恒定外加磁场作用下不可压缩Oldrox-B流体在拉伸薄片表面温度线性变化的非线性微分方程组研究

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，440埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章拉伸薄片M.萨吉德湾Ahmedb，Z. Abbasc，*a理论物理部，PADEECH，P.O. 天气-伊斯兰堡，巴基斯坦bRiphah国际大学基础科学系，伊斯兰堡44000，巴基斯坦c巴基斯坦巴哈瓦尔布尔伊斯兰大学数学系，巴哈瓦尔布尔63100接收日期：2013年6月3日;修订日期：2014年4月30日;接受日期：2014年2014年7月23日在线发布本文研究了在恒定外加磁场作用下，不可压缩的Oldrox-B流体在拉伸薄片假设表面温度随离驻点的距离线性变化利用相似变换建立了一个耦合的非线性微分方程组为了分析速度、温度、表面摩擦系数和通过壁的传热率的行为，采用有限差分格式开发了数值解所得结果用于讨论有关参数的影响2010年数学学科分类：65N06; 76D05; 76R99？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍关于拉伸薄板上的流体流动和传热的分析是许多从事二维边界层流动研究的学者感兴趣的课题。原因在于这样的事实，即这种类型的结晶在制造业中有应用行业例如，在许多制造过程中，如玻璃纤维生产、热轧、连续铸造、挤出*通讯作者。联系电话：+92 62 9255480。电子邮件地址：za_qau@yahoo.com（中）Abbas）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevierhttp://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.05.013工艺、纸张制造、涂料和纸张生产。Sakiadis[1]研究了平板作匀速运动时二维边界层湍流的初始功。用于传热分析的Sakiadis[2]的文件。在上面提到的研究中，假设薄片的速度是恒定的。当我们对聚合物片材的连续挤出分析感兴趣时，这种恒速度假设是适当的。由于聚合物材料的弹性，可能发生拉伸。Crane在文献[3]中通过引入伸展壁面条件，得到了边界层湍流的封闭解他假定拉伸速度随离原点的距离呈线性变化文献[4-9]等对粘性流体的Crane在上面提到的参考文献中。[3但在许多实际情况下，热浮力也是发生1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表关键词混合对流;驻点湍流;奥氏流体;磁场;有限差分法Oldrox-B流体的定常混合对流驻点流441Σ2C0C2C1R112RRCe@y1.Σ你好因此，分析了在固体表面运动和浮力共同作用下的水流特性。这些浮力是由热量产生的-@ u@v@x±0;±1拉伸片材的加热和冷却导致气流场和温度场的变化，u@u@x@uv@y1.u2@2u@x22002紫外线@2u@x@y@2u@y2ax@2u@y2Chen和Strobel[10].文献调查表明，.@3v@3u @u@2u@u@2v。2@u这方面的工作是由许多工人在MK2u@x@2y x @ v @y3-@x @y2-@y@y2B20ax-u-K1v @y[11][14][15][16][17][18][另一方面，骗局--你好，T. T.T.K.@Tv@T@uT-T2019 -04-25速率类型队列的组成关系是隐式的和elim的，从运动方程中推导应力分量并不简单。这一事实是缺乏@T@T11@xk@2Tp@y-@x1L.@u2率型双流体二维湍流的文献最简单的一类速率型量子流体是麦克斯韦量子流体，u@xv@y¼qc2002年qcp@y; 2003年人们可以找到一些关于拉伸的文章，麦克斯韦尔方程组[15然而，对于Oldrophil-B流体，只有两项关于拉伸片材上的湍流的研究[21，22]。另一方面，关于非牛顿流体在连续运动表面上的混合对流换热，可以找到大量的文献Takhar等讨论了非牛顿微极流体的混合对流换热。[23]第10段。Mushtaq等人[24]考虑了变表面温度情况下二阶流体的定常混合对流Lok等人[25]研究了垂直表面上驻点附近微极流体的定常混合对流。2008年，Hayat et al.[26]用同伦分析方法研究了微极流体在非线性拉伸薄板上的混合扩散问题的级数解最近，Hsiao[27]研究了热、质传递和混合对流，其中u和v是x和y方向上的速度分量。m是流体的运动粘度，p是压力，q是流体的密度，K1是弛豫时间，K2是延迟时间，g是重力加速度，b是是热膨胀系数，cp是比热，k是热扩散率，T是温度。适用于本问题的适当边界条件是：u <$u wxcx;v¼ 0;y<$0时，T<$Tw <$x <$$> T1<$bx;u<$ux<$ax;@u！0的整数 ;T¼T如y！1 ：04分其中a和c都具有（时间）-1的维数，并且b是正常数。在这里，第四个条件在方程。（4）是Grag和Rajagopal[29]讨论的增广条件。引入拉伸流粘弹性流体通过连续运动磁流体的磁流体动力学pT-TW鲁杰罗¼表面欧姆耗散数值。 最近，Maxwell驻点湍流中的混合对流Abbas等人[28]已经研究了朝向垂直拉伸片的流体。他们用同伦分析方法（HAM）和数值方法u<$cxf0g;v<$-cmfg;hgT治理腐败问题采取的形式是1;g-T1y：Mð5Þ采用有限差分法。据我们所知，没有奥尔德罗夫-布氏流体的混合对流对流已经引起了人们的注意我们的目的是讨论混合骗局-上Oldrox-B流体驻点流的矢量f000-f02ff00a2M2a-f0-kff00Ah-kfh0þkð2ff0f00-f2f000Þþkf002-ffiv¼0;ðh00Pfh0-hf0PEf002¼0;7一种可拉伸的床单作为第一步，在这些假设下的边界层方程已被开发，然后采用有限差分法的数值解，提出了一个转换的非线性耦合常微分方程。通过图表讨论了各种物理参数对气流和温度分布的影响2. 问题的提出考虑一个不可压缩的二维奥氏流体，它位于一个半无限的、不可渗透的、y = 0的拉伸薄片上的驻点区域。假设拉伸速度和壁面温度分别为uw（x）= cx（c>0）和Tw（x）= bx（b>0）。在远离平板的地方，物体的外表面流动速度为ue（x）=ax，a> 0，并假定物体在边界层外达到均匀的温度T1。在y方向上施加强度为B0在通常的Bous-sinesq近似下，边界层流动和传热的控制方程为（见[22，30]）f¼0;f0¼1;h<$1atg<$0;f0¼a;f00¼0;h¼0asg！1：08分其中素数表示对g的导数，k1= K1c和k2= K2c是无量纲流体的材料参数，Ar=Gr/Re2是阿基米德数，Gr=gbb/m2是格拉肖夫数，Re=c/m是雷诺数，M2/rB2=cq是哈特曼数。3. 结果和讨论Sajid等人详细解释的数值程序[22]的方法来求解变换后的方程。（6）讨论了无量纲弛豫/延迟时间（k1，k2）、Hartmann 数 M 、 外 流 动 速 率 与 拉 伸 速 率 之 比 a/c 、Archimedes数Ar、Prandtl数Pr和Eckert数Ec对速度f0（g）和温度的影响h（g）分布通过图1和图2呈现。 1比3。数字-在表1中还给出了不同物理参数的h0（0）的理论值。图1说明了速度26Þ442M. Sajid等人a/c = 2.50.1= 0.00.1= 0.51= 1.5a/c = 2.0a/c = 1.5a/c = 0.5a/c = 0.0a/c = 2.5=0.00.2= 0.51.2= 1.5a/c = 2.0a/c = 1.5a/c = 0.5a/c = 0.0Ec = 0.0Ec = 0.3Ec = 0.7Ec = 1.0-分量f0（g）分别对应于不同的a/c值和无量纲弛豫/延迟时间（k1，k2）。据发现，在图。 1（a），速度f0（g）随a/c的增大而增大，此外还应注意，最初当a/c<为1时，速度 f0（g）随k1的增大而减小，但当a/c>1时，速度场f0（g）具有相反的行为，速度随k1的增大而增大。 对于a/c <1和a/c> 1，边界层厚度均随k 1的增大而减小。此外，从图1（b）中可以看出，当与速度场f 0（g）相比时，延迟时间k2对速度场f0（g）具有相反的影响。延迟时间K1的影响。图2（a）描绘了当a / c = 0.1时，Ha rma nnum berM对vo i tifo（g）的影响。根 据 0（g）和B区的水平进行了一次试验随着M值的增加，层厚减小。物理上，这一事实是由于磁力对电磁流起阻力作用。图2（b）示出了根据本发明的实施例的变型。（一）10.90.80.70.60.50.40.30.2Ar = 1，a/c = 0.2，Pr = 0.7，Ec = 0.05，λ1= 0.2，λ2= 0.2M = 0.0男= 1.0男= 1.5男= 2.00 1 2 3 4 56温度h（g）对于埃克特数Ec的各种值。据观察，温度随着Ec的增加而增加此外，Pr和Ec对温度以及对热边界层厚度具有相反的行为。Ar= 1，M = 0.5，Pr = 0.7，Ec = 0.1，λ2= 0.5（a）2.521.51Ar= 0.2，a/c = 0.2，M = 0.2，Ec = 0.1，λ1= 0.2，λ2= 0.2（b）10.90.80.70.60.50.40.30.20.100 1 2 3 4 5 60.500 1 2 3 4 5 6Ar= 1，M = 0.5，Pr = 0.7，Ec = 0.1，Δ1= 0.5（b）2.521.510.500 1 2 3 4 5 6图1不同a / c和k 1值时的速度分布f0（g）与g（a）;以及（b）不同a/c和k2值时的速度分布。图2（a）不同M值下的速度分布f0（g）与g的关系;（b）不同Ec值下的温度分布h（g）与g的关系。图图3（a）给出了对于几个外部流动速率与拉伸速率a /c的比值，温度分布h（g）的变化。在该图中，当我们增加A/C的值时，温度降低。还注意到对于大的A/C值，热边界层厚度减小。 图图3（b）是为了观察普朗特数Pr对温度分布h（g）的影响。从图中可以看出，随着Pr值的增加，温度和热边界层都降低了。表1给出了局部努塞尔数h0（0）对于不同的Pr、Ar和Ec值，在Oldroxid-B流体的情况下。发现局部Nusselt数-h0（0）通过增加普朗特数Pr和阿基米德数Ar 的 值 而 增 加。但是，-h0（0）随Ec值的增大而减小。4. 总结发言本文给出了在低磁振子数假设下考虑外加磁场效应和混合对流效应的二维非线性方程组。fff（Oldrox-B流体的定常混合对流驻点流443a/c = 0.0a/c = 0.5a/c = 1.5a/c = 2.0Pr = 0.7Pr = 1.0Pr = 3.0Pr = 7.0EC和Ar。表1不同Pr值的-h0（0）数值(a)10.90.80.70.60.50.40.30.20.1Ar= 1，M = 0.2，Pr = 0.7，Ec = 0.1，λ1= 0.2，λ2= 0.2用有限差分法进行数值计算。感兴趣的量是速度，温度和f00（0）和努塞尔数的数值。 结果以图形表示，并在问题中出现的参数的影响下进行了讨论。结果表明，随着阿基米德数Ar的增加，壁面处的传热量增加。确认我们感谢匿名审稿人的有益意见，以改善该文件的版本第一作者感谢Abdus Salam国际理论物理中心的支持，意大利的里雅斯特。（b）第（1）款00 1 2 3 4 5 6Ar= 0.2，a/c = 0.2，M = 0.2，Ec = 0.1，λ1= 0.2，λ2= 0.21引用[1] B.C. 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Sajid等人[8] M. Sajid，N.Ali，T.贾韦德Z.在粘性流体中拉伸曲面。Phys. Lett. 27（2010）024703。[9] F.M.阿里河，巴西-地新墨西哥州纳扎尔阿里芬岛波普，磁流体滞止点流动和热传递朝向具有感应磁场的拉伸片材，应用数学机械（英文版）32（4）（2011）409-418。[10] T.S. Chen，F.A.张文，连续运动水平平板边界层中的浮力效应，中国科学院学报，2001。热传递102（1980）170-172.[11] A. Moutsoglou，T.S.陈，倾斜、连续、移动挡板边界层中的浮力效应，ASME J。 热传递102（1980）371-373.[12] M.A.侯赛因岛李文，连续运动表面上的磁流体动力学边界层流动与热传递，机械工程，48（1996）813-823。[13] C.H.陈文，连续拉伸表面的层流混合对流冷却，热质传递，36（2000）79-86。[14] S. Ahmed，N.M.阿里芬河纳扎尔岛波普，沿垂直细针的混合对流边界层湍流：辅助和反对湍流，国际通讯。热质量传递35（2008）151-162.[15] K. Sadeghy ， A.H. Naja fi ， M. Saffaripour ， SakiadisSchiow 的 上 随 体 Maxwell 流 体 ， Int. J. Non-LinearMech.40（2005）1220-1228。[16] Z.阿巴斯，M. Sajid ，T. Hayat，多孔通道中上随体Maxwell流体的MHD边界层流动，Theor。Comput.流体动力学20（2006）229-238。Oldrox-B流体的定常混合对流驻点流445[17] T. Hayat，Z.阿巴斯，M. Sajid，多孔拉伸平板上的上随体Maxwell流体的级数解，物理. Lett. A 358（2006）396-403。[18] T. Hayat，Z. Abbas，N. Ali，MHD流动和上随体Maxwell流体通过具有化学反应物种的多孔收缩片的质量传递，Phys.Lett。A 372（2008）4698- 4704。[19] A.A. Pahlavan，V. Aliakbar，F.V. Farahani，K. 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