连通性与不连通性的应用

Journal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，63埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章连通性与不连通性及其应用A.A. El-Atika，*，H.M.Abu Doniab，A.S.萨拉马河a埃及坦塔坦塔大学理学院数学系b埃及扎加齐格大学理学院数学系接收日期：2012年3月7日;修订日期：2012年7月21日;接受日期：2012年2012年11月2日在线发布本文利用b-开（=c-开）集研究了b-分离集的概念.在此基础上，我们研究了b-连通集和强b-连通集的概念.利用b-分离性公理和紧空间给出了这类概念的一些性质.最后，我们在连通图上构造了一个新的拓扑空间2000 AMS次级分类：54B05、54B10、54C10、54D18、90D422012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍连通性[4]是拓扑学中的一个著名概念。许多作者研究了连通性。文[5]研究了P文[19-21]中的连通性在[27]中，作者证 明 了 第 一 可 数 空 间 和 C~ ech 完 备 空 间 都 不 是 极 大Tychonoff连通的。许多其他拓扑学家定义并研究了双拓扑空间中的连通性[8，26]。研究数字空间中的某些类型的连通性是很重要的。具有整数坐标的点称为数字点。为数字平面寻找拓扑的问题*通讯作者。电子邮件地址：aelatik55@yahoo.com（A.A. El-Atik）。同行评审由埃及数学学会负责并且数字三维空间在图像处理中以及更一般地在空间关系在计算机上建模的所有情况中是重要的。在所有这些应用中，计算机上必须有一个数据结构，它与真实的拓扑情况共享尽可能多的特征。连通性和紧性是拓扑学中的有力工具，但它们有许多不同的性质。Hausdorff空间的概念几乎是紧性的一个组成部分.对连通、紧和Haus-dorff拓扑空间的割点性质的研究可以追溯到20世纪20年代。文[28]在Hausdorff假设下，从割点的观点研究了连通性和紧性。在[22]中，作者研究了某些类型的连通拓扑空间。Andrijevic ′ [3]意义下的b-开集类由El-Atik [17]以c-开集的名义讨论。从那时起，这些概念已被用来定义和研究许多拓扑性质。本文的目的是研究c-连通性。此外，数字空间也在这些新的背景下进行了研究。1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.09.003制作和主办：Elsevier关键词b-分离集;b-连通集64A.A. El-Atik等人[-22 2 22\\\\--\\理念的然而，我们的主要兴趣应该是数字空间，也是拓扑空间。2. 预赛在[3]中，Andrijevic′将一类新的广义开集称为b-开（= c-开[17]）集引入拓扑学领域。这个类是半预开集类[2]的一个子集，即包含在闭包内部的闭包中的拓扑空间的子集。b-开集类也是半开集类[23]的超集，即包含在其内部闭包中的集合，以及局部稠密集类[7]或预开集[24]，即。 包含在其封闭件内部的套件。Andrijevic′研究了b-开集的几个基本性质和互在[6，9-在本文中，空间（X，s）和（Y，r）总是指拓扑空间，除非明确说明，否则在其上不假定一个子集A被称为半开[23]（resp. b-打开[1]，预打开[24]，a-打开[25]），如果AcCl（Int（A））（resp. AcCl（Int（Cl（A），AcInt（Cl（A），AcInt（Cl（Int（A），其中Cl（A）和Int（A）分别表示A在（X，s）中的闭包和内部一个半开的补数（或b-开，预开，a-开）集被称为半闭（分别为b-闭合的、预闭合的，a-闭合的）。我们表示所有半开（分别）的集合b-开，预开，a-开）集分别由SO（X）（resp.bO（X），PO（X），aO（X））。我们设置SO（X，x）={U：x2U2SO（X）}，bO（X，x）={U：x2U2bO（X）}，PO（X，-x）={U：xUO（X，x）= { U：x}，时间复杂度为O（X，x）O（X）{\displaystyle O（X）}设AcX，则称A是b-开的[3]，如果AcCl（In-t（A））Int（Cl（A））。补Xb-开集A的A称之为b-闭集，A的b-闭包记为bCl（A），是所有包含A的b-闭集的交. bCl（A）是包含A 的最小b- 闭集.集合A的b- 内部记为bInt（A），是A中所有b-开集的并. bInt（A）是包含在A. 所有b-open的族（分别为）空间X中的（b-闭）集将由BO（X）表示（分别地，BC（X））。命题2.1[3]。（i）任何b-开集族的并都是b-开集。（ii）一个开集和一个b-开集的交集是一个b-开集。引理2.2. X的子集A的b-闭包，用bCl（A）表示，是所有x 2 X的集合，使得对于每个O 2 BO（X，x）O \ An/，其中BO（X，x）={U：x 2 U 2 BO（X，s）}。12.第十二章空间X的集合A的b-边界定义为b-bd（A）=bCl（A）\bCl（X-A）。定义2.4[13]。一个空间X称为b-连通的，如果X不能表示为X的两个不相交的非空b-开集的并。17. history of life 设A是拓扑空间X的子集。则A BO（X）当且仅当bCl（A）在X中是b-闭集（即，B-开和B-闭）。17.第 十 七 章 一 个 子 集 NcX称 为 点 x2X的 一 个 b-邻 域（brei-b-nbd），如果存在一个b-开集UcN使得x2UcN.3. b-分离性和b-连通性13.第十三章空间X中的两个子集A和B称为b-分离的当且仅当A\bCl（B）=/且bCl（A）\B=/。由bCl（A）cCl（A）可知，对于X的每个子集A，每个分离集都是b-分离的。但反过来可能不正确，如下面的示例所示实施例3.2.设X={a，b，c，d}，拓扑s={X，l，{a}，{b}，{a，b}}。子集{a}、{c，d}是b-分隔的，但不是分隔的。注3.3.每两个b-分离集总是不相交的，因为A BcAbCl（B）=1。一般来说，反过来可能不正确实施例3.4.设X={a，b，c，d}，拓扑s={X，l，{a}，{b，c}，{a，b，c}}。 BO（X）={X，I，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}}子集{a，c}，{b，d}是不相交的，但不是b-分离的.定理3.5. 设A和B是空间X中的非空集。以下陈述成立：(i) 如果A和B是b-分离的，并且A1cA和B1cB，则A1和B1是这样的。(ii) 如果A B=/使得A和B都是b-闭（b-开）的，则A和B是b-分离的。(iii) 如果A和B都是b-闭（b-开）的，且H=A（十）B）且G=B（十）A），则H和G是b-可分的.证据(i) 以来A1cA，然后bCl（A1）cbCl（A）.则B\bCl（A）=I意味着B1\bCl（A）=I且B1\bCl（A1）=I。类似地，A1|bCl（B1）=1。因此A1和B1是b-分离的.(ii) 由于A=bCl（A）且B=bCl（B）且A\B=I，则氯化苄（A）B=I和bCl（B）A=/。因此A和B是b-分离的。如果A和B是b-开的，那么它们的补集是b-闭的.(iii) 如果A和B是b-开的，则X-A和X-B是b-闭的. 由于HcX-B，bCl（H）cbCl（X-B）= X-B，因此bCl（H）\B=I。因此，G|bCl（H）=I。类似地，HbCl（G）=1.因此H和G是b-分居了H定理3.6.空间X的集合A和B是b-分离的当且仅当存在BO（X）中的U和V使得AcU，BcV和A\V= I，B\U= I。证据设A和B是b-可分离集.设V=X-bCl（A）和U=X-bCl （ B ） 。 则 U ， V2BO （ X ） 使 得 AcU ， BcV 且A\V=I，B\U=I。另一方面，设U，V2BO（X）使得AcU，BcV和A\V=I，B\U=I。由于X-V和X-U是b-闭的，连通性与不连通性及其应用652[[[[[\[--[详细]\\\\\--bCl（A）cX-VcX-B和bCl（B）cX-UcX-A。因此bCl（A）\B=I和bCl（B）\A=I。 H17.第十七章一个点x X称为集合AcX的一个b-极限点，如果每一个包含x的b-开集UcX都包含A中除x以外的一个点.定理3.8. 设A和B是空间X的非空不交子集，E=AB.则A和B是b-分离的当且仅当A和B在E中是b-闭证据 设A和B是b-可分离集.根据定义3.1，A不包含B的b-极限点。则B包含B在A中的所有b-极限点B和B是b-闭于一B.因此B在E中是b-闭的。类似地，A在E中是b-闭的.H13.第十三章空间X的子集S称为相对于X b连通，如果不存在两个相对于X b可分离的子集A和B，且S=AB.否则，S被称为b-不连通的。通过定义3.9，我们可以证明每个b-连通集都是连通的。在[13]和下面的例子中，换句话说，每个不连通都是b-不连通的.示例3.10.具有Sierpinski拓扑的空间X={a，b，c}是连通的但不是b-连通的.实施例3.11.任何具有不离散拓扑的空间都是连通的，但不是b-连通的，因为b-开集建立了离散拓扑.实施例3.12.设X={a，b，c，d}，拓扑s={X，l，{a}，{a，b}}。子集{a，b，c}是连通的，但不是b-连通的.定 理 3.13. 设 A和 B是 空 间 X中 的 子 集 ， 使 得 AcBcbCl（A）.如果A是b-连通的，则B是b-连通的。证据 若B是b-不连通的，则存在两个相对于X的b-可分离子集U和V，使得B=UV.然后是A c U或A c V。 不失一般性，令A c U 。如AcUcB，bCl B （A ）cbCl B（U）cbCl（U）。B（A）= BbCl（A）= BsbCl（U）。这意味到B=bCl（U）。所以U和V不是b-分离的，B是b-连通的. H定义3.14.一个空间X在点p是局部b-连通的，如果p的每一个b-nbd都包含p的一个b-连通b-nbd.X称为局部b-连通的，如果它在每个点上都是局部b下面的引理是由于El-Atik[17]。引理3.15。设A和X0是空间X的子集. 如果A2BO（X）和X02aO（X），则A\X02BO（X0）。证据这是定义3.14的直接结果2.6 引理3.15 H定理3.17. 任何空间X是局部b-连通的，如果X的每个a-开子空间U的分量在U中是b-开的证据设X是局部b-连通空间，U是X的a-开子空间.根据引理3.16，U是U中的局部b-连通空间.而且，U的分支Si是U的a-开集.由于U是a-开的，那么根据引理3.15，A i= A i\U2BO（U）。H定理3.18. 如果E是b-连通的，则bCl（E）是b-连通的。证据通过矛盾，假设bCl（E）是b-不连通的.则存在两个非空的b-可分离集G和H在X等的bcl（E）=G[H.以来E =（G\E）[（H\E）和bCl（G\E）bCl（H\E）cbcl（H） 且G\H = 1，则（bCl（G\E））\H = 1。因此（bCl（G\E））\（H\E）=1。类似地，bcl（H（E））（G）E）= f。 因此，E是B-切断了. H引理3.19。设AcB C使得A是空间X中的非空b-连通集，B，C是b-分离的. 则只有以下条件之一成立：(i) AcB和A\C=/。(ii) AcC和A\B=/。证据由于A\C=1，则AcB。此外，如果A\B=1，则AcC。因为AcB\C，所以A\B=/和A C=/不能同时成立。同样，假设的B和A那么，根据定理3.5（i），一B和一C是b-分离等A=（AB）（AC），这与A的b连通性相矛盾.因此，条件（i）和（ii）中的一个必须成立。H定义3.2013、17.函数f：XfiY被称为：(i) b-连续，如果Y中每个开集的逆像是b-开X。(ii) b-开如果X中每个开集的像是b-开Y。(iii) b-闭如果X中每个闭集的像是b-闭Y。引理3.2117. 设f：X fiY是一个b-连续函数。则bCl（f-1（B））cf-1（Cl（B）），对于每个Bc Y。定理3.22. 对于b-连续函数f：X fiY，如果K在X中是b-连通的，则f（K）在Y中连通。证据假设f（K）在Y中是不连通的。存在Y的两个分离的集合P和Q，使得f（K）= P[Q]。设置A= K | f-1（P）和B = K | f-1（Q）。由于f（K）|Pn/，则K|f-1（P）n/，因此An/。同样，B。 由于P\Q = /引理3.16。局部b-连通空间的每个a-开子空间X0在 X0中局部b-连通。，则AB =Kf-1（PQ）= f，故AB=f. 以来f是b-连续的，则根据引理3.21，66A.A. El-Atik等人222222222[···2bCl（f-1（Q））cf-1（Cl（Q））和Bcf-1（Q），则bCl（B）cf-1（Cl（Q））。以来P\Cl（Q）=I ，则 A\f-1 （ Cl （ Q ） ） cf-1 （ P ） \f-1 （ Cl（Q））=/则A|bCl（B）= I。因此A和B是b-分离的。H推论3.23 对于b-连续函数f：XfiY，如果K在X中不连通，则f（K）在Y中是b-不连通的。证据 明显H定理3.24. 对于双射b-闭f：X fiY，如果K是b-连通Y，则f-1（K）是连通X。证据这个证明类似于定理3.22。因此，我们忽略它。H为了避免文献[17，16]和[6]中b-开函数和b-闭函数定义的混乱，我们用M-b-开函数和M-b-闭函数代替b-开函数和b-闭函数。定义3.25.函数f：XfiY被称为：(i) b-不定[6]如果对任意点x X和Y的任意b-开集V，存在X的b-开集U，使得f（U）c V。(ii) b-不确定[17]，如果f-1（V）对于每个V，BO（X）BO（Y）。(iii) M-b-open[16] iff（V）对于每个V，BO（Y）BO（X）。(iv) M-b-closed[14]如果f（V）c BC（Y）对每个VBC（X）。(v) 强b-不定[17]如果f-1（V）BO（X）对Y中的任意开集V.(vi) 强M-b-开[17]如果f（V）BO（Y）对X中的每个开集V都成立.(vii) 强烈 M-b-闭 [17]如果f（V）BC（Y）对于X中的每个闭集V。引理3.26。 [17]函数f：X fiY是b-不定的当且仅当对每个B c Y， 有bcl （f-1 （ B） ）cf-1 （ bcl（ B） ）cf-1 （cl（B））。定理3.27。 设f：（X，s）f（Y，r）是b-不定函数。如果K在X中是b-连通的，则f（K）在Y中是b-连通的。证据通过使用定义3.25和引理3.26，它是定理3.22的直接结果。H4. 紧空间中的强b定义4.1.一个空间X是强b-连通的当且仅当它不是可数多个但多于一个b-闭集的不交并，即如果Ei是X的非空不交闭集，则XnE1E2E2。否则X称为强b-不连通注意定义4.1和b-连通性之间的相似性。如果X是b-连通的，且E1和E2是X的任意两个非空不交闭集，则XnE1[E2.引理4.2. 对于任意满射b-不定函数f：X fiY.如果X是强b-连通的，则f（X）是强b-连通的。证据假设f（X）是强b-不连通的，通过定义4.1 它是可数个但不止一个b-闭集的不交并。由于f是b-不定的，则b-闭集的逆象仍是b-闭的，X也是b-闭集的不交并因此，f（X）是强b-连通的.H定理4.3.一 个空间X是强b-连通的，如果存在一个常满射b-不定函数f：XfiD，其中D表示X的一个离散空间。证据设X是强b-连通的，f：X∈D是满射b-不定函数，则根据引理4.2，f（X）是强b-连通的. D的唯一强b-连通子集是单点空间。因此f是常数。反之，设X是可数个但不止一个b-闭集的不交并，X=？iE i。然后定义f：XfiD，取f（x）=i，只要x E i。这是一个满射b-不定的，不是常数。所以X是强b连通的.H强b-连通性是b-连通性的一个更强的概念.换句话说，给定一个b-连通空间，我们可以通过增加一些条件使它强b-连通。但应该增加什么样的条件是困难的。我们的出发点是b-连通空间，因此b-连续统可能是有用的. b-连续统的概念是在b-连通集上定义的定义4.4.紧b-连通集称为b-连续统.定义4.5. 空间X称为：(i) bT1[15]如果对于每个x，y2X，xny，存在两个不相交的b-开集U和V使得x2U，yRU和xRV，y2V.(ii) bT2（[15，18]）如果对每个x，y2X，xny，存在两个不相交的b-开集U和V使得x2U，y2V和U\V=1.(iii) b-正规（c-正规[14]）对于任意一对不相交的b-闭集F1和F2，存在不相交的b-开集U和V使得F1cU和F2cV使得U\V=/.引理4.6. 如果A是bT2空间X中的任意b-连续统，B是任意b-开集，使得A\B n/n A\（X-B），则（A\bCl（B））\b-bd（B）n/.证据根据定义2.3、4.4和4.5，这是显而易见的H定理4.7. 设X是紧bT2-空间.则X是b-连通的当且仅当X是强b-连通的。证据显然，如果X是强b-连通的，则X是b-连通的.设X是紧bT2b-连通空间，且X是强b-不连通的，则X是可数多个但不止一个不相交b-闭集的并则X=<$Ki，其中Ki是b-闭不交集.由于紧的bT2-空间是b-正规的，那么根据定义4.5，X是b-正规空间。所以存在一个b-开集U使得K2cU和bCl（U）|K1=1。设X1是bCl（U）中与K2相交的分支.则X1是紧的且是b-连通的.现在通过引理4.6，X1|b-bd（U）n /即X1包含一个点连通性与不连通性及其应用672J我 我我 我p2b-bd（U）使得pRU和pRK1. 因此，对于某些i>2，设Kn2是与X1相交的第一个Ki（i > 2），V是满足Kn2<$V的b -开集，bCl（V）\K2= /. 设X2是X1\bCl（V）的一个分支包含一点的Kn2.再次我们有X2| b-bd（V）n/，并且 X2 包含某个点p2 b-bd（ V），使得pRv，pRK1[K2. 因此，对于某些i > n 2，X2| K in/，并且对于i n 2，X2|K i=/<。设Kn3是第一个Ki（i> n2），它与X2相交，然后通过类似于上面我们可以找到一个紧的b-连通X3，使得X3cX2cX1，并且X3与某个Ki相交，其中i>n3 ，但 X3\Ki=1，其中

下载后可阅读完整内容，剩余1页未读，立即下载