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⊆⊆的∈ ×→基于深度学习的陈以辰1,2,基亚拉蒙特1,格林斯宾2,3,卡尔伯格11Facebook Reality Labs研究2哥伦比亚大学3多伦多大学cyc@cs.columbia.edu,mchiaram@fb.com,eitan@cs.toronto.edu,carlberg@fb.com摘要这项工作提出了一种基于投影的模型简化方法的物质点法(MPM),一种流行的混合欧拉-拉格朗日方法,用于工程和计算机图形学模拟固体,流体和多相现象。所提出的技术通过经由对应于解码器的参数化函数强制变形轨迹驻留在以外在形式表达的低维流形上来采用变形图的运动学近似通过显式地近似变形图,变形梯度可以简单地通过微分相关联的参数化函数来计算。此外,该映射可以被反转,以便根据需要生成新的材料点,从而允许自适应细化。该方法通过投影生成动态,即,在每个时间步,该方法执行两个步骤:(1)计算欧拉网格的网格节点上的速度,以及(2)将所计算的速度执行到该低维流形的切空间上的最小二乘投影。该方法支持超约简,这对于实现与材料点的原始数量无关的计算复杂度是必要的。大规模问题的数值例子说明了该方法介绍材料点法(MPM)(Sulsky,Zhou,and Schreyer 1995;Jiang等2016)是在计算机图形社区中广泛用于固体、流体和多相模拟的混合欧拉-拉格朗日离散化方法。由于它的双欧拉和拉格朗日表示,MPM提供了几个优势,超过fi。降阶模型我 们 介 绍 了 一 种 用 于 构 建 基 于 投 影 的 降 阶 模 型(ROM)的策略,其引入运动学近似,包括构建对变形图的低维非线性流形近似,并且通过首先计算欧拉网格的网格节点上的速度,然后执行所计算的速度到流形的切线空间上的最小二乘投影来生成动力学运动学:低维流形类似于为有限维动态系统状态空间构造低维非线性流形(Lee and Carlberg 2020),可以限制参考域ΩrefRd的任何元素在低维流形上演化。我们首先将近似的变形映射表示为φ~:Ωref×T×D→Rd,其中φ~(·;·,μ)∈S(μ),µ ∈ D且φ~(·;t,μ):X→x~(t,μ)(1):Ωref→Ω~(t,µ),t∈T,µ∈D,(2)其中(μ)表示满足初始和本质边界条件的容许解的空间,Ω~(t,μ)Rd表示对应于ap-t的变形域在时间t∈ T和参数实例μ∈ D处的近似变形图,并加强运动学约束φ~(X;·,·)∈M(X):={g(X;y()|y{∈Rr}Rd,(3)XΩref,其中g:ΩrefRrRd表示r维流形的参数化。运动学约束(3)意味着存在广义坐标x:T×D→Rr,使得有限元法:大变形、断裂以及接触和碰撞相对容易处理。φ~(X;t,μ)=g(X;x(t,μ)),X ∈ Ωref,(四)然而,MPM的材料的双重表示使其在计算上特别昂贵。这pre-cludes的能力,MPM被用于时间关键和实时设置,如快速周转设计,交互式应用程序,和控制。假设参数化函数在其第一自变量中是连续(4)这意味着近似变形图的变形梯度可以通过对参数化函数求微分来计算为版权所有© 2021由其作者。知识共享许可署名4.0国际(CCBY 4.0)F~:(X,t,μ)›→φ~(X;t,μ)≡g(X;x(t,μ)):Ωref× T × D → Rd×d。(五)∇~×→我{}国2∈M ∪N∈M ∪N楼国∆t∈Σ=vN(x)。i,n+1i联系我们∈TΣ2∈ DM ∩Nσ国,其中表示相对于第一参数的微分。此外,假设参数化函数在其第二自变量中是连续可微的,则等式(1)(4)意味着近似解的速度可以通过链式法则计算为˙φ(X;t,µ)≡g(X;x(t,µ))x(t,µ).(六)话x算法1:ROM动态方法#1(通过深度学习构建流形)。当歧管参数化函数g:Ωref RRRD可以以多种方式构建,我们采用全连接的5层深度学习架构(即,多层感知器),由于它们的连续可微性而具有ELU激活函数ELU可以被视为更流行的ReLU激活函数的平滑扩展我们设置g ← gθy,其中θ,网络权重,是(近似-输入:广义坐标x(tn)和速度x(tn).输出:广义坐标x(tn+1)和速度x(tn+1)。1识别网格节点1、. . . ,nb需要计算样本材料点的动力学即,I={i|对于任何p∈ M},Ni(xp)0,其中问题的解决办法减少是欧拉基函数。2计算变形梯度Fp,速度vp,θ,{x(t,μ)}t∈Ttrain,μ∈Dtrain无无以及每个样本和邻居的位置xpμ∈Dtrain,t∈TΣtrain,X∈Ωref,tain(gθ(X;x(t,µ))−φ(X;t,µ)2通过针对X = X p,p和t = t n对(4)-(6)进行求值,在时间实例tn处 获得材料点p。+λ1gθ(X;x(t,µ))−φ(X;t,µ)23通过计算执行“粒子到网格”的转换+ λgθ2对于i∈I2x(X;x(t,µ))x(t,µ)−φ(X;t,µ)2),f=− ΣJ(Fp)σ(Fp)xNi(xp)mp(七)其中,D列车 D, T列车T,Ωref,列车Ωref表示i,nρ0n np∈M∪N参数、时间和参考域实例fe=ΣJ(Fp)b(xp)Ni(xp)mp,原(全阶)MPM已解决和解决方案ar eavailable,x(t,µ)=x(t+∆t,µ)−x(t,µ)通过以下公式计算:i,nρ0n np∈M∪N显式Euler,Δt是MPM的时间步长,λ1,λ2R+分别表示变形梯度和速度的惩罚参数。动力学:速度投影在每个时间点生成基于投影的动力学-其中J:= det(F),σ表示柯西应力,b表示体积力,mp是材料点质量,ρ0是初始材料密度。4通过计算i∈ I来执行更新步骤v=1(fσ+fe)站姿时,所提出的ROM(1)计算网格上的速度i,n+1mii,ni,n节点的欧拉网格,和(2)执行最小二乘投影的计算速度到切线空间的低维流形。然而,为了确保计算复杂度与原始材料点的数量np无关,我们必须限制这些步骤仅在域的子集为此,我们提出两个∆vi,n+1=vi,n+1∆tnv i,n +1 = v i,n + ∆v i,n +1。5通过计算p ∈ M ∪ N执行单独的超还原方法。超简化方法#1:材料点投影普n+1普国i∈I我们提出的第一种方法是以材料点为中心。我们6更新广义坐标开始于先验地识别集合1,. . . ,np的样本材料。我们还认为x(tn+1)=x(tn)+∆tnx(tn+1),其中x(tn+1)这些材料点N {1,. . . ,np},de-满足最小化问题作为计算所有t的样本材料点的动力学所需的材料点的和分钟n(tn+1)g(Xp;xxp∈M))x(tn+1pn+12.µ;注意= .用这些材料识别的点,算法1提供了由所得到的(在线)降阶模型仿真所采取的相关。虽然这种方法可能导致独立于材料点的原始数量np和国五)−v欧拉基函数nb的操作计数Σ∫ΣΣ问国国ΣΣΣΣ我米I ∈IΣ=vN(x),i,n+1i国Σ2fi,n=b(xn)Ni(xn)w.Σ在实践中做下一个方法通过采用以样本节点为中心的视角来缓解这个问题超还原方法#2:样点投影本节提出了一种替代方案,其利用了以下事实:如果构造为内射的,则可以针对参考域中的位置反转流形参数化函数g,给定变形配置中的位置和广义坐标的值。因此,这种方法的关键要素是:(1)不需要跟踪算法2:ROM动态方法#2输入:广义坐标x(tn)和速度x(tn).输出:广义坐标x(tn+1)和速度x(tn+1)。1选择(任何)样本节点I {1,. . . ,nb},共(2)个人能力,(3)个人能力,(4)个人能力。满足Ni(x)0(对于某些x ∈ Ω)兴趣。根据需要提供材料点,以及(3)执行经典2定义包括求积的求积规则有限元积分欧拉网格上组装点和权重xq∈Ω,wq∈R,控制方程关于正交,我们首先注意到n n+q= 1,. . . ,nq用于装配调速器n个方程在样本节点I.问fρdV=Ω嗪e=1fρdVΩeneqe=1 q=1f(xq)ρ(xe)wq.3计算每个正交点q=1,…,q的变形梯度Fn和速度vq。. . ,nq,通过针对X = Xq对(4)-(6)求值,其中n是元素的个数,n的数量q= 1,. . . ,nq和t = tn,其中Xq满足eqxq=g(Xq;x(t国)),q = 1,. . . ,nq是正交点,并且wq是正交权重。考虑nnn.使用经典技术从运动方程的弱形式近似积分为4通过计算i ∈ I执行nnqqneqfσ=−ΣJ(Fn)σ(Fq)0N(xq)wq(e=1 q=1j国ρvjNjNi)|xqwqi,nρq=1nqqnxinneq=−e=1 q=1(八)eΣJ(Fn) q q qq=1ρ0+∫tNi, i =1,. . . ,nb.5通过计算i∈ I来执行更新步骤Ω1σe与第一种方法相比,这种方法(算法2)不需要跟踪任何固定的材料点或它们的邻居。相反,通过在步骤1中选择一组样本节点并利用变形图的可逆性,该方法可以引起独立于以下的操作计数:vi,n+1=(fi,n+fi,n)我∆vi,n+1=vi,n+1∆t nv i,n +1 = v i,n + ∆v i,n +1。6选择(任何)样品材料点xs,材料点的原始数量np和欧拉基函数nb,而无需任何特殊跟踪。s=1,. . . ,ns国满足条件:如果单元测试数值实验Ni(xn)= 0,则i.7如果需要,通过计算s=1,. . . ,ns对于单元测试,我们剪切一个时间步长的弹性材料制成的圆柱体的顶部sn+1南北i∈I梯度惩罚训练 在表1中,我们比较其中Vs可以通过评估等式(1)来计算(6)对于X= Xs,s = 1,. . . ,ns,其中Xs满足不同的训练设置。在λ1和λ2都被设置为零的情况下,无无ss,仅利用位置信息而不利用一阶梯度信息来训练网络。 虽然降阶模拟的位置误差和变形梯度误差相对较小,但观察到较大的速度误差。在保持λ1为零的情况下用正λ2进行训练xn=x(Xn;x(tn))s= 1,. . .,ns.8更新广义坐标x(tn+1)=x(tn)+∆tnx(tn+1),其中x(tn+1)满足最小化问题ns现在用附加的时间梯度信息(速度)训练网络因此,速度误差被显著改善,这也导致位置误差的显著改善然而,观察到变形梯度略有增加因此,我们通过将λ1和λ2两者设置为λ 1和λ 2两者,利用空间(变形梯度)和时间(速度)梯度信息两者进行训练。分钟n(tn+1)g(Xs;xxs=1))x(tn+1sn+12.五)−v(σ(F)Ni−bNi)|xqwq∫≈训练参数位置误差 速度误差 变形梯度误差λ1= 0,λ2 = 00。百分之十九百分之十三0。百分之二λ1= 0,λ2= 0。010。004%0。百分之三0。百分之三λ1> 10000,λ2> 0。010。004%0。百分之二0。百分之二表1:训练参数对降阶模拟的准确性的影响。同时使用空间(λ1)和时间(λ2)梯度惩罚的训练产生最佳结果。材料用3个材料点离散化图1:材料在顶部受到不同的力,导致不同的变形状态。投影位置速度变形方案错误错误梯度错误材料点- 中心样本节点- 中心材料点- 居中,超还原(6)样本节点- 居中,超还原(6)0。01%0. 06%0. 百分之十一0。01%0. 06%0. 百分之十一在全阶模拟中有np=1,368个材料点。广义坐标的维度被选择为5,有效地减少了广义坐标的维度。表2:投影方法和超还原。两投影方法在具有或不具有超归约的情况下实现相同水平的准确度。 材料离散为17个材料点。积极点 正如预期的那样,观察到跨位置、速度和变形梯度的最佳误差。材料点中心投影与在表2中,我们比较了使用不同投影方法时的降阶模拟的准确度。所有模拟使用具有相同权重的相同网络以材料点为中心的方法和以样本节点为中心的方法都实现了相对较小的误差。表2还展示了超简化的有效性,其中我们仅使用原始材料点的一小部分进行投影,这导致更便宜的计算成本。虽然材料点的原始数量为np= 17,但使用6个用于投影产生相同水平的位置误差。戳刺试验在顶部插入一个弹性圆柱体,其信息列于表3中戳力用球坐标f(ρ,θ,φ)表示。 我们通过改变表征戳力的三个参数来生成训练和测试数据,其中ρ ∈ [1]。0,1。2],模拟系数为821。超减的材料点数为15个;这些点选自施加戳力的部分、固定圆筒的底部以及允许材料自由变形的中间部分。降阶仿真能够再现位置误差为0的训练情况。50%,并能够预测测试用例与0。55%的误差。今后工作在未来,我们希望将我们的工作扩展到支持塑性,断裂,接触和碰撞。引用Jiang,C.;Schroeder,C.;Teran,J.;Stomakhin,A.;和塞尔上午2016年。模拟连续材料的材料点法ACMSIGGRAPH 2016课程,1Lee,K.;和Carlberg,K.没有2020. 使用深度卷积自动编码器对非线性流形上的动态系统进行模型降阶。计算物理学杂志404:108973。Sulsky,D.;周,S.- J.;和Schreyer,H.法律1995.质点网格法在固体力学中的应用计算机物理通信87(1-2):236标本信息值单元半径10厘米高度40厘米电子12500宾夕法尼亚0。01% 0。百分之十六0。百分之十一[001 pdf 1st-31files] θ∈[0◦,9◦]和φ∈[10◦,15◦]。通过全因子抽样生成了总共27个模拟,其中22个用于训练,而5用于测试。每个模拟包括0。01% 0。百分之十三0。百分之十一36个时间步长或0。25秒。因此,总共945个模拟快照用于训练和测试。
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