Abel积分方程的Laplace变换解析解及同伦扰动变换法

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，102埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章天体物理中Abel积分方程的Laplace变换解析解Sunil Kumara，*， Amit Kumara， Devendra Kumarb， Jagdev Singhc，Arvind Singhda印度贾坎德邦Jamshedpur 831014国家技术学院数学系b印度拉贾斯坦邦斋浦尔302022贾根·纳特·古普塔工程技术学院数学系印度拉贾斯坦邦斋浦尔303901 Tehsil-Chaksu Village-Rampura，Jagan Nath大学数学系d印度新特赫里Bhagirathipuram的TDHC-水力工程技术研究所（IHET）接收日期：2013年7月7日;修订日期：2014年1月5日;接受日期：2014年2月11日2014年4月3日在线发布本文的主要目的是提出一种求解Abel积分方程的新的简单算法，即同伦扰动变换法（HPTM）。同伦扰动变换方法是拉普拉斯变换算法（LTA）中的一种创新调整，使计算大为简化。Abel物理学、天体物理学、固体力学和应用科学中的几种模型。数值计算结果表明，该方法易于实现，计算量小。最后，通过数值算例说明了该方法的精度和稳定性.2010年数学学科分类：00A71; 45A05; 34A12; 45E10; 7Q10？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍阿贝尔这个积分方程出现在*通讯作者。联系电话：+91 7870102516，+91 9415846185。电子邮件地址：skumar. nitjsr.ac.in，skiitbhu28@gmail.com（S。Kumar ） ， devendra. gmail.com （ D.Kumar ） ， jagdevsingh-rathore@gmail.com（J. Singh）。同行评审由埃及数学学会负责物理学、天体物理学、固体力学和应用科学中几种模型的数学建模。伟大的数学- ematician尼尔斯阿贝尔，给了倡议的积分方程在1823年在他的研究数学物理[11924年，Zeilon研究了有限段上的广义AbelPandey等[6]、Kumar和Singh[7] 、 Kumar 等 [8] 、 Dianshan 等 [9] 、 YouseFiouse[10]、Khan和Gondal[11]、Li和Zhao[12]等用各种解析和数值方法求解了物理学中不同类型的Abel积分设质点m在重力作用下沿垂直平面内的光滑曲线运动设点沿曲线从高度x移动到曲线的最低点所需的时间t为给定的x的函数f，得到积分方程1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.02.004制作和主办：Elsevier关键词拉普拉斯变换法;阿贝尔Mittag-Leftler函数Abel积分方程1030ZnZyt3Zyt.ZS2Xwxpwx;2：530SnLSn-1pnw= 2-p L1pSLw0x¼-nLS24nfxxutp2gx-;1：1这是拉普拉斯变换与同伦摄动法的耦合.现在，使两边p的相应幂的系数相等，其中g是重力加速度。本文的主要目的是用积分方程的方法给出Abel积分方程的解析解和近似解同伦扰动变换等新的数学工具近似值如下获得：p0：w=0.00000000;pn：w=0.00000000L-1。rwx;法所提出的方法是同伦摄动法和拉普拉斯变换法的耦合。该方法的主要优点是能将两种强有力的方法结合起来，得到Abel型奇异积分方程同伦扰动-1998年，He首先提出了Bation方法，n/1; 2; 3;.. .12：70因此，Eq的解（2.1）表示为yxLimwxX1wx：2：8n¼0并进一步完善[13HPM已经被许多研究人员成功地应用于求解积分方程和微分方程[7近年来，许多作者注意用各种方法结合拉普拉斯变换来研究积分方程和微分方程的解。其中有Laplace分解法[23这篇文章的优美之处可以归因于在寻求问题的近似解析解时的简单化方法。2. Abel积分方程新方法的基本思想为了说明HPTM求解Abel型奇异积分方程的基本思想，我们考虑下面的第二类Abel值得注意的是，级数（2.8）的收敛速度取决于初始选择w0（x），如给出的数值例子所示同伦摄动变换法的最大优点是可以利用拓扑同伦以多种方式自由构造摄动方程（因而是问题相关的），并且可以自由选择初始逼近3. 说明性实例在本节中，我们将通过几个例子来说明同伦扰动变换技术 。 这 里 所 有 的 结 果 都 是 使 用 符 号 微 积 分 软 件 Math-ematica 7计算的。例1. 我们考虑下面的第二类Abel积分方程如下[6]：yxfxX p;06x61：2：1y=x3= 2-X px-;06x61;3：10x-t0在等式2中的两侧上操作拉普拉斯变换。（2.1），我们得到精确解y（x）=x。通过应用上述同伦扰动变换，L½yx]¼L½fx]LXytpx-tdt时间：2019- 02-02方法[1301-02 -2013（.r .X1！！）x：当量（2.2）形式n3n¼0LSn¼0n-12013年12月3日L½yx]¼L½fx]rpL½yx]：2：3在等式2中的两侧上操作逆拉普拉斯变换。（2.3），我们得到现 在 ， 在 等 式 2 中 ， 使 两 边 p 的 相 应 幂 的 系 数 相 等 。（3.2），以下迭代wn（x），n= 0，1，2，3，.. . 给出了p0：w=1 × 1× 1 ×4×3= 2;yxfx L-1.rpSL½yx]时间：2019- 02-0203. rp104x3= 23px22我们寻求阿贝尔积分方程的解（2.1）在以下方面-低级数形式p2：w=0.001-L-1 .rpSLw1xpx2¼28px5= 2þ十五岁;1Nnn¼0p3：w=0.001-L-1 .rSLw2x8px5=2公司简介p2x3-六个 ... .其中wi（x），i=0，1，2，3，是待确定的函数我们使用以下迭代方案来计算wi（x）。要求解方程 （2.1）通过HPTM，我们考虑以下内容p25：w10000-L-1。rpLwx16384p12x27= 213x 14页凸同伦[13X1pnwxf xp（L1. rpn¼0.X1pnwx！！）：102：6分n¼0电话：+86-213458046676875最后，我们用下式近似解析解y（x）：截尾级数125p！10pnwp1：w= 0.01×0.01- L-1-;104S. Kumar等人ffiffiffiffi ffiffiðÞ¼- 你好.ffiffiffiffiffiffiΣð Þ ¼jð Þ- ð ÞjZytx-px-;06x61;3：4pXnLSnx;w1 x¼-p x;w2x¼3;X1wxOx1n=2！ x为n！一曰：-1.pX-Tffiffiffi0.00.0 0.2 0.4 0.6 0.81.001.00.80.60.40.2从表1中的数值结果可以看出，近似解与精确解高度一致。该表还显示了精确解和近似解之间的绝对误差。解级数的收敛速度非常快。实施例2. 在这个例子中，我们考虑下面的第二类Abel积分方程如下[6]：pzxytX图 1精确解（直线）之间的比较以及Abel积分方程的近似解（虚线）。其中y x1e px erfcppx 作为精确解，其中互补误差函数erfc被定义为我的意思是，我的意思是，（3.1节）。现在应用上述同伦扰动变换方法，我们得到5.10-6E25（x）4.10-6X1pnwx2px-p（L1. 你好。X1pnwx！！）：103：50n¼0n¼03.10-6各种wn（x），n=0，1，2，3，. 给出了2.10-61.10-6pp2x28p2x5=24px3= 20w3x1/4-2;w4×10-415;.0.0 0.20.4X0.60.81.0因此，给定问题（3.4）的解如下：图2绝对误差E（y）=y（x）-y（十）为以下目的提供咨询：x例1.准确的25。app.nn¼0p4px3= 2p2x28p2x 5=2p3x 3X1Xnyxwix我1/2x-px13-2þ十五岁6þ···1/41/4¼n1C1n=21/4-E1 = 2-px13： 30图1给出了精确解与HPTM近似解的图形比较。它1-epx erfcppx：这是Abel积分方程的精确解。 （3.4）和EzP1zn是一个Mittag-Leftener函数[25]可以看出，通过本方法获得的解与Exat溶液几乎相同。上述结果与Pandey等人[6]完全一致。 简单一参数.n0Can1并通过计算绝对误差E25y说明了该方法的准确性y exact：x y app：x. 图2显示了精确和近似实施例3. 我们考虑下面的Abel积分方程第二种类型如下[6]：在n=25的水平上的解决方案是非常小的，因此，使级数解的收敛速度非常快。该accu-yxx216 x5= 2-15Xp;06x61;3：70通过引入更多的近似解项，可以改善结果的简洁性。在表1中，将HPTM解与公知的Abel积分方程的精确解（3.1节）。从精确解y（x）=x2。同伦扰动变换方法可以构造如下表1精确解与近似解的比较Xy精确。（十）y应用程序。（十）E25 y精确值：10xx- y应用程序：10x10 j0.20.20.2000000000000262.59903· 10-140.40.40.4000000003011033.01103· 10-100.60.60.6000000717707957.17708· 10-80.80.80.8000034883552383.48836· 10-61.01.01.0000709424006537.09424· 10-5精确解在大约溶液解决方案的比较y=x=2w0x¼2Abel积分方程105106S. Kumar等人ZXp2Xw x我我2334324790016001.00.80.60.40.24.03.53.02.52.01.50.00.0 0.2 0.4 0.6 0.81.0X1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X图3Abel积分方程的精确解（直线）与近似解（虚线）的比较。（3.7）。图5Abel积分方程的精确解（直线）与近似解（虚线）的比较。（3.10）。5.10-7E25（y）4.10-73.10-72.10-71.10-7电话：+86-021 - 8888888传真：+86-021 - 8888888X图 4绝对误差E25（y）=E2yexact. （x）-yap p. （十）为以下目的提供咨询：0.0006E25（y）0.00050.00040.00030.00020.00010.00000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X实施例3.图6示例4的绝对误差E25yjyexact：x-yapp：xj。表2精确解与近似解的比较.xy精确。（x）y app。（x）E25-y精确值：10x-y应用程序：10x-j。0.20.040.399999999999 1.45522· 10-160.40.160.1599999999523 4.76847· 10-120.60.360.3566666791191 2.08808· 10-90.80.640.63999984374693 1.56253· 10-71.01.00.9999955902089 4.44098· 10-6X1pnwxx1/4x2x16x5=2-p（L1. rpL.X1pnwx！！）的情况下;图3显示了精确解和所提出的方法得到的近似解之间的比较。从图3中可以看出，通过所提出的方法获得的解与exat解几乎相同。图4显示了在水平n = 25时精确解和近似解之间的绝对误差。通过引入更多的近似解项，可以提高结果的精度在表2中，再次将HPTM解与实施例3中在不同xn15n¼0Snn¼02013年3月8日实施例4. 在这个例子中，我们考虑另一个阿贝尔积分第二类方程如下[6]：给出各种w（x），n= 0，1，2，3，.. . 如下所示1xp-xy-0dt;06x6 1; 203：10毫秒nw=2×2×16×5= 2;w=2× 2 × 16×5= 2-p×3;yxppx015123105315 3：它的精确解是yxp1。W265536p12x29= 2619028335362937513x15页653837184000通过应用上述同伦扰动变换，法 不同的n（x），n = 0，1，2，3，.. . 给出因此，Eq的解（3.4）被认为是yxLimwxX1n关于我们wxOx2n=2w0×100× 100w100x200px=p2 x;w=p2 x-4p2x3= 2;！x为n！ 1：03：90wx4p2x3= 2p3x2;w13x12-4 p13x25 = 2：7905853580625精确解在大约溶液精确解在大约溶液解决方案的比较解决方案的比较第二章--X10512p！11/41/425Abel积分方程107-表3精确解与近似解的比较.Xy精确。（十）y应用程序。（十）E25 y精确值：10xx- y应用程序：10x10 j0.22.236072.2360679774942785.51143· 10-120.41.581141.5811387981585643.19256· 10-80.61.290991.29098937555720735.07318· 10-60.81.118031.1178490557735771.84933· 10-41.01.00.9969912263162623.00877· 10-3因此，Eq的解（3.10）表示为宽x高x宽1宽x高1：13：11宽ð Þ ¼[4] A.M. Wazwaz，M.S.李文，李晓刚，李晓刚，等.非线性热传导方程的数值模拟.北京：机械工业出版社. 10（2010）248-252。y x Limp！1我1/4px[5] N.塞隆Surquelques点dela理论方程积分的阿贝尔，阿基夫。 Mat. Fysik天文学家第十八条（1924年）图图5给出了精确解和由HPTM得到的近似解。从图5中可以看出，通过所提出的方法获得的解几乎与exat解相同。上述结果与Pandey等人的结果完全一致。[6]的文件。在这个例子中，所提出的方法的简单性和准确性通过计算绝对误差E25（y） =Δyexact 来 说 明 。（十）y 应 用 程序 。（X）实施例4的样品。 图 6显示了在水平n = 25时精确解和近似解之间的绝对误差。通过引入更多的近似解项，可以提高结果的精度在表3中，将HPTM解与Abel积分方程的精确解进行了比较. （3.10）。用本文方法得到的精确解与近似解有很好的一致性。该表还显示了精确解和近似解之间的绝对误差。4. 总结发言本文采用一种新的同伦摄动变换方法，求Abel型奇异积分方程的快速精确解。我们已经解决了我们提出的方法的一些例子。我们观察到，我们开发的机制是直接的，易于应用。最后，一般来说，所提出的方法可以进一步实施，以解决其他线性和非线性问题中出现的科学和工程。确认所有作者都非常感谢审稿人仔细阅读了论文，并对他们的意 见 和 建 议 进 行 了 改 进 。 第 一 作 者 非 常 感 谢 印 度Jamshedpur国家技术研究所数学系提供了一些优良的设施和研究环境。引用[1] A.M.Wazwaz，LinearandNonlinearIntegralEquationsMethodsandApplications，Springer，Heidelberg，Dordrecht，London，New York，2011。[2] A.M. Wazwaz，积分方程初级课程，世界科学，新泽西州，1997年。[3] R. Goren Bagelo，S.张文，张文，1991.1-19号。[6] R.K. Pandey ， Om P. Singh ， V.K. 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