考虑优化问题 min (x,y)∈R 2 f(x) = (x − 1) 2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.

首先，列出拉格朗日函数：

$$
L(x,y,\lambda_1,\lambda_2)=f(x)-\lambda_1h(x)-\lambda_2g(x)
$$

其中，$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是拉格朗日乘子。然后，我们可以写出 KKT 条件：

$$
\begin{cases}
\nabla_xL(x^*,y^*,\lambda_1^*,\lambda_2^*)=0\\
\nabla_yL(x^*,y^*,\lambda_1^*,\lambda_2^*)=0\\
h(x^*,y^*)=0\\
g(x^*,y^*)\leq0\\
\lambda_1^*\geq0\\
\lambda_2^*\geq0\\
\lambda_2^*g(x^*,y^*)=0
\end{cases}
$$

其中，$(x^*,y^*)$ 是最优解。现在，我们来逐步解决这个问题。

首先，计算 $\nabla_xL$ 和 $\nabla_yL$，得到：

$$
\begin{aligned}
\nabla_xL&=2(x-1)-\lambda_1-\lambda_2\\
\nabla_yL&=1-\lambda_1+\lambda_2
\end{aligned}
$$

令 $\nabla_xL=0$ 和 $\nabla_yL=0$，解得：

$$
\begin{aligned}
x^*&=1-\frac{\lambda_1^*+\lambda_2^*}{2}\\
y^*&=\frac{\lambda_1^*-\lambda_2^*}{2}+1
\end{aligned}
$$

其次，我们来看等式约束 $h(x)=0$。代入 $x^*$ 和 $y^*$，得到：

$$
y^*-x^*-1=\frac{\lambda_1^*+\lambda_2^*}{2}-\frac{\lambda_1^*-\lambda_2^*}{2}-1=\lambda_2^*-1=0
$$

因此，$\lambda_2^*=1$。

接下来，我们来看不等式约束 $g(x)\leq0$。代入 $x^*$ 和 $y^*$，得到：

$$
x^*+y^*-2=2-\frac{\lambda_1^*+\lambda_2^*}{2}-\frac{\lambda_1^*-\lambda_2^*}{2}\leq0
$$

因此，$\lambda_1^*+\lambda_2^*=4$。

至此，我们已经求得了 $\lambda_1^*$、$\lambda_2^*$、$x^*$ 和 $y^*$。现在，我们来验证这个点是否是局部极小值点。我们需要计算 Hessian 矩阵：

$$
H(x,y)=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial^2L}{\partial x^2} & \frac{\partial^2L}{\partial x\partial y}\\
\frac{\partial^2L}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2L}{\partial y^2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2-\lambda_2^* & -1+\lambda_1^*-\lambda_2^*\\
-1+\lambda_1^*-\lambda_2^* & 0
\end{bmatrix}
$$

代入 $\lambda_1^*=3$ 和 $\lambda_2^*=1$，得到：

$$
H(x^*,y^*)=
\begin{bmatrix}
1 & -1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}
$$

由于 $H(x^*,y^*)$ 不是正定的，因此不能保证 $(x^*,y^*)$ 是局部极小值点。但是，我们可以通过求解 $\nabla^2f(x^*,y^*)$ 来判断 $(x^*,y^*)$ 是否是局部极小值点。

$$
\nabla^2f(x^*,y^*)=
\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
$$

由于 $\nabla^2f(x^*,y^*)$ 是正定的，因此 $(x^*,y^*)$ 是局部极小值点。

综上，满足 KKT 条件的点为 $(x^*,y^*)=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$，并且该点是局部极小值点。