量子计算的完全正性与自然表示

（Ⅲ）（2）可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记319（2015）369-385www.elsevier.com/locate/entcs量子计算完全正性与自然表示Mathys Rennela1Radboud大学计算和信息科学研究所荷兰奈梅亨山姆·斯塔顿2牛津大学联合王国摘要我们提出了一个新完全正映射被广泛接受为一阶量子计算的模型。 我们开始通过建立完全正映射作为自然正映射族的一个范畴刻画。我们通过建立基于不同结构的量子计算的各种表示来探索这种范畴表征：正元素锥之间的Agrenne映射，效应代数的态射，以及状态凸集的Agrenne映射。通过聚焦于凸dcpos，我们发展了一个量子域理论，并表明它支持一些重要的构造，如量子数据的张量积和提升。关键词：算子代数，完全正性，量子计算，区域理论，凸集介绍本文是关于量子计算的语义模型。与编程语言语义的其他方法一样，一般的想法是将类型A解释为关于A的观察的空间A。 我们将计算x：A→t：B解释为谓词Transformer B→A，它将B上的谓词映射到其最弱的前提条件。计算x：A→ t：B产生B类型的东西t，但依赖于A类型的东西x。(See例如[4、18、3]。1电子邮件：mathysr@cs.ru.nl2电子邮件：sam. cs.ox.ac.ukhttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2015.12.0221571-0661/© 2015作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。370M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369（Ⅲ）（）（）（）（）（）更详细地说，我们将类型A解释为算子A的C*-代数，并且计算描述了特别是正的映射：实际上只有代数的正元素描述了可观测量，并且必须保留这些元素。此外，地图应该是完全积极的。非正式地说，这意味着在一个更大系统的子系统上运行计算是有意义的;例如，我们可以将一个额外的量子位添加到系统中，并且仍然运行计算。更正式地说，它意味着不仅映射t：B→A保持正元素，而且idqubit<$t：qubit<$B→ qubit<$A也保持正元素。本文的第一个贡献（第2节）是一种用完全正映射构建量子计算表示的技术。在论文的后半部分（第3节），我们通过在“量子域理论”的发展中迈出一些第一步来展示我们的技术一种用于构建表示的技术在这里，一个表示是一个完全且忠实的函子F：C→R，也就是说，一个函子，其中每个函数FA，B：C（A，B）→R（F（A），F（B））是一个双射。从编程语言的角度来看，对象解释类型，态射解释程序，表示结果给出两件事。 第一、它提供了一种将类型解释为不同的数学结构的方法，这可以是启发性的或方便的，同时基本上保留了相同的可解释程序范围。其次，由于R可能比C更大，它提供了解释更多类型的机会，而不会改变现有类型的程序解释。有几个现有的表示结果，使我们能够理解和分析量子计算的不同结构，如凸集（例如[11]），域（例如[18]），部分幺半群和代数（例如[10]）。然而，这些表示结果中的许多仅对正映射有效，因此它们不能完全捕获量子计算。我们的贡献是将这些结果推广到完全正映射的一般方法。粗略地说，该方法允许我们转换一个完整的和忠实的函子（正映射）−→R（其中R是一个任意范畴）转化为一个完全的忠实函子（完全正映射）−→[N，R]到一个函子范畴，其中N是一个范畴，其对象是自然数。量子域理论在本文的第二部分，我们通过在“量子域理论”的发展中迈出一些第一步来展示我们的技术。 最终目标 在这一行的工作是分析各种量子编程通过解决M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369371涉及量子比特的域方程。例如，人们应该期望方程A=（qubit）这是一种无限的量子比特流。在本文中，我们展示了（第一次）支持量子位和提升的域理论简而言之，我们从观察到W*-代数的状态产生了凸集之间的正映射的一种表示。我们用它来构建一个（W*-代数与完全正映射）−→[N，（凸集与α-映射）]我们现在可以通过用有向完备凸集替换凸集来扩展具有域理论结构的表示因此N→（凸dcpos和a-连续映射）量子计算被解释为量子域之间的我们表明，这类量子域支持各种建设，包括张量与量子数据和提升。1预赛1.1C ~*-代数的线性映射矩阵力学的基本思想是量子系统的可观测量是C*-代数的元素。回想一下，（单位）C*-代数是复数域上的向量空间，它也有乘法，单位和对合，满足乘法的结合律，对合律（例如， x∈ X= x，（x y） ∈ X=y∈x ∈X，（αx） ∈X=α<$（x∈X）），并证明了谱半径提供了一个使其成为Banach空间的范数.C*-代数的一个重要例子是k×k复矩阵的代数Mk，具有矩阵加法和乘法，其中对合是共轭转置。特别地，复数集合M1=C具有C*-代数结构，并且2× 2矩阵M2包含量子比特的可观测量若A是C*-代数，则A中的k×k矩阵也构成C*-代数Mk（A）。 例如Mk（C）=Mk，且Mk（Ml）=<$Mk×l. 我们可以把C*-代数Mk（A）看作是A的k个纠缠副本。这可以被认为是一种张量积：作为一个向量空间Mk（A）是一个张量积Mk（C）<$A。有多种方法可以将其扩展到任意C*-代数上定义张量积，但在本文中，我们不需要Mk（AC*-代数的它具有范畴积的泛性质。C*-代数CC表示经典位。372M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369+×→.Σ生成一个没有自由变量的量子位的方法被解释为CPU映射M2→C。在算子代数理论中，到C的CPU-映射称为状态。A1，...，x n：A nt：B被解释为CPU映射B →iAi，转换一个元素x∈A是正的，如果它可以写成x=y<$y的形式，其中y∈A。我们用A表示C*-代数A的正元素集，并在A的元素上定义以下偏序：x≤y当且仅当（y-x）∈A+。我们考虑C*-代数的下列几类映射。设f：A→B是底层向量空间之间的线性映射。P映射f是正的，如果它保持正元素，因此限制为函数A+→B+。一个正映射A→C称为A上的一个态。如果f保持单位，则f是酉的，即f（1A）=1B;SU若f（1A）≤1B，则f是次单位映射;CP映射f是完全正的，如果它对每个n ∈ N都是n-正的，即映射Mn（f）：Mn（A）→Mn（B）对每个矩阵[xi，j] i，j≤n∈Mn（A）定义为Mn（f）（[xi，j]i，j≤n）=[f（xi，j）] i，j≤ni spos i vefore veryn∈N。为了方便起见，在本文中，我们将用它们所遵循的性质的名称的第一个字母来表示不同的映射类。特别地，术语（C）P（（S）U）-映射将分别指（完全）正（次）酉映射。对于C ~*-代数和完全正的子单位映射等范畴，我们给出了C~*-代数CPSU。我们建议感兴趣的读者参考[20，24]以获得C*-代数的完整介绍。1.2量子计算的表示对于熟悉编程语言语义的读者，我们回顾了C*-代数中量子编程语言语义的基本思想。型A表示为C*-代数（A）. 一个终止的计算文本x1：C，因此计算是：量子位我们让<$qubit）=M2，空张量为1.3等距和纯态一类重要的CP-映射来自于矩阵乘法。 设A是 C*-代数 任意m~ n复矩阵F诱导CP-映射F<$F：Mm（A）Mn（A），给出（F<$F）（x）= F<$xF，其中F<$是F的共轭转置.这是一个CPU映射，如果F是等距的，即F<$F=I。特别地，设n= 1且A=C，任何向量v∈C2且v<$v= 1诱导一个状态v<$v：M2→C，称为一个在下面的内容中，我们将考虑向量|0⟩= .1Σ0|1⟩= .0Σ11|+ ⟩ =√2.1Σ111|ρ⟩ = √2 −i它们都诱导CPU映射M2→C。一个人经常写|缀合物关于结果类型的观察到关于自由变量的必要观察M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369373C dC d2C dC d2转置|因此，可以将导出的CPU映射写为||v_（max）：M2（A）→A.特别是：⟨0| aB|0= a+| aB|+ d = 1（a +b+c+ d）⟨1| aB|1= dρ|a B |ρ = 1（a − ib + ic + d）2自然性与完全正性的表征在这一节中，我们将给出完全正映射作为正映射的自然族的一个新的范畴刻画（§ 2.1-§ 2.3）。这给出了一种构造完全正映射表示的技术（§ 2.3），我们用几个例子来说明：正锥（§ 2.4- 2.5）、效应（§ 2.6）和状态（§ 2.7）。2.1完全积极自然在1.3节中，我们考虑了矩阵F∈Cm×n如何导出完全正映射F<$F：Mm→Mn。 这个构造是函式的。 为了使这一点更精确，我们引入了复矩阵范畴NMat：对象是视为维数的非零自然数，态射m→n是m×n复矩阵。合成是矩阵乘法。 (We注意范畴NMat等价于有限维复向量空间和线性映射的范畴，因为每个有限维向量空间同构于Cn。 它也等价于有限维希尔伯特空间和线性映射的范畴，因为每个这样的空间都有一个标准内积。C*-代数的元素矩阵的构造可化为函子C-AlgCP×NMat→C-AlgP.它需要一对（A，m）到Mm（A）和一对态射（f，F） ：（A，m）→（B，n）来构造一个p-态射F_p（f）F：Mm（A）→Mn（B）.我们将考虑这个函子的curried形式，M：C-AlgCP→[NMat，C-AlgP]。它将C*-代数A带到函子，即C*-代数的索引族，M（A）={Mn（A）}n.完全正映射f：A→B被取为相应的正映射族M（f）={Mn（f）：Mn（A）→Mn（B）}n.这给出了我们的主要结果：完全正映射与正映射族是自然双射定理2.1函子M：C-AlgCP → [NMat，C-AlgP]是完全忠实的.本节的其余部分致力于定理2.1的证明。忠实性是显而易见的，因为对于任何CP-映射f：A→B，我们有M（f）1=f。为了显示完整性，我们从下面的引理开始。引理2.2考虑C*-代数的两个正映射f2：M2（B）→ M2（A）和f1：B → A.以下条件是等效的：（i）n∈M2（B）， v∈C2. v<$（f2（y））v=f1（v<$yv）(ii) f2= M2（f1）.374M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369−−| ⟩ |⟩ |⟩|⟩nn对于任意2-by-2矩阵<$ab<$∈M（B）：v<$（M（f）<$ab<$）v=v<$$> f1（a）f1（b）<$v=f（v<$ab<$v）1111证据我们可以用下面的论证证明（ii）蕴涵（i）：2002年 d21美元cdf（c）f（d）1美元cd因为v将2 × 2矩阵映射到其条目的线性组合，该线性组合将由线性映射f1保留。现在我们将集中于证明（i）=（ii）。设f∈M（B），设f ∈AB ∈M（B），满足（i）成立.cd我们利用假设（i）和向量0，1，+和ρ，得到 AJ=f1 （a）， DJ=f1（d），AJ+BJ+CJ+DJ=f1（a） +f1（b） +f1（c） +f1（d）和AJibJ+icJ+ d =f1（a）if1（b）+if1（c）+f1（d）.我们可以结合这四个事实来推出BJ=f1（b）和CJ=f1（c）。最后，我们观察到，ab2美元cdf（c）f（d）21美元cd在定理2.1的证明中，我们使用引理2.2来建立完备性。考虑一个自然变换f：M（A）<$M（B），由下面的交换图描述：nM（A）fn ，zM（B）Gm，gA 、z，g、Mm（A）fm其中g是NMat中的n×m复矩阵。Mm（B）由于映射g可以对应于任何纯态v∈v：M2→C，引理2.2的条件（i）成立 ， 因 此 f2=M2 （ f1 ） 。 通 过 归 纳 ， 如 果 对 某 个 自 然 数 k ， f2k+1= M2（f2k）：M2k+1（A）→M2k+1（B），则f2k+2 =M2（f2k+1）：M2k+2（A）=M2（M2k+1（A））→M2（M2k+1（B））=M2k+2（B）因为当把M2k+1（A）看作A，把M2k+1（B）看作B.则对任意自然数k，M2k（f1）= f2k.对任意k ∈ N，映射f1都是2k-正的.最后，由于n-正映射是（n−1）-正的（见Mn−1（B）是Mn（B）的左上块，其中n≥1），我们可以得出结论：f1是完全正映射，对于每个自然数n，Mn（f1）=fn。这就是我们对引理2.2的证明。QM. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369375所以M：C-AlgCP→[NMat，C-AlgP]是一个全函子。 这就是我们对定理2.1的证明。376M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）3692.2特征定理定理2.1的证明是相当灵活的，并且可以容纳索引范畴和基范畴中的一些变化。对于第一个变化，我们改变索引类别，以便我们可以专注于单位保持的完全正映射。我们考虑NMat的子范畴NIsom，它具有相同的对象，但其中态射是等距的（F<$F=I）。我们将对基本类别进行概括。 考虑一个子类V，C∈-AlgP 在矩阵代数下是闭的，即C∈V和A∈V=<$Mn（A）∈V。（一）然后定义VC为V在态射矩阵下的闭包：VC的对象与V的对象相同，函数f：A→B在VC中，如果Mn（f）：Mn（A）→Mn（B）对所有n在V中。例如，（C-AlgP）C=C-AlgCP。定理2.3考虑满足（1）的C∈-AlgP的一个子范畴V，使得矩阵函子VC×NIsom →C_x-AlgP通过V的因素。 它诱导出一个完全且忠实的函子VC→ [NIsom，V]。结果还有其他变化，将索引类别改为C-AlgCP的不同子类别。我们重点讨论两个与丰富环境特别相关的例子（见2.4节）：• 设NCP是以自然数为对象的范畴，其中态射m→n是完全正映射Mm→Mn.在文献中，这一类别通常被称为CPM[15，3]，W[21]或CPM[FdHilb][22]。• 设NCPU是以自然数为对象的范畴，其中态射m→n是完全正单位映射Mm→Mn.这个范畴的对偶可以被认为是包括密度矩阵之间的保迹完全正映射（例如[15，Def. 2.9]）。矩阵函子C-AlgCP×NMat→C -AlgPC-AlgCPU×NIsom→C-AlgPU扩张到函子C-AlgCP×NCP→C -AlgPC-AlgCPU×NCPU→C-AlgPU利用Mn（A）=Mn<$A的思想，如果f：Mn→Mn是完全正的，那么f<$A：Mn（A）→Mn（A）也是完全正的。定理2.4考虑C∈-AlgP的一个子范畴V，它在矩阵代数（1）下是闭的，且使得矩阵函子VC×NCP（U）→C→AlgP通过V的因素。 它诱导出一个完全且忠实的函子VC→ [NCP（U），V].M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369377我J公司简介（si，j）i，j为非负实数，伊里j（si，j.xj））=（i（ri.si，j））.xj）2.3量子计算的表征我们的目的是使用定理2.1来建立完全正映射的表示结果。例如，下面的推论是直接的：推论2.5每个完全忠实函子F：C-AlgP→R诱导一个完全忠实函子C-AlgCP→[NMat，C-AlgP] → [NMat，R]。在本节的其余部分，我们通过建立CP-映射的表示定理来说明我们的技术。2.4例子：C*-代数我们展示了如何建立一个表示CP-映射出一个锥之间的映射。我们首先回顾一下基本定义。对于任意i≤m，设δi，m为Kronecker向量，其中δi，m= 1，且对于i j，δi，m= 0。定义2.6Cone是一个集合X和一个m元函数（→r）X：Xm→X对于eachvector→r=（r1. . rm）ofnon-constitutiveerealnumbers，oftenwrittenin fixas使得对于每个i，δ i，m（x1，. x m）= x i，对于每个m×n矩阵ii锥的同态是保持代数结构的函数同态通常被称为一个映射。 范畴Cone是范畴 圆锥体和一个圆锥映射。有不同的方式来制定这个定义。一个实向量空间的子集形成一个锥，如果它在正实标量的加法和乘法下是封闭的，反之，每个锥都以这种方式产生这就产生了“一张地图”这个术语或者，锥的抽象定义可以用标量乘法和二进制加法来重新表述，所有的m进制运算都可以从这些运算中构建出来。表示对于任何C*-代数，正元素构成一个锥。引理2.7取正元素的锥，得到一个完全且忠实的函子（−）：C-AlgP→浓度证据任何正映射f：X→Y完全由它在X+上的作用定义：任意元素x∈X可以写成四个正元素x=x1+ix2−x3−ix4的线性和，其中xi都是正的[7，引理2.2]，确定了f（x）的值，它不依赖于x的特定分解。Q例2.8函子C-AlgCP→[NMat，Cone]取A到n<$→（Mn（A））+是完全和忠实的。378M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369公司简介这似乎是一个新的明确的方式来制定理论的矩阵有序空间（例如。[6]，[17，Ch.13]）。富集例2.9取A到n<$→（Mn（A））+的函子C-AlgCP→[NCP，Cone]是满的和忠实的。范畴NCP在锥中得到了丰富：人们也可以标度完全正的映射并添加它们。 这使我们专注于局部的a_n函子F：NCP→Cone，即，保持hom-set的锥结构的函子，即，[5]前体浓缩物局部凸函子NCP→Cone范畴是NCP作为一个Cone-富集范畴的自由余极限完备.这与量子计算的其他模型进行了比较，这在一定程度上激发了当前的工作。首先，存在基于NCP的双积完备化的模型（例如[21]和[16]）;这是相关的，因为双积完备化是NCP作为锥富集范畴的自由余积完备化其次，有一些模型是基于（非丰富的）范畴的共极限完成的，例如NCPU[15]。2.5例子：有向完备锥和W*-代数有向完备性回想一下，有向完全偏序是其中每个有向集都有最小上界的偏序。有界dcpo（bdcpo）是一个偏序，其中每个有上界的有向集都有一个最小上界。定义2.10圆锥bdcpo（或d-cone）是一个圆锥X（Def. 2.6）具有bdcpo结构，使得运算（→r）X：Xm→X都是来自乘积bdcpo的Scott连续函数.这就产生了一个锥bdcpos的dCone范畴和它们之间的一个Quarne Scott-连续映射。定义2.11C*-代数A称为单调完备的，如果正元素的锥A+单调完备C*-代数A→B之间的正映射称为正规的，如果它对正锥的限制保持有界有向集的并。我们将关注W*-代数，它是单调完备C*-代数，使得对于每个非零正元素x∈A+，存在正规正映射f：A→C使得f（x）= 0（例如[24，III.3.16]）。W*-代数包括所有有限维C*-代数，也包括任何Hilbert空间上的有界算子代数，标准测度空间X的函数空间L∞（X），以及有界序列空间l∞（N对于W~*-代数和正规正映射的范畴，我们记为W ~*-代数- Alg P，对于W ~*-代数和正规完全正映射的范畴，记为W ~*-代数- Alg CP，等等.从本质上说，我们有一个完整而忠实的函子。（−）：W-AlgP→dCone. 因此：M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369379ΣΣΣ例2.12函子W-AlgCP →[NMat，dCone]取A到n›→（Mn（A））+是完全的和忠实的。2.6示例：实验我们简要地讨论了基于C*-代数的影响理论的例子，尽管我们在本文中不会进一步详细说明C*-代数的一个子集是一个小于1的正元素。非正式地说，输出是一种“不清晰”的一个C*-代数A的积[0， 1]A形成一个称为“积模”的代数结构：它们具有一个由加法给出的取有效项实际上产生完全且忠实的函子C-AlgPU→Emod(see例如[7]），给我们的框架的另一个说明例2.13函子C-AlgCPU →[NIsom，EMod]， 把A变成N→[0，1]Mn（A），是完全的，是忠实的。这个例子有一些有趣的变化。一个“广义的输出模块”是一个没有top元素的输出模块。通过忽略上面的项，我们得到了一个完全和忠实的函子C-AlgPSU→GEmod[7]，因此也得到了一个完全和忠实的函子C-AlgCPSU→[NIsom，GEmod]。• 在一个W*-代数中，这些射构成一个有向完备射模;这给出了一个完全且忠实的函子W-AlgPU→dEmod[18]，因此我们得到了一个新的完全且忠实的函子W-AlgCPU→[NIsom，dEmod]。• 类似地，从一个完全且忠实的函子W-AlgPSU→dGEmod[18]，我们得到一个完全且忠实的函子W-AlgCPSU→[NIsom，dGEmod]。2.7例子：国家凸集定义2.15一个凸集合是一个集合X和一个m元函数（→r）X：Xm→X，对于每个矢量→r=（r1. . rm）的非线性实节点，其中iri=1，使得对于每个i，δ i，m（x1，. x m）= x i，并且对于每个m×n矩阵（s i，j）i，jX非负实数，j（（i（ri. si，j））.xj）。如果j= 1，我们有阿吉里岛（j（si，j.xj））=凸集的同态是保持代数结构的函数。同态通常被称为一个映射。凸集的定义可以用加权二进制加法来重新表述（例如[14]）。例如，实向量空间的子集是凸的，如果它在凸和下是闭的。对于W*-代数A，考虑正规状态空间NS（A）=W-AlgPU （A，C）。可以给范畴W-AlgPU的hom-sets一个con-set，380M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369PUCPUCPUopCPUopvex结构，被认为是所有线性映射的向量空间的子集。映射NS（-）因此可以转化为一个反变函子到convex集范畴，其作用如下：NS（Af，zB） =（−）f：NS（B）→ NS（A）.定理2.16（[20]，[2]，[8]）函子NS（−）：W-Algop→Conv已满而且忠诚(The正规态函子在限制为完全正地图（W-Algop）：转置映射是正的但不是完全正的，它产生凸集的同构例2.17函子W-Algop→[NIsom ，Conv]，取A到n→NS（M n（A）），是完全的 和忠实的。例2.18函子W-Algop→[N，Conv]，取A到n<$→CPUNS（Mn（A）），是完全的和忠实的。3量子畴理论在本节中，我们将使用第2节中的技术开始构建我们继续与经典域理论的类比。回想一下，在经典Domain理论中，有两个范畴起着重要的作用：首先是dcpos和Scott连续函数的范畴Predom，其次是Dom！点dcpos（带有底部元素的dcpos）和严格Scott连续函数（保持底部元素的函数）。提升（自由地添加底部元素）是左伴随的明显健忘函子（例如。[1]）。3.1关于凸dcpos的定义3.1凸dcpo是一个具有dcpo结构的凸集（定义2.15），使得构成其凸结构的函数是Scott连续的。这就产生了一个dConv类的凸dcpos和一个在它们之间的Scottne-连续映射。凸dcpo的一个简单例子是实数的单位区间。3.1.1凸dcpos回想一下，两个凸集A和B的和A+B可以描述为集合AB（A×B×（0，1）），其中（0，1）是开单位区间。它的元素或者直接来自A，或者来自B，或者是来自A和B的元素的非平凡形式凸组合。用一个稍微非正式的符号，我们写（a，-，0）M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369381A×ΣrCPUopCPU而不是a，（−，b，1）而不是b。然后定义凸结构如下def我我我我阿吉尔我我我我我里岛（1）A =（1−Σrλ.ai，2015年10月20日，中国（iri λi））采用明显的约定，其中（iri λi）是0或1。这在凸集范畴中具有上积3.1.2斜和在下面的内容中，有一个关于总和的变化将是有用的。为了激励，观察到如果A和B是偏序，那么我们可以形成一个新的偏序A+B，其载体是A+B，但是当vera≤AaJ时，偏序由ya≤A+BaJ生成，当verb≤BbJ时，偏序由b≤A+Bb生成，当vera∈A和b∈B时，偏序由a≤A +B b生成。我们称之为偏和。它给出了一个万有平方BA、r≤布雷尔A+B埃弗雷特湾如果A和B是上凸的，则定义一个斜和A<+B作为凸集的上凸，但当a ≤ aj，b≤ bj，λ ≤ μ时，偏序（a，b，λ）≤（aj，BJ，μ）.这有一个类似于余积的普适性质，除了一个额外的要求，即对于a∈A，b∈B，a≤b。例如，我们可以通过取s k ew sum（1<+A）来自由地将底部元素添加到凸dcpo A。3.2量子域的抽象定义我们对量子域的定义受到例2.18的启发。回想一下，NCPU是自然数范畴，其中态射m→n是CPU映射（第2.3节）。 一个函子D：Nop→dConv是态射的结构，即当r+s= 1时，D（r.f+s.g）=r.D（f）+s.D（g）定义3.2量子前域是一个局部α-函子D：Nop→dConv.一个量子域是一个局部凸函子D：NCPU→dConv，使得凸dcpoD（1）有最少元素。382M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369量子（pre）域的态射称为QD-映射，它是量子（pre）域之间的自然变换φ：D<$E，即一族连续的自映射{φn：D（n）→E（n）}n∈N，使得对每个映射f：n→mM. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369383CPUCPU∼CPUop在N个CPU中，下图是交换：nD（n）φn z，E（n）你好，fD（f）你好，E（f）m，D（m）φmz，E（m）如果D是一个量子域，即D（1）有一个最小元，那么我们说一个QD映射φ：D→E是严格的，如果φ1（φD（1））是E（1）中的一个最小元。我们将QDom定义为QPredom的完整子类别，包括量子域和QDom！是QPredom的子类，包括量子域和严格的QD映射。这三个类别是丰富的dcpo的dcpo与斯科特连续地图的类别。举一个激励性的例子，回忆一下（Ex.2.18）每个W*-代数A诱导一个函子NS（A）：Nop→Conv，其中NS（A）（n）= W-AlgCPU（Mn（A），C）。这可以理解为一个量子前域，其中每个NS（A）（n）被认为是一个离散的顺序。特别是N S（C）=NCP U（−，1）。这是一个电子床NS：W-Algop→ QPredom。3.3量子畴3.3.1量子前畴和量子前域的余积是逐点定义的。我们定义两个量子前域D和E的点态和：令（D+E）（n）=D（n）+E（n），n∈N。这具有QPredom中的余积的普适性质。嵌入W-Algop→QPredom保持和。 这一点源于切鲁普CPU拉克鲁普切鲁普有两个事实：第一，W-AlgCPU（A，B，C）= W-AlgCPU（A，C）+W-AlgCPU（B，C）（例如，[11，Prop.16]）和第二，Mn（A <$B）= Mn（A）<$Mn（BA和B3.3.2张量与量子数据，又名copower对于每个量子前域D，可以通过对每个自然数n∈N和（n<$D）（f）= D（Mn（f）），（n<$D）（m）=D（nm）定义量子前域（n <$D对于N op中的f：m→p。 特别地，（2D）可以被非正式地认为是一个纠缠对（x，d）的前域，其中x是量子比特，d来自D。我们可以构造一个函子图：NCPU × QPredom →QPredom。384M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369这具有“可表示项的共幂”的普适性质[12]）。3.3.3斜和我们也可以定义量子前域的逐点斜和 对于量子前域D和E，存在一个量子前域D+E，其中（D<+E）（n）=D（n）<+M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369385不E（n），其中n∈N.这具有反余积（§3.1.2）的普适性质，QPredom。我们使用斜余积来定义一种将量子前域提升到量子域的方法。LetD=NS（C）<+D.更详细地，D_n（n）=W_n-Al_gCP_U（Mn，C）<+D（n）。由于（NS（C））（1）=1，我们知道D∈（1）对任意量子前域D都有最小元.命题3.3构造（−）：QPredom→QDom！是左伴随的健忘函子QDom！→QPredom。乌兹QDom！，T QPredom（−）此外，该附加物是Dcpo-富集的。证据 考虑δ：DE和η：DE。首先，我们可以定义一个严格的QD-映射δ：DE为一个自然的映射族δ（n）：D（n）=W-AlgCPU（Mn，C）+D（n）→E（n），其中δ（n）：（λ，x，λ）<$→（λ，δ（n）（x），λ）对每一个n∈N。其次，我们可以将QD-映射ηη：D_E定义为映射的自然族η（n）：D（n）→E（n），其中η（n）：x<$→η（−，x，1），对每一个n∈N。hom-set 的 Scott- 连 续 映 射 ， （ − ） ： QPredom （ D ， U （ E ） ）→QDom ！（D ，E）和（−）：QDom ！（D ，E）→QPredom（D，U（E）），彼此是逆的。Q3.4与业主的关系及前期工作最后，我们将量子域理论中的这些步骤与早期使用算子代数建模量子计算的工作联系起来。为了做一个类比，我们回忆一下集合和函数的范畴Set与集合和部分函数的范畴Pfn之间的基本关联物体上的同一性准备，（）+1Pfn部分函数可以被认为是一阶计算，实际上每个hom-set都形成了一个dcpo。然而，附加物并不富含dcpos。因此，虽然有一个解除的概念，但它并没有正确地捕捉到解除。集合A+ 1捕获了“返回类型A或发散的程序”的概念386M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369不不不集 为了弥补这一点，我们将这个附加项嵌入到涉及域的准备，前域、identity on objects（）+1（）Pfn双曲域、普雷多姆，健忘你好多姆其中下部附加和右侧嵌入是DCPO富集的。现在，我们也有一个附加的W-AlgCPSU和W-AlgCPU之间：物体上的同一性W-AlgCPU，不（）NHC苏共（CPSU）这是为了研究量子计算而提出的。在L？owner序下：f≤g，如果g−f是完全正的，W ∈- Al g CPSU的hom-set是dc p os.然而，再一次，该添加物不是dcpo富集的。这一次，W*-代数AC捕获了“返回类型A或发散的程序”的概念我们对量子域的提议解决了这个问题，因为存在嵌入物体上的同一性W-AlgCPU，NS、QPredom，不（）NHC（）健忘的苏共（CPSU）NS（）、QDom！其中右侧嵌入是DCPO富集的，并且下部附加也是如此3.5量子域理论的下一步我们已经证明，我们的表示技术可以用来建立一个量子域理论，支持提升和张量积的量子数据。最后，我们要提到这方面今后的一些步骤每个NS（A）形式的量子前域都有一些额外的结构。例如，W*-代数之间的块对角函数A<$A→M2（A）给出一个QD-映射2<$NS（A）→ NS（A）+NS（A）.这可以被认为是在标准基中测量量子位，返回经典位。这种代数结构在[23]中已被公理化。在所有量子域上要求这种结构似乎是有帮助的。一些作者对d-锥和凸dcpos施加了额外的条件（参见例如[13，14]）。在本文中，我们关注的是态射，而不是对象，z轴M. Rennela，S.Staton/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319（2015）369387我们认为，额外的条件将是相关的，在未来的工作语义的量子程序。在早期的工作[19]中，第一作者证明了范畴W-AlgCPSU是代数完备的，因此支持递归域方程的解下一步重要的工作是研究这个结果是否可以扩展到量子域。研究与其他高阶量子计算模型的联系也会很有趣[9]。总结在本文的第一部分，我们以自然的方式描述了完全积极性的概念。这种抽象的设置可以被用作将正映射的逻辑和语义属性扩展到完全正映射的一种方式。在本文的另一半中，我们证明了W*-代数是一类量子比特上的序值预层，而正规完全正映射是W*-代数之间的自然变换，被视为序值预层。我们已经揭示了这些预层的一些范畴性质。我们认为我们的预层是W*-代数的一个适当的推广，量子程序确认我们要感谢KentaCo、Ro bertFur ber、TobiasFritz、BartJacobs、KlausKeimel和Phil Scott进行了有益的讨论，并感谢匿名推荐人提出的建议。这项研究得到了欧洲研究委员会（ERC）的QCLS资助（量子计算，逻辑安全）和皇家学会大学研究奖学金的财政支持引用[1] S. Abramsky，A. Jung，“Domain Theory”，Handbook of Logic in Computer Science 3，pp. 1-168，1994年。[2] E.M. Alfsen，F.W.张文生，“算子代数的状态空间：基本理论、方向和C*-性质”，北京，2001年。[3] K. Cho，“Semantics for a Quantum Programming Language by Operator Algebras”，in B.科克岛张文龙，量子物理与逻辑，第11届量子物理与逻辑研讨会论文集，第172期，pp. 165-190，2014年。[4] E.普拉卡什·帕南戈·德洪特量子最弱的前提条件Mathematical Structures in Computer Science 16（3）：429-451，2006.[5] B. J·戴。“Construction of bicclosed categories”，PhD thesis，University of New South Wales，1970.[6] E. G. E. Z.-J. 阮元，[7] R. 弗 伯 湾 Jacobs ， “From Kleisli categories to comm