用于3D形状分析的中间光谱坐标的研究摘要

2686{我我我用于3D形状分析的中间光谱坐标Morteza Rezanejad1，Mohammad Khodadad2，Hamidreza Mahyar3，HerveLombaert4，Michael Gruninger1，Dirk Walther1，Kaleem Siddiqi51加拿大多伦多多伦多大学，2伊朗德黑兰谢里夫理工大学，3加拿大汉密尔顿麦克马斯特大学4ETSMontre' al，Canada，5McGillUniv ersity，蒙特利尔，加拿大C（i，j）= 0（（ρ（psk），ρ（psk）wij=C（i，j）Mi JA=ρ（psk）11岁W12. w1nw21W22.w 2 n c c ½ cw n1WN2… wWsymE=iDsymE（a）（b）（c）（d）（e）人类？狗？马？(f)（g）（h）图1.我们的主要结果的概述。第一行：（a）我们从一个3D物体开始，计算它的内侧表面。（b）将与内侧表面相关联的半径映射到其边界。（c）与相同的内侧表面点相关联的边界点被耦合并且用相同的颜色示出。（d）使用相关联的中间球体的相交体积来计算邻接矩阵的k，以驱动邻接权重，用于随后的谱分析（参见第3节以获得详细解释）。（e）将第一非平凡特征向量映射到原始形状上。第二行：使用我们的中间驱动光谱坐标进行分割（f），对象分类（g）和形状对应（h）。摘要近年来，在我们的社区中，对由表面网格、其体素化内部或表面点云表示的3D对象的形状分析的兴趣重新抬头在某种程度上，RGBD相机的可用性增加以及计算机视觉在自动驾驶、医学成像和机器人技术中的应用激发了这种兴趣。在这些设置中，光谱坐标已经显示出形状表示的希望，由于它们能够以定性不变的方式将局部和全局形状属性合并到等距变换。然而，令人惊讶的是，这样的坐标到目前为止通常仅考虑局部表面位置或衍生信息。在本文中，我们建议配备光谱坐标与中间（对象宽度）的信息，以丰富他们。关键的想法是通过邻接矩阵的权重来耦合共享内侧球的表面点。我们使用这个想法开发了一个光谱特征，以及计算它的算法。合并对象的宽度和内侧耦合有直接的好处，如我们的实验对象分类，对象部分分割，和表面点对应。1. 介绍在制造能够感知3D信息的传感器（包括RGBD相机）方面的进步在此背景下，3D对象形状分析由于其与机器人、医学成像、自动驾驶、监控和其他领域中的各种应用的相关性而受到了广泛关注。的科技MScDNNMScDNNMScDNN2687S为这些应用开发的软件必须解决基本问题，包括3D形状分类、部件分割和形状匹配。寻找3D对象之间的对应关系的问题有很长的历史[4，7，19，21，31，32，43]。除了对象匹配之外，将3D对象分割成其组成部分是另一个经典的计算机视觉问题，对此研究仍然非常活跃[18，22，30，33，50，57]。除了部分分割，三维形状分类仍然是一个积极的研究课题。在这方面，深度学习方法，包括PointNet [38] ， PointNet++ [39] ， DeepSet [61] ，ShapeCon-textNet [56]、PointGrid [27]、DynamicGCN [59]和Sam-pleNet [25]已经显示出了希望。随着这些模型的增长和进一步的发展，它们也变得更加需要数据，并且在计算时间方面需要更多的资源。深度神经网络模型通常受到其设计的限制，并且它们无法轻松地学习无法由其组成部分描述的特征。在3D形状分析的背景下，当点云稀疏或已进行几何变换时，基于神经网络的模型能够学习适当的潜在特征也很重要[58]。为了促进这些任务，3D对象形状的描述性和通用表示是关键。为此，在本文中，我们提出了一种新的三维物体形状表示方法，使用相关的三维内侧表面计算光谱坐标。几十年来，文献中已将内侧表示用于2D形状分析[3，34，40，41，47，49，55]。医学表示的应用也存在于3D中 [20，42，46，48]，但围绕可靠和稳健地计算它们存在挑战。此外，计算机视觉社区已经从使用手工制作的特征转向使用从几何数据中学习的基于深度学习的描述符。总的来说，这些方法在模型所策划的大多数任务中总体上具有在本文中，我们的目标是为当前模型提供丰富的3D对象形状表示，利用对象的局部宽度在其每个边界点构建我们做出了三大贡献。1. 我们开发了一个强大的，可靠的实现算法计算3D内侧表面的基础上，平均向外通量测量。2. 我们介绍了一种新的方法来计算光谱坐标，利用中间表面和它所代表的边界之间的对偶性。该方法将推断的局部和全局几何信息带到边界，并允许该边界的丰富的光谱表示。特别是，与具有共同体积的中间球体双相切的面点被耦合以捕获局部对象部分对称性。3. 我们证明，通过使用这样的光谱坐标与内侧表面，有流行的3D形状分析任务，包括寻找表面点之间的对应关系，3D对象部分分割，和3D对象形状分类的性能优势。我们的文章组织如下。在第二节中，我们重新审视平均外内侧表面及其计算。在第3节中，我们介绍了我们的新的中间谱坐标。在第4节中，我们开发了一些利用这些光谱坐标的应用程序。最后，我们在第5节中总结了贡献并讨论了未来可能的研究方向。2. 3D图像由Harry Blum [5]介绍，中轴或骨架已在视觉和计算几何文献中使用多年[2，12，16，28，46，47，51]。形式上，中轴被定义为水密物体内最大内接球体的中心轨迹。在3D中，该位置可以包括3D曲线和3D中间流形，它们一起构成对象的3D中间表面。这种表示的一个承诺是，它捕获边界和内部对象属性之间的二重性，后者通过考虑与内接球体相关联的半径来捕获局部对象宽度。 此外，它是可能的重建原始对象从其medial表面，所以在这个意义上的表示是完整的。不幸的是，在实践中，计算一个中间的表面鲁棒原来是一个具有挑战性的计算问题。我们在这里关注[45]的内 侧 表 面 计 算 方 法 ， 该 方 法 基 于 平 均 向 外 通 量（AOF）的概念，后来用于海马形状分析[6]以及其他应用[46]。2.1. 平均外展通量内侧表面为了提供该算法背后的直观性，考虑图2所示的对象，以及其中间表面的局部部分（浅绿色）和相关的边界表面补丁（紫色）。内侧表面与原始对象同伦，因此反映其拓扑，同时使局部反射对称性显式。令表示3D对象的闭合曲面，并且D E（p）是这个物体内部每个点p到边界的欧几里得距离。现在考虑梯度向量场qstecofDE（p）。在边界上只有一个最接近点b=（bx，by，bz）的情况下，到特定的内部点a=（ax，ay，az），2688→→∫SNS× ×我12图2.一部分内侧表面与选定的最大内接球体以及球体接触边界处的相关双切点（b1，b2）的示意图。内侧表面补片显示为浅绿色，相关局部边界补片显示为浅紫色。内侧流形上的每个点p都与物体表面上的两个不同的双切点相关联，在欧几里得距离的意义上，它最接近这两个点如：算法1内侧表面生成程序程序A：外接式FLUX C操作计算欧氏距离函数DE（p）计算梯度向量场使用2计算平均向外通量程序AOF组织学 P保留 T铰链堆H，阈值τ对于物体边界上的每个点p，如果p是单的，则用键值AOF（p）将点p插入H当H不为空时，p= HeapExtractMax（H）如果p是简单的，那么如果p是终点且AOF（p）> τ，则将p标记为内侧表面点其他去除p对于p的所有邻居q，如果如果q是单的，则将点q插入Hqstec（a）=a−b||a− b||（一）2. 考虑一个平面通过点p，然而，梯度向量场在内侧表面上的位置处是多值的。利用这一特性，在[45]中提出了一种测量方法，该方法基于在收缩球的表面积上平均的q温度A O F（p）=Rqstec，N0S。（二）面积（RR）在这里，R代表收缩球的表面积，而R是表面积元素。0是球面上每一点的外法线。关于中轴计算的早期工作已经表明，当该球体的大小收缩到零时，该测量在内侧表面上给出非零值，但在内侧轨迹之外给出零值，因此提供了定位内侧表面点的有效方法[14，45]。在本文中，我们使用了这个算法的一个强大的实现。图3显示了3D内侧表面生成的步骤顺序。2.2. 保持对象拓扑其与3D对象的相交导致开放曲线。如果这条曲线在p处结束，那么p是该3D曲线的端点。端点的附加示例包括当p在3D表面的边缘或拐角上时。在3D数字点阵上，我们可以通过考虑特定体素的26个邻域（3 3 3的立方点阵）来对简单点和端点进行分类。我们根据[37]的表征实现简单点和端点的这两个概念，其基于与所考虑的体素共享点、边或面的不同邻居集算法1描述了所得到的中间表面生成方法，该方法使用简单点和端点的上述特征，将AOF测量与拓扑保持细化方法相结合图3提供了各种3D对象的几个示例在该过程结束时，每个3D对象的表面可以由一组骨架点表示，其中：而在连续的环境中，人们可以将中间n n具有AOF非零位置的曲面点，S=[psk=[（xi，yi，zi，ri，λi）.（三）必须注意离散设置，以确保重新i=1i=1体素的结果集与原始对象同伦我们遵循过去的工作[6]，其依赖于数字3D晶格上的端点和简单点的定义：1. 简单点是在不改变对象拓扑的情况下无法移除的点它的删除将断开对象或创建一个洞或腔。这里，三元组（xi，yi，zi）表示表面点pi的位置，ri是在pi处接触物体的最大内接球体的半径，λi是在该球体中心的中间表面点处的平均向外通量值如[46]所示，AOF值还揭示了物体角度，因此提供了额外的有用的物体和对称信息。在下一节中，我们将2689、（p） （c）--SJ12MJ(a) 3D Shape（b）DER面积（RR）（d）MAT图3.使用发散定理，可以通过考虑欧几里得距离函数的梯度的平均向外通量（AOF）通过收缩球到3D对象的边界的行为来识别中轴体素[46]。特别地，不在骨架上的所有点的极限AOF值等于零。从3D对象的边界（a）开始，我们首先计算到边界的距离映射（b），然后从该距离计算3D AOF映射（c）。最后，通过保留非零AOF体素，我们获得3D中轴变换（d）。因为在每个中间体素处，最大内接球（图2）至少在两个不同的点处接触边界，则可以纯粹从内侧轨迹重建边界。证明这种表示可以用于对象重建。2.3. 基于中间点的也许一个对象形状表示方法的适用性的最明显的标准是它是否可以用来重建原始对象。这个标准，以及其他标准，如完整性，层次，不变，稳定性和相似性已被用来判断形状表示的选择。尽管中间表示满足这些标准中的几个[46]，但在离散网格上实现的算法可能不允许忠实的对象重构。在这里，为了重建的目的， 我们 将AOF分解 过程 与在 Itk（https://bit.ly/3rZPY57）中具有开源实现的现代中心线提取方法[6]进行由于内侧表面由最大内接球的轨迹组成，因此可以通过考虑所有内侧表面点处表1中显示了在ModelNet10 [54]和COSEG [53]的整个数据集上通过与原始对象的平均交集（mIoU）测量进行的定量比较对于每个数据集中的所有对象类别，基于内侧表面的重建比使用内侧曲线获得的重建更完整。3. 使用Medial Mani的光谱坐标-COSEGModelNet10模型我们曲线模型我们曲线烛台96.9973.25表99.6888.84椅子96.3881.64浴缸93.2586.57四脚90.3373.24床95.3173.39高脚杯90.6882.24椅子96.1086.08吉他93.1976.80书桌97.7881.80灯95.3068.19梳妆台94.2391.81花瓶96.5470.99监测90.9073.60熨斗94.0780.71夜情92.6683.10远程外星人98.1976.62沙发91.5381.52椅子（L）97.1880.26厕所91.0583.29是说94.8976.39是说94.2583.00表1. COSEG和ModelNet 10的两个数据集的平均交叉-联合（ mIoU ） 参 考 测 量 ， 比 较 通 量 驱 动 中 心 线 的 使 用（ https ： //bit. ly/3rZPY57 ） 和 AOF 内 侧 表 面[42]。特征从点集和网格[15，52，60]，明确考虑对象的宽度和相关的对称属性和耦合的表面点，共享一个中间球是新的。设物体的表面由边界点b1，b2，.，bn的集合表示。. .，bn.我们体素化的对象和计算的内侧表面使用算法1在第2节。令所得到的内侧表面体素的集合为{psk， psk，. - 是的- 是的 ，psk}。对于每个内侧表面点psk褶皱我们现在建议使用内侧流形来为物体的表面配备一个新的光谱特征，一个明确考虑局部物体宽度的特征。而谱方法已经流行的形状对应[9，10，21，32]和谱方法也已成功-充分结合使用图形卷积学习在物角θ（2）和它处的AOF值之间存在直接关系（如[46]中所讨论的）。使用这种关系，对于每个psk，我们通过将单位切向量旋转θ，然后在包含内侧表面法线的平面中按内侧半径缩放来生成一组候选边界点在这些候选者中，我们保留那些到物体表面的距离在1体素内的候选者。我们参考这样的候选边界的集合2690SSJ我IJII我我我我−SKIJ图4.定性结果显示了使用我们的中间光谱坐标在TOSCA [8]数据集中相同模型的不同姿态中获得的对应关系。作为Rec。然后，对于原始物体表面上的每个顶点以这种方式，每个边界顶点bi与唯一的中间表面点psk相关联，并且被给予唯一的中间半径值。现在，假设边界元被细分，使得边界点是连通图中的我们首先计算一个邻接矩阵（如图3（d）所示），其中一个特定的度量用于计算矩阵中的邻接权重。这里，由于矩阵W不是对称的（导致数值上虚数的可能性），我们如下创建两个对称矩阵Wsym和Dsym。Wsym有以下条目：wsym=C（i，j），（6）和Dsym，其是对角矩阵，其中条目dsym=ρ（psk）。 现在，通过使用ARPACK[29]，我们可以得到以下方程的特征向量：如下图所示。 考虑两个边界点（节点）bi和bj。 让这些边界点与WsymEλ=λ i D sym E λ，i = 1，. - 是的- 是的 ，n（7）骨架点P1和Pj。现在，让骨架点pi处的最大内接球面由ρ（psk）给出.我们考虑在b i，b j处接触物体表面的内接球体之间的重叠程度来构造关联节点之间的邻接权C（i，j）其中所获得的本征值是实的且非负的。现在我们有了特征向量，我们可以通过从3D形状的边界映射坐标来获得光谱坐标。对于每个边界点bi元素（例如，x，y，z或其对应的球半径值r），我们可以计算映射的信息wij= ρ（psk）、（四）在第i个基础上，特征向量为：其中C（i，j）是球面ρ（psk）和ρ（psk）相交的体积。然后，我们构建一般mi= biD sym E λ。（八）I jLaplacian算子为L=D W，其中W是具有亲和权重的图的加权邻接矩阵（参见[17]），并且度矩阵D是对角矩阵，其中Dii=jwi j。然后，我们回到由Bronstein等人引入的Dirichlet能量方程。[10]测量边界上的变化，我们可以引入我们的谱坐标如下：拉普拉斯矩阵：LEλi=我2691.的λiEλi，i=1，. -是的-是的 ，n.（五）SC（S）=nλii=1Σj=1（平方米）Σ。（九）26921008060402000 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1测地误差图5.不同方法在TOSCA数据集[8]上的对应准确度。我们比较的方法包括PMF [24]，SGMDS [1]，FM [36]，BIM [23]，Mobius Voting [31]，保形[23]，以及我们新的MedialSpectral签名的使用。我们总是小心地从我们的谱坐标集中删除0的平凡特征值（最小特征值）。4. 应用我们现在评估我们的中光谱坐标在3D形状分析中的三种流行应用a）找到表面点之间的对应关系，b）3D对象的3D对象部分分割，以及c）3D对象分类。对于每一种情况下，我们证明了显式使用局部对象宽度，反映在中间半径，和耦合的表面点，共享一个共同的中间球，提供了直接的好处和改进的性能。4.1. 形状对应为了获得两个不同对象上的表面点之间的对应关系，需要将一个对象与另一个对象进行匹配的匹配算法。在目前的设置中，我们有谱坐标旁边的特征值，从拉普拉斯算子获得。当计算光谱时，可能有两种情况使得光谱坐标的直接计算具有挑战性。首先，特征向量计算可能产生符号模糊。Second, it is possible thatwhen eigenvectors are being computed for the same databut for two different shapes, they might be computed inopposite orders due to the fact that the order- ing of thelowest eigenvector may change. [32]提出了一种通过支持三个因素来减轻这种翻转问题的影响的方法：1）基于其特征值之间的相似性最可能匹配的特征向量对2）直方图3）其光谱坐标值的空间分布。我们使用这些技术来重新-在对应查找过程中对光谱进行排序和对齐。通过对所有特征向量进行下采样来加速重新排序的过程。在重新排序和对齐光谱之后，嵌入式表示中最接近的两个点可以被视为两个对象上的对应点这是通过使用相干点漂移（CPD）方法实现的[35]。我们在TOSCA数据集[8]上测试了我们的对应我们将我们的方法与其他几种现有方法进行比较，并在图5中报告结果。结果表明，使用中间驱动的光谱坐标相比，我们可以找到最好的共形模型的优势。我们还实现了与最先进的基于深度神经网络的模型（如PMF）产生的结果相当的结果[24]。我们在图4中显示了从TOSCA数据集获得的四个不同模型的对应关系的定性结果。4.2. 部分分割我们现在表明，增加中间驱动的光谱坐标可以有利于部分分割的任务。为了实现这一目标，我们提出了以下任务进行无监督的三维形状分解。我们收集所有计算的光谱坐标，并将它们作为附加特征添加到边界表示bi=（xi，yi，zi，ri）。然后，我们使用[11]的高维数据谱聚类将一个类别中的所有对象模型聚类在一起。[11]的算法提供了一种基于子空间随机化和高维数据图融合的谱聚类方法，使我们能够对单个形状或形状模型族（共分割）执行分割和为了检查这些添加到原始形状的特征是否有助于分割任务，我们在Princeton Segmenta- tion Benchmark [13]上测试了我们的现成方法我们在表2中报告了我们的结果，并在图6中显示了典型的定性部分分割结果。我们的研究结果表明，在这些对象类别中的几个中，当我们使用使用中间表面信息的谱坐标时，性能会有所提高（使用谱聚类算法）。这些结果反映在表2的第二列（SpectralMedial）和第三列（Spectral）。我们还观察到，光谱坐标的使用优于其他几种实验方法，包括[26]的基于深度最后，我们的方法的平均性能和rand指数度量在整个普林斯顿数据集上是最好的[13]。PMFSGMDSFMBIM莫比乌斯投票适形MedialSpectral对应性%2693眼镜飞机泰迪章鱼椅鸟图6.在Princeton分割基准上使用中间驱动光谱特征获得的定性部分分割结果（详情见正文）。模型SpectralMedial Spectral MV-RNN [26] Shu [44] WcSeg RandCuts ShapeDiam Norms Cuts CoreExtra RandWalks FitPrim KMeans人类0.05570.12400.1060.116 0.128 0.1310.1790.1520.2250.2190.153 0.163杯0.14130.12620.1000.096 0.171 0.2190.3580.2440.3070.3580.413 0.459眼镜0.08020.13040.0660.173 0.173 0.1010.2040.1410.3010.3110.235 0.188飞机0.07280.08910.0850.150 0.089 0.1220.0920.1860.2560.2480.166 0.211蚂蚁0.02790.09000.0210.001 0.021 0.0250.0220.0470.0650.0680.086 0.131椅子0.04830.05180.0510.040 0.103 0.1840.1110.0880.1870.1560.212 0.213章鱼0.02550.08350.0220.036 0.029 0.0630.0450.0610.0510.0670.101 0.101表0.06300.11580.0720.040 0.091 0.3830.1840.0930.2440.1310.181 0.369泰迪0.05210.11050.0350.024 0.056 0.0450.0570.1210.1140.1280.132 0.182手0.06700.14430.0760.135 0.116 0.0900.2020.1550.1550.1890.202 0.154钳子0.09700.14330.0540.151 0.087 0.1090.3750.1830.0930.2300.169 0.263鱼0.10300.23390.1460.288 0.203 0.2970.2480.3940.2730.3880.424 0.413鸟0.00490.08500.0590.171 0.101 0.1070.1150.1840.1240.2500.196 0.190犰狳0.01780.12650.0600.073 0.081 0.0920.0900.1160.1410.1150.091 0.117半身像0.10810.17290.1620.275 0.266 0.2320.2980.3160.3150.2980.300 0.334机甲0.10180.11330.1210.073 0.182 0.2770.2380.1590.3870.2110.306 0.425轴承0.06600.15160.0800.056 0.122 0.1240.1190.1830.3980.2460.188 0.280花瓶0.07720.15040.1060.212 0.161 0.1330.2390.2360.2260.2460.257 0.387FourLeg0.09210.17720.1350.140 0.152 0.1740.1610.2080.1910.2180.185 0.193平均0.06960.12730.0820.118 0.123 0.1530.1760.1720.2110.2150.210 0.251表2. Rand指数（错误）分割分数，在普林斯顿分割基准中的对象类别，比较不同的方法。在此表中，数字越小表示性能越好。使用内侧驱动光谱坐标（第二列）始终优于使用没有内侧（半径）分量的光谱坐标（第三列）。该方法对于几个对象类别也与许多其他方法竞争。2694T10浴床椅子书桌梳妆台监测夜情沙发表厕所Ne香草83.8792.8594.7377.7783.8796.4884.0291.7080.7895.87M我们的85.71 94.2892.8582.8085.5496.5184.3396.4483.4097.02飞机 浴缸床板凳书架瓶碗车椅子锥香草100.0079.8693.8874.9392.8193.98100.0097.7795.83100.00我们的98.1976.3896.5794.67100.0098.5898.88100.00杯形帘书桌门梳妆台花盆玻璃盒子吉他键盘灯40瓦尼拉69.8589.8378.9494.8964.9029.8993.93100.00100.0089.85净我们的73.95 92.4681.3999.2966.8332.2098.71100.00100.0090.93M笔记本电脑壁炉架监测夜情人钢琴植物无线电抽油烟机水槽香草100.0095.9094.8682.4184.9388.6372.8569.8190.9979.93我们的98.3084.3788.0392.7773.0970.4195.7783.19沙发楼梯凳子表帐篷厕所电视架花瓶衣柜Xbox香草95.8784.9489.9587.8694.8898.8886.8778.7959.9369.91我们的97.13 86.9790.6089.3196.26100.0087.7480.5060.5974.32表3.当使用香草特征和我们的中间光谱特征与PointNet模型[38]，使用ModelNet10和ModelNet40数据集[54]时，对象分类准确性的差异。4.3. 对象分类最后一组实验，我们在这篇文章中介绍的对象分类的问题。对于这项任务，我们检查是否包括中间谱坐标导致香草神经网络模型的性能的改善。为了实现这一目标，我们完成了以下分类任务。受[58]中提出的想法的启发，我们为3D点云中的每个点创建了一个新的特征向量作为几何相似性连接，捕获特征向量空间中每个点的局部行为。首先，我们找到特征向量空间中每个点的k个最近然后，我们将这些k个点的平均值和标准差添加到所考虑点的x，y，z坐标。最后，我们将这些额外的特征添加到点我们在流行的PointNet模型上测试了添加的功能[38]。增加的功能使模型的整体准确性在ModelNet-10上从88.76%提高到90.41%，在ModelNet-40上从86.23%提高我们在表3中给出了该实验每个类别的结果的详细说明。5. 结论我们已经提出了一种新的光谱坐标的三维形状分析应用程序，其中包括与内侧表面半径函数相关联的局部对象宽度。据我们所知，这是第一次尝试将中间宽度包括在光谱特征中，我们的实验证明了这样做的相当大的好处。我们的模型将3D物体上的表面点与其相关的中间表面点联系起来，并使用了中间表面点之间的对偶性。表盘表面的对象和它的边界提取光谱坐标与明确考虑局部对象的宽度和对象部分对称性。我们引入了一种新的方法来计算边界节点之间的邻接权值当与使用共形方法比较时，使用这种中间驱动的光谱坐标导致改进的对应性。当应用于3D部分分割时，使用中间表面将边界上的点分组在一起具有优势，这些点在测地线方面不一定彼此接近，但是在局部对象对称性方面在几何上彼此最后，除了原始数据之外，我们还使用中间光谱坐标进行了对象分类实验，结果表明，香草深度神经网络模型可以从这些额外光谱特征的结合中受益我们打算在GitHub上发布我们所有的实现在未来的工作中，我们的目标是研究是否可以通过深度神经网络模型隐式计算中间光谱坐标。我们还希望研究图神经网络模型的中间谱坐标的潜力。我们的方法有一个潜在的局限性，那就是卷积算法的复杂度是体素数量的线性因此，与一些替代方法相比，体素化可能会带来计算负担[48]。在实践中，以增加的计算成本的精细体素化确实提供了对边界扰动的更大鲁棒性。致谢：我们感谢多伦多大学和NSERC的研究支持。2695引用[1] Yonathan Aflalo，Anastasia Dubrocket和Ron Kimmel。谱 广 义 多 维 标 度 。 International Journal of ComputerVision，118（3）：380-392，2016。6[2] 妮娜·阿门塔崔成熙和拉维·克里希纳·科卢里权力外壳，球的工会，中轴变换。计算几何，19（2-3）：127-153，2001. 2[3] Xiang Bai，Xingwei Yang，Deguang Yu，and LonginJan Latecki.使用路径相似性的基于分形的形状分类。International Journal of Pattern Recognition and ArtificialIntelligence，22（04）：733-746，2008. 2[4] Silvia Biasotti，Simone Marini，Michela Spagnuolo，andBianca Falcidieno.利用三维形状的结构描述子实现子部分对应。计算机辅助设计，38（9）：1002-1019，2006。2[5] Harry Blum 等 A transformation for extracting newdescriptor of shape，volume 43.麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥，1967年。2[6] Sylvain Bouix，Jens C Pruessner，D Louis Collins，andKaleem Siddiqi.使用内侧表面的海马形状分析。神经影像学，25（4）：1077-1089，2005年。二、三、四[7] RuneBrinck er ， AndersSkafte ， ManuelLo' pez-Aenlle ，AldoSestieri，Walter结构动力学中振型的局部对应原理。机械系统和信号处理，45（1）：91-104，2014。2[8] Alexander M Bronstein ， Michael M Bronstein 和 RonKimmel 。非刚性形状的数值几何。Springer ScienceBusiness Media，2008. 五、六[9] 迈克尔·M·布朗斯坦和亚历山大·M·布朗斯坦光谱距离形状识别。 IEEE Transactions on Pattern Analysis andMachine Intelligence，33（5）：1065- 1071，2010。4[10] Michael M Bronstein，Joan Bruna，Yann LeCun，ArthurSzlam，and Pierre Vandergheynst.几何深度学习：超越欧几里得数据。IEEE Signal Processing Magazine，34（4）：18-42，2017。四、五[11] 蔡小莎，黄东，王昌东，郭志强。基于子空间随机化和图融 合的 高维 数据 谱聚 类知识 发现 和数 据挖 掘，12084：330，2020。6[12] Charles-Olivier Dufresne Camaro，Morteza Rezanejad，Stavros Tsogkas，Kaleem Siddiqi和Sven Dickinson。用于从真实图像中快速提取中轴线的ap-pepestrian shock文法在IEEE/CVF计算机视觉和模式识别集，第143822[13] Xiaobao Chen ， Aleksey Golovinskiy ， and ThomasFunkhouser. 3D网格分割的基准。ACM Transactions onGraphics (Proc. 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