实Hilbert空间中的广义混合平衡问题的迭代算法及收敛性证明

× ！×！埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，340原创文章广义混合平衡问题K.R. Kazmi*，S.H.Rizvi数学系，Aligarh穆斯林大学，Aligarh 202 002，印度接收日期：2013年1月4日;修订日期：2013年2月21日;接受日期：2013年3月13日2013年4月23日在线提供本文考虑实Hilbert空间中的一个广义混合平衡问题。利用辅助原理，我们定义了一类预解映射。进一步，利用不动点和预解式方法，给出了求解广义混合平衡问题的迭代算法。进一步证明了迭代算法产生的序列弱收敛于广义混合平衡问题的解。这些结果要求映射具有单调性（h-伪单调性）和连续性（Lipschitz连续性）.2000年数学潜规则分类： 65K15、47J25、65J15、90C33？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍设H是一个实Hilbert空间，其内积和生成范数分别记为H，H，i和i. 设KcH是一个非空的闭凸集; 2K表示K的所有非空子集的族;T：KfK是一个非线性的，耳标测KR和/：HHR是非线性的双功能我们考虑以下广义混合方程：查找x2K的编译问题（简称GMEP），*通讯作者。联系电话：+91 9411804723。电子邮件地址：krkazmi@gmail.com（K.R.Kazmi），gmail.com（S.H.Rizvi）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevierfx;yhTx;y-x/x;y-/x;xP0; 8y2K：1：1如果T=0，一个零映射，GMEP（1.1）简化为寻找x2K的广义均衡问题（简称GEP），使得fx;y/x;y-/x;xP0; 8y2K; 1：2这一点已经被许多作者研究过，例如[1]。如果f=0，则GMEP（1.1）简化为以下混合等式：求x2K的library问题（简称MEP），fx;yhTx;y-xiP0; 8y2K： 1：3MEP（1.3）是由Mouda fiand The` ra[2]用辅助原理、选择方法和动力学过程引入和研究的。后来，Mouda[3]考虑并分析了使用分解映射求解MEP（1.3）的迭代算法。从那时起，许多作者研究了MEP（1.3）如果T=0且f=0，则GMEP（1.1）简化为以下平衡问题（简称EP），即找到x2K，使得1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.03.007关键词广义混合平衡问题辅助问题预解映射迭代算法Fejer单调性h-伪单调映射广义混合平衡问题的迭代算法3412222222×！×！2222t！0fx;yP0; 8y2K;1：4它最初由Blum和Oettli介绍[4]。EP（1.4）的迭代方法已被许多作者研究过，例如见[5]。如果f（x，y）=0且f（x，y）=w（y）6x，y2K，哪里w：K！ R，GMEP（1.1）简化为下面的变分不等式问题（简称VIP），即找到x2 K，使得hTx;y-xiPhewiPheyiPhe-wiPhex iPheP0; 8y2K：1：5μ m在 文 献 [6] 中 研 究 了 有 限 维 Hilbert 空 间 VIP （ 1.5 ）（K=H）的一些迭代算法。GMEP（1.1）还包括变分包含问题、变分不等式问题、互补问题、凸优化、鞍点问题和纳什均衡问题作为特例，详见[5]。但所有这些平衡问题的迭代方法要么要求映射T的强单调性和Lipschitz连续性，要么要求映射T的逆强单调性。强单调映射与Lipschitz连续映射总是逆强单调映射，但逆强单调映射一般不成立。进一步注意，即使在有限维情形下，一类逆强单调映射也不包含某些重要的映射类，详见[7，8]。受文献[3，6，8，9]的启发，我们研究了GMEP（1.1）的一些迭代算法的收敛性分析，其中T上的单调性（h-伪单调性）假设弱于强单调性和逆强单调性.首先，利用辅助原理，我们定义了一类预解映射。此外，利用不动点和预解式方法，我们给出了求解GMEP（1.1）的一些迭代算法。此外，我们证明了由迭代算法产生的序列弱收敛到GMEP（1.1）的解。这些结果要求映射具有单调性（h-伪单调性）和连续性（Lips-chitz连续性）.本文提出的迭代方法改进和推广了文[6]中对有限维空间VIP（1.5）的迭代方法和文[3]中对MEP（1.3）的迭代方法。2. 预赛我们回顾了一些概念和结果，这是后续工作所需要的定义2.1. [9]设T：Kfik是一个非线性映射。T称为：(i) 单调如果hTx-Ty;x-yiP0;8x;y2K;(ii)伪单调如果hTx;y-xiP0蕴涵hTy;y-xiP0;8x;y2K;(iii)h-伪单调，其中h是实值多元函数，如果hTx;y-xihxyP0蕴涵hTy;y -xihxyP0;8x;y 2K;(iv)强单调，如果存在常数d>0，hTx-Ty;x-yiPdkx-yk;8x;y2K;(v) 逆强单调，如果存在常数a>0，hTx-Ty;x-yiPakTx-Tyk;8x;y2K;(vi)强非扩张的，如果它是逆强单调的，其中a=1;(vii)d-伪压缩 如果hTx-Ty;x-yi6dkx-yk;(viii)k-Lipschitz连续， 如果存在常数k> 0，使得kTx-Tyk6kkx -yk; 8x;y2K;(ix)非扩张的，如果它是Lipschitz连续的，k=1。我们观察到Lipschitz连续映射是伪压缩的，但一般情况下，相反的情形未必成立定义2.2.一个双函数f：H HR称为反对称的，如果/x;x-/x;y-/y;x/y;yP0; 8x;y2H：反对称双函数具有类似于关于反对称双函数的性质和应用，参见[10]。定义2.3.设K是Hilbert空间H的非空子集，{xn}是H中的序列.则{xn}是关于K的Fejer单调，如果kxn 1-xk6kxn-xk; 8x2K：下面的结果是Chang[11]定理3.9.3的一个特例。引理2.1. 设K是Hausdorff拓扑向量空间E的闭凸集，G：KKR是双函数.假设以下条件成立：(i) G（x，x）P0，6× K;(ii) G是单调的，即，G（x，y）+G（y，x）6 0，6× K;(iii) 对于每个yK固定，函数xfig（x，y）是上半连续的，即，limsupGtz1-tx;y6Gx;y;8x;y;z2K;t2½0;1];(iv) 对于每个x K固定，函数yfig（x，y）是凸的和下连续的;(v) 存在E和y02 K\D的紧子集D使得G（x，y0）<0，6y2 KnD.则集合{x*K：G（x*，y）P0，6yK}是非空的、凸的、紧的.3. 辅助问题与迭代算法我们考虑GEP（1.2）的以下辅助问题（简称AP）：对于r>0和每个固定的x H，找到z K，使得1fz;y/z;y-/z;zrhy-z;z-xiP0; 8y2K：103：104342K.R. Kazmi，S.H.Rizvi×！1RR22RR！R¼ ð Þ2RR-两个¼22RRRRrhrÞRRRRRS2注3.1.显然，当z=x时，GEP（1.2）和AP（3.1）的解集是相同的。下面的引理给出了AP（3.1）解的存在唯一性，它是Kazmi等人的Theo-rem 4.1的一个特例。[9]和引理3.1由于丁[12]。引理3.1. 设K c H是一个非空闭凸子集，一房Hilbert空间H.让f：K×K！R和f：HHR是非线性双函数，且令r> 0。假设满足以下条件：(i) f满足引理2.1中的条件（i）-（iv）;(ii)f是反对称的、第二幅角凸的并且是连续的;(iii)对于每个固定的x2H，存在H和y02K\Dx的紧子集Dx，使得fz;y0/z;y0-/z;zrhy0-z;z-xi0;对于每个z2KnDx：<则对于每个固定的x2H，AP（3.1）有唯一解z2K。注3.2.从引理3.1可以得出，对于r>0，注3.3.引理3.1和3.2推广了Pang和Yao[8]的引理2.3。引理3.3. GMEP（1.1）有解x当且仅当x满足方程[x/1/2x-rTx];为 r>0：03：3我们现在通过以下关系定义剩余向量R（x）：R=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000我们注意到R是一个连续映射。根据引理3.3，可以观察到x K是GMEP（1.1）的解，当且仅当x K是方程的零点时间：2019 - 03-13 00：00：00引理3.3中给出的GMEP（1.1）的不动点公式使我们能够建议和分析以下迭代算法。算法3.1.对于给定的x02K，通过迭代格式计算近似解xn+1xn1/4 [f;/1 /2xn-rTxn];n<$0;1;2;.. . ：每个x2H，我们可以将AP（3.1）的唯一解写为z¼Jf;/x 2K. 对于所有的千年虫问题，F.Jf;/x;y/Jf;/x;y-/.Jf;/x;Jf;/xf;/1Jf;/x重写Eq。（3.3）形式x¼Jf;/1/2x-rTJf;/1/2x-rTx]（3：6）-x;y-JrxiP0：3：2因此，Jf;/：H K是定义良好的单值映射，称为GEP（1.2）的 预 解 式 映 射 。 我 们 证 明 了 x ∈f;/x 当 且 仅 当 x 是 GEP（1.2）的解.此外，引理3.1给出了在[1]中对解的存在性所作的假设AP（3.1）。通过更新解决方案。这种固定点公式允许我们建议采用以下的梯度法。算法3.2. 对于给定的x0K，用迭代格式计算xn+1xn=1/4Jf;/n = 1/ 2xn=1/4 . ：在本文的其余部分，除非另有说明，我们认为双函数f，f满足引理3.1的所有条件。引理3.2. 映射Jf;/：H！K是严格非扩张的。若f（x，y）=dK（y）dK（x）且f（x，y）=0，对所有x，yK，则H在K上的投影J fi/PK，并将算法3.2简化为Korpelevich [13]的超梯度方法。现在通过以下关系定义剩余向量R（x）：Rxx-Jf;/x-rTJf;/x-rTx]：3：7R r证据对于每个x，y 2 H，表示u：<$Jf;/x和v：<$Jf;/y。此外，我们可以很容易地观察到x2K是根据定理3.1和注释3.2，我们有，对于每个x，y H，1fu;v/u;v-/u;urhv-u;u-xiP0;1fv;u/v;u-/v;vrhu-v;v-yiP0：加上上述不等式，我们有fu;vfv;u-½/u;u- /u;v-/v;u / v;v]GMEP（1.1）当且仅当x2K是方程R=0;其中R（x）由式（3.7）定义。对于常数c2（0，2），等式（3.5）可以写成x rTx¼x rTx-c R x：这个公式被用来建议下面的新的隐式方法来求解GMEP（1.1）。1 1rhx-y;u-viPrhu-v;u-vi：由于f是单调的，并且f是斜对称的，因此上述不相等性简化为：hu-v;x-yiPku-vk;因为r>0。这就完成了证明。H算法3.3. 对于给定的x0K，通过迭代格式计算x n+1x n1¼x nrTx n-rTx n1-cRx n;n <$0; 1; 2. ：103：80接下来，我们证明以下定理。广义混合平衡问题的迭代算法3432R22¼FGðÞ¼我！112n22千分之一-^Gxk-limkGx2122nn千分之一n¯¯n我！1ni2我！1ni12n2Rr2222 22定理3.1. 设x<$K是GMEP（1.1）的解。 如果映射T是单调的，则hx-x<$rTx-Tx<$;RxiPkRxk28x2K;3：9mm其中R（x）由式（3.4）定义。证据设x<$2K是GMEP（1.1）的解，则fx<$;yhTx<$;y-x< $i/x<$;y-/x<$;x<$P08y2K：03：10上午取公式3.10中的y<$Jf;/1/2x-rTx]<$$>x-R<$x，我们有rfx;x-RxrhTx;x-Rx-x;x-Rx-r/xP0：03：11设置：x：<$x-rTx;z<$Jf;/<$x：<$Jf;/<$x-rTx] <$x-R<$x在公式3.2中，y=，我们有rfx-Rx;x< $r/x-Rx;x<$ -r/x-Rx;x-Rxhx-R将（3.11）和（3.12）相加，我们有r½fx-Rx;x<$$ >fx<$$>;x-Rx]hrTx<$- TxRx;x— Rx-x< $i -r½/x<$;x<$ -/x<$;x-Rx— /x-Rx;x/x-Rx;x-Rx]P0：03：13由于f是单调的，f是斜对称的，公式3.13意味着：hrTx<$-Tx-Rx;x-Rx-x<$iP0：13：14由于T是单调的，由公式3.14，我们有hx-x;Rxi hR x;Rxi hRx-rTx -Tx<$$>;x-x<$-Rx<$irhTx-Tx<$;x-x<$iPkRxk：这就完成了证明。H定理3.2. 设x<$2K是GMEP（1.1）的解。 如果映射T是单调的，则迭代序列{xn} gener-hx-yi kx-ykrhTx-Ty;x-yiPkx-yk2;这意味着映射（I+rT）是1-强单音。因此，我们有kIrTxn-ITrx<$kPkxn-x<$k：这意味着序列{xn}是有界的。 H现在，我们证明算法3.3得到的近似解弱收敛到GMEP（1.1）的解。定理3.3. 设x<$K是GMEP（1.1）的解。 若映射T是单调连续的，则迭代序列由算法3.3生成的{xn}弱收敛于x'。证据x<$2K是GMEP（1.1）的解，则由定理第3.2节的的 序列fkGxn-Gx<$kg，其中G：（I+rT），r>0，是收敛的，因此从式（3.15）可以得出：lim R x n第 0章：你好！1此外，从定理3.2可以得出序列{xn}是有界的。设x^是{xn}的一个弱极限点，则存在一个子序列 xni（1）弱收敛于x。因为R是连续的，所以Rx^n=0;因此，x^是GMEP（1.1）的解。 进一步证明了序列{xn}存在唯一的弱极限点，该弱极限点是GMEP（1.1）的解. 事实上，设x^1和x^2是{xn}的两个弱极限点，设fx ni g和fx nj g是{xn}的两个连续点，它们分 别 弱收敛到x^1和x^2 。 则x^1;x^2是GMEP（1.1）的 解 ，序列fkGxn-Gx^kg和fkGx-Gx^kg是收敛的.现在我想，kGxni-Gx^2k¼kGxni-Gx^1kkGx^1-Gx^2k由算法3.3得到的是有界的。证据由于x是GMEP（1.1）的解，且xn+1满足和20：17- 19：19- 20：19 -20：19-20：19(3.8)根据定理3.1，我们有千兆赫— Gx^k2¼kGx— Gx^k2— Gx^k2kxn1— xrTxn1— Txk2G xnj-Gx^2;Gx^1-Gx^2i：13：181/4kxn— xrTxn— Tx-cRxk2由于G是连续的，那么在取（3.17）式中的极限为i∈1时，6kx-xrTxx-xrTx— Txk2-2ckRxk2c2kRxk2— Tx k-c2-ckRxk：3：15在（3.18）式中，作为jfi1，我们有2.2limkGx-Gx^k-limkGx-Gx^k¼kGx^— Gx^k26kxn -xrTxn-Txk2;2013年3月16日limGxnj你好！121你好！1-Gx^k2;因为c2（0，2）.不等式（3.16）给出GMEP（1.1）的解集，因此{（I+rT）x}为这 是 可能 只 当 kGx^1Gx^1¼Gx^2。-Gx^2k2¼0， 也就是说，n有界此外，从（3.16）式还可以得出，此外，由于G是1-强单调的，则2fkIrTxn-IrTx<$kg单调递减，kx^ — x^k26hGx^-Gx^;x^-x^iNJNJ1nn1因此收敛。NJ344K.R. Kazmi，S.H.Rizvi21212同样，由于T是单调的，对于任何x，y2K，我们有6kGx^1-Gx^2kkx^1-x^2k：13：191广义混合平衡问题的迭代算法345RRRR-两个RRRRRf;/f;/R2由于Gx^11/4Gx^2，则由式（3.19）可得出x^1/4x^2。因此，{xn}的所有弱极限点重合，因此，se-序列{xn}弱收敛于GMEP的解x′对于步长c，我们可以将上述等式写为：x¼x-cz-Jf;/zr T Jf;/z¼0：（1.1）。这就完成了证明。H我们以定理3.3的一个推论结束本节推论3.1。设x<$2K是MEP（1.3）的一个解，设f（x，y）=06x，y2K这个固定点公式允许我们提出下面的GMEP（1.1）迭代算法。算法4.1.对于给定的x02K，通过迭代格式计算近似解xn+13.1保持不变，给定x 02K。如果T是单调连续映射，则由T生成的迭代序列{xn}方案：zn¼xn-rTxnw n¼z n-JznrTJ znR rxxn= 1¼ xn-c wn;n= 1 1/4x n=rTx n-rTx n= 1-cR=x n= 0; 1; 2.. . ;对r>0和c2（0，2），其中R=x1-x2K;和z<$Jf<$x<$是不等式的解：1f=x;y=z =hz-x;y=ziP0;8y2K;弱收敛于x′。推论3.1的结论直接由定理3.1，3.2，3.3推出，其中f（x，y）=0.6x，y.2K.备注3.4.(i) 推论3.1改进和推广了Mouda[3]的定理15。(ii) 使用本节介绍的方法，可以很容易地将定理3.1、3.2、3.3推广到算法3.3，其中R（x）由式3.7定义。4. 预解方程与迭代算法现在，与GMEP（1.1）相关，我们考虑以下求解方程（简称RE），求出z2H，使得对于x2K，TxAf;/z=0;x=4：1和当r>0时，x¼Jf;/z;4：2其中n = 0，1，2，. ，r> 0且c> 0。定理4.1. 设x<$2K是GMEP（1.1）的解，设映射T是h-伪单调映射，其中h（x，y）=f（x，y）+/（x，y）/（x，x）6x，yK和d-伪压缩. 然后hx-x<$;Rx-rTx-TziP1-rdkRxk2;8x2K;14：5mm其中z：1/4 x- r Tx，R（x）由式（3.4）定义。证据由于T是h-伪单调的，其中h（x，y）=f（x，y）+f（x，y）-f（x，x）6x，y2K，然后为所有z;x<$2K，hTx<$;z-x< $ihxyP0意味着hTz;z-x< $i h<$x <$y<$P0;i：e：;fx<$;zhTz;z-x< $i/x<$;z-/x<$;x<$P0;8z2K：由于f是单调的，那么上述不等式意味着，-fz;xhTz;z-x;z-/xP0;8z2K：特别是对于z=x-R（x），我们有-fx-Rx;x<$ $>hTx-Rx;x-Rx-x<$i/将（4.6）和（3.12）相加，我们有hRx-rTxrTx-Rx;x-Rx-x<$iP0;其中我们使用了/的偏态性。其中f;/是 一 正则化 操作者 和 是 定义为由于T是伪压缩的，上述不等式意味着Af;/^1I-Jf;/^1;I是H上的恒等算子。RrrhRx-rTxrTx-Rx;x-x<$i引理4.1.GMEP（1.1）有解x当且仅当RE（4.1）PhRx -rTxrTx-Rx;Rxi2x¼Jf;/mmz4：3mm和z¼x-rTx;对于r>0：0.4：4.0引理4.1表明GMEP（1.1）和RE（4.1）使用的事实，A f;/1。I-Jf;f，RE（4.1）PkRxk-rhTx-Tx-Rx;x-x-RxiP1-rd kRxk：这就完成了证明。H定理4.2. 设x<$2K是GMEP（1.1）的解，设映射T是h-伪单调映射，其中h（x，y）=写为Rrrf（x，y）+/（x，y）-/（x，x）6x，y2K，且d-Lipschitz连续是的若rd 1，c2（0，2），则迭代序列{xn}

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