费曼图和紧对称多范畴的神经定理

理论计算机科学电子笔记270（2）（2011）105-113www.elsevier.com/locate/entcsFeynman图和紧对称多范畴的神经定理（扩展摘要）然后我就走了Depart ementdesmatemiquesUniversiteduQee ca`MontrealCanadaJoachim Kock约阿希姆·科克2，3，4DepartamntematiquesUniversitatAuto`nomadeBarcelonaSpain摘要我们描述一类费曼图，并显示它如何涉及到紧凑的对称multicategories（彩色模块操作），就像线性订单涉及到类别和有根树涉及到multicategories。更具体地说，我们得到了以下神经定理：紧对称多范畴可以被刻画为费曼图范畴上的预层，服从西格尔条件。 本文是第二位作者的QPL 6演讲的文章保留字：费曼图，多范畴，模运算，神经定理，单子。1介绍弦图的图解演算是量子力学和量子信息学的许多实验方法中的重要组成部分，本书也对此进行了阐述。一个类别的对象被描绘成字符串，箭头被描绘成点。箭头被认为是一个操作，在普通类别中，每个操作都有一个输入（源）和一个输出（目标）。箭头可以是1由加拿大2 邀请演讲3 电子邮件地址：kock@mat.uab.cat4 由西班牙研究基金MTM 2006 -11391和MTM 2007 -63277资助。1571-0661 © 2011由Elsevier B. V.出版，CC BY-NC-ND许可下开放获取。doi：10.1016/j.entcs.2011.01.025106A. Joyal，J.Kock/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）105如果按顺序排列，使得一个操作的输出与下一个操作的输入相匹配，则组成。下面的表1应该说明了从范畴到紧凑对称多范畴的过渡。结构对象操作糊状物类别S2S3SS3S2 4SS3S2 4线性序平面有根树根树树木费恩曼图多范畴对称多范畴循环对称多范畴紧对称多范畴表1多类别通过允许有限的输入列表来概括类别，同时仍然坚持每个操作只有一个输出。操作被表示为具有精确的一个内部顶点的平面根树，并且操作的组合从匹配操作的任何形式配置产生单个这样的单顶点树，即，将任意树转化为单顶点树。（Monoidal categories是一种特殊的多范畴：它们是可表示的范畴[14]。放弃线性顺序的一组输入，我们到达对称multicategory的概念，也被称为有色运算。Lambek [12]在1969年引入了多范畴来模拟微积分，而运算，通常在向量空间或拓扑空间上丰富的单对象对称模拟，大约在同一时间在循环空间理论中被发现[3]，[17]。放弃输入和输出之间的区别，称松散的边缘端口，我们到达一个多对象版本的拓扑学中所谓的循环操作数[5]。如果没有输入和输出的概念，我们就在对象集合上强加一个对合：每个对象都有一个对偶对象。操作现在是无根（非平面）单顶点树，其每条边都由某个对象装饰。这些操作可以通过将一个操作的一个端口与另一个操作的一个匹配端口相连接（即两个装饰对象需要是对偶的），并且形式复合的配置是无根（非平面）树。最后，通过允许同一操作的两个端口的离合，我们得到了本文的研究对象：紧致对称多端口系统。这本质上是Getzler和Kapranov [6]的模运算的多对象版本，用于描述代数几何、拓扑和共形场论中曲线的模空间的代数结构形式复合图的构造现在是一般的连通图，更预A. Joyal，J.Kock/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）105107这就是我们所说的费曼图：它们是（无向）图，允许有多个边和环，以及开边。我们将只使用连通的费曼图。因此，紧对称多范畴与费曼图的关系就像范畴与线性序的关系一样。本工作的目标是使这一陈述精确。2范畴的神经定理我们首先回顾经典神经定理，继Berger [1]，Leinster [13]和Weber [20]之后。设Δ表示有限（非空）线性序范畴集和单调映射，并回忆说，单纯集是一个预层上的Δ，即。a函子Δop→Set。小范畴C的神经是单纯集NC，其k-单纯是C中k个可合成箭的链。从概念上讲，通过自然嵌入i：Δ<$→Cat（将有序集解释为小范畴），NC只是预层Δop−→设置[k]<$−→ Hom Cat（i（[k]），C）.（一）神经定理，首先由Grothendieck观察到，断言N：Cat→sSet是一个完全忠实的函子，它的本质像由满足Segal条件的单纯集X组成：对于每个k≥1，自然映射Xk−→X1×X0···×X0X1是双射(The Fibre product表示可组合性：一个箭头的目标等于下一个箭头的来源。神经函子在将范畴论与拓扑学联系起来方面起着基础性的作用，因为单纯集是同伦论中最重要的本文的主要结果是紧对称多范畴的神经定理，它是经典神经定理的直接推广：我们将紧对称多范畴作为一类满足一定Segal条件的Feyn-man图的预层对于表1的其他行，有完全类似的神经定理。（Moerdijk和Weiss [18]对对称多范畴得到了一个稍微不同的神经定理。）证明有两个要素：一个是识别正确的图的类别; 2第二个是Berger [1]、Leinster [13]和Weber [20]开发的抽象机器的应用。简单回顾一下经典案例会有所帮助。一个小范畴有一个底层有向图（见[15]，第二章）。一个有向图可以看作是范畴G={ 0< $1}上的一个预层。 从Cat到PrSh（G）的遗忘函子有一个左伴随，自由范畴函子（[15]，Ch.II.7）：有向图G以G的顶点为对象，以G中的路径为箭头。路就是从一个线性图到G的图的映射。 令Δ0表示全108A. Joyal，J.Kock/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）105你好，PrSh（G）的一个由线性图组成的子范畴。这个范畴也可以看作是Δ的一个子范畴：它有相同的对象，但只包含后继保持映射（即满足φ（i+ 1）=φ（i）+ 1的映射）。事实上，可以方便地用Δ0来描述：它通过分解复合函子Δ0→PrSh（G）→Cat作为一个对象上的同一性函子j，后面跟着一个完全忠实的函子i来出现：Δ，，JizC，at、免费E健忘、（二）GzΔ，0zP，rSh（ G）在Δ中而不在Δ0中的映射中，有端点保持映射;检查Δ中的每个映射唯一地因子化为端点保持映射，其后跟随Δ0中的映射（即自由映射）。这个因式分解系统是一般/自由因式分解的一个特例[19]，是神经定理（现代）证明的一个重要组成部分范畴Δ0有一个Grothendieck拓扑（[16]），其中一个映射族被声明为形成一个覆盖，如果它们是联合满射（在点上以及在弦上）。如果说一个单纯集合X：Δop→Set满足Segal条件，则等于说它对Δ0的限制是这个拓扑的层。Δ的类属部分参数化了代数结构：合成和恒等箭头。另一方面，Δ0用于处理源-目标簿记，并表达西格尔条件。在单对象的情况下（X0是单例的），没有簿记，实际上幺半群的概念可以仅仅用Δ的类属部分来描述。事实上，与Δ中的一般映射范畴相反的是幺半群上的自由幺半群范畴，也称为代数学家3费恩曼图有多种方法来形式化开边图的概念（例如[4]）。他们中的大多数人并不自然地导致一个合理的概念态射。虽然下面的定义是非常自然的，但它似乎是新的：费曼图是有限集合的图iE，rsHt zV，这样，s是单射的，i是无定点对合。为了达到目前的目的，我们还需要强加一个连通性条件。集合V是顶点的集合。集合H是半边或半标记的集合：这些是由顶点和发散边的芽组成的对最后，集合E是定向边的集合。对合i使方向相反。地图t忘记了放射边。地图s返回指向远离、A. Joyal，J.Kock/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）105109顶点一个端口被定义为s的图像的补中的（定向）边。图的端口集合称为它的接口。内缘是一个i轨道，它的两个元素都在s的像中.从现在开始，我们只称图为（连通）费曼图。我们把范畴Gr的对象取为图，把范畴Gr的态射取为图来定义范畴EJ，rH JzV，J2004年，、、、Here，rHzV，，右边的方块是回调。拉回条件是说每个顶点必须映射到一个具有相同原子价的顶点。在几何术语中，态射是严格的etale映射（即局部同构）。(The类别Gr0将扮演Δ0对类别所扮演的角色，如§2所示。）基本图是没有内边的图。 以下是第一批基本图形：第一个，称为平凡图，记为*，由下式给出：，r0z0。、剩下的是2n，，rnz1，对于每个有限集合n，我们再记为n设elGr表示由基本图组成的Gr0。 我们有：Hom（*，*）= 2.你好！如果m=nHom（m，n）=0，如果m nHom（*，n）=2 n Hom（n，*）= 0.很容易检验每个图G是它的基本子图Gr0中的一个标准极限。 具有余域G的映射族称为 G，如果它在边和顶点上是联合满射;这定义了范畴Gr0上的根拓扑。一个图的标准余极限分解也是一个标准覆盖，并且很容易得出elGr上的预层和Gr0上的层之间的范畴是等价的：PrSh（elGr）→PrSh（Gr 0）。110A. Joyal，J.Kock/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）1050e−e+γ(More形式上，范畴elGr<$→Gr0的完全包含导出了预层拓扑PrSh（elGr）→PrSh（Gr0）的一个本质几何嵌入，并且众所周知（见[16]，第七章），每个这样的预层拓扑都导出了Gr0上的一个唯一拓扑，以上的等价物）。4图解种一个预层F：elGrop→Set被称为一个图物种;它在n上的值记为F[n]。证明了一个图种是由一个对合集C=F[*]给出的，对于每个n∈N，有一个集F[n]有2n个到C的投影，由F[n]上的Sn-作用和C上的对合置换.如果C是单例的，经典的物种概念[8]，[2]结果图形物种参数化强加当地结构的可能方式，图上的装饰对于每一个图类F，F-结构图的范畴是逗号范畴Gr0↓F（即，其对象是在PrSh（elGr）中配备有态射NG→F的图G的范畴，其中NG表示预层n <$→HomGr（n，G）;Gr0↓F中的箭头是与到F的态射相容的标准图映射G→Gj）。例如，有向图、二部图、带状图等都有图种（与此相反，像“亏格g的图”这样的非局部概念每一个量子场理论（例如参见Itzykson-Zuber [7]）都提供了一个图形物种的例子：F[*]是场标签的集合，F[n]是价数n的相互作用标签的集合（乘以Sn/Aut，其中Aut是相互作用的对称群例如在在量子电动力学中，有三个场标签，F[*] ={e，e+，γ}（对合交换e-和e+，而保持γ固定），和一个相互作用标签每个这样的标签可以应用在3！不同的方式到一个给定的三价顶点，因此F[3] = 3！(andF[n] = 0，n= 3）。等价性PrSh（elGr）Sh（Gr0）是指每个图类不仅在基本图上而且在所有图上都能求值：如果F是图类，G是图，则F[G]= limE∈elGr↓ GF[E]其中E遍历G的元素范畴，即G的所有基本子图以及它们粘合在一起以给出G的方式。A. Joyal，J.Kock/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）1051115紧对称多范畴我们将把紧对称多范畴定义为一个单子的代数，单子用图上的和来定义。关于单子和单子代数的概念，我们参考Mac Lane [15]，第六章。设n为有限集合。n-图是端口集为n的图。n-图的态射是使端口集固定的同构。我们用n-Griso表示这个广群.我们现在定义紧致对称多范畴的单子：PrSh（elGr） −→PrSh（elGr）F<$−→F，其中F是由F[*]：=F[*]给出的图形种类，并且F[n]：= colimG∈n-GrisoΣF[G]F[G]=G∈π0（n-Griso）Autn（G）.Σ= π0n-Griso↓F。由于n-Griso只是一个广群，所以这里第一个方程如下：和是在n-图的同构类上的，Autn（G）表示G在n-Griso中的自同构群。第二个方程是一个冗长的计算与自同构群。这个定义本质上只是Getzler和Kapranov定义的有色版本[6]。在[6]中可以找到一个关于这个内函子为什么具有单子结构的正式论证。利用第三个特征，我们可以给出一个启发式的论证（它可以成为一个形式证明）：F[n]是n-F-图类的同构集：它是用图类F装饰n-图的方法的集合。现在F[n]是由F-图装饰的n-图的集合：这意味着每个顶点都由具有匹配接口的图装饰。我们可以把每个顶点画成一个圆，里面有一个装饰F-图，单子结构就是擦除这些圆，把一个顶点被F-图装饰的图变成一个单独的F-图。设CSM表示单子F<$→F的代数范畴。我们称它的对象为紧对称多范畴。因此，一个紧对称多簇是一个图类F：elGrop→Set，它具有一个结构映射F→F：它等于一个规则，对任何n-图G给出一个映射F[G]→F[n]，即一种从整个图中构造单个操作的方法此规则根据几个简单的公理（cf. [15]，第六章），大致相当于独立的不同方式打破计算步骤。112A. Joyal，J.Kock/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）1056紧对称多范畴的神经定理我们现在考虑图GrizC，SM、、j自由E健忘、（三）elGrzG，r0 zP，rSh（elGr）通过将Gr0→CSM分解为对象上的同一性函子j后跟完全忠实的函子i来获得，就像在（2）中一样。换句话说，Gr是单子的Kleisli范畴[15，第六章5]，限制为Gr0。 这意味着Gr中从G到GJ的态射被定义为从G到GJ的图物种的态射。因此，在自由映射（来自Gr0的自由映射）将顶点发送到顶点（具有相同的价）的情况下，Gr中的一般映射将顶点发送到通过这种描述，很容易在Gr中建立以下因子分解性质：Gr中的每个映射因子为一个细化，然后是一个Etale映射，类似于Δ中的因子分解系统。 通过取域图并细化每个节点来给出细化即用具有相同接口的图来替换节点。关于附加项，标映射是自由映射，而加细项是所谓的一般映射（在[19]的弱意义上），即具有某种普遍性质。嵌入i：Gr→CSM诱导神经函子N：CSM −→PrSh（Gr）X−→HomCSM（i（），X）在我们的主要定理中：定理[9]神经函子N：CSM→PrSh（Gr）是完全忠实的，并且预层是N的本质像当且仅当它满足Segal条件。即 它对Gr 0的限制是一个层。证明遵循[1]、[20]和[11]的思想和技术。主要的一点是要证明，一定的左Kan扩展是由单子，这反过来又依赖于通用/自由因式分解保存。详情将很快公布[9]。我们可以注意到，正如在范畴的情况下一样，类属部分对代数结构进行编码，而自由部分对于簿记和表达西格尔条件是必不可少在单对象的情况下，一般映射的范畴是足够的：它的相对范畴本质上是Getzler和Kapranov [6]为了研究模运算而引入的图的范畴，并在随后的关于该主题的文献中广泛使用A. Joyal，J.Kock/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）105113引用[1] 克莱门斯·伯格。 一个细胞神经为更高的类别。 高级数学，169：118[2] FrancoisBergeron，GilberLabel lee，anddPierreLeroux. 《数学百科全书及其应用》第67卷中的一个问题和一个类似的问题。 剑桥大学出版社，剑桥，1998年。翻译从1994法国的真迹玛格丽特·雷迪与作者：Gian-Carlo Rota[3] 作者：Michael Boardman，Rainer M.沃格特拓扑空间上的同伦不变代数结构。数学讲义第347号。施普林格出版社，柏林，1973年。[4] Dennis V. Borisov和Yuri I.马宁广义运算及其内上同态。群与空间的几何与动力学。《数学进展》第265卷，第247Birkhauser，Basel，2008.[5] 放大图片作者：Ezra Getzler，Mikhail M.卡普拉诺夫循环运算与循环同调。 在几何学，拓扑学，物理学，会议记录讲义几何拓扑学，第四卷，第167-201页。Int. Press，Cambridge，MA，1995.[6] 放大图片作者：Ezra Getzler，Mikhail M.卡普拉诺夫模运算。 作曲数学，110（1）：65[7] Claude Itzykson和Jean Bernard Zuber。量子场理论麦格劳-希尔国际图书公司纽约，1980年。 国际纯物理学与应用物理学丛书[8] 我也是。Foncteur s analiquueete s p`ecesdes truturr es.IinCombin atoire'en um'e raive（Montr'eal/Q u'ebec，1985）. 第123卷4，摘自《M.A.C. 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