理论计算机科学电子笔记143（2006）5-12www.elsevier.com/locate/entcs作为命题模糊逻辑的命题逻辑Benjam'ınRen'eCallejasBedregalandAndersonPaivaCruz1，2北里奥格兰德联邦大学信息学与应用数学系逻辑与计算智能实验室CEP 59.072-970，Natal，巴西摘要有几种方法可以扩展模糊真度的经典逻辑连接词，使得它们在0和1值时的行为与经典逻辑连接词完全相同。对于逻辑连接词的每一个扩展，总是为真的公式（重言式）都发生变化。本文将对常用的连接词（合取、析取、否定、蕴涵和双蕴涵）给出一个模糊解释，使得重言式的集合就是经典重言式的集合。因此，当我们把逻辑看作公式的集合时，命题（经典）逻辑就有了一个模糊模型。保留字： 经典逻辑，模糊逻辑，弱t-范数。1引言Lofti Zadeh在[15]中介绍的模糊集理论的主要特点是考虑了置信度，即[0， 1]中的实值，以表明专家相信元素属于集合的程度。这种理论是适当的处理概念（因此与集）不是很精确，如胖的人，高温等，在这种方式模糊逻辑，隶属逻辑，成为一个重要的工具来处理知识的不确定性，并表示人类推理的不确定性1电子邮件：bedregal@dimap.ufrn.br2电子邮件：anderson@digizap.com.br1571-0661 © 2005 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2005.05.0236B.R.C. Bedregal，A.P.Cruz/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143（2006）5在模糊逻辑中可以区分两个主要方向[16]：1）广义上的模糊逻辑，其主要目标是基于模糊推理的计算系统的发展，例如模糊控制系统，2)狭义上的模糊逻辑，其中模糊逻辑被视为一种符号逻辑，因此问题作为形式理论进行研究。最近，在模糊逻辑的严格数学（形式和符号）方面取得了可观的进展，作为具有真理比较概念的逻辑[10]。三角范数（t-norms）是由Schweizer和Sklar在[13]中引入的但是，Alsina，Trillas和Valverde在[1]中指出，t-范数及其对偶概念（t-连接词）可以用来模拟模糊逻辑中的合取和析取，从而推广了Lot FiZadeh在[15]中，Bellman和Zadeh在[4，5]中以及Yager在[14]中提供的连接词的几个定义（定义了一般的解释类）等。因此，每个t-范数确定真公式（1-重言式）和假公式（0-矛盾式）的不同集合，从而确定不同的（模糊）逻辑。模糊逻辑中的命题连接词的解释是基于t-范数结构被称为三角逻辑[9，2]。本文研究了弱t-模，给出了剩余、双蕴涵、否定和t-蕴涵的特征，并给出了它们的正则性质。考虑到通常的命题语言，我们将证明，解释基于这些操作符的公式，每个经典重言式是这种模糊解释的重言式。由于逆命题是平凡的，即每个1-重言式（独立于对命题连接词所考虑的模糊扩张）在经典逻辑中是重言式，我们证明了命题经典逻辑（当理解为重言式集合时）是模糊逻辑，即存在对命题连接词的模糊解释，使得模糊重言式集合与经典重言式集合重合。2模糊逻辑设LP是通常的命题语言。比例符号PS的模糊赋值是任意函数e：PS→I，其中I= [0，1]. 设T = T，I，N，S，B是命题连接词的模糊推广分别为：、→、<$、、Participate我们可以扩展函数的求值eTe：LP−→I如下：(i) Te（p）=e（p），其中p∈PS，(ii) Te（<$α）=N（Te（α）），B.R.C. Bedregal，A.P.Cruz/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143（2006）57(iii) Te（（α<$β））=T（Te（α），Te（β）），(iv) Te（（α<$β））=S（Te（α），Te（β）），(v) Te（（α→β））=I（Te（α），Te（β）），以及(vi) Te（（αParticipateβ））=B（Te（α），Te（β））.公式α∈LP是关于T的1-重言式，或简称为T-重言式，记为|= Tα，如果对每个模糊评价e，Te（α）= 1。因此，由T建模的模糊逻辑，或简称为T-模糊逻辑是集合LPT={α∈LP：|= Tα}。命题2.1设T=<$T，I，N，S，B<$是命题联结词的模糊推广，α ∈ LP. 如果|=Tα，则|= α（经典重言式）。证据直截了当。Q命题经典逻辑在[7]中被定义为所有重言式的集合。因此，任何模糊逻辑都包含在经典逻辑中。3命题经典逻辑与W-模糊逻辑设W= W，IW，NW，SW，BW，W是由弱t-范数正则地得到的命题联结词的模糊推广，即.连接：含义：⎧如果max{x，y} = 1，则取minW（x，y）=00，否则⎧如果x= 1，IW（x，y）=1否定：1、否则⎧分离：如果x1NW（x）=0，如果x= 18B.R.C. Bedregal，A.P.Cruz/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143（2006）5⎧1，如果x= 1或y= 1SW（x，y）=0双重含义：0，否则⎧如果x= 1，⎨BW（x，y）=⎪x，如果y= 1引理3.1设α，β，γ∈LP. 然后defA1=α→（β→α）def第一，其他人A2=（α→（β→γ））→（（α→β）→（α→γ））defA3=（<$β→ <$α）→（（<$β→α）→β）defA4=α→βdefA5=α→（β→（α<$β））defA6=α→（α<$β）defA7=β→（α<$β）defA8=（α→γ）→（（β→γ）→（α→β→γ））defA9=（α→β）→（（α→ <$β）→ <$α）def一个10A11A12=α→αdef=（α参与β）→（（α→β）（β→α））def=（（α→β）（β→α））→（α参与β）是W-重言式。证据(i) 假设|= Wα→（β→α）。 然后，给出了模糊评价方法，使得We（α→（β→α））1. 但是，根据IW和WE的定义，必须满足We（α）= 1和We（β→α）/= 1。但是，根据相同的定义，只有当We（β）= 1且We（α）= 1导致矛盾时，We（β→α）/那么，|= Wα→（β→ α）。(ii) 假设|= W（α→（β→γ））→（（α→β）→（α→γ））。 然后，对于 某 个 模 糊 评 价 e ， We （ （ α→ （ β→γ ） ） → （ （ α→β ） →⎪B.R.C. Bedregal，A.P.Cruz/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143（2006）59（α→γ）））/= 1.因此，通过定义IW和We，We（α→（β→γ））= 110B.R.C. Bedregal，A.P.Cruz/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143（2006）5和We（（α→β）→（α→γ））1。当We（α→（β→γ））= 1时，必We（α）/= 1，且We（（α→β）→（α→γ））/= 1，则We（α→β）= 1和We（α→γ）1。 因此，由于We（α→γ）= 1，We（α）= 1，也会导致矛盾。 那 么 ，|= W（α→（β→γ））→（（α→β）→（α→γ））。(iii) 假设|= W（<$β→ <$α）→（（<$β→α）→β）。所以对于一些模糊的评价e，We（（<$β→ <$α）→（（<$β→α）→β））1。因此，IW和We的定义，We（<$β→ <$α）= 1和We（（<$β→α）→β）/= 1。 但是，根据相同的定义，如果We（（<$β→α）→β）=1，则We（<$β→α）=1且We（β）=/1且We（α）= 1，或We（<$β）1. 因为We（<$β→α）= 1，所以We（<$β）=1. 最后一个意味着We（β）= 1，这是个矛盾因此，We（<$β）= 1，We（α）= 1。 另一方面，由于We（<$β→ <$α）= 1，或者We（<$β）= 1且We（<$α）= 1。因此，We（α）/= 1，这是一个矛盾，或者We（<$β）= 1，这也是一个矛盾。那么，|= W（<$β→ <$α）→（（<$β→α）→β）。(iv) 假设|= Wα→β。 “我”与“我”的关系，对于某个模糊评价e，Wee（α<$β）= 1，Wee（β）1. 因此，定义We，W（We（α），We（β））= 1，因此e（α）=We（β）=1，这是一个矛盾。那么，|= Wα→ β。(v) 假设|= Wα→（β→（α <$β））。然后，通过定义IW和We，对某个模糊评价e，We（α）= 1，We（β→（α<$β））= 1.但是，因为We（β→（α<$β））/= 1，所以We（β）= 1且We（α<$β）/= 1。因此，由于We（α<$β）/= 1，W（We（α），We（β））/= 1。因此，We（α）/=1We（β）1是一个矛盾。因此，我们认为，|= Wα →（β →（α<$β））。(vi) 假设|= Wα→（α <$β）。然后，通过定义IW和We，对某个模糊评价e，We（α）= 1，We（α<$β）/= 1.如此因为We（α<$β）1，SW（We（α），We（β））/= 1.因此，W（α）/= 1，W（β）1，这是一个矛盾。因此，我们认为，|= Wα →（α<$β）。(vii) 类似的。(viii) 假设|= W（α→γ）→（（β→γ）→（α→β→γ））。然后，通过定B.R.C. Bedregal，A.P.Cruz/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143（2006）511义IW和We，存在模糊评价e使得We（α→γ）= 1和We（（β→γ）→（α<$β→γ））/= 1。 因此，通过定义IW，We（β→γ）= 1且We（α→β→γ））/= 1。因此，通过相同的定义，We（αβ） =1，并且We（γ））=/1.一、 通过定义N W，We（α）= 1或We（β）= 1。若We（α）= 1，则由于We（α→γ）= 1，根据定义IW，We（α）1是矛盾的，或者We（α）=We（γ）= 1，这也是一个矛盾。因此，We（β）= 1。但是，因为，We（β→γ）= 1，根据IW的定义，We（β）= 1，这是一个矛盾，或者We（β）=We（γ）= 1，这也是一个矛盾。那么，12B.R.C. Bedregal，A.P.Cruz/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143（2006）5|= W(α → γ) → ((β → γ) → (α ∨ β → γ)).(ix) 假设|= W（α→β）→（（α→ <$β）→ <$α）。 然后，通过定义对于模糊评价e，We（α→β）= 1，We（（α → β））= 0，W e（α → β）=1，W e（α→β）= 0，We（α→ β）= 0<$β）→ <$α）= 1。因此，We（α→ <$β）= 1，则We（<$α）1。因此，W的定义，We（α）= 1，因为We（α→β）= 1，或者We（α）=1，这是一个矛盾，或者We（α）= 1和We（β）= 1。另一方面，由于We（α→ <$β）= 1，或者We（α）/= 1，这是矛盾的，或者We（α）=We（<$β）= 1，根据NW的定义，We（β）1也是矛盾 因此，我们认为，|= W（α→β）→（（α→ <$β）→<$α）。(x) 假设|= Wα→α。 然后，通过定义IW和We，对于某个模糊评价e，We（α）= 1和We（α）= 1。但是...causeWe（<$$>α） =1，We（<$α）=/矛盾那么，|= Wα→ α。1，因此We（α）= 1，(xi) 假设|= W（α参与β）→（（α→β）→（β→α））。然后，通过定义IW和We，对某个模糊评价e，We（αParticipateβ）= 1，We（（α→β）<$（β→α））/= 1.因此，根据BW的定义，We（α）=We（β）= 1或We（α）1且We（β）f= 1。另一方面通过弱t-范数的定义，We（α→β）/= 1或We（β→α）/= 1.因此，IW的定义，或We（α）= 1和We（β）1，这是一个矛盾，或We（β）= 1，We（α）/= 1，这也是一个矛盾。 那么，|= W（α参与β）→（（α→β）<$（β→α））。(xii) 假设|= W（α→β）<$（β→α））→（α参与β））。然后，通过定义IW和We，对某些模糊评价e，We（（α→β）∈（β→α））= 1，We（αParticipateβ）= 1.因此，通过定义BW，或（*）We（α）= 1且We（β）/= 1或（**）We（α）= 1且We（β）= 1。另一方面，通过弱t-范数的定义，We（α→β）=We（β→α）= 1。因此，通过定义IW，或We（α）= 1或We（α）=We（β）= 1，和，或We（β）= 1或We（α）=We（β）= 1。因此我们有两种情况：1）We（α）= 1和We（β）= 1，这与（*）和（**）都是矛盾的。 2)We（α）=We（β）= 1，这与（*）和（**）同样矛盾因此，我们建议，|= W(((α → β) ∧ (β → α)) → (α ↔ β)).Q引理3.2设α，β∈LP.如果|= Wα，|= Wα→β则|= Wβ。证据如果|= Wα，|= Wα→β，则对每个模糊评价e，We（α）= 1，We（α→β）= 1. 但是，如果We（α→β）= 1，则或We（α）= 1，这是矛B.R.C. Bedregal，A.P.Cruz/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143（2006）513盾的或We（α）= 1和We（β）= 1.因此，We（β）= 1。因此，我们建议，|= Wβ.Q注意这个引理说肯定前件保持W-重言式。14B.R.C. Bedregal，A.P.Cruz/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 143（2006）5定理3.3设α∈LP. |= W α。|= Wα.证 据 考 虑 Kleene 在 [11] 中 描 述 的 命 题 形 式 理 论 （ TP ） ， 即 TP K=<$LP，<$，MP <$，其中LP是命题语言，n ={A1，. MP是肯定前件规则。 Kleene证明了重言式是TPK的一个定理。如果α是TP K中的一个定理，则存在一个证明α1，...，α n的绝对值。我们将通过归纳法证明，对于每个i = 1，.，n，|= Wα i.对于i= 1，αi是一个公理。根据引理3.1，|= Wα1。假设|= Wα i，对于每个i< k。则α k或α k是一个公理，在这种情况下，由引理3.1，|= Wα k，或者存在k1，k2
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