148网址：http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume67.html18页一种模糊描述的逻辑ArthurBuchsbaum1;2;3巴西南卡罗来纳州圣卡塔琳娜联邦大学信息学和统计学系摘要本文用微积分和语义学的方法给出了一种逻辑形式化的歧义，它既存在于自然语言中，也存在于数学话语中，并给出了一些初步结果。关键词：模棱两可的描述、指示符、刻板性.1引言在数学、逻辑和日常用语中，几乎有无数的情况，我们有不止一个对象满足给定的性质，我们想用一个名字来表示这个类的任意对象。因此，在数学中，例如，我们用R2xdx表示由f（x）=2x定义的函数的本原，尽管我们知道存在更多的本原。这个函数的一个基元。在形式逻辑的语法中，我们通常定义表达式9！xP乘9 xP^8 x 8 y（P^P（x j y）！x=y），其中y是P中不出现的第一个不同于x的变量。这将是更自然的考虑表达式9！xP作为形式9 x P^8 x 8 y（P ^P（x j y）！ x = y），这里只要求y与x不同，并且它不出现在P中，放弃了关于y的字母位置的限制。在日常用语中，任何名词前面加一个独立的冠词，都是对相应集合中任何对象的一个间接指称例如，在一个示例中，1 感谢牛顿·达科斯塔，他向我介绍了逻辑学和本文的主题，也感谢让-伊夫·贝齐奥，他给了我一些有用的建议和想法。2 本文得到了CNPq的部分支持。3 电子邮件：arthur@inf.ufsc.br。2002年由ElsevierScienceB. V. 操作访问根据C CB Y-NC-N D许可证进行。149表达“电源”对于任何特定的电源都是模糊的引用。 所以，表达“权力是美丽的”意味着，在某种可能的意义上，欧尔美。除了模棱两可的描述之外，还有一种断言说给定的对象对应于某种描述。在数学中，通过等号的滥用，我们说由yg（x）=x2+3定义的函数是f（x）=2xy的素数，写作\R2xdx=x2+3“。在日常用语中，当我们想说一朵玫瑰花被描述为“一朵花”时，我们说“一朵玫瑰是一朵花”。因此，我们已经分离出两个关于歧义指称的关键概念：摹状词和包含。在本文中用于描述和组成的符号分别是“和B”。粗略地说，根据我们的符号，我们有：“R2xdx“是g的简写（g是函数f（x）=2x的素数）;我们可以说函数g（x）=x2+ 3是f（x）=2x的一个素数，通过写\R2xdxBg“或\R2xdxB（x2+3）dx“;读者应该注意，使用符号\B“而不是等号，因为它通常是这样做的，在一个错误的方式;我们也可以说，玫瑰是权力”的表达x（x是a）电源）Bx（ x是玫瑰）：这里定义了一种处理这两种思想的逻辑，它丰富了经典逻辑，从现在起，它被命名为“模糊参照逻辑”（Logic of Ambient Reference），简称LAR。在一些基本的直觉上，我们为LAR我们还提出了一些基本的结果，语义和证明理论。根据我们的直觉，这种逻辑应该考虑到以下几个在合理的限制下，“描述\xP”应包括满足P的每一项，并且仅包括这些项;应该有一个替代规则，包括，或，在一个更正式的方式，; P（xkt）`P（xkt0）的;“，在合理的限制下，LAR应尽可能接近经典逻辑工作，因为上述条件应得到尊重;LAR应该是经典逻辑的保守扩展。LAR的另一个显著特点是它没有将平等作为一个原始概念。平等是一个从包含中衍生出来的概念。当我们有两个描述，每个描述包含另一个描述时，我们说它们是相等的或等价的，我们将使用符号\=”来形式化tBt0150这种情况.2.1一种语言本节提供了与LAR的有意义表达相关的一些语法细节。它们在本文中到处使用，从与语义相关的结果和定义，到与LAR的代数演算相关的规则和定理。定义2.1 LAR的语言具有标准一阶语言的所有符号，没有相等的，具有\！“、\^“、\_“和\：“作为连接符，“8”和“9”作为数量词，加上符号“”作为限定词，采用符号符号\B“作为一种特殊的二元谓词符号，所采用的符号为包含。定义2.2LAR中的术语和公式是标准一阶语言4中的所有术语和公式，加上以下术语和公式：如果x是变量，P是公式，则xP是LAR中的项，也称为描述;如果t和t0 是LA R中的项，则tBt0 是洛杉矶的一个模特。LAR中的术语和公式也称为LAR中的指示符。除非另有说明，对于一些语法变量，有或没有素数和下标，有既定的特殊用法：c是常数; x，y，z是变量; f，g，h是函数符号; p，q，r是谓词符号; t，u，v是LAR 中的术语;P，Q，R，S，T是LAR中的公式，D，E是LAR中的指示符;是LAR中公式的集合，L是LAR的语言。定义2.3一个变量在D中的出现被称为在D中有界，如果它在D中接在\8“、\9“或\“之后，或者D有一个形式为8xP、9xP或xP的子指示符，使得这个出现出现在P中。一个变量在D中的出现被称为自由的，如果它在D中不受约束。如果一个变量在D中至少有一个自由出现，则称它在D中是自由的。定义2.4指示符D在指示符D0中的出现在D0中表示为real 如果它不成功，则为\8“、\9“或\“5 在D0.定义2.5称指示符D接受变量x的项t，如果D没有8yP，9yP或yP形式之一的子指示符，其中x在P中是自由的，y在t中是自由的。定义2.6一个指示符D被称为在指示符D中的变量x的作用域中 如果D 0中有一个子指示符 的形式之一8xP，9xP或xP，使得有一个真正出现的D在P中;否则D被称为是e出的s cope的x在D0。4 例如[8]。5 如果D是一个变量，它就可能发生151定义2.7D（x j t）表示从D通过用t替换x的所有自由出现次数而获得的指示符;E（DkD0）表示用DyD0代替Dy的所有实数而得到的指示符。从现在开始，除非另有说明，表达式\D（xjt）”将仅用于D接受t作为x的情况。定义2.8 LAR中的指示符是纯的，如果它没有出现“B范围之外”。定义2.9在LAR中，如果一个指示符在一个指示符中出现，并且它是真实的，并且它在\“和\B“的范围之外，那么它被称为顶部出现。定义2.10如果变量x在D中的所有自由出现次数都是顶部出现次数，则称变量x在指示符D中是顶部出现次数。定义2.11一个公式如果没有\uBv“形式的某个公式的顶部出现，则称为基本公式。3LAR的语义定义3.1L的一个简单结构是一个对h;i，其中是一个非空集，称为结构的论域，是一个函数，称为结构的符号分配，其域是L中的常数，函数符号和谓词符号的集合，遵守以下条件：（c）是以下项目的元素;如果n是f的arity，（f）是一个函数，n为;如果n是p的arity，（p）是n.L的LAR-结构是L的简单结构。定义3.2设A =h; i是L的简单结构。 一项------------------- 任务是从L中的变量集合到的函数。L的一个简单解释是一对hA;si，其中s是a-赋值，也称为解释的变量赋值。对L的LAR-解释是对L的简单解释。定义3.3设s为-赋值，d为的元素。s（xjd）表示由s定义的-赋值，s（xj d）=s（y），如果y不同于x;d，如果y是x。如果I= h; ;si是一个简单的解释，则I（xjd）表示解释h;;s（x j d）i。还考虑定义的s（x1; ：;xnj d1; ：;dn）和I（x1; ：;xnj d1; ：;dn）。152接下来，提供LAR的语义。为了表达可能的模糊性，每个术语通过下面定义的函数与话语领域的一组元素相关联，在同样的意义上，例如，在像英语这样的自然语言中，表达“一个橙子”与所有橙子的集合相关联，尽管，当然，“一个橙子”并不意味着所有橙子的集合，但它是对该集合中任意橙子的模糊表示。这个集合可以是空的;，在这种情况下，这个术语被称为是空的，有，它是一个空的名称例如，在一个示例中，\x（x6=x）”是一个空洞的术语，根据符号\6 ="的通常含义，而\x（x2N^x>2）”是一个模糊的术语，而\x（x2N^x是偶数^x是素数）”是一个单义术语。设P是满足x1; ：;xn的基本公式 是P中的上同变量，并考虑P（x1; ：;xnjt1; ： ;tn）是由P通过x1;：; xnbyyt1; ：;tn的同时迭代得到的公式.LAR的真实值是胜利（或真）和失败（或假），在这里用1和0表示。下面定义的函数IS是LAR赋值，也就是说，它是为每个公式分配真值的函数，而也为每个公式分配真值的函数IN是辅助函数，用于以同时递归的方式定义IS我们假设d1; ：;dn满足P（x1; ： ：;xn）（根据给定的简单解释I），如果I（x1; ： ：; xn; d1; ：;dn）S（P）=1。如果，根据ID，项t1; ：;tn中的each表示至少一个对象，则将胜利分配给P（x1; ：;xnj t1; ：;tn）当且仅当，对于每个chd1; ：;dn，使得d1; ：;dn分别是由yt1; ：;tn，d1; ：;dn满足P表示的话语单位的元素。 如果这些项中的某些项根据I D表 示 无 对 象 ， 并 且 P 是 原 子 公 式 ， 则 P （ x1; ： ： ： ;xnjt1; ： ： ：;tn）根据I S被评估为（vacuou s）胜利。从某种意义上说，IN呈现了一种互补的行为。如果每个项t1; ：;tn表示在至少一因此，然后IN分配胜利到P（x1; ：;xnjt1; ：;tn）当且仅当，对所有o b∈d1; ：;dn 表示为yt1; ：;tn，d1; ：;dn不满足P。 如果这些项中的某些项表示无对象，并且P是一个原子形式，则P（x1; ：;xnj t1; ： ;tn）根据IN被评价为（空的）胜利。这种语义的灵感来自于我们以前关于次协调和/或次完全逻辑的工作[2，9]，以及最近关于基于博弈的语义的一些想法[1，7]。 字母\S“in\IS“来自于单词\subject”，而字母\N“i n\IN“来自于单词\nature”。 基本思想是相对于主体和自然之间的想象游戏而言的，主体想要证明一个给定的公式是真的，自然想要证明这个公式的否定是真的。153S ND定义3.4设I =h i;si是L的LAR-解释。以下条款规定了函数ID、IS 和IN，其中ID 表示由I定义的L的LAR-表示，IS表示由I定义的L的LAR-赋值：ID是从L中的项的集合到P（）的函数;ID，IS是从L到f 0，1g的函数;ID（c）=f（c）g;ID（x）=fs（x）g;ID（f（t1; ： ：;tn））=f（f）（d1; ： ：;dn）j d12ID（t1）; ： ：;dn2ID（tn）g;ID（xP）=fd2j I（x j d）S（P）=1g;IS（p（t1; ： ：;tn））=1ifor ea chd12; ：;for ea chdn2，hd1; ：;dni2（p）;IN（p（t1; ： ：;tn））=1ifor ea chd12; ：;for ea chdn2，hd1; ：;dni2=（p）;I（tBt0）=1i I（tBt0）=0i I（t）I（t0）;IS（：P）=IN（P）;IN（：P）=IS（P）;IS（P！Q）=maxfIN（P）;IS（Q）g;IN（P！Q）=minfIS（P）;IN（P）g;IS（P^Q）=minfIS（P）;IS（Q）g;IN（P^Q）=maxfIN（P）;IN（Q）g;IS（P_Q）=maxfIS（P）;IS（Q）g;IN（P_Q）=minfIN（P）;IN（Q）g;IS（8xP）=minfI（x j d）Sj d2g;IN（8xP）=maxfI（x j d）Nj d2g;IS（9xP）=maxfI（x j d）Sj d2g;IN（9xP）=minfI（x j d）Nj d2g.这种语义学反映了一种非真伦理逻辑（一种既是次协调逻辑又是次完全逻辑的逻辑），存在一种逻辑，其中P和：P都可以为真（主语和本性都可以获胜;它被所有次协调逻辑共享），或者其中P和：P都可以为假（主语和本性都可以失败;它被所有次完全逻辑共享）。这类逻辑的经典参考文献可以在[3，5，4]中找到LAR除了是非实合逻辑外，还是一种非反应逻辑，即它是一种\P！“P”可以是假的。定义3.5如果ID（t）是空集，则术语t相对于简单的解释I被称为空的;如果ID（t）是非空集，则术语t被称为存在的;如果ID（t）是单元素，则术语t被称为univocal的;如果ID（t）至少有两个双元素，则术语t被称为模糊的。例3.6考虑p（x）是基本原子公式，I是简单的解释。154DDSSNNS（SI（t）6=;，D如果t关于I是空的，则p（x j t）和：p（x j t）都根据IS为真，从而确定LAR的次协调性. 例如，对于mula| x（x6=x）是even”，并且它的否定是真的。如果t是一个m双周期，根据I，则有d1， 当I（x j d1）S（p（x））=1且I（x j d2）S（p（x））=0时，\p（xjt）”和\：p（xjt）”根据IS是假的，因此确认参数的完整性。在这种情况下，也会发生\p（x j t）！ p（x j t）”为假，从而证实了LAR的非反应性。例如，公式\x（x= 1_x= 2）is even”与其否定一起为假，x（x= 1_x= 2）是偶数！x（x= 1_x= 2）是偶数也是假的。定义3.7 LAR-满足能力、LAR-有效性和LAR-结论的定义与经典逻辑中的定义相同。例如，LAR-consequence由以下子句定义：P 是LAR-的后果 如果每个LAR-估值满足 也满足P，这里记为j=P。接下来，提供关于替换的基本语义结果。定理3.8设I是L的一个简单解释。(i) 如果t是纯项，则I（u（xjt））=I（xjtI）（u）;I（P（xj t））= I（xj tI）（P）;I（P（xjt））=I（xjtI）（P），其中tI是单例ID（t）的唯一元素。(ii) 如果x在u中是top，则ID（u（xj t））d2 ID（t）(iii) 如果x在P中是top，则I（xj d）D（u）.IS（P（x j t））min fI（x j d）S（P）jd2ID（t）g;IN（P（xj t））minfI（xj d）N（P）jd2ID（t）g. x在u中最高，(iv) 如果x在u中只有一个自由出现ID（t）6=;，然后ID（u（xjt））=d2 ID（t）8x在P中是最高的，I（xj d）D（u）.(v) 如果x在P中只有一个自由流，I：S（P（xj t））=min fI（xj d）S（P）jd2ID（t）g;155IN（P（x j t））=min fI（x j d）N（P）j d2ID（t）g.然后156ID（t）=;，(vi) 如果x在u中有一个top出现，则ID（t）= i意味着ID（u（xj t））= i。(vii) If>一个基本的原子式，然后P具有至少一个顶部出现的x，IS（P（xj t））= IN（P（xj t））=1。4LAR的一个序列演算在这一节中，LAR被描述为一个微积分。文中还给出了与该演算有关的一些基本的合成结果定义4.1我们以一种分析的方式定义变量在指示符中何时是自由的，这是在标准的一阶语言中完成的，考虑到\“是变量绑定项操作符（或限定符）。定义4.2从现在起，连同已知的简写”和\6 ="，我们也采用以下的（考虑x和y的第一个两个变量，这是不是自由的t）：t=t0 tBt0^t0Bt;vac（t）：9x（tBx）; \vac（t）”读取\t为空“;ex（t）9x（tBx）; \ex（t）”is read\tisexistential“;un（t）8x8y（t B x ^t B y！ x = y）;\un（t）”is read\t isunivocal“;琥珀（t）9x9y（t B x ^t B y！ x 6= y）;\amb（t）”is read\t isambiguous“.下面我们给出LAR的语法规则，它在句法上描述了这个逻辑。定义4.3[结构规则]前提规则：如果j0，则`P;0 `P假设规则：如果P2，则`P;链式法则：.Q定义4.4[连接规则]前件推理：如果P是纯公式，则P; P！ Q `Q;演绎规则：如果P是纯公式，则^-消元规则：P ^Q `P;P^ Q` Q;^-引入规则：P; Q`P^Q;;“呸！Q8P是基本原子式或否定式P;P`Q;P`Q1578><：><8：（P_Q）`：P^：Q;（>P^：Q`：（P！Q）;案例规则：`P_Q;P`C;Q`C;`C_-引入规则：P`P_Q;Q` P_ Q;不矛盾规则：如果P和Q是纯公式，则;P`Q;P`：Q;`：P双重否定规则：P`P;P`：：P;P！ Q `：P_Q;物料蕴含规则：：P_Q `P！ Q;：（P！Q）`P^：Q;德摩根法则：：P^：Q`：（P_Q）;：（P^Q）`：P_：Q;>：：P_：Q`：（P^Q）.定义4.5[量化规则]8-消元规则：如果t是纯项，则8xP`P（xj t）;推广规则：如果x在中不是自由的， 则;`8xP见证规则：如果y在[f9xP; Qg]中不是自由的，则;P（xjy）`Q;;9× P`Q9-引入规则：如果t是纯项，则P（xjt）`9xP;：9xP `8x：P;交替规则：8×：P`：9× P;：8xP` 9x：P;9x：P`：8xP。定义4.6[组成规则]及物性规则：t B u; u B v `t B v;扩展规则：如果x在t;t0中不是自由的，则8x（tBx！t0Bx）`t0Bt;x在t中不是自由的，全局化规则：如果x在P中是top，x在P，ex（t）中只有一次自由出现; 8 x（t B x！ P）`P（xj t）;然后替换规则：t1Bu1; ：;tn 本恩 `f（t1; ：;tn）Bf（u1; ：;un）;t1Bu1; ：;tn Bun;p（t1; ：;tn）`p（u1; ：;un）;t1Bu1; ：;tn Bun;：p（t1; ：;tn）`：p（u1; ：;un）;Uni ty规则：如果t，t0 是纯项，则tBt0 t0Bt;`P158P（x j t）`xP Bt.强制性规则：如果P是基本原子式或基本原子式的否定，则P具有x的至少一个顶部出现，那么vac（t）`P（xjt）;函数规则：如果u是纯项，x1; ：;xn 在u;t1; ：;tn中不自由，然后`f（t1; ：;tn）Bu$9x1：9xn（t1Bx1 ^：：^tnBxn f（x1; ：;xn））;intt（t）;其次，给出了LAR的微积分的一些基本结果定理4.7用项和公式代替符号\=\“而不出现\“，它们在LAR中的行为与在经典等式逻辑中一样。接下来又定义了两种蕴涵。第一个定理具有肯定前件性质和相应的演绎定理，第二个定理同时具有肯定前件和否定前件性质。对于这些蕴涵中的每一个，它也被定义为一个相应的等价。定义4.8P_QxQBxP，其中x是fP中第一个非自由变量;Qg;[P] Q（P_Q）^（Q_P）;P）Q（P_Q）^（：Q_：P）;P、Q（P）Q）^（Q）P）。定理4.9P; P_Q`Q;如果;P`Q，则 `P_Q;P; P）Q`Q;：Q; P）Q `：P.定理4.10`8x（P_Q），xQBxP ;8x（P] Q），xQ = xP。定理4.11（包含的替换规则如果u在P中只出现在顶部，u在P中的任何变量freein\ft;t0g的cope之外，tBt0然后.; P（ukt）`P（ukt0）描述规则：如果t是纯项，则159>>X在Q中恰好只有一个自由电流，例4.12在上面的定理中，u在P中只有顶部出现的条件是必不可少的。把I看作是一个简单的解释，它把N作为它的域，这赋予了它的传统意义。然后x（x= 2 _x= 3）3）2<和x（x= 2_x= 3）Bx（x= 2）是真的，但\x（x（x = 2）<3）<2”是假的，根据I。定理4.13（等价替换规则）如果P，P0，则如果Q是 出 公司简介 fP;P0g中任意变量free的R，则R（QkP），R（QkP0）;如果Q在\fP;P0g中的任何变量f re e的s op e in t中，则t（QkP）=t（QkP0）。定理4.14（等式的替换规则如果t=t0，则如果u在P中的任何变量f reein\ft;t0g的cope之外，则`P（ukt），P（ukt0）;如果u在\ft; t 0 g中的任何变量fr ee在v中的s cope之外，则`v（ukt）=v（ukt0）。定理4.15（8-一般项的消去法则如果x在P中至多有一个自由出现，则8xP` P（ xj t）。定理4.16（9-一般项的引入规则）如果x在P中至多有一个自由出现，则ex（t）;P（ xj t）`9 xP。定理4.17（全等描述规则）如果y在P中不是自由的，则`xP = yP（x j y）。定理4.18（上下文规则）如果x是Q中的top，则Q（xjxP）`8x（P_Q）;如果x在Q中恰好有一个F eoccurren ce，则9x P;8x（P_Q）`Q（xjxP）。8x在Q中是最高的，4.19如果Q是基本原子式或否定式具有硼原子式，然后Q（xjxP）`8x（P_Q）;8x（P_Q）`Q（xj xP）.160在P中的描述，8是一个基本的原子式，公司简介5删除描述在本节中，它提供了从LAR到经典方程逻辑（P！PS），其中所有出现的\“都被消除，其余出现的\B“可以解释为等号。定义5.1下列条款规定了函数P ！PS P！ PN：如果P没有\“的出现，则PS=PN=P;如果P具有形式R（xjxQ）或R（yjxQ）之一，R其中<\xQ“是 第一次出现，从左到右，3 如果P是O：f的第一形式，然后x在R中是最高的，x在R中只有一次自由出现，则PS=8x（QS！RS），PN=9x（QS^RN）;如果P是第二种形式，y是第一个变量，y在R中只有一次自由出现，y在Q中是自由的，如果t是非纯项，则PS=8y（Q（xj y）S！RS），PN=9y（Q（xjy）S^RN）;然后x是第一个变量，它在t，t0，（t0Bt）=（t0Bt） =8x（（tBx）！（t0Bx））;如果t是纯项，x1; ：;xn是在t1; ：;tn;t中不自由的前n个变量，（f（t1; ：;tn）Bt）S=（f（t1; ：;tn）Bt）N==9x1; ：9xn（（t1Bx1）S^： ^（tnBxn）S^（tBf（x1; ：;xn））S）;如果t是纯项，则（xPBt）S=（xPBt）N=PS（xj t）;（：P）S=：PN;（：P）N=：PS;（P！ Q）S=PN！QS;（P！ Q）N=PS！QN;（P^Q）S=PS^QS;（P^Q）N=PN^QN;（P_Q）S=PS_QS;（P_Q）N=PN_QN;（8xP）S=8xPS;（8xP）N=8xPN;然后（y在 R中最高，161VVV变量在xi Pi中是自由的，使得xi Pi在它们在P中的作用域中，并且令yi;：;yi1pi1pi（9xP）S=9xPS;（9xP）N =9xP N。定理5.2`P]PS;如果P是纯公式，则`P]PS;[P] P N。推论5.3（正确性和完整性）对于LAR，“如果，而且只有如果，P.推论5.4”“（P！Q）]（P N！Q S）;（P $Q）]（（P N！ Q S）^（Q N！ P S）;“（P_Q），（P_S！Q S）;`（P]Q），（PS$QS）;（P）Q），（P S！ ^（P N！ Q N）;P，Q），（P S$Q S）^（P N$Q N）.推论5.5（肯定前件式（重写））P N;P！Q `Q。推论5.6（演绎规则（重写））; PN `Q。“呸！ Q推论5.7（非矛盾规则（重写））;`：PS; P`QN; P`：Q;`：PS;PN`Q;PN`：QS ;`：P;PN`QN;PN`：Q .`：P定义5.8设P是一个基本的mula，x1P1; ： ：;xnPn是P中所有描述的最高现。 对于每个i = 1;：; n，设p i为1pi这些变量按字母顺序排列。 指定了以下公式从P：真空（P）nQi，其中Qi=8yii=1N*8岁iintx（i）;我我ex（P）Ri，其中Ri=8y1：8ypii=1Ninti =int i（i）;联合国（P）Si，其中Si=8yii=1*8岁i int i（i）;; P`Q; P`：QS1621pi我n我琥珀色（P）其中Ti= 8y：8yamb（xiPi）;\vac（P）”被读为\P中所有最上面的描述都是空的”，或者简单地\P是空的”;\ex（P）”读作\P中的所有顶层描述都是存在的”，或者简单地说，“P是存在的”;\un（P）”已读取\P中的所有顶部描述 是单义的”，或者简单地P是单义的”;\amb（P）”已读取\P中的所有顶部描述 是模棱两可的”，或者干脆“P是模糊的。下一个结果给出了PS和PN的更简单的等价形式，给出了满足某些合理限制的公式P定理5.9（描述的简单消除）设P 是形式Q（x1; ： ： ： ;xnjx1P1; ： ： ： ;xnPn）的最佳公式，通过将x1; ： ： ：;xn同时替换为x1P1; ： ：：;xnPn，从Q获得ed，满足以下条件：Q是纯公式;x1; ：;xn是Q中的top不同变量;对i6 =j，在某些Pj没有xi是自由的;每个xi在Q中只有一个自由出现;每个描述xi Pi不在该描述中的某个自由变量的P中的范围内;对于i=1;：;n，“9x i P i.那么以下命题是有效的：“PS，8×1： ：8×n（（P1）S^： ：^（Pn）S！Q）;“PS，8x1：8xn（P1^： ：^Pn_Q）;“PN，9x1：9xn（（P1）S^： ：^（Pn）S^Q）。对于下面的ve个推论，考虑P是一个基本公式。推论5.10（唯一规则）un（P）`P，PS;un（P）`P，P N.推论5.11（存在规则）ex（P）; P S`P N。推论5.12（无歧义规则）：amb（P）; P N`P S。推论5.13（肯定前件式（简洁版））ex（P）; P;P！Q `Q。推论5.14（扣除规则（干净版本））.“呸！Qi=1;：amb（P）;P`Q163OO定义5.15P：PS;P（P^：P）;PP_：P.观察，通过一个简单的推理，“P，（P！ P）。根据下面的引理，符号“起着经典否定的作用。引理5.16.`P定理5.17（不矛盾规则（第一个干净版本））.`：P引理5.18如果P是基本公式，则ex（P）`P ;：amb（P）`P.推论5.19（不矛盾规则（第二个干净版本））如果P是基本公式，则.`：P有时候是不可能证明的！ Q“在某些环境中的应用。考虑到这种可能性，下面提供了另一版本的扣除规则。定理5.20（演绎规则（实用版））设Pe是一个形式为Q（x1; ： ： ：;xnjx1P1; ： ： ：;xnPn）的公式，从Q得到满足定理5.9的相同条件的e d。如果;（P1）S^： ^（Pn）S^Q`R，x1; ：;xnarentrein[fRg，然后“呸！R.6“qualier”与其他词的比较对科技文献质量的评价有几种方法。也许最著名的是罗素和希尔伯特的[11，12，10，6]。在罗素[11]中，它描述了一个晚上文章的版本罗素以上下文的方式介绍了符号Q（xj xP）9x（P ^Q ^8y（P（xj y）！ y = x））。罗素的方法根本不把\xP“看作一个名字，而把整个表达式\Q（xjxP）”仅仅看作一个缩写。虽然这很方便;P`Q;P`QP`Qo;P`Q;P`：Q`：amb（P）`ex（Q）;P`Q;P`：Q164对于做数学，这种方法引入了一个没有公认语言地位的符号，也就是说，像\xP“这样的表达式本身没有任何语言价值，尽管它们实际上是被使用的。其他方法，像我们的方法，考虑描述为\xP“，\xP“和\xP“作为名称。 根据它们，\xP“表示唯一满足P的对象 x，而\xP“表示从满足P的所有对象的集合中选择的满足P的固定对象x。对于\“的主要问题是当没有对象或多个对象x满足P时，将什么归于\xP，而对于\“的类似问题是当没有对象x满足P时，将什么分配给\xP。所有已知的处理这些情况的方法都给这些描述指定了该领域的某个对象，但它们的主要缺点是在处理这种情况时缺乏一致性。相反，我们的方法没有特殊的条款来处理没有对象x满足P的情况。根据LAR的语义，“\ xP”与满足P的所有对象x的集合相关联。在LAR语义中，当有多个对象x满足P时，\ xP“是一个模糊的名称;在这种情况下没有选择（就像\“方法所做的那样），也就是说，\xP“是每个满足P的对象x的名称，没有特定对象对另一个对象的偏好或选择。如果只有一个这样的对象x满足P，\xP“就成为这个对象的一个确定名称。最后，如果不存在满足P的对象x，则\xP“是一个空无的名称，也就是说，它是一个空无的名称。给定一个不包含描述的术语，传统的方法不容易告诉我们这个术语是否是一个空洞的名称。例如，在某些上下文中，t= ;可能是真的，但我们不知道，只有通过检查这个表达式，如果\;”是作为某种推理或计算的结果获得的，或者如果\;”被用作一个空名字的标签。相反，我们的方法有一种直接的方式来说一个名字是空的，简单地写\vac（t）"。同样很容易说，这个名字是存在的，模棱两可的，或单义的，因为它已经显示在上面。也可以在LAR中定义一种限定物品，如下所示：XPx（P^8y（P（xjy）！y=x））。对于这个\“，根据上面的定义，\xP\“是一个空的名称，如果没有对象x或者如果有一个以上的对象x满足P。还有另一个与“方法有关的重要失败，将在下面的示例中显示。例6.1我们知道，在范畴论中，同一范畴的两个对象a; b可以有不止一个乘积，但我们用\ab“来表示a和b的乘积我们还知道a b和b a是同构对象，我们用\ab b a“表示，存在，a和b的每个乘积同构于b和a的每个乘积。如果我们用\“定义一个范畴积，那么，165a和b的所有乘积的集合与b和a的所有乘积的集合相同，则表达式\aBB“a“仅仅意味着，对于每个x是a和b（或b和a）的乘积，x x，对于原始意图的含义来说是非常差的。如果我们用“for de ning categorialproduct”来代替“for de ning categorial product”，那么表达式“ab ba”就有了预期的含义。7结论与大多数语义学相反，我们处理语义学的方式提出了一种新的范式，通过明确地处理歧义和空洞。即使是模态逻辑，非刚性指示符语义，不处理歧义，因为在同一个世界里，没有变化的参考。我们认为传统数学缺乏处理模糊性和空洞性的逻辑基础它们出现在数学的许多地方，从集合论到数学分析和数字系统。神学的许多命题可以非常简单化，也许语言的这种扩展可以为新的发现开辟新的道路。在自然语言中，大多数短语使用模糊的名称来引用对象，因此描述似乎是模拟这些情况的自然方式。我们并不认为LAR是一种用于处理歧义或刚刚指出的问题的“最终”或“完美”逻辑，但它是一个新的出发点，从那里需要一条可能很长的道路才能到达一些非常有用的东西。在构思这一逻辑时，我们已经认识到，也存在着存在性的描述，而描述，无论是普遍的还是存在性的，都可以联系起来，也可以不联系起来。为了模拟一个合理的逻辑考虑到这些新的想法，表达在一个自然的方式深刻的直觉，所有的匆忙是完美的敌人。引用[1] Buchsbaum ， A. 和 T. Pequeno ， A game characterization of paraconsistentnegation，not published.[2] Buchsbaum，A.和T. Pequeno，Uma fam lia de logicas paraconsistentes e/ouparacompletascomsem^anticasrecursivas ， Technicalreport ， DepartamentodeInform atica - Pontif cia Universidade Catolica do Rio de Janeiro（1991）.[3] da Costa，N.，关于不一致形式系统的理论，Notre Dame Journal ofFormal Logic15（1974）。[4] da Costa ， N. ， 逻 辑 是 既 paraconsistent 和 paracomplete ， Rendicontidell'Accademia Nazionale dei Linzei83（1989），pp.29{32.[5] da Costa，N.和D. Marconi，A note on paracomplete logic，Rendicontidell'Accademia Nazionale dei Linzei80（1986），pp. 504{509.166[6] Hilbert，D.和W.阿克曼，《数理逻辑原理》，切尔西出版公司，1969年。[7] Hintikka，J.，《语言的游戏：游戏语义学研究及其应用》，D。Reidel，1983年。[8] Kleene ， S. ， 《 元 数 学 导 论 》 ， Wolters-Noordho ， North Holland 和American Elsevier，1974年。[9] Pequeno，T.和A. Buchsbaum，The logic of epistemic inconsistency，in：Proceedings of the Second International Conference on Principles of KnowledgeRepresentation and Reasoning（1991）.[10] Rosser，J.，《数学家的逻辑》，切尔西出版公司，1978年。[11] Russel，B.，关于指示，Mind14（1905），pp.479{493.[12] Russell，B.和A.Whitehead，\Principia Mathematica，”CambridgeUniversity Press，Cambridge，1925.
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