2Journalof the Egyptian Mathematical Society（2014）22，157埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章BCI-代数中的左（h，/G. Muhiuddina，*，Abdullah M.Al-roqia，ba沙特阿拉伯塔布克大学数学系，塔布克71491b阿卜杜勒阿齐兹国王大学数学系，邮政编码。沙特阿拉伯吉达21589，邮编80203接收日期：2013年4月15日;修订日期：2013年6月19日;接受日期：2013年2013年9月17日在线发布引入了BCI-代数的（正则）左（h，/）-导子的概念，讨论了一些有用的例子，并研究了相关的性质。给出了左（h，f）-导数正则的条件.引入了d（h，/）-不变左（h，/）-导子和h-理想的概念，并讨论了它们之间的关系.此外，还得到了一些更有趣的结果。2000年数学潜规则分类：03G25; 06F35; 06A99？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍一些作者[2-Jun和Xin[6]将环中的导子概念和近环理论应用到BCI-代数中，从而在BCI-代数中引入了一个新的概念，称为（正则）导子。使用这个定义的概念，他们研究了它的一些性质。利用正则导子的概念，他们还建立了p-半单BCI-代数的特征.对于BCI-代数的自映射d，他们定义了d-不变理想，并给出了理想是d-不变的条件。继Jun和Xin[6]之后，关于BCI-代数的导子的研究已经出现了许多文章，并且人们对BCI-代数的导子有了更大的兴趣。*通讯作者。联系电话：+966 595702997。电子邮件地址：chishtygm@gmail.com（G. Muhiuddin）。同行评审由埃及数学学会负责BCI-代数中导子的研究（见[1，7Abujabal和Al-Shehri在[1]中引入了BCI-代数的左导子的概念，并研究了它的一些性质。本文的目的是考虑Abujabal和Al-Shehri[1]中某些结果的推广。引入BCI-代数X的左（h，/）-导子的概念，并研究了其相关性质.我们提供了左（h，/））-derivation是正则的。引入了d（h，/）-不变左（h，/）-导子和h-理想的概念，并研究了它们之间的关系.最后，我们建立了一些更有趣的结果。2. 预赛我们从下面的定义和性质开始，这将在后续中需要。具有常数0和二元运算的非空集X* 称为BCI-代数，如果对于所有x，y，z X，以下条件成立：（I）（（x\y）\（x\z））\（z\y）=0，(II)（x\（x\y））\y=0，1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.07.013制作和主办：Elsevier关键词BCI-代数;p-半单BCI-代数;左（h，/）-导子;正则左（h，/）-导子;D（h，l）-不变左（h，l）-导子;h-理想158G. Muhiuddin，A.M. 罗基2\-2（啊！）2222 ¼22 222 22（啊！（啊！(III) x\x=0，(IV) x\y = 0和y\x = 0意味着x = y。在X上定义一个二元关系6，让x\y=0当且仅当x6y。则（X，6）是一个偏序集。一个BCI-代数X对所有的x X都满足0.6x，称为BCK-代数.BCI-代数X具有以下性质：对于所有x，y，z2 X(a1)x\0 =x。(a2)（x\y）\z=（x\z）\y。(a3)x6y意味着x\z6y\z和z\y6z\x。(a4)（x\z）\（y\z）6x\y。(a5)x\（x\（x\y））=x\y。(a6)0\（x\y）=（0\x）\（0\y）。(a7)x\0= 0意味着x=0。对于BCI-代数X，记为X+（resp. G（X））BCK-部分（相应地，X的BCI-G部分），即，X+是所有x2X的集合，使得06x（分别为 G（X）：1/4{x2X1/0\x=x}）。 注意G（X）X+={0}（参见[12]）。若X+={0}，则X称为p-半单BCI-代数。在p-半单BCI-代数X中，以下成立：(a8)（x\z）\（y\z）=x\y。8x;y2X定义3.2. BCI-代数X的自映射d（h，f）称为left（h，/）-x的导数，如果它满足：8x;y2X¼hxωdh;/y^/yωdh;/x：注意，如果h=l=IX，则BCI-代数X的左（h，l）-导子是BCI-代数X的左导子，在这种情况下，d（h，l）由D表示。实施例3.3.考虑具有以下凯莱表的BCI-代数X={0，a，b}：(1) 定义地图d：X！ X; x#（b如果x2 f 0; ag;(a9)0\（0\x）=x对于所有x2X。(a10)x\（0\y）=y\（0\x）。h;/0如果x 1/4b;(a11)x\y=0意味着x=y。(a12)x\a=x\b意味着a=b。定义两个自同态.0 if x 2 f 0; ag;(a13)a\x=b\x意味着a=b。(a14)a\（a\x）=x.设X是p-半单BCI-代数.我们定义加法h：X！X;x#和B如果x 1/4b;（0 ifx2 f 0;bg;‘‘+’’则（X，+）为单位元为0且xy = x\y的阿贝尔群。反之，设（X，+）是一个单位元为0的阿贝尔群，X！ X; x#一如果x 1/4a：x\y = x-y。 则X是p-半单BCI-代数，x+y=x\（0\y）对于所有x，yX（参见[13]）。对于BCI-代数X，我们记为xxy=y\（y\x），验证d（h，f）是X的左（h，f）-导数是常规的。(2) 定义地图图0\（0\x） =ax，Lp（X）：1/4{a2X1/x\a=0）x= a，6x2X}。我们称Lp（X）中的元素为dh;/：XX;x#0如果x2 f0;bg;一如果x 1/4a;X. 对任意aX，令V（a）：{xXa\x=0}，即称为X关于a的分支。它遵循x\y V（a\b）当x V（a）和y V（b）对于所有x，yX和所有a，bLp（X）. 注意，Lp（X）={xX∈ax=x}，它是X的p-半单部分，X是p-半单BCI-代数当且仅当 Lp（X）= X（见[14，命题3.2]）。还应注意，ax2Lp（X），即，0\（0\ax）=a x，这意味着a x\y2Lp（X）对所有y2X。显然，G（X）cLp（X），且x\（x\a）=a和a\x2Lp（X），对所有的a Lp（X）和所有的x X。一个BCI-代数X被称为无挠的，如果x+x= 0x=0对所有x X [10]。更多详情请参见[6，123. 左（h，f）-导子在下文中，h，f是自同态，IX是BCI-代数X的恒等映射，除非另有说明。定义3.1[1]。 BCI-代数X的自映射D称为X的左导数，如果它满足：定义两个自同态h：XX;x#a如果x2 f0;ag;0如果x 1/4b;和/：XX;x#b如果x2 f0;bg;一如果x 1/4a：验证d（h，f）是X的左（h，f）-导数是常规的。提案3.4. 设d（h，/）是BCI-代数X的左（h，/）-导子. 然后(1) （6x 2 X）（x 2 Lp（X））d（h，f）（x）2Lp（X））。(2) （6× 2 Lp（X））（d（h，f）（x）= 0 + d（h，f）（x））.(3) （6x，y2Lp（X））（d（h，f）（x + y）= h（x）+d（h，f）（y））.BCI-代数中的左（h，/159(4) （6x 2 X）（x 2 G（X））d（h，f）（x）2G（X））。160G. Muhiuddin，A.M. 罗基证据(1) 对于任意x2Lp（X），我们有dh;/xdh;/0ω0ωx1/4h<$0<$ωd<$h;/1/4 h<$0ωx< $1 ^ h/1/4 h <$0ωx< $ωd<$h;/1/4 h<$0<$1¼0ωdh;/ 0ωx^/ 0ωxωdh;/0¼/0ωxωdh;/ 0ω / 0ωxωdh;/0ω0ωdh;/ 0ωxh¼0ωdh;/ 0ωx 2LpX：(2) 设对所有的x2Lp（X）.通过（1），我们有d（h，f）（x）2Lp（X）。dh;/xd h;/xω0h xωdh;/0^/0ωdh;/xh1/4hxωdh;/0^0ωdh;/x¼0ωdh;/xω 0ωdh;/xωhxωdh;/ 0h¼0ωdh;/xω 0ωhxωdh;/0ωdh;/xh<$0ω 0ωhxωdh;/0<$hxωdh;/0< $hxω 0ωdh;/0h1/4h×1 /4d/h; /1/2 h× 1/2 h然后dh;/x0 ω0ωdh;/x0dh;/x：(3) 对于任何x，y2Lp（X），我们有dh;/xydh;/xω0ωy¼ðhðxÞωdðh;/Þð0ωyÞ Þ^ ð/ð 0ωyÞ ωdðh;/ÞðxÞÞ¼/0ωyωdh;/xω / 0ωyωdh;/xωhxωdh;/ 0ωyh因为h（x）\d（h，f）（0）2Lp（X）和d（h，f）（0）2G（X）。(2) 若x，y2Lp（X），则x+y2Lp（X）.使用（1），我们有dh;/xyhxydh;/0h xhydh;/0h¼hxdh;/0h ydh;/0-dh;/0¼dh;/xdh;/y-dh;/0：(3) 对于任意x，y2x，我们有hdh;/ xωyðxÞÞhh1/4hx1 /4h; /2/4 h x 1/4h：(4) 设x2G（X）.那么0\x=x，所以dh;/xdh;/0ωx¼ðhð0Þ ωdðh;/ÞðxÞÞ^ð/ðxÞ ωdðh;/Þð0ÞÞ¼/xωdh;/0ω/xωdh;/0ω 0ωdh;/xh¼0ωdh;/x由于0\d（h，f）（x）2Lp（X）.因此d（h，f）（x）2G（X）.H如果我们在命题3.4中取h=/=IX，则我们有以下推论。推论3.5 [1]的文件。 设D是BCI-代数X的左导子。然后(1) （6x 2 X）（x 2 Lp（X））D（x）2 Lp（X））。(2) （6x 2 X）（D（x）= 0 + D（x））。(3) （6x，y2Lp（X））（D（x + y）= x + D（y））.(4) （6x 2 X）（x 2 G（X））D（x）2 G（X））。¼ð/ðyÞ ωdðh;/ÞðxÞÞωðð/ðyÞ ωdðh;/ÞðxÞÞ ωðhðxÞ ωdðh;/ÞðyÞÞÞ6hxωdh;/y：(4)它来自（1）。这就完成了证明。H定义3.7. BCI-代数X的左（h，/）-导子d（h，/）如果d（h，f）（0）=0，则称为正则示例3.8.(1) 例3.3（1）中X的左（h，l）-导子d（h，l）不是正则的。(2) 例3.3（2）中X的左（h，/）-导子d（h，/）是正则的。定理3.9. 若X是BCK-代数，则X的每一个左（h，l）-导数都是正则的.证据设d（h，/）是BCK-代数X的左（h，/）-导子.然后通过命题3.6（3）、我们有d（h，f）（0）=d（h，f））（0\x）6h（0）\d（h，/）（x）=0，我们有06d（h，/）（0），所以3.6号提案设d（h，l）代数X. 然后是BCI的左（h，l）-导出我们得到d（h，f）（0）= 0。因此，d（h，f）是正则的。H在BCI-代数中，定理3.9不为真，如下面的例子所示：(1)（6x2X）（x2Lp（X））d（h，f）（x）=h（x）\d（h，f）（0）=h（x）+d（h，f）（0））。(2)（6x，y2Lp（X））（d（h，f）（x + y）= d（h，f）（x）+d（h，f））（y）-d（h，f）（0））。(3) （6x，y2X）（d（h，f）（x\y）6h（x）\d（h，f）（y））.(4) 如果h是X上的恒等映射，则d（h，f）是Lp（X）上的恒等映射当且仅当d（h，f）（0）= 0。证据(1)对于任意x2Lp（X），我们有BCI-代数中的左（h，/161示例3.10.在例3.3（1）中，d（h，l）是BCI-代数X的左（h，l）-导子，它不是正则的。定理3.11. 设d（h，/）是BCI-代数X的正则左（h，/）-导子.然后(1) h（x）和d（h，f）（x）对于所有的x2X都属于同一分支.(2) （6x2X）（d（h，f）（x）6 h（x））。(3) （6x，y 2 X）（d（h，f）（x）\h（y）6 h（x）\d（h，f）（y））.162G. Muhiuddin，A.M. 罗基¼（h，/）22ð Þω22◦22¼证据(1) 对于任何x2X，我们得到0dh;/axωx1/4haxωdh;/axωdh;/axωdh1/2/3/4/5 /6/7/8/9/10h因为h（ax）\d（h，f）（x）2Lp（X）.因此h（ax）6d（h，/）（x），因此d（h，f）（x）2V（h（ax））。显然，h（x）2V（h（ax））。(2) 因为d（h，f）是正则的，所以d（h，f）（0）=0。然后dh;/xdh;/xω01/4hxωdh;/0^/0ωdh;/xX的h-理想和/-理想。另外，A：{0，a}是X的d（h，/）-不变理想。定理3.16. 设d（h，/）是BCI-代数X的左（h，/则d（h，/）是正则的当且仅当X的每个h-理想是d（h，/）-不变的。证据设A是X的h-理想.假设d（h，f）是正则的，则从定理3.11（2）可以得出，对于所有x2X，d（h ，f）（x）6h（x），这意味着d（h，f）（x）\h（x）=0。设y2X使得y2d（h，f）（A）.则y=d（h，f）（x），对于某个x2A.因此yωhxdh;/xωhx02A：注意h（x）2h（A）cA。因为A是X的理想，所以1/4hxω0^0ωdh;/x¼0ωdh;/xω 0ωdh;/xωhx6h灭菌时间：所以d（h，f）（A）c A。因此，A是d（h，l）-不变的。反之，设X的每个h-理想都是d（h，/）-不变的. 由于零理想{0}显然是h-理想和d（h，/）-不变的，我们有d（h，/）（{0}）c {0}，所以d（h，/）（0）= 0。因此(3) 由于d（h，/）有（x）6h（x）对于所有x2X乘（2）。使用（a3），我们d（h，f）是正则的。这就完成了证明。H如果我们在定理3.16中取h=/=IX，则我们有dh;/xωhy6hxωhy6hxωdh;/y：这就完成了证明。H定理3.12. 对于BCI-代数X的任意左（h，/）-导子d（h，/），以下推论。推论3.17[1]。设D是BCI-代数的左导子X.则D是正则的当且仅当X的每个理想都是D-不变的。3.18号提案设d（h，l）是p-d-1灌单位：千分之一英尺×2×千分之一小时;千分之一英 尺 ×千分之一英尺×0克半单bci代数X.然后（6x，y2X）（d（h，/h;/是X的一个子代数，如果h（x）=0，对所有x2 X。此外，如果h是）（x\y）=h（x）\d（h，/）（y））。如果d是正则的，那么d-1h;/你好。证据设X是p-半单BCI-代数.对于任何x，证据 假设h（x）= 0，对于所有xX。设x;y d-1h;/然后d（h，f）（x）=0=d（h，f）（y），等dh;/xωy6hxωdh;/y< $<$0ω 0<$0好的。y2x，我们有dh;/xωyhxωdh;/y^/yωdh;/xh¼hxωdh;/y：命题3.6（3）。因此，d（h，f）（x | y）= 0乘（a7），即，这就完成了证明。Hx y d-1h;/ 0的情况。因此d-1h;/是X的一个子代数。如果我们取h=IX在命题3.18中，我们有假设h是一对一的，并且d（h，f）是正则的。让以下的推论。x d-1h;/好的。则由定理3.11（2）得到0=d（h，f）（x）6h（x），这意味着h（x）2X+，即0\h（x）=0。它遵循h（0\x）=h（0），所以0\x= 0，因为h是一一。因此，x2X+，因此d-1<$0 <$$>X<$。这就完成了推论3.19[1]。 设D是p-半单BCI-代数X的左导子。 则（6x，y 2 X）（D（x\y）= x\D（y））。证据Hh;/定理3.20.设X是无挠BCI-代数，d（h，f）是定义3.13.对于左（h，l）-导子d一个脑机接口--X上的左（h，l）-导子使得h d（h，l）=d（h，l）。 如果2（h，/）我们说X的一个理想A是一个h-理想（分别是：/-理想），如果Dh;/在Lp（X）上的d（h，f）= 1/4 0，则在Lp（X）上的d（h，f）= 0。h（A）cA（分别为/（A）cA）。证据 假设d2h;/ Lp（X）上的¼ 0。设x2Lp（X），则定义3.14.对于左（h，f）-导子d（h，f）一个脑机接口--x+ xLp（X），d（h，f）（x + x） Lp（X）由命题3.4（1）得到。使用命题3.6（1）和（2），我们有对于X，我们说X的理想A是d（h，/）-不变的，如果d（h，/）（A）cA.0d2h;/xBCI-代数中的左（h，/1632实施例3.15.（1）设d（h，l）是X的左（h，l）-导子1/4天/小时; /10小时/天/小时; /10小时/天/小时;/10小时/天/小时描述的在例3.3（1）中。 我们知道A：1/4 {0，a}是X的h-理想和/-理想。 但A：1/4{0，a}是X的理想，它不是d（h，f）-不变的。(2)设d（h，l）是例3.3（2）中描述的X的左（h，l）-导数我们知道A：1/4{0，a}是两个¼dh;/0dh;/xd h;/x-dh;/0h¼dh;/xd h;/x：因为X是无挠的。因此，d （ h ， f ）（x）=0，x Lp（X），由此意味着d（h，f）=0。这就完成了证明。H164G. Muhiuddin，A.M. 罗基h;/h;/h;/我的天啊ð Þþ ð Þ-ð Þ1ð◦h;/22 22h;/h;/h;/h;/ð Þþ我...我...Σ .ðÞþð Þþð ÞþΣ .ðÞþh;/ðÞ ð Þþ.Σ .ðÞþð ÞþΣ.ÞðÞþð ÞþΣðÞ¼ð Þþ22¼22（h，/）所以 的 hd0h;/在Lp（X）上。x¼2hd0h;/Þð0Þ -dðh;/Þð0Þ1/4便士定理3.21.设X是无挠BCI-代数，0¼。dh;/d02000年1月20日星期一d0每小时1000美元。d0ðxþxÞΣd h;/; d 0被 两 左 （h，f）-导子 对 X使得0h;/0¼0 0Σh;/.0Σ.0Σhd0h;/1/4天. Ifdh;/d0Lp（X）上的¼0d0h dxD xd0dh;/02 h dxh d0h;/h;/h;/h;/h;/.- 是 的Σ证据让 我们 假设 dh;/d0¼0 对Lp（X）。让xLp（X）.这就完成了证明。Hx Lp（X），则x+x Lp（X），d（h，f）（x+x）Lp（X），提案3.4（1）。使用命题3.6（1）和（2），我们有0¼dh;/d0ÞðxþxÞ ¼dðh;/Þðd0xðxþxÞÞ致谢1/4dh;/1/40/4d0/4x1/ 4dh;/2/40/4dh。d0xd0h;/ xd0h;/ð0ÞΣ1/4。dh;/0d0h;/ 0天0h;/ xd0h;/ðxÞΣ作者感谢匿名裁判（S）的一个仔细检查细节和有用的意见，1/4。d好的，谢谢。d0xd0h;/ðxÞΣ改进了这篇论文。这项研究得到了塔布克大学科学研究院院长的部分支持，1/4。dh;/0ω。0ωd0h;d0h;/xd0h;/xð沙特阿拉伯高等教育部。1/4。dh;/0d01/4。dh;/0hd0ðh;/好的。d0ðxd0h;/ðxÞþd0ðxÞΣðxÞΣ引用1/4天/小时;d0h;/h;/0天0h;/h;/xd0h;/h;/x[1] H.A.S. Abujabal，N.O.李晓，BCI-代数的左导子，数学学报，2007，第33卷，第3期，第435-444页。1/2/3/4/4/5/6/7/80天0h;/ xd0h;/xd0h;/ xd0h;/你好，[2] 阁下Bell，L.C.张文，张文，等。53（3 -4）（1989）339-因为X是无挠的。因此，d0所有人均为100万美元346.xLp（X），因此d0h;/h;/1/4。这就完成了证明。H[3] 阁下Bell，G.Mason ，关于近环中的导子，近环和近场，北荷兰数学。 Studies 137（1987）31-35.[4] K. Kaya，带导子的素数环，Hacettepe Bull。Mat.3.22号提案设d（h，f）是BCI的左（h，f）-导数代数X如果L（X）上的d 2 0，则1小时;/小时对于所有的x 2 Lp（X），都是/hdh;/h x 2 hdh;/0- d h ; /0。Sci. Eng. 16-17（1987-1988）63-71。[5] E. Posner，素环中的导子，Proc. Am. Math.Soc.8（1957）1093-1100.[6] Y.B. Jun，X.L.Xin，关于BCI-代数的导子，Inform.证据 假设d2h;/ L p（X）上的¼ 0。设x2Lp（X）.然后Sci. 159（2004）167-176。[7] S. Ilbira，A. Firat，B.Y. Jun，关于对称双导子x+ xLp（X）由命题3.4（1）。使用Proposition3.6（1）和（2），我们有BCI-代数，应用数学Sci. 5（60）（2011）2957-2966。[8] G. Mudiuddin，A.M. Al-roqi，关于BCI-代数的t-导子，Abs.应用分析2012年（2012年）文章ID872784。0 D2h;/x[9] G. Mudiuddin，A.M. Al-roqi，关于BCI中的（a，b）-推导，¼dh;/0hdh;/xdh;/x-dh;/0¼d h;/0 2h dh;/x-hdh;/0：因此，对于所有的人，xLp（X）.这就完成了证明。H代数，Disc. 戴南Nat. Soc. 2012（2012）11页。 文章ID403209。[10] M.A.厄兹蒂尔克岛Ceven，Y.B. Jun，BCI-代数的广义导子，Honam Math.J.31（4）（2009）601-609。[11] J. Zhan，Y.L. Liu，关于BCI-代数的f-导子，Int. J. 数学数学科学2005（11）（2005）1675-1684。3.23号提案设d和dh;/ 是两个左（h，/）-导数，0[12] Y.B. Jun，E.H. Roh，关于BCI-代数的BCI-G部分，Math.日本38（4）（1993）697-702。和a的BCI-alg.埃布拉X Ifdh;/dð ◦1 ð ◦Lp（X）上的1/40，[13] D.J. 孟，BCI-代数和交换群，数学。日本 32然后hd0h;/x2Lp（X）.2019年12月12日hd0h;/h;/Þð0Þ -dðh;/Þð 0Þ为所有（5）（1987）693-696。[14] Y.B. Jun，X.L. Xin，E.H. Roh，原子在BCI中的作用-代数，Soochow J. 数学 30（4）（2004）491-506。证据设x2Lp（X）.则x+x2Lp（X），因此[15] S.A. Bhatti，文学硕士乔杜里湾艾哈迈德，关于分类d0h;/由命题3.4（1）得到的LpXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 可见h;/h;/h;/00天h;/为所有BCI-代数中的左（h，/165BCI-代数，数学。日本 34（6）（1989）865-876。第3.6（1）和（2）条，
