深度自动编码器用于非线性物理约束数据驱动计算框架及其在生物组织建模中的应用

u∈CC{|}··E·N=t，在ΓX上，d2（z，z）=d2（E（u），E）+d2（S，S），（3a）Eu=g，在ΓX上，其中u是位移向量，E是绿色La-ttI=1{}∈E用于非线性物理约束数据驱动计算框架的深度自动编码器及其在生物组织建模中的应用何小龙1，何启智2，陈俊贤11加州大学圣地亚哥分校结构工程系，La Jolla，CA 92093xiaolong-he@ucsd.edu，js-chen@ucsd.edu2物理和计算科学理事会，太平洋西北国家实验室，Richland，WA 99354qizhi. pnnl.gov摘要物理约束数据驱动计算是一种新兴的计算模式，它直接将材料数据库集成到复杂材料的物理模拟中，绕过了经典本构模型的限制。然而，大多数开发的数据驱动的计算方法是基于简单的距离最小化，从而遭受处理高维应用和缺乏泛化能力。本研究提出了一个深度学习增强的数据驱动计算框架，以解决非线性材料建模的这些基本问题。为此，一个自动编码器，一个特殊的多层神经网络架构，被引入到学习底层的低维嵌入表示的材料数据库。将离线训练的自动编码器和发现的嵌入空间应用于在线数据驱动计算中，使得能够在低维嵌入空间中从数据库中搜索最佳材料状态，增强了数据驱动计算对有限材料数据的鲁棒性和可预测性。为了提高数据驱动计算的稳定性和收敛性，在自编码器给出的低维嵌入空间上引入保凸插值方法来构造物质状态.通过对生物组织的实验数据建模，验证了该方法的有效性和泛化性能。1非线性物理约束数据驱动建模在一个以Neumann界为界的区域中，控制弹性固体元ΓX和Dirichlet边界ΓX被给出为（2nd-PK）应力张量。上标X表示参考（未变形）构型 。 F 是 与 u 有 关 的 变 形 梯 度 ， 定 义 为 F （ u ） =f（X+u）/f（X），其中X是材料坐标。b、N、t和g分别是体积力、Γ X上的表面法线、Γ X上的牵引力和ΓX上的规定位移。为了解决方程中的边值问题（BVP），(1)材料的应力-应变关系规律。然而，对于复杂的材料系统，建立唯象的材料模型是困难的. 物理约束的数据驱动计算框架（Kirchdoerfer和Ortiz 2016; Ibanez等人2018; He和Chen 2020）通过将BVP公式化为物理约束下的优化问题，提供了一种在物理模拟中直接利用材料数据的替代方案。在该框架中，材料行为由应变-应力对z=（E，S）来描述，其被定义为由材料数据库给出的材料状态，E=zIM其中M是材料数据点的数量，并且是域M上的材料数据库的允许集合。满足物理方程（Eq.（1）定义为物理状态，其中=z等式(1)是一个物理容许集。数据驱动的解决方案是通过固定点的全局-局部迭代来获得的，以最小化材料和物理状态之间的距离。在局部步骤中，材料数据驱动的局部求解器通过使距离最小化来搜索最接近给定物理状态z的最佳应变-应力对z功能定义如下：∫F（z，z）=mind2（z，z<$）d<$，（2）t uDIV（F（u）S）+b=0， 在X中，E=E（u）=（FTF−I）/2，单位为（一）与zz<$∈E<$X（F（u）S）tz E Sud2（E（u），E）=（E（u）−E）：C：（E（u）−E），（3b）12grangian应变张量，S是第二Piola-Kirchhoffd2（S，S）=1（S−S）：C−1：（S−S），（3c）S2版权所有© 2021本文由其作者。Creative Commons License Attribution 4.0 International（CC BY4.0）.其中，C是预定义的对称且非定常的十-用来正确地调节z和z之间的距离。F不·→·→{∈|∈ Z}Z·∈I=1·Z∈ C ∈ EZα+β||W||、ENCDecM我 ENCDec我Given最佳材料dataz=（E，S）从方程中的局部步骤获得(2)，数据驱动问题的全局步骤是搜索最接近的物理状态，公式如下：min（E（u），S;E，S）u， S服从：DIV（F（u）·S）+b=0在X上，（F（u）·S）·N=t在X上，（四）其可以通过拉格朗日乘子法和非线性数值求解器来求解。注意，等式中的兼容性约束（1b）直接通过从u计算E来实现。2用于非线性材料的流形学习自 动 编 码 器 （ DeMers 和 Cottrell 1993; Hinton 和Salakhutdinov 2006）旨在最佳地将其输入复制到输出，并在低维嵌入层中保留最具代表性的特征。因此，它允许有效的噪声过滤、降维和数据的隐藏结构发现。如图1，自动编码器包含编码器函数henc（;θenc）：RdRp和解码器函数hdec（;θdec）：RpRd，使得自动编码器图1：由编码器和解码器组成的自动编码器的示意图，嵌入维度小于输入维度。编码器学习高维输入对象的固有低维嵌入，而解码器从低维嵌入最佳地重建输入对象。xθ=h（x;θENC，θdec）：=hDec（·;θDec）ENC（x;θENC），（5）z′Rpz′=henc（z;θ∈enc），z，其中物质状态由低维坐标系描述其中d是输入维度，p d是嵌入di。mension、θenc和θdec是编码器和解码器r的可训练参数。 x是自动编码器的输出，是原始输入x的重建。利用p

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