≥≤×理论计算机科学电子笔记230（2009）129-140www.elsevier.com/locate/entcs局部超空间托马斯·卡尔1CentrodeMatema'ticaUniversidade do MinhoCampus de Gualal葡萄牙布拉加，摘要L. Fajstrup，E. Goubault和M. Raussen引入了局部序空间作为并发系统的模型。本文证明了在固定局部偏序空间下的局部偏序空间范畴是H意义鲍斯这个纤维化范畴中的同伦概念是相对定向同伦。关键词：局部超空间，双同伦，并发，纤维化范畴，模型范畴1介绍同伦理论的方法已经成功地用于研究并发理论的问题，理论计算机科学的领域各种各样的拓扑模型被引入到描述并发系统中。例子有偏序空间（或偏序空间）和局部偏序空间[4]，双曲[5]，球状CW-复形[6]和d-空间[8]。读者可以参考E. Goubault [7]最近介绍了并发的不同拓扑模型。本文的目的是研究局部超空间的同伦理论，更准确地说，是局部超空间的相对定向同伦理论许多并发系统可以建模为偏序空间。偏序空间是具有偏序的空间X它是X的闭子空间X. 的空间X被解释为系统的状态空间，而偏序表示时间流。 这里的思想是，系统的执行是一个时间过程， 处于每个状态x的系统只能继续到随后的状态yx和不返回到先前的状态y x。1电子邮件：kahl@math.uminho.pt1571-0661/© 2009 Elsevier B. V.根据CC BY-NC-ND许可证开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2009.02.021130T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129∼≤≤≤ ≤→联系我们∈× ≤ ⇔≤× →≤ →≤并发系统的位空间概念是过于限制性的，如果一个人希望考虑的系统，其中包含循环的意义上，他们可能会返回不同的时间在执行过程中相同的状态。这样的循环系统可以被建模为局部序空间。局部赋空间是由L. Fajstrup，E. Goubault和M.Raussen在[4]的预印本（可在http://www.di.ens.fr/获得Goubault）。 与此同时，一些替代定义 的局部空间（cf. [6]，[3]）。也要注意，[4]中给出的定义不是原来的定义。在本文中，我们将研究局部超空间的另一种定义。我们定义一个局部偏序空间为一个空间X，以及一个局部为偏序的关系。可以证明，这个定义与原来的定义是等价的，因为这两个概念产生了等价的范畴。一个自然的问题是，一个系统在给定的状态x下是否可以到达另一个状态y，或者换句话说，是否存在从x到y的 这样的问题可以适当地使用以下局部赋位空间之间映射的概念来形式化。从局部偏序空间（X，）到局部偏序空间（Y，）的有向映射（direct map）是一个连续映射f：X，Y使得X的每个点都有一个邻域，在该邻域上f与关系相容。从局部位置空间（X1）的状态x到状态y的执行路径现在可以正式定义为从单位区间I=[0， 1]的具有自然顺序的二向映射ω。到（X，≤），使得ω（0）=x和ω（1）=y。如果存在从系统的一个状态到另一个状态的执行路径， 一般来说，会有很多。它们中的许多实际上并没有质的不同，并且对应于计算机科学上等价的执行。从计算机科学的角度来看，考虑两条执行路径是有意义的。ω，ν：（I，）（X，）从状态x到状态y是等价的，如果存在ho- 自映射H：I IXfromω toν是关于偏序的二映射 起我I由（t，s）给出（tJ，sJ）不tJ，s=sJ，且满足H（0，t）=x和H（1，t）=y。这样的同伦称为从ω到ν相对于（I，）的子偏序空间（0，1，）的有向同伦（双同伦）。相对有向同伦理论因此在执行路径的研究中起着基础性的作用。正如P.Bubenik[2]所指出的，相对定向同伦理论对于决定两个局部序空间在何种程度上可以被考虑的任务也是有用的作为同一个并发系统的模型。请注意，有些作者使用了一个更强的双同伦概念，其中时间参数区间配备了自然序（参见。[8]，[3]）。同伦理论最著名的一般框架无疑是D。Quillen [10]. 闭模型范畴是一个有三类态射的范畴，称为弱等价，纤维化和上纤维化，它们服从某些公理。一个闭模型范畴的结构分裂成两个对偶结构，这两个对偶结构本质上是一个纤维化范畴的结构和一个纤维化范畴的结构。 共纤维化和纤维化范畴是由H. [1]他是一个善于发展的人。一个广泛的同伦理论为这些类别。同伦理论的主要成分当然是同伦的概念在本文中，我们表明，T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129131{∈×|}×2θ在一个固定局部位空间下的局部位空间范畴是一个纤维化范畴，使得同伦概念是相对定向同伦。在[9]中，证明了在固定的偏序空间下的偏序空间范畴（不一定是闭偏序）既是纤维化范畴，也是上纤维化范畴。不幸的是，作者不知道局部偏序空间范畴（在固定的局部偏序空间下）是否是上纤维范畴。 主要的问题是不知道局部偏序空间范畴是否有足够的余极限。注意，在本文中，P. Bubenik和K. Worytkiewicz [3]构造了一个闭模型范畴，它包含了在固定局部偏序空间下的局部偏序空间范畴（本质上是原始意义上的）作为子范畴。2局部偏序空间定义2.1偏序空间（po是偏序的缩写）是由空间X和X上的偏序≤构成的对（X，≤），偏序≤是X×X的子集。由空间X和X上的关系≤组成的对（X，≤）称为局部偏序空间，如果每个点x∈X有邻域U使得（U，≤）是偏序空间。一个有向映射f：（X，≤）→（Y，≤）是一个连续映射f：X→Y，使得每个点x ∈ X都有一个邻域限制，在该邻域内f与关系≤相容。注2.2（i）注意一个posspace是一个local posspace。 还应注意，局部偏序空间（X，≤）的≤必是自反的。当这是有帮助的时候，我们将用≤X代替≤来表示这个关系。(ii) 回想一下，空间X是Hausdor空间当且仅当对角线Δ =（x，y）XXx=y在X中关闭X. 因此，对（X，Δ）是一个偏序空间当且仅当X是一个豪斯多尔空间。(iii) 对于一个Hausdor空间X和一个局部偏序空间（Y，≤），从（X，Δ）到（Y，≤）的二向映射的集合与从X到Y的连续映射的集合重合。例2.3（i）圆S1是关于以下关系的局部偏序空间：对于x∈S1，x≤ y惠θ ∈ [0，π [：y = xe iθ.U={xe iθ|θ ∈]− π/2，π/2[}是一个开邻域，使得（U，≤）是一个整体偏序空间。(ii)单位区间I=[0，1]与自然序≤一起是一个偏序空间，因此是一个局部偏序空间。考虑x，y∈S1，θ∈[0，+∞[，使得y=xeiθ. 从x到y的执行路径，即，设ω（0）=x，ω（1）= y，则给出一个有向映射ω：（I，≤）→（S1，≤），其中ω（0）=x，ω（1）=y.对于t∈I，U={s∈I||s−t|<π是一个t的邻域，其中ω与≤相容。提案2.4复合的两双映射f：（X，≤）→（Y，≤），g：（Y，≤）→（Z，≤）是一个二映射.≤132T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129◦ ◦∈≤ → ≤≤→ ≤ ◦ ◦ →×× → ×≤× ≤ ×→≤ ∩ × × × × ××× × × ≤ ∩ × × × ×× ×× ≤ ∩ × × ≤ × ≤ ∩ ×× ×≤ × ≤ ∩×≤ × × ∩ ××⊂ ⊂≤≤ × ∈××j=1JJ证明设x∈X.因为f和g是二映射，所以存在x的邻域U<$X且V∈Y，使得f与≤在U上相容，且g与在V。因为f是连续的，所以存在x的邻域W<$X使得f（W）<$V。 交U <$W是x的一个邻域，在其上复合g<$f与≤相容。Q从前面的命题可以得出，局部超空间和双映射形成一个类别。该类别将由LPS表示。命题2.5范畴LPS是完全完备的。我们证明了LPS有一个最终对象，并且在回调下是封闭的。最后一个对象是（，Δ）。设f：（X，≤X）→（B，≤B）和p：（E，≤E）→（B，≤B）是两个双映射.在乘积X×E上定义一个关系≤（x，e）≤（xJ，eJ）惠x≤XxJ且e≤EeJ.那么纤维产品XBE是关于X的限制的局部偏序空间BE. 事实上，让（x，e）XBE. 由于X和E是局部赋空间，存在x的开邻域UX和e的开邻域VE使得（U，X）和（V，E）是偏序空间。 X B E的子空间UBV=（U V）（XBE）是（x，e）的开邻域，是U B V上的偏序。以来X（UU）在U U中闭合，E（VV）在V V中闭合，XE（UUVV）在U U V中关闭V. 因此，（VU V）在U V中关闭U V因此，（UBVUBV）在U中关闭BVUBV. 因此（XBE，）是局部的偏序空间。 显然，投影pr X：XBEX和pr E：XBE E是双映射。我们检查（XBE，）具有拉回的普适性。 考虑向映射φ：（ZZ）（X，X）和X：（Z，Z）（E，E）使得fφ=p- 是的 令h：ZXBE是唯一的连续映射，使得pr Xh=φ和pr E h=φ。我们检查h是一个双映射。令zZ。由于φ和φ都是双映射，存在z的邻域U和V，使得φ与U上的关系相容，φ与V上的关系相容。交点U ∈ V是z的邻域。由于φ和φ与UV，h上的关系与UV上的关系是相容的。这说明H是一个双映射。 由此可知，（X×BE，≤）是LPS中f和p的拉回。Q设（X，≤X）是局部偏序空间。我们在路径空间XI上定义一个关系（即，具有紧开拓扑的所有连续映射ω：I→X的集合），ω≤XIν惠函数t∈I ω（t）≤Xν（t）.命题2.6（X I，≤XI）是局部偏序空间。证明设ω∈X I. 对于每个t∈I，选择ω（t）的开邻域Ut，使得（Ut，≤X）是一个偏序空间。由于ω是连续的，对所有的t∈I，存在εt>0使得ω（I<$）t−2εt，t+ 2εt[）<$Ut。因为I是紧的，所以存在t1，...，t m∈ Isuch证明I=<$mI<$[tj−ε t，tj+ε t]. 设置Wj={ν∈XI|ν（I<$[tj−ε tj，tj+ ε tj]）<$Utj}（j= 1， . （m）T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129133j=1≤≤ × → ≤∈i=1且W = m W j。 则W是ω在X I中的开邻域。人来检查是W上的偏序。我们证明了≤XI<$（W×W）是W × W的闭子集. 设α，β∈W，使 得 α#XIβ. 则 存 在 t∈I ， 使 得 α （ t ） #Xβ （ t ） .令 j∈{1 ， .，m}suchthatt∈[tj−εtj， tj+εtj]. 则α（ t） ， β （t） ∈Utj. 由于≤X∈（ Utj×Utj） 是Utj×Utj的一个闭子集，所以在Utj × Utj中存在一个（α（t），β（t））的邻边，使得对所有（a，b）∈N，a#Xb.考虑连续映射f：W→Utjgivenyf（γ）=γ（t）. 集合（f×f）−（N）1是（α，β）在W×W中的开邻域.对于所有的（γ，δ）∈（f×f）−1（N），γ（t）#Xδ（t），因此γ #XI δ。 这表明≤XI（W ×W）的补在W × W中是开的，因此≤XI（W×W）在W × W中是闭的。Q定义2.7设（C，≤）是局部偏序空间。在（C，≤）下的局部偏序空间是由局部偏序空间（X，≤）和一个向映射组成的三元组（X，≤，）：（C，≤）→（X，≤）。在（C，≤）下从（X，≤，θ）到（Y，≤，θ）的二映射f：（X，≤）→（Y，≤）使得f ∈ θ。（C，≤）下的局部超空间范畴记为LPS（C，≤）。注意，局部位置空间与（ε，Δ）下的局部位置空间相同。命题2.8对任何偏序空间（C，），范畴LPS（C，≤）是有限完全的。这是从2.5开始的。Q设（X，≤X，n）是（C，≤）下的局部偏序空间. 考 虑 有向映射c<$：（C，≤）→（XI，≤XI），z<$$> →c<$（z），其中cy是常路径t<$→y。则 （XI，≤XI，c∈）是（C，≤）下的局部偏序空间。此外，对任意t∈I，赋值映射ev t：XI→X，ω<$→ ω（t）是（C，≤）下的有向映射.3双同伦在本节中，我们在固定的局部偏序空间（C，≤）下工作。定义3.1两个在（C，≤）下的二向映射f，g：（X，≤，θ）称为相对于（C，≤）双同伦，fg rel。（C，≤），如果存在相对于（C，≤）的从f到g的双同伦，即，一个有向映射H：（X，≤）×（I，Δ）→（Y，≤）使得H（x，0）=f（x），H（x，1）=g（x）（x∈X），且H（g（c），t）=θ（c）（c∈C，t∈I）. 如果C=0，我们简单地讨论双同伦和双同伦映射。我们将需要以下关于双同伦与关系的相容性的引理。引理3.2设H：（X，）（I，Δ）（Y，）是一个二次元。 然后每个点x0X允许一个开邻域U，使得H与上的关系相容，U× I。证明设x0∈X.对于每个t∈I，存在x0的开邻域Vt<$X以及t的开邻域Wt∈I使得H与以下关系相容在Vt×Wt上。 因为I是紧的，所以存在t1，...，t n∈ I使得I =<$n W t. 设置我ni=1V ti. 则U是x0的开邻域。设（x，t），（xJ，tJ）∈U×I，U=0134T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129G（x，2t− 1），≤t≤1∈ ≤ × → ≤ ∈×∈2（x，t）≤（xJ，tJ）。则t=tJ。存在i∈ {1，.，n}使得t=tJ∈W ti. 由此得出（x，t），（xJ，tJ）∈Vti×Wti，因此H（x，t）≤H（xJ，tJ）.Q命题3.3相对于（C，≤）的双同伦是一个自然等价关系。证明我们只展示传递性。设f，g，h：（X，≤，θ）→（Y，≤，θ）是（C，≤）下的三个双映射，F：（X，≤）×（I，Δ）→（Y，≤）是从f到g相对于（C，≤）的双同伦，G：（X，≤）×（I，Δ）→（Y，≤）是从g到h相对于（C，≤）的双同伦.考虑连续映射H：X×I→Y，定义为：F（x，2t），0≤t≤1，12我们有H（x，0）= f（x），H（x，1）=h（x），和H（θ（c），t）=θ（c）对所有cC和不I. 我们检查H是一个二映射（X，）（I，Δ）（Y，）. 设（x，t0） XI.由于F和G是双映射，通过3.2，存在x的开邻域U和V，使得F与≤在U × I上相容，G与≤在V × I上相容。 集合（U <$V）× I是（x0，t0）的开邻域. 设（x，t），（xJ，tJ）∈（U <$V）× I使得（x，t）≤（xJ，tJ）.则t=tJ且H（x，t）≤H（xJ，tJ）.因此H是从f到h相对于（C，≤）的双同伦。Q定义3.4在（C，≤）下的有向映射关于相对于（C，≤）的双同伦的等价类称为它的相对于（C，≤）的双同伦类。商范畴LPS（C ，≤）/rel. （C，≤）是相对于（C，≤）的双同伦范畴。相对于（C，≤）的双同伦等价是在（C，≤）下的二映射f：（X，≤，θ）→（Y，≤，θ）使得存在相对于（C，≤）的双同伦逆，也就是说， 一 dimap g：（Y，≤，θ） →（X，≤，λ） 下 （C，≤） 满足f∈gid（Y，≤，θ）rel. （C，≤）和g∈fid（X，≤，n）rel. （C，≤）。（C，≤）下的两个局部赋序空间，（X，≤，θ）和（Y，≤，θ），称为相对于（C，≤）的双同伦等价或相对于（C，≤）的双同伦类型相同，如果存在从（X，≤，θ）到（Y，≤，θ）的相对于（C，≤）的双同伦等价注意，（C，≤）下的二映射是相对于（C，≤）的二同伦等价。当且仅当它相对于（C，≤）的双同伦类是相对于（C，≤）的双同伦范畴中的同构。类似地，（C，≤）下的两个局部赋序空间相对于（C，≤）是双同伦等价的当且仅当它们在相对于（C，≤）的双同伦范畴。命题3.5任何局部赋序空间的同构是相对于（C，≤）的双同伦等价。 设f：（X，≤，θ）→（Y，≤，θ）和g：（Y，≤，θ）→（Z，≤，θ）是在（C，≤）下的两个双映射.如果f、g和g<$f中的两个是相对于（C，≤）的双同伦等价，则第三个也是。第一个断言是显而易见的，另一个则是从同构的相应事实中得出的。Q正如人们所期望的，相对双同伦可以用路径空间来表征：H（x，T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129135× ≤≤≤∈∈×◦ ◦ ×→≤ → ≤≤≤ × × → ≤◦◦≤ × × →≤≤ × →≤≤ ≤→≤ ≤ ≤≤命题3.6两个在（C，≤）下的二映射f，g：（X，≤，θ）是相对于（C，≤）的双同调的当且仅当存在一个在（C，≤）下的二映射h：（X，≤，θ）→（YI，≤，cθ）使得f=ev0<$h和g=ev1<$h.证明首先假设fg rel。（C，≤）。设H：（X，≤）×（I，Δ）→（Y，≤）是相对于（C，≤）的从f到g的双同伦. 考虑连续映射 h：X→YI定义为h（x）（t）=H（x，t）。这是一个二次元。实际上，设x0∈X。通过3.2，存在x 0的开邻域U，使得H在U × I上与≤相容。 设x ≤ XJ是U的两个元素。 则对于每个t ∈I，（x，t）≤（xJ，t），因此h（x）（t）= H（x，t）≤H（xJ，t）= h（xJ）（t）。 因此，h（x）≤h（xJ）。以来h（n（c））（t）=H（n（c），t）=θ（c），我们有h（n（c））=cθ（c），使得h是下的二映射（C，≤）。我们有ev0（h（x））=H（x，0）=f（x）和ev1（h（x））=H（x，1）=g（x）。设给定一个在（C1）下的二向映射h：（X，，θ）（Y， ，，cθ），使得f=ev0h，g=ev1h. 定义一个连续映射H：XIY乘H（x，t）= h（x）（t）。设（x0，t0）x1. 由于h是一个二映射，存在x 0的开邻域U，使得h在U上相容。设（x，t），（xJ，tJ）使得（x，t）（xJ，tJ）.则t=tJ，因此H（x，t）= h（x）（t）h（xJ）（t）= H（xJ，tJ）。这表明H是一个二映射。我们有H（x，0）=h（x）（0）= f（x），H（x，1）=h（x）（1）=g（x），以及H（n（c），t）= h（n（c））（t）= cθ（c）（t）= θ（c）。它因此，fg rel. （C，≤）。Q4差异与前一节一样，我们在固定的局部位置空间（C，≤）下工作。我们定义相对于（C，≤）的偏差，并建立它们的基本性质。定义4.1A双纤维化相对到（C，）是一dimapp：（E，，ε）（B，，β）在（C，）下，使得对于（C，）下的每个局部偏序空间（X，，β），每个Hausdor偏序空间Y，每个向映射f：（X，β），）（Y，Δ）（E、）满足f（ε（c），y）=ε（c）且每个二向映射H：（X，）（Y，Δ）（I，Δ） （二、）满足H（x，y，0）=（pf）（x，y）和H（f（c），y，t）=β（c）存在一个二映射G：（X，）（Y，Δ）（I，Δ）（E，）使得G（x，y，0）= f（x，y），p G= H，且G（ε（c），y，t）=ε（c）.命题4.2相对于（C，≤）的偏差类在成分和基变下是封闭的。（C，≤）下的局部超空间的每个同构是相对于（C，≤）的一个微分。证明证明是由标准左提升属性参数。Q命题4.3每个在（C，≤）下的有向映射f都有一个分解f=p<$i，其中p是相对于（C，≤）的一个微分，i是相对于（C，≤）的一个双同伦等价。136T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129证明设f：（X，≤，θ）→（Y，≤，θ）是（C，≤）下的一个有向映射. 形成回调T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129137Y θθ⎩⎩◦2−t2−t（C，≤）下的局部超空间（X×YI，≤，（X，c））prYI（YI，≤，c）prXJev0J（X，≤，θ）f（Y，≤，θ）.设 p： （ X×YYI， ≤， （ ε，cθ） ）→（Y，≤， θ） 和 i： （ X，≤， ε）→（X×YYI，≤，（ε，cθ））是在（C，≤）下由p（x，ω）=ω（1）和i（x）=（x，cf（x））定义的有向映射.我们有p= f。我们证明了i是相对于（C，≤）的双同伦等价，p是相对于（C，≤）的双同伦等价。投影prX：（X ×YYI，≤，（θ，cθ））→（X，≤，θ）是i的关于（C，≤）的双同伦逆. 事实上，pr X<$i=id X，并且从idX×YYI到i<$pr X的相对于（C，≤）的双同伦由F（x，ω，t）=（x，ω1−t）给出。这里，ω s是由t→ ω（st）给出的路径。我们检查p是相对于（C，≤）的偏差。设（W，≤，Z）是（C，≤）下的局部偏序空间，Z是Hausdor空间，g：（W，≤）×（Z，Δ）→（X×YYI，≤）是满足g（Z（c），z）=（X（c），cθ（c））的有向映射，且G：（W，≤）×（Z，Δ）×（I，Δ）→（Y，≤）是满足G（w，z，0）=（p<$g）（w，z）且G（p <$g（c），z，t）=θ（c）的有向映射定义一个连续映射H：W×Z×I→X×YYI，H（w，z，t）=（（prXg）（w，z），h（w，z，t））哪里n（prYIng）（w，z）.2s，2s≤2−t，G（w，z，2 s + t − 2），2 − t ≤ 2 s.我们有H（w，z，0）=g（w，z）和（p<$H）（w，z，t）=h（w，z，t）（1）=G（w，z，t）。以来n（prYIng）（n（c），z）.2s=θ（c），2s≤2−t，G（θ（c），z，2s+t−2）=θ（c）， 2−t≤ 2s，我们有H（n（c），z，t）=（（pr Xg）（n（c），z），h（n（c），z，t））=（n（c），cθ（c））.我们证明H是一个二映射。 很明显，H的第一个分量是一个二映射。 所以我们只需要检查h是一个双映射。 设（w0，z0，t0）∈ W× Z × I. 由于prY I g和G是双映射，存在（w0，z0）的开邻域U W × Z，使得prY I g与≤相容于U上，G与≤相容于U × I上. 设（w，z，t），（WJ，ZJ，TJ）∈U ×I使得（w，z，t）≤（WJ，ZJ，TJ）. 则（w，z）≤（wJ，zJ）且t = tJ. 由于prY I g和G是双映射，我们有h（w，z，t）（s）≤h（wJ，zJ，tJ）（s），所有的s∈I。这表明h（w，z，t）≤h（wJ，zJ，tJ）。因此，p是相对于（C，≤）的偏差。Q以下命题的证明是一个简单的练习，留给读者：命题4.4对于（C，≤）下的每一个局部偏序空间（X，≤，λ），（C，≤）下的h（w，z，h（n（c），z，138T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129最终有向映射λ：（X，≤，λ）→（λ，Δ，λ）是与（C，≤）相关的一个变元。T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129139≤f'≤ ≤ × →≤→ ≤ ×→≤ ≤≤≤ → ≤≤≤ × → ≤◦≤ ◦≤定义4.5相对于（C，≤）的平凡的分歧是在（C，≤）下的二映射，它既是相对于（C，≤）的分歧，也是相对于（C，≤）的同伦等价。命题4.6设p：（E，≤，ε）→（B，≤，β）是相对于（C，≤）。 则p容许一个截s使得s∈pid（E，≤，ε）rel. （C，≤）。证明设f：（B，≤，β）→（E，≤，ε）是关于（C，≤）的双同伦逆体育教学设F：（B，≤）×（I，Δ）→（B，≤）是相对于（C，≤）的一个双同伦，p∈ftoid（B，≤，β）. 由于p是相对于（C，≤）的一个扰动，存在一个二向映射H：（B，≤）×（I，Δ）→（E，≤）使得H（b，0）=f（b），p<$H=F，且H（β（c），t）=ε（c）。设s：（B，≤，β）→（E，≤，ε）为（C，≤）下的有向映射，定义为s（b）=H（b，1）.那就去吧。（C，≤），因此spfpid（E，≤，ε）rel。（C，≤）。我们有（p s）（b）= p（H（b，1））= F（b，1）= b。Q所谓空间的平凡上纤维化，我们指的是一个闭上纤维化，它也是一个同伦等价。以下关于（C，≤）的定义的重要特征的证明是对[9，4.7]的证明的直接修改命题4.7一个dimap p：（E，，ε）（B，，β）在（C， ）下是相对于（C，）的一个偏差当且仅当对每个局部偏序空间（Z，，Δ）在（C，）下，Hausdor空间i：AX的每一平凡上纤维化，满足f（Z，）（A，Δ）（E，）的每一 个有向映射f：（Z，）（A，Δ）（E，） ， 以及每一个有向映射g：（Z，）（X，Δ）（B， ）满足g（z，i（a） ） =p（f（z，a））和g（ε（c），x）=β（c），存在一个二向映射λ：（Z，）（X，Δ） （E， ）使得λ（z，i（a））= f（z，a），pλ=g，λ（ε（c），x）= ε（c）.命题4.8相对于（C，）的平凡偏差类在基变换下是闭的。证明设p：（E，≤，ε））→（B，≤，β）是平凡扰动，考虑（C，≤）（X×BE，≤，（ε，ε））（E，≤，ε）p′pJ J（X，≤，β）f（B，≤，β）.通过4.2，p<$是相对于（C，≤）的偏差。 我们还需要证明p<$是相对于（C，≤）的双同调py等价。通过4.6，存在p的一个截面s，使得s∈pid（E，≤，ε）rel。（C，≤）。设F：（E，≤）×（I，Δ）→（E，≤）是关于（C，）的从sp到id（E，，ε）的双同伦.考虑下面的空间交换图，其中i是明显的包含，h和H由h（e，t，0）= F（e，t）给出，140T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129≤ × × → ≤ ◦×◦≤ × →≤≤ × ×{}{} × →≤≤≤≤ ≤ × ×{}{}×≤∈ × ×{}{}×◦ ◦ ≤ × × ×{}∪{}×⊂ ◦≤∈ × ×{ }{}×◦≤ × × →≤h（e，t，1）=（s<$p<$F）（e，t），h（e，0，τ）=（s<$p）（e），H（e，t，τ）=（p<$F）（e，t）：E×（I× {0， 1}<${ 0}×I）h EidE×ipJJE×I ×IB因为p F是一个二向映射，所以H是一个二向映射（E，）（一）I，Δ）（B，）. 考虑一个 元素（e0，t0，τ0） E（一）0， 10（一）。 由于F和sp是双映射，存在e0的开邻域UE，使得sp在U上与相容，并且F和sp F与相容，美联航空I. 集合U（一）0， 10I）是（e0，t0，τ0）的开邻域。设（e，t，τ），（EJ，TJ，τJ）U（I0、 1个 使得（e，t，τ）（eJ，tJ，τJ）在（E，）（一）0、 1个0I，Δ）。 则eeJ，t=tJ，τ=τJ，因此h（e，t，τ）h（eJ，tJ，τJ）在（E，）中。 因此h是一个二映射 （E、）（一）0，10 I，Δ）（E，）.我们有h（ε（c），t，τ）=ε（c）和H（ε（c），t，τ）= β（c）。由于i是Hausdor空间的平凡上纤维化，因此 通 过 4.7 ， 存 在 一 个 二 向 映 射 G ： （ E ，）（ 一 ）I ， Δ ）（E、），则G（同上E）i）= h，pG=H，G（ε（c），t，τ）= ε（c）. 令Φ：（E，）（I，Δ）（E，）是dimap由Φ（e，τ）=G（e，1，τ）给出我们有Φ（ε（c），τ）=ε（c），Φ（e，0）=G（e，1， 0）=h（e，1， 0）=F（e，1）=e，Φ（e，1）=G（e，1， 1）=h（e，1， 1）=（s<$p<$F）（e，1）=（s<$p）（e），和（p <$Φ）（e，τ）=（p <$G）（e，1，τ）= H（e，1，τ）=（p <$F）（e，1）= p（e）.令σ： （X，≤，λ） →（X×BE，≤，（ε，ε））是在（C，≤）下的有向映射，定义为σ（x）=（x，（s<$f）（x））. 则p<$<$σ=id（X，≤，n）。考虑dimap△：（X×BE，≤）×（I，Δ）→（X×BE，≤）由下式给出：φ（（x，e），τ）=（x，Φ（e，τ））。因为f（x）=p（e）=pΦ（e，τ），所以n是有明确定义的。我们有<$（（x，e），0）=（x，Φ（e，0））=（x，e），（（x，e），1）=（x，Φ（e，1））=（x，（s和τ（（ε（c），ε（c）），τ）=（ε（c），Φ（ε（c），τ））=（ε（c），εT. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129141（c））.这说明id（X×BE，≤，（ε，ε））σ<$p<$rel. （C，≤）因此p′是一个关于（C，≤）的双同态py等式。Q5纤维化范畴结构在这一节中，我们将前面几节的结果放在一起，证明在固定局部偏序空间下的局部偏序空间范畴是一个纤维化范畴，142T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129∗◦→ → ◦→∗∗H. Baues [1].这个纤维化范畴的同伦理论是相对定向同伦理论。定义5.1[1，I.1a]一个具有两类态射、弱等价和纤维化的范畴F是一个纤维化范畴，如果它有一个最终对象，并且满足下列公理（F1）同构是平凡纤维化，即，一个态射既是纤维化又是弱等价。两个纤维化的合成是一个纤维化。如果态射f：XY，g：YZ和gf：XZ中的两个是弱等价，那么第三个也是弱等价。(F2)两个态射的拉回，其中之一是纤维化存在。在基础变化下，纤维化是稳定的。弱等价沿着纤维化的基扩张是弱等价。（F3）每个态射f都有一个分解f=pj，其中p是纤维化，j是弱等价。(F4)对于每个对象X，存在一个平凡纤维化Y→X，使得Y是cofibrant，即，每个平凡纤维化E→Y都有一个截面。如果最终态射X→ X是纤维化，则称对象X是纤维化的定理5.2设（C，≤）是局部偏序空间. 在（C，≤）下的局部超空间的范畴LPS（C，≤）是纤维化范畴。弱等价是相对于（C，≤）的二次同伦等价，而纤维化是相对于（C，≤）的纤维化。所有的对象都是（，Δ，）-纤维性和纤维性的。证明2.8，LPS（C，≤）是有限完全的。根据4.4，所有对象都是（，Δ，）-纤维性的。 所有对象都是凝聚的（因此也是F4），这一事实在4.6节中得到了证明。F1由3.5和4.2得出。F3是4.3。到了4.2，在基础变化下，纤维化是稳定的。到了4.8，平凡振动在基变化下是稳定的。由于所有对象都是纤维化的，这意味着弱等价在沿着纤维化的基变化下是稳定的[1，一.1.4]）。Q有一个广泛的同伦理论可用于纤维化范畴（参见。 [1]）。同伦关系定义如下：定义5.3设F是一个纤维范畴，Y是一个纤维对象， X是一个有约束力的对象。两个态射f，g：X→Y是同伦的，如果对于对角Y→Y×Y到弱等价Y→P和纤维化e：P→Y×Y的某种分解，存在态射h：X→P使得eh=（f，g）。命题5.4设（C，≤）是局部偏序空间，（E，≤，ε）是（C，≤）下的局部偏序空间。则由i（e）= c e给出的（C，≤）i：（E，≤，ε）→（E I，≤，cε）下的有向映射是关于（C，≤）的双同伦等价，且（C，≤）下的有向映射 ev：（E I，≤，ε）→（E，≤，ε）×（E，≤，ε）由ev（ω）=（ω（0），ω（1））给出，是相对于（C，≤）的一个微分。T. Kahl/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 230（2009）129143β（2 t − 1），≤ t ≤1。≤≤222222证明 考虑（C，≤）f：（E×E×E（E×E）I，≤，（ε，c（ε，ε）→（EI，≤，cε）给出⎧⎨α(1−2t),0≤t≤1,12这是（C，≤）下局部超空间的同构。逆函数由下式给出：f−1（ω）=（ω（1），（ω−，ω+））其中ω−（t）= ω（1−1t）且ω+（t）= ω（1+1t）。 我们我在4.3中已经看到，f−1i是相对于（C，≤）的双同伦等价，并且evf是相对于（C，≤）的偏差。结果如下。Q命题5.5设（C，）是局部偏序空间。（C，≤）下的两个双映射在纤维化范畴LPS（C，≤）中同伦当且仅当它们相对于（C，≤）是双同伦的.证明通过[1，II.2.2]，我们可以用“任何”来代替结果由5.4和3.6得出。Q引用[1] 鲍斯，H.J.，“Algebraic Homotopy”, Cambridge University Press[2] Bubenik，P.，并发模型的上下文，在并发和分布式计算GETCO 2004中的几何和拓扑研讨会的初步会议记录中，金砖国家注意到NS-04-2（2004），33-49。[3] Bubenik，P.和K. Worytkiewicz，A model category for local po-spaces，Homology，Homotopy andApplications8（1）（2006），263-292.[4] 法伊斯特鲁普湖E. Goubault和M. Raussen，Algebras Topology and Concurrency，TheoreticalComputer Science357（2006），241-278.[5] Gaucher，P.A model category for the homotopy theory of concurrency，Homology，Homotopy andApplications5（2）（2003），549-599.[6] Gaucher，P.和E. 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