磁流体动力学：热膨胀和溶质分层的影响

信息学在医学解锁9（2017）26UCM纳米流体流在具有双分层和指数空间依赖内禀的熔化表面上的Cattaneo-Christov热耗散热源B. Mahanthesha，B.J.Gireeshab，C.S.K.Rajuc，*a印度班加罗尔基督大学数学系，邮编560058b印度卡纳塔克邦Shimoga，Shankaraghatta，577 451，Kuvempu大学数学研究系c印度班加罗尔花园城市大学数学系，邮编：560049A R T I C L E I N F O保留字：Cattaneo-Christov热膨胀系数X型UCM流体熔融表面布朗运动和热泳热分层和溶质分层变流体性质A B S T R A C T研究了熔化和指数空间相关的内热源对上部对流Maxwell液体朝向水平表面的磁流体动力学的保留了布朗运动和热泳在纳米流体建模中的综合作用采用Cattaneo-Christov热传导模型还考虑了热分层和溶质分层的影响。一组相似变量被用来形成常微分系统从流行的偏微分方程。采用基于Runge-Kutta-Fehlberg的打靶法对一般微分系统的问题进行了数值分析研究了速度、温度和纳米颗粒浓度等相关参数的图形结果还讨论了表面摩擦系数、局部Nusselt数和Sherwood数1. 介绍非牛顿流体的流动在聚合物加工、玻璃等离子体的生产、生物工程、塑料制造、食品加工、石油生产和能源动力工程中都有发生。在各种非牛顿材料中，麦克斯韦模型是最简单的，它探索了弛豫时间的特性因此，Jamil和 Fetecau [1] 研 究了 在剪 切 应力 存 在下 同轴 圆 柱体 产生 的Maxwell液体湍流。Abbas等人[2]研究了Maxwell液体的混合对流换热Zheng等人文[3]报道了具有振荡压力梯度和瞬态效应的两柱体间Maxwell液流的精确解。Hayat等人[4]描述了Maxwell液体在对流加热运动表面上的动量和热量输运机制。Maxwell液体的最新进展可以在（[5纳米流体在应用热工程和生物工程中有着广泛的应用。Choi [9]提出了纳米流体的概念。其描述了不同材料的纳米颗粒在载体液体中的悬浮液。 由于纳米颗粒分散在载体介质中，传热速率得到了提高。Khan和Pop[10]最初提出了拉伸片材上边界层纳米液体湍流的数值模拟。他们包括热泳和布朗运动方面来模拟纳米液体随后，许多研究从不同方面研究了纳米流体的流动（参见参考文献10）。[11- 22]）。Ibrahim和Makinde[23]利用纳米液体流来仔细研究双层化的影响。他们预测，摩擦系数随着热分层方面而增强。Hussain等人[24]研究了磁场和双分层效应对纳米Maxwell材料对流换热的影响。Abbasi等人[25]分析了双分层和热辐射对纳米Jeffrey液体的影响。热传递的机制涉及当物体之间或其不同部分之间存在热该过程在发电、能源生产、核反应堆、原子反应堆冷却等方面有着广泛的傅立叶[26]介绍了热传导定律的热传递属性。Cattaneo[27]通过考虑弛豫时间方面修改了傅立叶定律[26]此外，通过将时间导数与Oldroyd上对流导数相结合，Cattaneo定律[27]被Christov[28]扩展。 后来这个理论被称为Cattaneo-Christov热传导定律。 Straughan [29]采用Cattaneo-Christov热对流理论研究了粘性流体水平层中的热对流。Han等人用Cattaneo-Christov 热 流 模 型 描 述 了 Maxwell 液 体 在拉伸表面下的流动。 [30]。Mustafa[31]通过Cattaneo发展了具有热交换的Maxwell椭球中的热输运* 通讯作者。电子邮件地址：bmanths@gmail.com（B. Mahanthesh），bjgireesu@rediffmail.com（B.J. Gireesha），sivaphd90@gmail.com（C.S.K. Raju）。http://dx.doi.org/10.1016/j.imu.2017.05.008接收日期：2017年5月3日;接收日期：2017年5月28日;接受日期：2017年2017年5月31日在线发布2352-9148/©2017由Elsevier Ltd.发布这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。目录可在ScienceDirect医学信息学杂志主页：www.elsevier.com/locate/imuB. Mahanthesh等人信息学在医学解锁9（2017）2627Σ.¼Σþ.uxvyλux2vy22 uvxy阿埃ρcp 埃埃ρcpυ比伊·比埃SM0M01M030∞T.快！ .2 2Σ命名法a1;b 1;a 2;b 2量纲常数拉伸率B维磁场参数x沿曲面的y垂直于表面的u;vxandy方向上的速度分量Tm维热分层Cm维溶质分层T0参考温度*固体温度C0参比浓度T∞自由流中流体的温度T冷却液温度Cp定压Q0生热/吸热参数Dm分子扩散系数的物种浓度热扩散系数浓度敏感性C液体的浓度St热分层参数n速度幂指数参数S溶胶溶液分层参数k 热导率m熔化参数无摩擦速度M磁场参数Pr普朗特数Nb布朗运动参数勒刘易斯数Nt热泳参数Cfx局部表面摩擦系数Nux局部努塞尔数Shx本地Sherwood号码Rex局部雷诺数希腊符号λ*液体 的潜热λ维粘弹性参数β狄波拉数γ热弛豫参数σ液体的电导率ρ流体密度无干扰浓度相似变量δ热源参数θ无扰动温度μ动态粘度运动粘度温度相关粘性参数ε与温度有关的热导率参数Christov理论Hayat等人[32]对具有Cattaneo-Christov热传导表达式的粘弹性材料流进行了比较研究。其他一些最近的作品[33-吉乌 季夫（1）第一章Christov heatpuzzuX.主要目的是探索纳米粒子的双分层效应UCM液体在Cattaneo-Christov加热条件下流过熔化表面乌丘.2个2个u2个2个u2u表情还考虑了可变的GUID属性。 对纳米液体的模拟采用Buongiorno模型。建立了相关方程。数值解是通过龙格-库塔法开发的，Fehlberg法的影响的活性水力参数1∂波伊μμu埃什基σB2—ρuλvu埃什基（二）热溶行为。2. 数学公式研究了高温环境下磁流体动力学上随体Maxwell液体绕熔化表面的流动我们假定正应力和剪应力的量级相同.我们考虑了与温度有关的热导率为kTk*½a2b2T-T m]，粘性参数为μTμ*½a1uTvT¼1。kTQ0T∞-T0e-nypaτ。D CDT2uTvTvTTuv（三）b1T∞-T]。沿x轴施加外加磁场我们应用C通常的边界层理论估计简化守恒方程根据假设，显示了以下流程配置U形吉尔夫吉¼Dm 第二次世界大战不T∞∞时间2（四）图1.控制方程是（见参考文献）。[41，37]）而相应的边界条件是（见参考文献1）。[41]）u^0; k*。在y<$09>=0时，T<$T <$P <$A *C<$T-T*T]v;T<$T<$T <$mx;C<$C<$C <$mx当y→∞>时，u→ue = 1/2ax;T→T∞<$T0μm2x;C→C∞<$C0μm4x;不þ（五）B. Mahanthesh等人信息学在医学解锁9（2017）26280;½a2<$εθ]d<$2<$ε-PrStd- Prθd Prfd Prδexp-nd2-Led-fdS溶胶d -Nbd2>Σ2X2X022151 22;d2θ. dθ2dfdd θ. dθ2dθd θ. dθdf2 d2θPrNtd铌镨钕钕钇-γfddfd2¼0（八）d2.DFddfNt d2θ并且边界条件（5）改变为DF m.DF1/4;.0;θ00;9>d.ζ¼0d.ζ¼0=（10）Fig. 1. 物理模型。DF.1/4; θ= 0。d.ζ¼∞测试溶胶表1当Nb<$γ <$0时，不同Pr和m值的-θ0<$0<$的数值比较;其中，St;Pr;γ;δ;Nb;Le;Nt和m定义为：4.Tm-T00σB29>Animasaun et al.[41]-θ00（bvp4c方法）Animasaun et al.[41]— θ0ð0Þ（RK4SM方法）本结果— θ0ð0Þ（RKF-45）St<$T∞-T;β<$A a;M<$A p;ε<$bT-T;Pr<$uCp;γ<$λa;δ<$Q0;Nt<$DTτTw-T∞;=>方法）Pr 1/4 0：3; 电话：+86-021 - 8888888传真：+86-021- 888888882∞0DBτCw-C∞K2υρcpacpT∞-T0νT∞>Pr 1/4 0：5; 电话：021 - 88888888传真：021 -88888888Nb¼v;Le<$D;m<$1/2λ*cT-T*];Pr 1/4 0：7; 电话：021 - 88888888传真：021- 88888888电话：+86-0551 - 88888888传真：+86-0551 - 88888888Pr 1/4 0：3; 电话：+86-0531 - 8888888传真：+86-0531- 88888888BSm0（十一）Pr 1/4 0：5; 电话：+86-0551 - 88888888传真：+86-0551- 88888888Pr 1/4 0：7; 电话：021-86666666传真：021 - 86666666电话：+86-0571 - 8888888传真：+86-0571 -88888888表面摩擦系数Cf、局部努塞尔数Nux和局部舍伍德数Shx（无量纲化后）如下所示（见表1）：C. 1，pRed2 f.Nu. pRedθ。9>这里假定法向应力的数量级与除了通常的边界外，联系我们Shd.. pRed。X;ζ¼0x¼-d.联系我们>（十二）导出动量分量的层近似边界层方程（2）. 这是适当的解释，通过引入σB2。将λvu代入动量方程（2）;详见Motsaetal.x¼-d.0;波伊[38]. 指出在能量方程中采用指数热源来解释温度的内部分布是很重要的。这个概念可以追溯到Crepeau和Clarksean [39]，Salem和El-Aziz [40]以及Animasaun等人的想法。[41].现在通过设置：2.1. 数值方法非线性方程（6）-为此，我们设置u<$axdf;v<$a-p <$a-t <$a-t<$a-tx1¼ f;x2<$f0;x3<$f00;x4<$θ;x5<$θ0;x6<$s和x6<$s0（13）d在等式（1）T∞-T0C∞-C0υ（六）因此，我们得到，x01¼x2;（14）d 3 f .dθdf2fx02¼x3;（15）a1θ-Stθ-βfd2003年f-αdα2βfα dαMβfd2002年xΣ100万美元（9）B. Mahanthesh等人信息学在医学解锁9（2017）2629213CIMM¼014不1- 我知道εx2-PrSt x2 -Prx4x2μPrx1x5μPrδexpansion-n μPrNtx2μPrNbNtx5x7-γx1x2x5μ2βxx.dfdfx3¼a（十六）— S-β-x-β（7） x04¼x5;（17）x05¼5a2（十八）-DζDζ5B. Mahanthesh等人信息学在医学解锁9（2017）2630图2. Nb对f0θ和φθ的影响。图三. Nt对f0θ和φθθ的影响。见图4。 Le对f0θ和φθ的影响B. Mahanthesh等人信息学在医学解锁9（2017）2631ð Þð Þ ð Þ ð Þ图5. δ对f0θ和φθθ的影响。x06¼x7;（19）0：001和收敛准则为10 - 6被选择用于数值计算（见图1）。 1）。x0¼Le.Xx— xxSx-Ntx0mm;（20）3. 结果和讨论72 6 1 7Sol2Nb5本节说明了不同物理参数相关的边界条件是x1 0x20x30 -α1x4 0x 50 -α2x6 0x7 0-α21/4;（二十一）α1、α2、α3用打靶法计算。步长Δλ对无量纲速度f0θ和纳米粒子浓度φθ θ的影响。给出了表面摩擦系数、Nusselt数和Sherwood数对不同物理参数的响应 图图2说明了Nb对f0 θ、θ θ和φ θ的影响。通过加强布朗运动导致增强热扩散并降低速度和纳米颗粒浓度场。因为较大的Nb对应于纳米颗粒在纳米流体内的较强随机运动，因此纳米流体温度及其相关边界层厚度升高。此外，纳米颗粒浓度B. Mahanthesh等人信息学在医学解锁9（2017）2632见图6。 ε对f0<$、θ<$和φ<$的影响。B. Mahanthesh等人信息学在医学解锁9（2017）2633ð Þð Þ ð Þð Þ ð Þ ð Þð Þ ð Þð Þ ð Þ图7. m对f0θ和φθθ的影响。分布φ取决于θ，预计布朗运动的小尺度允许φ的更深穿透。因此，浓度场随着Nb的增大而减小。 图 3描述了不同Nt值时的f 0θθ和φ θ。当Nt较大时，表面温度与参考温度之差增大，因此热场增大。同时也可以看出，Nt对f 0的影响并不显著。 Le对f 0、θ和φ的影响如图所示。第四章在这里，在边界层内，φ显著减小 但这一趋势与f0θ和θ相反。δ对f0、θ和φ的影响如图所示。 5. 我们可以看到，δ的影响对于所有的低场都更有意义。结果表明，随着δ值的增大，层流和纳米颗粒浓度边界层的厚度减小。而热场随着δ值的增大而升高。图图6显示了ε对f 0εε、θθε和φε场的影响。观察到ε中的增益导致f0<$和φ<$的下降。然而，ε的增加增加了热边界层厚度，这可以导致温度分布θθ的增大。 图图7显示了m对f 0θ和φθ的影响。在这里，熔化参数的增益导致靠近表面的θ_（？）θ_（？）增大，远离表面的θ_（？）θ_（？）减小。此外，对于较大的m值，边界层中的f0和φ都有所降低。在数学上，熔化边界条件与抽吸流体动力边界条件相似吸力的大小随着融化面强度的增大而增大因此，由于拉伸表面而导致低渗透进入到液体中。因此，熔化参数越大，动量边界层越薄。随着磁场强度的增加，速度场和纳米粒子浓度场减小，温度分布增强（见图11）。 8）。β;S t和Sc对f0、θ和φ的影响如图所示。9相应的观察到，f0的最小值随着β的增大而减小。然而，如图11所示，St和Sc对θθθθ和φθθ的影响是定性相同的。第九章也就是说，St和Sc的升高会减小θ，图8. M对f0θ和φθθ的影响。B. Mahanthesh等人信息学在医学解锁9（2017）2634ð Þð Þð Þ ð Þ ð Þ图9. β的影响; St 和Sc分别对f0、θ和φ有意义φ在所有的流场中。从物理上讲，较大的热分层参数与减少自由流热量的系统方法有关。因此，当St变大时，θ衰减。这一现象也适用于溶质边界层行为的影响Sc。图10显示了f00、θ0和φ0分布与相似性变量ε分别为不同的值Nb;St和Sc。在这里，随着φ的值增加，f00的φ和φ0的φ曲线呈指数增长。而θ0_（？）θ_（？）则表现出双重响应，即越靠近熔融面θ_（？）θ_（？）越小，而远离熔融面θ_（？）θ_（？）我们进一步观察到，对于较大的Nb;St和Sc值，从f00<$、θ0<$和φ0<$分布也有相同的行为。图11显示了m和β对表面摩擦系数Re1 = 2xCf起作用，Nt、Sc和Le对舍伍德数Re-1=2xSh x剖面起作用。 可以看出，Re1 = 2×Cf是m的递减函数，Re-1=2xShx是Nt，Sc和Le的增函数.最后，Nt;Nb;n;S t;γ和ε对努塞尔数Re-1=2xNu x的影响如图12所示。当Re-1=2xNux时，n与St的相互作用是有利的，而Nt、Nb、γ和ε的相互作用是不利的对于Re-1=2xNux.4. 结论熔化表面在制造加工、科学和工程技术等方面有着重要的应用考虑到这一点，在本研究中，我们讨论了熔化和指数空间相关的内热源对上对流Maxwell液体朝向水平表面的磁流体动力学的Cattaneo-Christov热交换模型。保留了布朗运动和热泳在纳米流体建模中的综合作用。影响图10. β、St和Sc分别对f00θ和f0θθ的影响B. Mahanthesh等人信息学在医学解锁9（2017）2635图11. m和β对表面摩擦系数的影响;以及Nt;Sc的影响 和Le关于Sherwood数的分布。图12. Nt;n;Nb;St;γ和ε对努塞尔数分布的影响。的热和溶质分层也占。利用一组相似变量，由普遍的偏微分方程组构成常微分系统。采用基于Runge-Kutta-Fehlberg的打靶法对一般微分系统的问题这项研究的重点是：1. 热力学和溶质分层会降低温度场和浓度场。2. 布朗运动和热泳参数降低了速度场和浓度场，改善了温度场。在指数热源或热汇的存在下，观察到类似的行为。3. 局部努塞尔数随布朗运动和热分层参数的变化而减小引用[1] Jamil M，Fetecau C.边界上有给定剪应力的同轴圆柱间Maxwell流体的螺旋流。非线性肛门真实世界应用2010;11：4302- 11.[2] 李文辉，李文辉，李文辉. Maxwell流体驻点流向垂直拉伸面的混合对流。非线性肛门真实世界应用2010;11：3218- 28.[3] 郑玲，李春，张晓，高永.同轴圆柱间具有振荡压力梯度的广义Maxwell流体非定常旋转湍流的E-x-act解计算数学应用2011;62：1105- 15.[4] Hayat T，Iqbal Z，Mustafa M，Alsaedi A.对流边界条件下运动表面上随体Maxwell流体的动量和热量传递。核工程2012;252：242- 7。[5] 张文龙，张文龙，等. Meccanica 2012;47：385- 93.[6] Awais M，Hayat T，Alsaedi A，Asghar S. 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