Navier-Stokes算子的非正态性对轴对称旋流动力学的影响及其非线性演化

© 2012年。由爱思唯尔公司出版信息工程研究院的责任选择与同行评议可在www.sciencedirect.comwww.sciencedirect.com上在线获取IERI Procedia 3（2012）87 - 932012年机械与电子工程Navier-Stokes算子的非正态性对轴对称旋流动力学的影响陈诚酒店1*1中国空气动力研究发展中心低速空气动力研究所，四川绵阳622762摘要我们详细考虑了Navier-Stokes算子的非正态性对轴对称旋转流时间演化的影响。分别采用特征值分析和瞬态增长分析得到最不稳定的特征模和全局最优扰动，并以此作为初始扰动。最优扰动的动力学过程可分为三个阶段。在线性阶段，微扰能量放大的结果与瞬态增长理论所进入非线性阶段后，扰动能量的增长被Oseen涡核的相互作用所抑制最后，还观察到二次能量增长现象。与采用最不稳定本征模作为初始扰动的结果相比，最优扰动的非线性行为表现为流体径向运动和小涡的快速产生。本文还研究了扰动振幅对流动非线性演化的影响。© 2012由Elsevier B. V.出版由信息工程研究所负责选择和同行评审根据CC BY-NC-ND许可证开放访问。关键词：旋流，全局最优扰动，时间演化旋流通常在许多感兴趣的情况下遇到，例如，在混合和燃烧问题中，它们的稳定性近年来受到了相当大的关注线性稳定性分析的早期研究主要集中在简正模方法上，目前已有多种不稳定性机制的研究，如离心不稳定性[1]、椭圆不稳定性[2]等，本文主要研究具有方位速度的.五 （1）er2）/r，（1）其中r是径向坐标。根据线性稳定性分析[3]的结果，不受任何外部应变的Oseen涡是正常模式稳定的。然而，正常模式的稳定性并不意味着扰动不能增长，因为在线性化的Navier-Stokes算子的非正规性。也就是说，由非正交本征函数的叠加形成的扰动可能经历大的增长，即使每个组成本征函数对应于负增长率。这种能量放大现象，称为瞬态增长，可能与平行剪切流中的亚临界转变有关[4- 5]。最近，瞬态增长分析也被广泛应用于旋流[6-8]。关于Oseen涡[8]的瞬态增长特性的现有知识自然会引出以下问题：最佳扰动的非线性行为是什么，以及流动是否演变为自持湍流。2212-6678 © 2012由Elsevier B. V.出版信息工程研究院负责评选和同行评议在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.ieri.2012.09.01588Chen Cheng / IERI Procedia 3（2012）87Rrz本文的目的是通过直接数值模拟来研究这些问题，就像层流分离气泡的动力学一样[9]。在这项研究中，我们的计算仅限于轴对称的情况下。1. 数值实现1.1. 有限差分格式本文采用柱坐标系下的有限差分格式[10]对不可压缩流场进行含时Navier Stokes方程 计算域表示为R{（r，z）|0RRmax，0z Lmax}，其中轴向长度Lmax是扰动的波长。 在径向边界rRmax处使用自由滑动条件。1.2. 初始条件对于固定的Re和轴向波数k，通过瞬态增长计算可以得到增益曲线G（t）达到最大值的全局最优扰动及其能量增长曲线E（t）。 瞬态生长问题通过[11]中描述的标准方法解决。同样，正常的本征模得到经典的线性稳定性分析。在下文中，初始扰动u（r，z，0）具有以下形式：（[u（r），u（r），u（r）]eikz c. c.）、（二）其中u（r）、ur（r）和uz（r）是全局最优扰动或最不稳定本征模 比例系数。这两种类型的扰动如图所示对于代表性模拟（Re 5000，k），以显著的瞬时增长为特征在这组参数下，全局最优能量增长函数G0等于：344.6.很明显，在核外的整体最优扰动的扰动涡度分布在r上是相对振荡的。与此相反，最不稳定的本征模的方位角涡度场是本地化的涡核内。88664 42 200 1 2 3400 1 2 3 4(a)z（b）z图1给出了Re=5000，k= 0.01时两种初始扰动对应的方位涡量场等值线。(a)全局最优扰动。(b)最不稳定的本征模。2. 结果和讨论在下文中，我们将首先讨论上述参数集的结果，网格为25664在（r，z）方向。图2分别示出了最佳扰动和最不稳定本征模的扰动能量随时间的变化。 扰动幅度被设置为0.03。从最优扰动的E~t曲线可以看出，轴对称流的动力学过程大致分为三个阶段：（1）能量线性增长阶段;（2）非线性相互作用引起的能量衰减阶段;（3）二次能量增长阶段。RChen Cheng / IERI Procedia 3（2012）8789（一）（二）（三）瞬时生长分析DNS(a)t=5个R2.1.典型结果图图3示出了在最佳扰动的早期演变期间的方位涡度等值线，其线性增长直到t35并在t75随后，如图2（a）所示。 此外，在早期，E~t曲线与瞬态增长分析结果基本一致，表明初始阶段的演化确实是由线性化Navier-Stokes算子的非正态性所控制的。涡环形状几乎保持不变（图3）。随着时间的推移，径向和轴向分量的能量迅速增长。同时，方位角能量在短时间内降低，直到最终生长开始（图4）。 这一观察结果与所谓的反提升机制一致[12]。注意，径向扰动的大小比其他方向的大得多，与方位涡度类似。10311020.90.8（一）1011000 50 100 150 200250不（b）第（1）款0.70.60.50 50 100 150 200250不图2 Re=5000，k= 1时最佳扰动（a）和最不稳定本征模（b）的扰动能量随时间的演化。8 86 64 42 200 0.5 11.5z00 0.5 1 1.5z图3 Re=5000，k= 0.01时最佳扰动早期演化的方位涡度等值线。最大值、最小值和增量分别为（a）0.0244，-0.0244，0.0045;（b）0.0942，-0.0942。102101100十比一0.250.20.150.10.05（一）10-20 50 100 150 200250不（b）第（1）款DNS线性稳定性分析(b)t=20个EErEzREERE90Chen Cheng / IERI Procedia 3（2012）870050 100 150 200 250不图4最佳扰动下三个方向上的动能随时间的演变（a）以及方位和轴向涡量最大值（b），Re=5000，k=.Chen Cheng / IERI Procedia 3（2012）8791(a)t=5个R8 86 64 42 200 0.5 11.5z00 0.5 1 1.5z图5最不稳定本征模扰动早期演化的方位角涡度等值线。最大值、最小值和增量分别为（a）0.0358，-0.0365，0.0065;（b）0.0342，-0.0347，0.0063。图5给出了最不稳定本征模的方位角涡度等值线的早期演变。与案件相反，在全局最优扰动中，对于最不稳定的本征模，扰动能量总是随时间减小，这与线性稳定性分析得到的增长率结果一致（图2b）。此外，扰动场总是局限在涡核区域。结果表明，在正常模式稳定流中， 非正态性是丰富非线性演化动力学现象的必要条件。在t75 150，扰动能量随着时间的增加而减少（图15）。2a）。这似乎是强相互作用在最佳扰动外部形成的涡环和柱状涡核之间产生相对振荡的径向方位涡量分布（图6a~b）。同时，各速度分量也都有所减小 并且最大涡度的位置被示出为径向向外移动。如图6c所示，一对符号相反的涡环径向移动，并将流体从涡核区域向外输送，类似于Hu等人【13】发现的旋转射流。他们认为流体的这种径向运动有利于流体混合。在这里，我们得出结论，类似的结果也可以得到应用的最佳扰动作为初始条件，而不是一个单一的本征模。注意，在这个阶段中，最不稳定本征模的流动特性与能量增长阶段中的流动特性相似，我们在此不显示它们。随着时间的增加，振荡径向分布的方位涡场与Oseen涡相互作用，导致扰动速度的持续下降。因此，速度场与基本方位角速度分布的差异越来越大，导致扰动能量的增长（图2a）。如图6e所示，再次观察到一对符号相反的方位角涡环的径向运动，尽管涡量的大小远小于在能量衰减阶段 在t900，三个涡阵列位于大的径向位置。请注意，最佳扰动是快速产生小涡流，例如参见图6E，这被认为是增强流体混合的另一种可能机制。2.2. 参数对流动演化的影响在这里，我们的目的是研究雷诺数Re和轴向波数k对时间演化的影响，(b)t=20个R92Chen Cheng / IERI Procedia 3（2012）87(a)t=80个(b)t=100个(d)t=240新的最大(e)t=580T2T1RRRR8 8 86 6 64 4 42 2 200 0.5 11.5z800 0.5 11.5z800 0.5 1 1.5z86 6 64 4 42 2 200 0.5 11.5z00 0.5 11.5z00 0.5 1 1.5z图6 t的方位涡度等值线75，Re=5000，k= .最大值、最小值和增量分别为：（a）0.207，-0.207，0.038;0.165，-0.165，0.03;（c）0.1，-0.1，0.02;（d）0.09，-0.095，0.01;（e）0.012，-0.012，0.002;（f）0.077，-0.007，0.001。在下文中，我们引入两个时间量T1和T2，分别表示线性增长阶段和微扰能量衰减阶段的长度。Re 5000时T1和T2随k的变化如图7a所示。随着k的增大，T1和T2都单调减小.这意味着k值越大，粘性耗散越强，T1和T2越小; k值越小，粘性耗散越弱，T1和T2越大。同样，如图7b所示，T1和T2随Re的增加而增加，这一事实也可以用粘性耗散来解释。50020040030020010015010050（一）0电话：+86-0511 - 8888888传真：+86-0511-8888888K（b）第（1）款00 2000 4000 6000 8000Re图7T1和T2随轴向波数k和雷诺数Re的变化。(a)Re=5000，. (b)k= 0。2.3.微扰幅值如上所述，当选取适当的扰动幅值时，在最优扰动的非线性演化阶段会出现一些有利于流体卷吸的现象。因此，很自然地提出了如何选择振幅值的有趣问题。图8描绘了振幅很小的方位涡度场的演变0.001，其他参数为与图2相同。显然，随着时间的增加，进入非线性阶段时，微扰结构几乎没有变化（图8 c ~d）。此外，没有再观察到流体的径向运动等演化行为。 这些结果表明，扰动振幅的大小对系统的非线性行为有着重要的影响(c)t=140(f)t=900T2T1不RR不Chen Cheng / IERI Procedia 3（2012）8793(a)t=100个(b)t=200(c)t=400(a)= 0.001，t =30(b)= 0.001，t =50(c)= 0.05，t =80RRRRRR具有显著瞬态增长的正常模式稳定流。当该值相对较小时，流动非线性演化与最不稳定的本征模相似;当该值相对较大时，发现一些问题是混合增强的原因。8 8 8 86 6 6 64 4 4 42 2 2 200 0.5 11.5z00 0.5 11.5z00 0.5 11.5z00 0.5 1 1.5z图8 =0.001时最佳扰动演变的方位角涡度等值线。最大值、最小值和增量为（a）0.009，-0.009，0.001;（b）0.014，-0.014，0.002;（c）0.012，-0.012，0.002;（d）0.007，-0.007，0.001。在研究了具有大的瞬态增长的最优扰动的动力学之后，我们现在转向具有相对小的能量瞬态增长的一种情况。方位涡度等值线随时间的变化如图所示9第318章K在这种情况下，G四块八显然，非线性演化行为，如向外径向运动，是缺席的大扰动振幅0.05小的那个万分之一结果将这意味着对于具有小能量瞬态增长情况，大的扰动幅度（0.05）不足以诱导非线性演化行为。根据这一结论，结合对大的瞬态增长情况的讨论，我们认为，初始扰动在线性增长阶段的充分发展是导致非线性演化行为出现的必要条件，而非线性演化行为的出现又增强了流体的混合。对于具有相当小的扰动系数（0.001）的大的瞬态增长情况，最优扰动没有增长到足够的水平，因此它不能对于小的瞬态增长（Re 318，k ），情况如下 相似8 8 8 86 6 6 64 4 4 42 2 2 200 0.5 11.5z00 0.5 11.5z00 0.5 11.5z00 0.5 1 1.5z图9 Re 318，k时最佳扰动演变的方位角涡量等值线。最大值、最小值和增量分别为（a）0.0014，-0.0014，0.0002;（b）0.0007，-0.0007，0.0001;（c）0.008，-0.008，0.001;（d）0.0035，-0.0035，0.0005。3. 结论本文对旋流的时间演化进行了数值模拟。 在轴对称情况下，最优扰动的演化过程可分为三个阶段。在能量线性增长阶段之后，涡环与核心区的柱状涡相互作用，使扰动能量增长停止。同时观察到了涡对的径向运动。随着时间的推移，最佳扰动的能量再次增加，流场中出现小涡。 这一观察结果与流体的径向运动相结合，被认为是有利于流体混合。(d)t=600(d)= 0.05，t =100RR94Chen Cheng / IERI Procedia 3（2012）87与最优扰动情况相比，最不稳定本征模的扰动场始终局限在涡核内，且其大小随时间而减小。结合最佳扰动的结果，观察表明，瞬态增长过程是必要的上述丰富的动力学现象，这增强了流体混合。对微扰幅值的讨论表明，在线性生长阶段，初始微扰必须被放大到一个完全大的水平，才能诱导非线性演化行为。否则，对于大的瞬时增长情况，如果是0.001，这些行为还不能出现。引用[1] Sreedhar M，Ragab S.纵向定常涡的大涡模拟物理流体，1994，6：2501-2514[2] 克斯韦尔河椭圆不稳定性Annu. 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