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模糊转移系统和模糊模态逻辑
可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记348(2020)85-103www.elsevier.com/locate/entcs模糊转移系统Manisha Jain1,2 Alexandre Madeira1,3CIDMA省数学,U。Aveiro QuantaLabINESC TEC,U.米尼奥曼努埃尔·A Martins马丁斯1,4CIDMA省数学,U。葡萄牙阿威罗摘要本文提出了一种新的模糊模态逻辑,对行为不确定性的过渡系统进行建模和推理。我们的形式主义支持在过渡和命题符号分配水平上的futility。反对其他方法在文献中,我们的互模拟和双相似性的概念概括了经典模态逻辑和进程代数的analogous标准概念。此外,我们的逻辑的结果也是模糊的,与连接的语义解释支持的哥德尔代数。关键字:双模拟;模拟;模糊变迁系统;模态逻辑;哥德尔代数1介绍50年来,模糊集和模糊逻辑一直是一个活跃的研究领域(参见。[13])。模糊自动机[17],模糊马尔可夫过程[1],模糊Petri网[25,16],模糊反应框架[24]和模糊离散事件系统[22]是一些已经考虑用于处理不确定性和模糊集的计算系统建模的形式主义。在这项工作中,我们将重点放在模糊转移系统或模糊标记转移系统,这是一个推广的过渡1这项工作得到了ERDF欧洲区域发展基金的支持,通过COMPETE计划,并通过FCT -葡萄牙科学和技术基金会-在项目POCI-01-0145-FEDER-016692和UID/MAT/04106/2019内获得国家基金的支持。A.马德拉在第57/2016号法令第23条第4、5和6条所预见的框架合同8月29日,由葡萄牙法律57/2017,7月19日修改2电子邮件:jmanishajain@outlook.com3电子邮件:madeira@ua.pt4电子邮件:martins@ua.pthttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2020.02.0061571-0661/© 2020作者。出版社:Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。86M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)85系统或标记转换系统(广泛用于计算机科学),转换上具有[0,1]-权重[26,27,15]。互模拟和模拟是比较两个过渡系统的有效方法。它们已经在几个框架中被考虑,例如模糊自动机[7,8]模糊马尔可夫过程[9],模糊离散系统[22],加权标记转移系统[26,27,15]。它们都有特殊的动机,因此也有不同的提法。例如,在[26,6,5]中,互模拟被定义为等价关系。还有其他方法专注于水平和垂直互模拟[15],还有一些其他方法将互模拟定义为模糊关系[7]。在文献中,有几种逻辑可以推理模糊转换系统(或者更好地推理状态断言的状态转换系统)。在经典的情况下,这样的逻辑是模态逻辑的变体在这些方法中,用于表示状态上的断言的可访问性和命题符号可以是清晰的或模糊的。例如,在[10,11]中,命题被认为是在有限Heyting代数中评估的清晰和多值可达关系。Bou等人在[4]中采用了有限积分交换剩余格的真值支撑。在一些研究工作中,真值格是一个链([3,23]),其中任何多值关系都可以表示为由相应格的支持度索引的脆模态关系的递减族。文献[21]提出了一种基于Güodel代数的多值逻辑,它采用了清晰的框架. 还有许多其他方法来定义加权可达性关系,如[20,19]中使用的方法。 在[14]中处理多值动态逻辑,其中J.Hugheset在连续统真值[0,1]格用标准的模糊残差。另一方面,C. Liau[18]在特定连续统真值[0, 1]-格上引入了一种多值动态逻辑。这种方法与[14]非常不同,因为它将含义参数化本文在哥德尔代数的基础上,考虑了不确定性推理和布尔推理,考虑了可达关系中的模糊性和逻辑中的模糊性据我们所知,目前还没有研究工作,重点是互模拟和模拟(全)模糊模态逻辑。我们使用模糊转换系统[26,27,15]和模糊模态逻辑[12]的互模拟和模拟中已经完成的工作中的思想来定义模糊模型的互模拟和模拟。我们的工作与[27]中的工作很接近。然而,有两个重要的方面,区分这两种方法:(i)反对在那里做什么,我们的逻辑是一个定理4.9)。虽然在[27]中,闭集被用来定义互模拟和模拟,这是相似的,但不完全相同。这是我们所知道的,也是我们所知道的。[14][15][16][17][18][19][19][1[12]中的工作在定义模糊模型的意义上也与我们的论文非常相似,但他们没有定义模糊模态逻辑的互模拟和模拟他们定义模糊命题的方式和我们一样,但不像我们M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)8587其中p∈ Prop。Kripke模型是状态转移结构,wi。thproposi定义的模糊可及性关系,他们定义的关系是自反的,对称的和t-范数传递。此外,他们使用卢卡西维茨的逻辑作为基础代数来定义逻辑,论文概要。其余的文件组织如下:第2节回顾了标准模态逻辑,以及与这项工作有关的一些属性。然后,在第三节中,我们定义了一个基于哥德尔代数的模糊模态逻辑,并在第四然后,在第5节中,我们证明了双相似性的存在性,它是模糊模型上定义的最大的互模拟关系(也是等价关系)。最后,在第6节中证明了该框架的模态不变性。我们在第7节总结了本文,并对未来的工作进行了一些思考2经典模态逻辑逻辑研究的悠久传统是推理涉及变化的情景;自亚里士多德时代以来。这个逻辑家族被称为模态逻辑,代表了逻辑和哲学中的一个经典主题Kripke语义学在60年代的发展这一节简要回顾了命题模态逻辑的基本定义和它的一些主要结果。给定一组(原子)命题符号Prop,Prop公式由语法::= p |Q|Q|∼ ϕ |ϕ ∨ ϕ |ϕ ∧ ϕ分配给一组状态的选项。形式上,Prop模型是元组M=,其中• W是一个非空集合。• V:Prop→ P(W)是一个函数。• R<$W×W是二元关系。W、V、R模型M中状态w处Prop公式的模态满足递归定义如下:• M,w| = p i <$w∈V(p)• M,w |= Q <$i <$存在一个wJ∈ W使得(w,wJ)∈ R且M,wJ|=• M,w |= Q <$i <$对于任何wJ∈ W使得(w,wJ)∈ R我们有M,wJ|=• M,w| = i M,w是假的|=• M,w| = Ji M,w| = m和M,w|=J• M,w| = Ji M,w| = λ或M,w|=J模态逻辑已被用来推理语句,如88M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)85J.·.·定义2.1[模拟和互模拟]两个模型M=(S,R,V)和MJ=(SJ,RJ,VJ)之间的模拟是一个非空关系E<$S×SJ,使得只要s E s:• 原子:对任意p∈Prop,V(p)<$VJ(p)• Zig:如果s Rv,则存在一个vJ∈MJ使得sJRJvJ和v E vJ。两个模型M=(S,R,V)和MJ=(SJ,RJ,VJ)之间的互模拟是一个非空的模拟关系E<$S×SJ,使得每当s E sJ:• 原子:对任意p∈Prop,VJ(p)<$V(p)• Zag:如果SJR vJ,则存在v∈M使得sR v和v E vJ。众所周知,如果两个状态是双相似的,那么它们满足相同的公式(模态不变性)。此外,对于具有有限像的模型,逆命题也成立(Hennessy-Milner定理)。这些结果可以在[2]中找到。3模糊模态逻辑模态逻辑的Kripke语义由在每条边上标记有命题符号的图组成因此,它们可以被用来模拟许多情况,如网络科学,图论,认知逻辑,也用于推理时间,信念,计算系统等,然而,有些情况下,我们不能说过渡存在(图中的边)或不存在;我们能做的最好的事情是分配一定程度的确定性,它的存在。这导致模糊状态转换。定义3.1[模糊框架和模糊模型]模糊框架是一对F=(S,R),其中• S是一个有限的非空状态集;• R:S×S→[0,1]是模糊可达函数。模糊模型是元组M=(S,R,V),其中• (S,R)是模糊框架;• V:S×Prop→ [0,1]是一个(模糊赋值)函数。图1给出了模糊框架的一个例子。我们将在哥德尔代数的基础上定义一个模糊模态逻辑。哥德尔代数的定义如下:定义3.2[哥德尔代数]哥德尔代数是结构G=([0,1],max,min,I,0,1,N),其中max,min分别是通常的最大值和最小值运算,I(x,y)=1 ifx≤yY否则N(x)= 1,如果 x = 0时0,如果x >0M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)8589|- 是的||Σ|..|∈ Σ|∈Σ.ΣS40.40.5S3S20.60.2S1Fig. 1. 模糊框架示例定义3.3[公式]对于给定的命题符号Prop集合,我们通过以下语法定义Prop公式集合Fm(Prop):= T| ⊥|p| ∼ϕ|ϕ∧φ|ϕ∨φ|ϕ→φ|Q|Q满足关系被定义为[0, 1]上的函数,即它被认为是模糊关系。定义3.4[满意度]模糊模型M中的满意度关系由一个函数|=: S × Fm(Prop) →[0, 1]recursively defined as follows:• (男,女,|= T)= 1• (男,女,|=0• (男,女,|= p)= V(s,p),对于p ∈ Prop和s ∈ S• (M,s=J)= min(M,s=),(M,s=J)• (男,女,|= max(M,s)|= m),(M,s|=J)• (男,女,|= π → πJ)= I((M,s |= m),(M,s |=J))• (男,女,|= N(M,s |=)• (M,s=Q)= maxminR(s,u),(M,u=N)u S• (男,女,|= Q= min.I(R(s,u),(M,u |=))|u ∈S例3.5考虑图1中的模糊标架(S,R)。 转换上的标签表示这些对之间的关系的值;例如R(s2,s1)= 0。2.此外,当没有过渡时,这意味着值为0;例如R(s2,s4)= 0。 假设M =(S,R,V),Prop ={p},V(s3,p)= 0. 8且V(s1,p)=0。7. 然后,90M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)85.Σ..Σ..- 是的ΣΣ..- 是的ΣΣ∈≤u′}J(男,第2条|= Qp)= max min R(s2,s3),(M,s3|= p); min R(s2,s1),(M,s1|= p)=max min(0. 六,零。8);min 0. 2,0。(七)=max {0. 6;0. 2}= 0。6(男,第2条|= Qp)= min IR(s2,s3),(M,s3|= p); I R(s2,s1),(M,s1|= p)= min I(0. 六,零。8); I(0. 2,0。(七)= min{ 1; 1} = 14模拟与互模拟在本节中,我们提出了模糊模型的模拟和互模拟的定义,这是经典模型的推广。这是一种比较两种具有不同模糊可达性关系和模糊赋值函数的模型的新方法。定义4.1设E<$S×SJ,U<$S,UJ<$SJ。然后,E[U]:={sJ∈SJ:uE sJforsomeu∈U}E−1[U]:={s∈S:sE uJforsomeuJ∈UJ}定义4.2【模拟】设M=(S,R,V)和MJ=( SJ, RJ, VJ)是两个模糊模型,E<$S×SJ。我们说E是从M到MJ的模拟,如果对于每个w∈S和wJ∈SJ,使得w EwJ,我们有对任意p∈Prop,V(w,p)≤VJ(wJ,p)的原子Fzig对于任何用户S,R(w,u)MaxRJ(wJ,uJ)∈E[{u]此外,如果Fzig条件成立,我们说E是从模糊框架(S,R)到(SJ,RJ例4.3考虑图2(a)中的模糊模型M=(S,R,V)和MJ=(SJ,RJ,VJ),其中S={s1,s2,s3,s4},SJ={sJ1,sJ2}, E={(s1,sJ1),(s2,sJ2),(s3,sJ2),(s4,sJ1)},Prop ={p}。且n∈P,V(s2,p)≤VJ(s2J,p);V(s1,p)≤VJ(SJ1,p);V(s3,p)≤VJ(SJ2,p);V(s4,p)≤VJ(SJ1,p).转换上的标签表示对之间的关系的值,例如R(s3.s4)= 0。4;RJ(sJ2,sJ1)= 0. 6等很容易看出,用虚线表示的关系ES×SJ是从M到M的模拟关系。M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)8591事实上,原子的条件在假设中是成立的。为了检查Fzig条件,我们必须检查E中的每一对。92M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)85≤u′}∈≤u′}≤u′}S2sj2SJ30.30.70.4S1SJ0.91SJ 4S40.40.70.5S3S2sj20.60.20.6S1SJ1(a) 模拟1(b) 模拟2.图二. 仿真实例让我们来看看.为此,我们必须证明,uS,R(s2,u)maxRJ(sJ2,uJ).∈E[{u]因为,从s2开始的与0不同的跃迁只有(s2,s3)和(s2,s1)。因此,我们只给出了u=s1和u=s3的Fzig条件。(u=s1);R(s2,s1)=0. 2 maxRJ(s2J,uJ)=RJ(sJ2,sJ1)=0. 6∈E[{u](u=s3);R(s2,s3)=0. 6maxRJ(s2J,uJ)=RJ(sJ2,sJ2)=0. 7∈E[{u]其余的情况可以用类似的方法检查。例4.4考虑图2(b)中的模糊标架F=(S,R)和FJ=(SJ,RJ),其中S={s1,s2},SJ={SJ1,SJ2,SJ3,SJ4}, E={(s1,SJ1),(s2,SJ4),(s2,SJ2),(s2,SJ3)}.很容易看出,由虚线表示的关系ES×SJ是M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)8593∈≤u′}∈ ≤u∈⊆×从帧F到FJ的模拟关系。为了检查Fzig条件,我们必须检查E中的每一对。让我们检查一下情况(s1,sj1)。很显然,R(s1,s2)=0. 3≤max{RJ(sJ1,sJ2),RJ(sJ1,sJ3),RJ(sJ1,s4J)}=max{0. 七,零。四,零。9}=0。第九章(一)也可以针对(s2,sJ4)、(s2,sJ2)和(s2,sJ3)对检查Fzig条件。定义4.5[互模拟]设M=(S,R,V), MJ=( SJ, RJ, VJ)是两个模糊模型,E<$S×SJ。我们说E是从M到MJ的互模拟,如果对于每个w∈S和wJ∈SJ,使得w EwJ,我们有对任意p∈Prop,V(w,p)=VJ(wJ,p)Fzig对于任意u S,R(w,u)maxRJ(wJ,uJ)∈E[{u]Fzagfor anyuJSJ,RJ(wJ,uJ)maxE−1[{u′}]R(w,u)此外,如果Fzig和Fzag条件成立,我们称E是从模糊框架(S,R)到(SJ,RJ在标准情况下,互模拟是一个二元关系,使得它本身和它的逆是模拟5。引理4.6设M=(S,R,V)和MJ=(SJ,RJ,VJ)是两个模糊模型,ESSJ. 然后,E是从M到MJi的互模拟E和E−1是从M到MJ的和MJ到M。证据(1)假设E是一个互模拟关系。显然,E是一个模拟关系。为了证明E−1是一个模拟关系,我们需要注意E的Fzag条件给出了E−1的Fzig条件,原子条件平凡地成立。因此,E和E−1分别是从M到MJ和从MJ到M的(13)设E和E−1分别是从M到MJ和从MJ到M的与上述类似,这两个条件都隐含着E的Fzig和Fzag条件。同样,原子条件一起给出了E的原子条件。因此,E是从M到MJ的互模拟关系。Q例4.7考虑图3(a)中给出的模糊标架F=(S,R)和FJ=(SJ,RJ),其中S={s1,s2,s3,s4},SJ={sJ1,sJ2}, E={(s1,sJ1),(s2,sJ2),(s3,sJ2),(s4,sJ1)}我们将检查特定对(s2,sJ2)的Fzig和Fzag条件所以,5关系E的逆是关系E−1:={(a,b):(b,a)∈E}。94M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)85[{s1]S2sj2SJ30.90.70.9S1SJ0.61SJ 4S40.60.70.7S3S2sj20.70.60.6S1SJ1(a) 互模拟1(b) 互模拟2.图三. 互模拟示例我们必须检查<$u∈S,R(s2,u)≤u′max}RJ(sj2,UJ)和nd<$UJ∈SJ,RJ(sj2,UJ)≤maxR(s2,u)E[{u}}[Fzig]从s2开始的与0不同的跃迁只有(s2,s1)和(s2,s3)。所以我们检查u=s1,s3。(u=s1):R(s2,s1)=0。6≤u′MaxRJ(sJ2,uJ)= RJ(sJ2,sJ1)= 0. 6}(u=s3):R(s2,s3)=0。7≤u′MaxRJ(sJ2,uJ)= RJ(sJ2,sJ2)= 0. 7}[{s3]从SJ2开始的与0不同的跃迁只有(SJ2,SJ2)和(SJ2,SJ1)。所以我们检查UJ=sj1,sj2.(uJ= sJ1):RJ(sJ2,sJ1)= 0.6≤u∈(uJ= sJ2):RJ(sJ2,sJ2)= 0.7≤u∈MaxE−1[{s′1}]MaxE−1[{s′2}]M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)8595R(2,u)= R(s2,s1)= 0. 6R(s2,u)= R(s2,s3)= 0. 7对于E中的其余对,Fzig和Fzag条件可以以类似的方式证明。96M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)85⊆×....Q例4.8考虑图3(b)所示的模糊模型M=(S,R,V)和MJ=(SJ,RJ,VJ),其中S={s1,s2},SJ={sJ1,sJ2,sJ3,sJ4}, E:={(s1,sJ1),(s2,sJ2),(s2,sJ3),(s2,sJ4)}, Prop={p}.和布吕普∈Prop, V(s1,p) 为 VJ(sJ1,p);V(s2,p) 为 VJ(s2J,p);V(s2,p) 为VJ(sJ3,p);V(s2,p)=VJ(sJ4,p)很容易看出,E是从M到MJ的互模拟关系。 我们只需要检查Fzig和Fzag的对(s1,sj1)。所以,<$u∈S,R(s1,u)≤u′max}RJ(sj1,UJ)andd<$UJ∈SJ,RJ(SJ1,UJ)≤maxR(s1,u)E[{u}}[Fzig]从s1开始的与0不同的跃迁只有(s1,s2)。所以,我们检查u=s2。(u = s2); R(s1,s2) =0. 9 ≤max {RJ(sJ1,sJ2),RJ(sJ1,sJ3),RJ(sJ1,sJ4)}=0。9我们需要检查uJ=sJ2;uJ=sJ3;uJ=sJ4。maxRJ(sJ1,uJ)=u′∈E[{s2}](uJ= sJ2); RJ(sJ1,sJ2)= 0.7≤u∈MaxE−1[{s′2}]R(s1,u)= R(s1,s2)= 0. 9(uJ= sJ3); R(sJ1,sJ3)= 0.9≤u∈(uJ= sJ4); R(sJ1,sJ4)= 0.6≤u∈MaxE−1[{s′3}]MaxE−1[{s′4}]R(s1,u)= R(s1,s2)= 0. 9R(s1,u)= R(s1,s2)= 0. 9其余的情况可以用类似的方法检查。下面的定理表明,我们的概念是一个推广的经典(脆)的情况。这是与我们的互模拟概念以及[5,6,26,27]中提出的互模拟概念最重要的区别之一。定理4.9设M=(S,R,V)和MJ=(SJ,RJ,VJ)是两个经典模型,E SSJ.设Mf=(S,Rf,Vf)和MJf=(SJ,RJf,VJf)是自然对应的模糊模型,即函数Rf和RJf定义为:Rf(s,t)=1sR t0否则且RJf(sJ,tJ)=1sJRJtJ0否则函数VJf:SJ×Prop→ [0,1]和Vf:S×Prop→ [0,1]定义为M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)8597VJf(sJ,p)=1 sJ∈VJ(p)0否则且Vf(s,p)=1s∈V(p)0否则则以下内容是等价的98M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)85≤J∈u′}(i) E是从M到M J的双解。(ii) E是从模糊模型Mf到MJf的互模拟。证据 (i)(ii)设E是从M到MJ的互模拟。 设w∈S,wJ∈SJ使得w E wJ.当模糊赋值被定义时,原子条件是平凡的。为了证明Fzig条件,设u∈S.• 如果Rf(w,u)= 0,则Fzig条件自动成立。• 若Rf(w,u)= 1,则w R u.然后通过(经典)zig条件存在一个uJ∈SJ使得wJRJuJ和u E uJ.当Rf(w,u)= 1时,存在一个UJ∈SJ使得Rjf(WJ,UJ)= 1,且uJ∈E[{u}].因此,maxu′∈E[{u}]RJf(wJ,uJ)= 1。因此,Rf(w,u)maxu′∈E[{u}]RJF(WJ,UJ). 同样,我们可以证明Fzag条件-是的。(ii) 设E是从Mf到MJF的互模拟。设w∈S,wJ∈SJ这样wE w。当模糊赋值被定义时,原子条件是平凡的为了证明(经典的)zig条件,设u∈S使得w R u。因此Rf(w,u)= 1。根据Fzig条件maxu′∈E[{u}]RJf(wJ,uJ)= 1。由于我们假定SJ是有限的,所以存在UJ∈E[{u}],使得RJF(WJ,UJ)=1。这意味着uJ∈SJ使得wJRJuJ和u E uJ.因此,zig条件成立。类似于zag条件。Q下面的定理指出,给定两个双相似的状态,如果从一个状态的转移值是非空的,那么从另一个状态的转移值也是非空的。定理4.10设M =(S,R,V)和MJ=(SJ,RJ,VJ)是两个模糊模型,E ∈ S ×Sj是M到MJ的互模拟。 设w ∈ S,WJ∈ Sj,使得wEwj.然后,(i) 对任意 u∈S, 若 R(w,u)E[{u}]使得RJ(WJ,UJ)=0.0则存在uJ∈(ii) 对任意UJ∈SJ,若RJ(WJ,UJ)/= 0,则存在u∈E−1 [{uJ}]使得R(w,u)/=0。证据 (i)设uS使得R(w,u)= 0. As,w E wJ,maxRJ(wJ,uJ)>0(由∈E[{u]Fzig条件)。 这意味着存在一个uJ∈E[{u}]suc h使得RJ(wJ,uJ)/=0。(ii)证明是类似的(使用Fzag条件)。Q以下两个引理陈述了关系的替代(基于集合的)条件,M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)8599∈≤u′}⊆≤∈ ≤u∈⊆≤⊆≤∈E[{u]⊆≤u′∈E[U]是互模拟(cf. 定理4.13)。引理4.11设M=(S,R,V)和MJ=(SJ,RJ,VJ)是两个模糊模型,ES × SJ. 则对于任意的w ∈ S和wJ ∈ SJ,下列条件等价:(i) 对任意u S,R(w,u)maxRJ(wJ,uJ)∈E[{u](ii) 对于任何U S,maxR(w,u)u∈UMaxu′∈E[U] RJ(wJ,uJ)证据 (ii)(i)在条件(ii)中取U={u}S(i) (ii)让我们来讨论。对于一个u∈UE[{u}]∈E[U]的S i n c e;我们有u′max}RJ(WJ,UJ)≤maxRJ(WJ,UJ).因此,通过上述不等式和(i),我们有,对于任何u∈U,R(w,u)≤Maxu′∈E[U]RJ(WJ,UJ).由于U是任意的,对任意U∈S,maxR(w,u)≤Max′RJ(WJ,UJ).Qu∈Uu∈E[U]引理4.12设M=(S,R,V)和MJ=(SJ,RJ,VJ)是两个模糊模型,ES × SJ. 则对于任意的w ∈ S和wJ ∈ SJ,下列条件等价:(i) 对任意uJSJ,RJ(wJ,uJ)maxE−1[{u′}]R(w,u)(ii) 对任意UJSJ,maxRJ(wJ,uJ)u′∈U′uMax∈E−1[U′]R(w,u)证据 这个证明类似于前面引理的证明。Q作为前面引理的结果,我们有下面的定理。定理4.13设M=(S,R,V)和MJ=(SJ,RJ,VJ)是两个模糊模态,ES × SJ.则以下内容是等价的(i) E是从 M到MJ(ii) 对于任意(w,wJ)∈E,下列条件成立,• 对任意p∈Prop,V(w,p)=VJ(wJ,p)• 对于任何U S,maxR(w,u)u∈UMaxu′∈E[U] RJ(wJ,uJ)• 对任意UJSJ,maxRJ(wJ,uJ)u′∈U′uMax∈E−1[U′]R(w,u)。证据 结果直接由引理4.10和引理4.11导出。Q推论4.14设M=(S,R,V)和MJ=(SJ,RJ,VJ)是两个模糊模型,ES × SJ.则以下内容是等价的(i) E是从 M到MJ100M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)85(ii) 对于任意(w,wJ)∈E,下列条件成立,• 对任意p∈Prop,V(w,p)=V(wJ,p)M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)85101⊆⊆∀⊆≤≤u∈• 对于任何U S使得U=E−1[E[U]], maxu′∈E[U]RJ(wJ,uJ)= maxR(w,u)u∈U• 对于任何 UJSJ,使得UJ=E[E−1[UJ]], maxRJ(wJ,uJ)=u′∈U′Maxu∈E−1[U′]R(w,u)证据 (i)(ii)令US使得U=E−1[E[U]]。一方面,通过引理4.11中Fzig的等价条件,我们有maxR(w,u)≤maxRJ(wJ,uJ)(2)u∈Uu′∈E[U]另一方面,通过引理4.12中Fzag的等价条件,我们有UJSJ,maxRJ(wJ,uJ)u′∈U′u特别地,对于(2)中的UJ=E[U],我们得到Max∈E−1[U′]R(w,u)(3)Maxu′∈E[U]RJ(wJ,uJ)maxE−1[E[U]]R(w,u)(4)结合等式(1)和(3),我们得到:Maxu′∈E[U]RJ(wJ,uJ)= max R(w,u)。u∈U类似地,我们可以通过引理4.10证明(ii)的其他条件,并且很明显,原子条件成立。(ii)设(w,wJ)∈E,U∈S. 考虑U0=E−1[E[U]]。很容易看出,U=U0,E[U]=E[U0],U0=E−1[E[U0]]。然后,maxR(w,u)≤maxR(w,u)u∈Uu∈U0= Maxu′∈E[U0]= maxu′∈E[U]RJ(wJ,uJ)(根据假设)RJ(wJ,uJ)定理4.13中的另一个条件的证明是类似的。因此,E是从M到MJ的互模拟。Q5双相似性本节建立了模糊模型上互模拟的一些性质,与标准互模拟的众所周知的结果进行类比正如在经典环境中发生的那样,这些结果找出了引入模糊双相似性概念的常见成分-最大的互模拟。有了这个目标,我们开始观察对角关系是一个互模拟,互模拟在联合和组合下是102M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)85封闭定理5.1设M =(S,R,V),MJ=(SJ,RJ,VJ),MJJ=(SJJ,RJJ,VJJ)是模糊模型。然后,以下属性成立M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)85103∪◦∈∈≤u′}∈E[{u]u′}≤u∈E <$F [{u}](i) 对角关系Δ s<$S×S:={(s,s)|s∈ S}是互模拟(从M本身);(ii) 如果E和F是从模型M到Mj的互模拟,则E F也是从M到MJ的互模拟;(iii) 如果E是从M到MJ的互模拟,EJ是从MJ到MJJ的互模拟,则E <$EJ是从M到MJJ的互模拟。(iv) 如果E是从M到MJ的互模拟,则E−1是从MJ到M J的互模拟。M.证据 (i)证明是直接的,因为(Fzig)、(Fzag)和(atom)平凡地成立在相同的点上。(ii) 假设s(E<$F)sJ。 然后是s E sJ或s F sJ。 假设SE SJ。故《易》云:“以物易物,以物易物,以物易物。通过E(As,E是互模拟)和E<$(E<$F)的(Fzig)条件;S,R(s,u)≤u′max}RJ(sJ,uJ)≤′max RJ(sJ,uJ).故(Fzig)条件为(EF)。条件(Fzag)可以用类似的方法证明。(iii) 假设w(EEJ)wJJ.然后,根据定义,存在;wJSJ使得w E wJ和wJEJwJ。(E<$EJ)的原子条件由E和EJ的(原子)条件保证;我们有当p ∈ Prop时,V(w,p)= VJ(wJ,p)= VJJ(wJJ,p).现在我们证明(E<$EJ)的(Fzig)条件由于E是通过E的(Fzig)条件的互模拟关系,我们有u S,R(w,u)maxRJ(wJ,uJ)(5)∈E[{u]”(《易经》卷一):“君子之道,焉可诬也?有始有终。当vJ∈SJ时,RJ(wJ,vJ)≤v′′特别是maxRJJ(wJJ,vJJ)(6)∈E′[{v′}]因此,我们认为,<$uJ∈E[{u}],RJ(wJ,uJ)≤v′′∈MaxE′[{E{u}}]RJJ(wJJ,vJJ).(七)maxRJ(wJ,uJ)∈E[{u]v′′Max∈E′[{E{u}}] RJJ(wJJ,vJJ).(八)使用(5)和(8),我们得到(E<$EJ)的(Fzig)条件:104M. Jain等人/理论计算机科学电子笔记348(2020)85R(w,u)≤v′′∈MaxE′[{E{u}}]RJJ(wJJ,vJJ)(9)
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