 对称性：对于任意(a,b)∈R，有(b,a)∈R。

也显然成立，因为a*b¹∈H等价于b*a¹∈H。

3. 传递性：对于任意(a,b)、(b,c)∈R，有(a,c)∈R。

同样成立，因为a*b¹∈H且b*c¹∈H等价于(a*b¹)*c¹∈H，而(a*b¹)*c¹=a*(b*c)¹∈H。

由此可知，R是等价关系。根据等价关系的定义，元素a的等价类为[a]R={b∈G|(a,b)∈R}。对于G中的每个元素，可以列出其对应的等价类：

- [0]R={[0], [180]}
- [90]R={[90], [270]}
- [180]R={[0], [180]}
- [270]R={[90], [270]}

接下来需要求出每个元素a与子群H的陪集aH，即{a*h|h∈H}。对于H={<0, 180>}，可以列出每个元素的陪集：

- 0H={<0, 180>}
- 90H={<90, 270>}
- 180H={<0, 180>}
- 270H={<90, 270>}

可以发现，每个元素的陪集恰好是其等价类。因此，对于G中的每个元素a，都有[a]R=aH。