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非限制对称P系统的字符串计算性质
理论计算机科学电子笔记171(2007)105-115www.elsevier.com/locate/entcs组织P系统和(Mem)膜系统,带有匹配和滴注操作处理字符串鲁道夫·弗罗因德1马里昂·奥斯瓦尔德2,3维也纳技术大学法沃里滕海峡9-11,1040维也纳,奥地利摘要我们调查组织P系统(非限制,对称)版本的伴侣和滴水操作,并证明这样的系统是计算完成的最小数量的两个细胞时,字符串上工作。此外,我们考虑的变体与队友和滴水操作的分散上下文组织P系统,并显示出类似的计算完整性的结果,在任何计算过程中使用最多四个细胞。在所有情况下,也建立了(n)膜系统的相应结果关键词:膜性结石,滴注,伴侣,组织P系统1引言最近,已经进行了一些尝试来组合膜系统领域中的各种模型参见[12],[15]),其中在由膜包围的区域中发现物体;以及膜结石[4],其中在膜上发现物体(例如,见[2]、[3]、[5]、[6]、[7]、[11]、[13])。我们在这里遵循这条研究路线,研究具有膜运算mate和drop的组织P系统;事实上,我们将考虑mate和drop运算的非限制性对称变体(如[1]中已经建议的)。进一步的研究表明,[1]中研究的(n)膜系统只有深度2,即,将基本膜置于皮肤膜中。因此,这些系统也可以被解释为组织P系统,其中皮肤膜对应于附件。有了这种解释,我们可以立即建立1 电子邮件地址:rudi@emcc.at2 Marion Oswald的工作得到了FWF项目T225-N 04的支持。3 电子邮件地址:marion@emcc.at1571-0661 © 2007 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2007.05.011106R. Freund,M.Oswald/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171(2007)105H基于[1]中给出的证明,对具有配对和滴注操作的组织P系统与放置在细胞膜上的多组对象一起工作的结果。因此,在本文中,我们将集中在组织P系统与交配和滴操作的字符串工作,一个变种,这样的系统与分散的背景将进行调查,太。在一些初步的定义之后,我们将提出我们对具有匹配和滴注操作的组织P系统的定义。首先,我们将考虑这样的系统与放置在细胞膜上的多集一起工作,然而由于这些系统与[1]中研究的系统直接对应,这些系统的主要(计算完备性)结果可以直接从那里给出的证明中获得。因此,在本文的其余部分,我们专注于组织P系统,其配对和滴注操作对放置在细胞膜上的字符串起作用,并且我们表明这些系统在计算上是完整的(即,它们可以生成任何递归可重写的字符串语言),在任何计算期间最多出现两个单元的最小数目;对于具有分散上下文的变体,建立了类似的结果,但是使用一些开放性问题和进一步的评论结束了文件。2初步定义对于下文中所需的形式语言理论的基本要素,我们参考这一领域的任何专著,特别是[14]。我们只是列出一些概念和符号:N表示非负整数(自然数)的集合,Nk表示自然数的所有k通过NkRE(NkRE),我们表示所有自然数(≥h)的k-向量的递归可列集V是字母表V在连接运算下生成的自由幺半群;它的单位元素是空字符串,记为λ。字符串x∈V的长度表示为:|X|我们用RE(RE(k))表示递归可排语言族(在k字母表上)。令{a1,.,an}是任意字母表;符号出现的次数aiinxisde. 不,不,|X|此外,P arav ec t or a s o c i t d i t h x hr a tt or a s oc i t i t tithx h ratt i t t i tia1,.,An是 |a 1,.,|a1 , ..., |一个;|an. 语言L在{a1,...,an}是L中字符串的所有Parikh向量的集合。对于FL语言家族,FL语言的Parikh象族记为PsFL。(有限)多重集一个一个... mn,一个满足mi∈N,1 ≤i≤n的n阶数,表示为任意字符串x,其Parikh向量关于a1,.,n是(m1,...,mn)。在下文中,我们将不区分向量(m1,...,(N),其代表-我是一个很好的人。multisetm1,a1.. . 例如,通过将x与Parikh向量|X|a1,.,|a n|an =(m1,.,mn)。在这个意义上,PsRE(1)=NRE。1对于本文中详细阐述的证明,我们需要以下字符串生成系统的模型:Post系统G(例如,[10]这是一种结构。(V,T,P,w0)R. Freund,M.Oswald/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171(2007)105107GGC∗哪里• V是一组(非终结符和终结符)符号,• TV是一组终端符号,• P ={(xi,yi)|1 ≤i≤n}是一个具有(xi,yi)∈V+×V<$,1 ≤i ≤n,对于某些n≥0,且• w0是公理。推导关系=G定义如下:对于每个(x,y)∈P,我们通过wx=(x,y)yw定义推导关系=(x,y),对于所有w∈V,即, x在基础的几何形式的右侧被切掉,y被插入其左边;=G则是所有=(x,y)的并集,即,=G:=(x,y)∈P=<$(x,y).当从上下文中清除时,我们只写=而不是=G。的图G的自反传递闭包记为图G的自反传递闭包。由Post系统G生成的语言是可从公理w0导出的所有终端字符串的集合(换句话说,它包含G中成功计算的结果),即,L(G)={w∈T|w0=0w}。一个Post系统(V,T,P,w0)称为(2, 3)-正规型,如果P ={(xi,yi)|1 ≤i≤ n}2 ≤ |Xi|+的|yi|≤ 3,即,(一)|Xi|、|yi|)∈ {(2,1),(1,2),(1,1)},其中1 ≤ i ≤ n。根据文[9]中的结果,对任意L∈RE,L∈H,我们可以构造一个(2, 3)-正规型的Post系统G,使得G=(V,H∈ {ql,qr},P,w0),L(G)={ql}L{qr},并且(i) 对于每个词v∈V∈ L,G中的导子与v停止,当且仅当对于某个w∈L,v具有形式qlwqr,即,对于所有的词v∈V<$−L(G),在P中有一个规则可以应用于v,(ii) 对于G中每个可从公理w0导出的词v∈V,v只能具有以下形式:qlvJ或vJJqr,如果v∈L(G),即,如果v是qlwqr,其中w∈L。上下文无关图控制文法是一种构造GC=(N,T,(R,Lin,Lfin),S);N和T分别是非终结符和终结符的字母表,其中N<$T= N,S∈N是起始符号; R是规则r的有限集,其形式为(l(r):p(l(r)),σ(l(r)),σ:(l(r)),其中l(r)∈Lab(GC),Lab(GC)是与R中的规则r相关联(以一对一的方式)的标签集合,p(l(r))是(NT)上的上下文无关产生式,σ(l(r))Lab(GC)是规则r的成功场,而σ(l(r))是规则r的失败场;L 在Lab(GC)中是初始标签的集合,而Lfin_Lab(GC)是最终标签的集合。 为r=(l(r):p(l(r)),σ(l(r)),n(l(r)且v,w∈(N<$T)则定义(v,l(r))= nG108R. Freund,M.Oswald/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171(2007)105CC(w,k)当且仅当• 或者p(l(r))适用于v,即应用产生式的结果p(l(r))到v是w,且k∈σ(l(r)),• 或p(l(r))不适用于v,w=v,且k∈v(l(r)).由GC生成的语言是L(GC)={w∈T<$|(w0,l0)=G(w1,l1)=G... (wk,lk),k≥ 1,wj∈(N<$T)n,lj∈ Lab(GC,其中0 ≤ j ≤ k,w0= S,wk=w,l0∈Lin,lk∈ Lfin}.3Tissue P系统,带有匹配和滴注操作读 者 应 该 熟 悉 膜 计 算 的 基 本 元 素 来 自 [12]; 综 合 信 息 可 以 在 PSystems 网 页http://psystems.disco.unimib.it上找到),以及膜演算(参见,例如,[5])。我们在本文中处理的模型受到来自P系统和脑结石两个领域的想法的启发:我们认为细胞类似于组织P系统,但对象被放置在细胞膜上,而且,我们用于计算这些细胞的操作来自脑结石区域(事实上,我们只需要mate和drip操作)。 我们将考虑两个主要的变体:第一个与已经在各种论文中考虑过的(膜)膜系统模型非常密切相关(例如,见[5],[13],[1]),其中多集(在生物学解释中,我们可以说蛋白质)是第二个将字符串分配给每个细胞(的膜为了可视化具有分配给其膜的对象/串w的多集的细胞,我们将使用符号[ ]w(以类似于在膜系统模型中编写的方式,其中膜和对象的多集以[]w)的形式书写。我们将在本文中使用的两个操作现在可以定义如下:mate:(u|甲乙丙|v; x)滴:(u|C|v; y,z)在我们下面描述的所有模型中,这些形式符号描述了将两个细胞融合为一个(交配)和将一个细胞分裂为两个细胞(滴注)的变体。按照[ 1 ]的符号,在(n)膜系统模型中,这些运算具有如下意义:(u|甲乙丙|v;x)将携带多组SUA的膜和携带多组BVW的膜融合成一个单元,该单元然后具有多组SUXVW,即,ab被x替换,其余的多集照原样取。事实上,这意味着从两个膜[ ]sua和[]bvw我们得到膜[] suxvw。 在我们的组织P系统模型中,这意味着从两个单元[ ]sua和[ ]bvw中,我们得到单元R. Freund,M.Oswald/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171(2007)105109[ ]suxvw.滴注操作(使用|C|v; y,z)将膜[ ] sucvw分裂成两个膜[ ] suy和[ ] zvw,其中s和w是除了在滴注规则中指定的那些对象之外的其余对象的任意分裂(即,u,c,v)。在组织P系统的模型中,这意味着细胞[ ] sucvw分裂为两个细胞[ ] suy和[]zvw。当处理字符串时,形式符号与上面给出的多对象集的情况完全相同,唯一的区别是suy,zvw和sucvw必须按照它们被写入的顺序被解释为字符串,这意味着在滴注操作的情况下,我们实际上是从一个字符串sucvw开始的,然后在位置c处分裂,产生两个新的字符串suy和zvw,因此,现在s和w不再是任意的。在一般情况下,a,b,c,s,u,v,w,x,y,z可以是alpha- betV上的任意字符串(无论这些是被解释为对象的多集还是直接被解释为字符串)。与这种一般情况相反,在[1]中施加了几个限制:(i) a,b,c∈V;(ii) b=λ,z=λ;(iii) v/= λ,ux/= λ。在下面给出的证明中,我们也将尊重第一个限制,但不尊重第二个(它允许我们在规则中具有对称性)或第三个限制。与[1]相反,其中滴规则的权重(u|C|v; y,z)定义为多集ucv的长度和配对规则(u)的权重|甲乙丙|v; x)作为多集uxv的长度,我们现在定义|乌奇维兹|为滴水尺的重量(u|C|v; y,z)和|UABVX|作为配偶规则的权重(u|甲乙丙|v; x)。上面定义的规则可以用于具有以下形式的配对和滴注操作的纸巾P系统:哪里V =(V,[ ]w1,.,[ ]wn,R)(i) V是一个有限的、非空的字母表;(ii) w1,...,wn是V上的有限多重集(表示为字符串),分配给n个初始多重集的细胞[ ] w1,.的膜。,[ ] wn;(iii) R是V上的一组有限的交配和滴注规则。从由初始(多组)单元[] w1,. ,[] wn,通过应用合适的mate和drop来执行计算。以非确定性的、最大程度并行的方式从R中提取规则,从而从系统的一个配置到下一个配置。110R. Freund,M.Oswald/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171(2007)1051一个计算只有在以下情况下才是成功的:(i)它停止了(这是当没有规则可以应用的情况下),以及(ii)在停止配置中只有一个单元。成功计算的结果是在该成功计算结束时在单细胞的膜处发现的多重集。非负整数的所有向量的集合(解释符号{a1,...,以这种方式由N(k,k)计算的(k,k作为向量的对应分量)由N(k,k)表示。 所有集合的族由组织P系统计算的N(k,k)用N OktPm(matep,dripq)表示,其中在任何计算期间的任何时刻使用最多m个单元的配对和滴注操作,并且配对、滴注规则的权重分别最多为p、q当参数k、m、p、q中的任何一个没有界时,它被替换为k。从具有交配和滴注操作的组织P系统的这一定义,我们立即得到具有交配和滴注操作的(膜)膜系统的相应模型。在[1]中考虑的迭代,通过仅替换单元格的初始多集[] w1,. ,[] wn通过相应的多组膜[ ] w1,.,[ ]wn嵌入在皮肤膜中(它只携带空的多重集,永远不会参与到规则),即,我们得到了系统ΣV =(V,[ ]w1. []wnΣ,R)。由(n)膜系统n在任何计算过程中的任何时刻最多使用m+1个膜,以及分别最多使用p,q的权重的配对,滴注规则计算的所有集合N(n,k)的族记为N OkPm(配对p,滴注q)。 当任何 的参数k,m,p,q是没有界的,它被替换为n。在[1]中,证明了以下结果:命题3.1N O1Pm(matep,dripq)<$N1RE对所有m≥ 4,p≥ 4,q≥ 4.在考虑到我们允许规则的一个稍微更一般的变体(事实上,我们可以保留所有的限制条件,结果是零向量不能生成)时,这里给出的证明甚至显示了以下更一般推论3.2N OkPm(matep,dripq)= NkRE,其中k≥ 1,m≥ 4,p≥ 4,q≥ 4。 作为这个结果的直接结果,对于(n)膜系统,我们可以得到:使用匹配和滴注操作,获得组织P系统的相应结果:推论3.3N OktPm(matep,dripq)= NkRE,对所有k≥ 1,m≥ 4,p≥ 4,q≥ 4。在下文中,我们现在将考虑具有在弦上工作的配对和滴注操作的组织P系统;同样,这样的系统具有以下形式:V =(V,[ ] w1,.,[ ] wn,R)其中R中的规则是配对和滴注操作,但现在要在分配给细胞膜的串上解释;串w1,...,wn分配给R. Freund,M.Oswald/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171(2007)105111初始单元也将被解释为字符串。与前面的定义类似,具有配偶和滴注操作的(亲)膜系统是以下形式的系统ΣV =(V,Σ[ ] w1. []wn,R)。(停止)计算等的其余定义与上面给出的相同,唯一的区别是我们现在处理的是字符串,而不是(解释为)多重集的字符串。由(n)膜/组织P系统产生的串语言族,它们具有对串进行的配对和滴注操作,在任何计算过程中的任何时刻使用至多m个单元/至多m+1个单元膜,和伴侣,滴水规则的重量最多p,q,分别表示为SPm(matep,dripq)和StPm(matep,dripq)。当参数m、p、q中的任何一个没有界时,它被替换为n。我们还将考虑组织P系统的另一个变体,它具有作用于字符串的配对和滴注操作,其中规则中给出的上下文并不直接出现在相关符号的左侧或右侧,而是分别出现在子字符串的左侧或右侧的任意位置。通过这种方式,我们得到了具有以下形式的配对和滴注操作n =(V,[ ] w1,.,[ ] wn,R)。一mate 操作 (u)|甲乙丙|v; x) 应用到 [ ] s1us2a 和 [ ] bw1vw2 得到[ ]s1us2xw1vw2,即,我们如前所述查看字符串的末端,但是分别在左边和右边的上下文u和v可以位于剩余字符串的任何位置,并且不需要分别直接连接到a和b(因此,我们使用分散上下文的概念)。这同样适用于滴水规则(u)中切割部位c左侧和右侧的上下文u和v|C|v; y,z),即,为分散的上下文变体滴水规则解释如下:应用滴水操作(u|C|v; y,z)到[ ] s1us2cw1vw2产生两个单元[ ] s1us2y和[ ] zw1vw2。显然,对于具有以下特征的匹配和滴注操作可以从具有匹配和滴注操作的串P系统的相应操作中获得,并且可以对具有匹配和滴注操作的分散上下文(drain)膜系统给出类似的定义。由离散上下文组织P/(n)膜系统生成的语言族分别用scStPm(matep,dripq)和scSPm(matep,dripq)表示,这些系统具有权重≤ p的配对操作和权重≤ q的滴注操作,在任何计算过程中最多有m个单元/最多有m + 1个膜。当参数m、p、q中的任何一个没有界时,它被替换为n。4具有在弦组织P/(Mem)膜系统的结果在这一节中,我们证明了我们的主要结果,建立了(分散的背景)组织P/(P)膜系统的变体的计算完整性与交配和滴操作字符串工作。112R. Freund,M.Oswald/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171(2007)105RRRRRRYQWL定理4.1StPm(matep,dripq)= RE,其中m≥2,p≥4,q≥ 4。证据设L∈RE,G=(V,ql,qr},P,w0)是(2, 3)-正规型的Post系,使得L(G)={ql}L{qr}充分满足前一节所述的特征,并根据文[9]中所证明的结果规则的模拟r:(ad,bc)fromP工作如下:[]XwadY(一个|D|Y;Yr,λ) []XwaYr[]Y(一个|Yr,Y|λ; Y JJ)[]R(λ|一|YJ; Y J,X)[]X轴rJ[ ]JJr rXwYrYr(λ|Y JJ,X|λ; XJJc)[](λ|XJJ|λ; X,Xb)[]XJJ cwYJ[]J(λ|YJ,X|λ; Y)[]XXbcwYXbcwYr对于r:(a,bc),即, d=λ,我们采用以下规则:(λ|一|Y; Y J,Y JJ) []J[ ]JJr r XwYrYr(λ|Y JJ,X|λ; XJJc) [](λ|XJJ|λ; X,Xb)[]XJJ cwYJ[]J(λ|YJ,X|λ; Y)[]XXbcwYXbcwYr注意,这两种构造也适用于c = λ。为了从[ ]XqlwqrY中最终提取终端字符串w,我们需要以下规则:[]XqlwqrY(λ|qr|Y; λ,Y J)[](YJ|Y、X|ql; λ)[ ] J(λ|YJ|ql; Z,λ)[](λ|Z,ql|λ; λ)[] w[ ]YJY[ ]qlw通过上面给出的说明,我们立即看到,具有匹配和滴注操作的组织P系统生成L。Q推论4.2SPm(matep,dripq)= RE对于所有m≥2,p≥4,q≥ 4。我们要提到的是,在前面的证明中构造的系统在单元数量方面已经是最优的(在计算期间只有一个单元,没有计算步骤是可能的)。此外,该系统甚至以顺序方式工作,即,在每个推导步骤中,应用恰好一个规则。在下一个定理的证明中,当涉及到具有分散上下文的系统时,这两个特殊特征都不再有效XqwlzR. Freund,M.Oswald/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171(2007)105113Xwr rwr12Xwr rwr12了c0定理4.3scStPm(matep,dripq)= RE,对于所有m≥4,p≥4,q≥ 4。证据给定L∈RE,我们用带有mate和drip操作的离散上下文组织P系统模拟了图控制文法G=(N,T,(R,Lin,Lfin),S)生成[8]中构造的LV =(V,[ [1,2-xSr(O,R)具体描述如下:我们从公理XSr0开始,其中X是标记字符串左侧的附加符号,S是G的开始符号,r0∈Lin是图控制文法G中的单个开始标号。在[8]中给出的构造-我们认为,只有两个非终结符通常以字母形式分散,但终结符仍然以正确的顺序生成;我们构建具有mate和drip操作的组织P系统将严重依赖于这个特定特征;此外,考虑到下面构建的规则的复杂性,我们引用[ 8 ]中构建的图控制语法的特征,仅使用A→ w形式的上下文无关规则,|W| ≤ 2。图控制规则r:(A→w,σ(r),σ(r))的成功案例现在是通过以下规则分四步模拟:(i) 使用滴注规则(X|一|r; rJ,rJJ)我们得到两个单元[]J和[ ] JJ从单细胞[] Xw1Aw2r.(ii) 然后,将单元格[ ]rjjw2r进一步划分为[ ]RJJW2RJJJ [001 pdf 1st-31files][001 pdf 1st-31files]规则.RJJ |λ ;r|λ; rJJJ ,riv.(iii) 通过使用配偶规则(X|rJ,rJJ|rJJJ; w)两个单元格[]J和[] JJJJJ连接到单元格[ ]Xw1ww2rJJJ。(iv) 最后,加入新创建的单元格[ ]XW1WW2RJJJ 与单元格[ ] RIV 由交配规则.X|RJJJ ,rivΣ|λ; q我们得到单元格[ ]Xw1ww2q,其中符号在w1和w2之间的A被w代替,从而模拟了上下文-自由生产A→w和标签 r已被新标签q∈σ(r).我们现在考虑图控制规则r:(A→w,σ(r),σ(r))的失败情况,它被模拟为六个步骤:(i) 失败案例从生成第二个单元格作为检查器开始从[]XVR我们得到[]X v r j a n d []C 0通过驱动程序(X|R|λ;r_(IJ,C_0)。(ii) Thecell[]XvrJ向两个单元格s[]XvrjJ和d[]rjjJJ提供卷 由Driprule(X)|鲁吉|λ;rjJ,rJJJ),其中每个单元格都被分配到两个单元格[]C1[ ] C2 根据滴注规则(λ|了C0|λ; C1,C2)。(iii) 在这一步中,[]rJJJ 和[]C2通过矩阵规则(λ)融合到单元[]C3|rJJJ,C2|λ;C3),其中在这种情况下,所述目标不存在于系统A中,则c. ell[]XvrJrmainsatis. 如果,在这种情况下,发生意外,114R. Freund,M.Oswald/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171(2007)105一|rjJ,C1|λ;#将 在所有使用该单元格[]的情况下进行应用Xv编号R. Freund,M.Oswald/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171(2007)10511545这是一个很好的选择。 我。这是一个很好的例子。apsymbol#llguaranteean根据规则,X|联系我们|λ;#,#J和dX|#、#J|λ;#λ.(iv) 在第四步中,[ ] C3通过滴注规则(λ)演化为两个单元格[ ] C4和[ ] C5|C3|λ; C4,C5)。在正确的情况下,A不出现在v中,单元格[]XvrJ仍然存在。(v) Thecell[]Xvr.JJ Jnowmayfutehel[]C4yelinghel[]Xvrhe l [ ] vrhiv,ThemarterruleX|rjJ, C|λ;ri v.(vi) 最后,将两个单元格[]X虚拟化 and[]C5 通过一个pplyinghematerule. X|鲁塞维角|λ;q∈λ(r),我们将hq∈λ(r)设为单元[ ].XVQ失败情况的模拟要么在v不包含非终结符A的情况下成功地以字符串Xvq结束,要么导致无限计算。另一方面,只有在指定给细胞膜的字符串中出现所需的非终结符时,才能启动成功案例因此,在任何情况下,都可以保证计算不会在没有正确模拟一个推导步骤或在无限循环中被捕获的情况下停止。如果我们最终成功地到达最终标签rh,我们就得到了一个单元格[ ]Xwrh,w∈ L;通过应用规则(X|Rh|λ; λ,RJ)和(λ|rJ,X|我们最终得到了H Hcell [ ] w只携带终端字符串w。Q推论4.4scSPm(matep,dripq)= RE对于所有m≥4,p≥4,q≥ 4。5结论具有匹配和滴注操作的组织P系统与具有匹配和滴注操作的(外)膜系统密切相关,该膜系统具有位于皮肤膜中的基本膜的膜的分层结构。因此,为一个模型建立的结果也可以在另一个模型中解释。另一方面,在这些方法中,在匹配和滴水操作的确切定义方面存在一些轻微的差异,这引起了一些公开的问题,例如,当采用[1]中所用的配对和滴注操作的限制性定义时,我们可能会问,这如何影响本文中对具有配对和滴注操作作用于弦的(分散上下文)组织P系统所建立的结果。在将多集放置在膜上的情况下,我们还可以考虑滴注操作的另一种变体,其中剩余的对象不是以任意方式分布的,而是其中所有这些对象都由第二个膜/单元继承,即,对于具有配合和滴注操作的纸巾P系统,这意味着通过应用滴注操作(u)|C|我们现在得到[] uy和[] zvw。 其中,我们将调查这些变种在未来引用[1] Be s ozzi,D., N. Busi,G. 弗拉克河 Freund,andGh. P.A.,出现了两个新的(M)BRAN系统。116R. Freund,M.Oswald/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171(2007)105[2] Busi,N.,和R. Gorrieri,论膜演算的计算能力,[3] Busi,N., 关于mate/bud/drop膜演算的计算能力:交织与最大paralelism,in:Freund,R., Gh. P.Rozenberg 和A. 我的天 啊! ), “M e m bran e C o m put i n g , International Workshop ,WMC6” , Vienna , Austria , 2005 , Selected and Invited Papers , LNCS 3850 , Springer ,Berlin(2006),144-158.[4] 卡 尔 代 利 湖 , 膜 结 石 。 生 物 膜 的 相 互 作 用 , 见 : Danos , V. , 和 V. Schachter ( 编 辑 ) ,“Computational Methods in Systems Biology: International Conference CMSB 2004”, Paris, France,[5] Cardelli,L., 和Gh。 实习生:一个基于数据/数据处理操作的(我)业务计算的非独立销售。J. Found.Computer Sci. 17,1(2006),49[6] Cavalie er e , M. , A.里 斯 科 索 - 努 努 恩 斯 河 。Brijder , andG.Rozenberg :Membranesystemwithmarkedmembrane,submitted,2005.[7] 达 诺 斯 , 五 , 和 S. Pradalier , 投 影 膜 演 算 , 在 : Danos , V. , 和 V. Schachter ( 编 辑 ) ,“Computational Methods in Systems Biology: International Conference CMSB 2004”, Paris,[8] Fernau , H. , R. Freund , M. Oswald 和 K. Reinhardt , Refining the nonterminal complex of graph-controlled grammars. In:Mereghetti,C.,B.帕拉诺湾Pighizzini和D. Wotschke(Eds.),“Seventh[9] Fre und,R., M. 我是说,还有。P.P.Aaun,Optim alResul t sfor theCom putinalCompletenesofGemmating(Tissue)P Systems,International Journal of Foundations of ComputerScience 16,5(2005),929-942.[10] Minsky,M. L.,“计算-有限和无限机器”,Prentice Hall,Englewood Cli Jens,NJ,1967年。[11] P.A., 和B。 Popa,Psystemswithproteinmembranes,submitted,2005.[12] 波伦,Gh.,“M em bran e C o m put i n g - A n I n t r o duct i on”,S pri nge r,B e r l in,2002年。[13] 波伦湾,任何一个都不例外,对于具有多个对象的P系统,“P r o c. 膜计算的头脑风暴周”, 塞 维 利 亚 ,2005 年 , RG N C 报 告 01/2 005 , 263-274 。[14] 罗森伯格,G.,和A. Salomaa,eds.,《形式语言手册》,3卷,施普林格,柏林,1997年。[15] P Systems网页http://psystems.disco.unimib.it。
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