粒子群算法在计算设计与工程中的应用研究

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报6（2019）129基于粒子群算法的连续全局优化问题Hasan Koyuncu先生，Rahime Ceylan土耳其科尼亚科尼亚技术大学电气阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年9月13日收到2018年8月21日收到修订版，2018年在线发售2018年8月27日保留字：搜索粒子群算法数值函数优化粒子群算法人工蜂群算法混合算法A B S T R A C T在文献中，大多数研究集中在设计新的方法启发的生物过程，但杂交的方法和杂交方式应仔细检查，以产生更合适的优化方法。在这项研究中，我们处理粒子群优化（PSO）和人工蜂群优化（ABC）的一个有效的操作，设计一个有效的在粒子群算法中，速度和位置概念引导粒子实现收敛。在这一点上，可变和稳定的参数是无效的再生笨拙的粒子，不能提高他们的个人最佳位置（P 最好）。因此，一旦一个有用的部分变成一个尴尬的部分，外部干预的需要是不可避免的在ABC中，侦察蜂阶段通过维持无能个体的复苏来充当外部干预在标准粒子群算法的基础上增加一个侦察蜂阶段，形成侦察粒子群算法（ScPSO），消除了PSO算法的最大缺陷。从而得到一个鲁棒的优化算法。ScPSO的约束优化问题进行了测试，并获得最佳参数值的一般使用ScPSO。为了评估性能，ScPSO与遗传算法（GA），PSO和ABC方法的变体，并与基于PSO和ABC算法的数值函数优化的混合方法进行了比较从结果中可以看出，ScPSO比其他方法产生更好的最优解此外，它的收敛性优于一个基本的优化方法，PSO和ABC算法的变种，并在不同的数值基准函数的混合方法。根据结果，ScPSO的总统计成功（TSS）值与PSO变体相比排名第一（5）;第二好的TSS（2）属于CLPSO和SP-PSO技术。在与ABC变体的比较中，ScPSO获得了最佳TSS值（6），而BitABC的TSS为2。与混合算法相比，ScPSO算法的总平均秩（TAR）为1.375，TSS最高(6) 再ScPSO得到的适应度值通常比其他方法得到的值更令人满意因此，ScPSO实现了有前途的收益比其他优化方法，在这个结果的同时，它的使用可以扩展到不同的工作纪律。©2018计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍优化方法是控制、分类、通信等领域所需要的重要算法。他们试图满足收敛的要求，以达到最佳的解决方案。特别是在在线（实时）应用中，需要快速和成功的收敛。由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者：科尼亚技术大学工程土耳其科尼亚，电气电子工程系，自然科学。电 子 邮 件 地 址 ： hasankoyuncu@selcuk.edu.tr （ H.Koyuncu ） ，rpektatli@selcuk. edu.tr（R. Ceylan）。随着时间的推移，优化算法在收敛性能上出现了不足与此同时，两种方法（新的方法或一些优化方法的混合）已被采取，以获得更好的结果。在这项研究中，第二种选择（杂交）进行，并检查一个有效的方法与基准函数优化的操作条件粒子群优化算法（ParticleSwarm Optimization，PSO）是一种有效的优化算法，优于许多新发展的优化算法（Kennedy Eberhart，1995）。然而，标准PSO可以通过添加另一种优化算法，另一种算法组件或从中启发的公式来通过这种方式，开发了混合或改进的PSO在文献中，这些修改需要获得更好的收敛性;结构一般进行评估使用基准函数。https://doi.org/10.1016/j.jcde.2018.08.0032288-4300/©2018计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。130H. 科永库河Ceylan/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）129Eberhart和Shi（2000）对基本粒子群优化算法进行了改进，得到了一种包含惯性权重参数的改进粒子群优化算法（Global PSO-w）。在他们的研究中，基于使用Schaffer的f6函数的试验发现了最佳值。关于这一点，可以理解，惯性重量对于更高的性能是必不可少的。Clerc和Kennedy（2002）分析了粒子在离散时间和连续时间中的路径。特别是，他们检查了无约束实值基准函数上的收缩系数（全局PSO-cf）。从而揭示了收缩系数的重要性和影响。Kennedy和Mendes（2002）提出了PSO（Local PSO-w，Local PSO-cf）的拓扑重要性。Parsopoulos（2004）研究了统一粒子群优化算法（UPSO）的数值优化问题，并证明了UPSO比局部和全局粒子群优化算法更有效。Liang，Qin，Suganthan，and Baskar（2006）利用所有粒子的历史最佳信息来更新速度，得到了一个综合学习粒子群优化器（CLPSO）。他们还将该方 法 与 基 于 PSO 的 多 峰 测 试 函 数 算 法 进 行 了 比 较 。 Shin 和 Kita（2014）通过使用第二个人最佳和第二个全局最佳粒子以及全局最佳和个人最佳值来改进PSO。 因此，他们得到了第二个人粒子群（SP-PSO）和第二个全局粒子群（SG-PSO）结构。这些算法与全局PSO-w、全局PSO-cf、局部PSO-w、局部PSO-cf、UPSO和CLPSO在数值基准函数上进行了比较。实验结果表明，SP-PSO算法具有较好的鲁棒性和收敛性。Mendes，Kennedy和Neves（2004）修改了Canonical粒子群算法，并设计了完全知情的粒子群算法.他们还研究了用于数值函数优化的完全知情PSO的不同拓扑结构。根据他们的研究，环形和方形拓扑结构取得了更好的结果，完全知情的PSO优于标准PSO的基准函数优化。Zhan，Zhang，Li，and Shi（2011）提出了一种用于PSO的正交学习（OL）策略，其中OL策略允许粒子向更好的方向飞行OL策略也被应用到PSO的全局和局部版本。在此基础上，提出了OLPSO-G和OLPSO-L算法。基于结果，OLPSO-L在基准函数优化方面拥有同行中最好的性能。 Lukasik 和 Kowalski（2014）比较了一些有效的技术（完全知情的PSO，萤火虫算法和萤火虫群优化）对连续函数优化。他们证明了完全知情的PSO是最有效和最少的计算昂贵的方法。除了PSO变体之外，基于ABC的算法在获得更高的收敛性方面具有Karaboga（2005）设计了ABC算法，这是一种类似于PSO的随机优化方法，但ABC利用蜜蜂的觅食行为来解决优化问题。实验表明，ABC法收敛可靠，但收敛速度较慢。ABC在处理一些多峰函数时也有一些局限性，其随机性降低了收敛速度（Karaboga Akay，2009）。其原因是勘探和开采之间的不适当平衡（Zhu Kwong，2010年）。ABC擅长勘探，但不擅长开发（Zhu Kwong，2010）。在文献中，障碍（收敛速度，探索-开发之间的权衡，收敛性能（到达 期 望 值 ） ） 被 绕 过 ， ABC 的 能 力 得 到 了 提 升 。 Pampara 和Engelbrecht（2011）提出了三种基于二进制的ABC算法：二进制ABC （ BinABC ） 、 角 度 调 制 ABC （ AMABC ） 和 归 一 化 ABC（normABC）。这些算法类似于ABC，但它们需要从连续空间转换到离散空间，这意味着高复杂性在Pampara和Engelbrecht（2011）中，在无约束基准函数上比较了技术。Kashan，Nahavandi和Kashan（2012）设计了一种新的人工蜂群算法（DisABC）用于二进制优化。该技术的差异表达在连续空间中进行。此时，它用于两阶段启发式中以在二进制空间中构造完整的解（Kashan等人，2012年）。在这样做时，使用了Jaccard的相似性/相异性系数。对于性能测量，DisABC在基准函数优化上进行了测试。Jia、Duan和Khan（2014年）使用逐位操作生成了一种基于二进制的ABC算法（BitABC），用于移动受雇蜜蜂和觅食蜜蜂。在他们的研究中，BitABC与normABC，BinABC，DisABC以及遗传算法（GA）在基准函数上进行了比较。他们的结果表明，BitABC在收敛性能方面通常优于其他方法和GAKaraboga和Gorkemli（2014）设计了快速人工蜂群（qABC）算法，这是ABC算法的新版本。在他们的研究中，qABC更准确地模拟了蜜蜂的行为，ABC的性能在局部搜索能力方面得到了改善。有一些研究涉及PSO和ABC算法的混合。El-Abd（2011）在连续函数优化的一般PSO算法中使用了所用蜜蜂阶段的更新公式（也与蜜蜂阶段相同），并将该算法命名为HybridFP。实验结果表明，混合FP算法在单峰函数上的性能优于ABC算法和PSO算法然而，ABC和其他算法的性能优于混合FP的多峰功能。Wang，Lv，Zhao，andZhang（2012）设计了一种混合方法来解决复杂约束优化问题，并形成了基于此目标的结构。采用粒子群优化算法对ABC的食物源进行选择。实验结果表明，该方法优于其他方法，得到了更好的解。Yang和Pei（2013）通过使用ABC优化PSO算法的参数，并将混合方法命名为HAP。实验结果表明，该方法在求解旅行商问题时取得了较好的效果。Kiran和Gunduz（2013）利用PSO的全局最优解和ABC的最优解，以形成更鲁棒的优化算法。在连续优化问题上，对基于粒子群算法和ABC算法的混合算法（HPA）进行了测试与其他算法相比，HPA算法具有显著的收敛性。Chun-Feng，Kui和Pei-Ping（2014）提出了一种基于ABC的混合技术（ABC-PS），其中PSO被处理以找到新的解决方案。结果表明，ABC-PS算法在全局寻优方面优于Li，Wang，Yan和Li（2015）将PSO中的局部搜索与ABC中的搜索蜂和侦察蜂阶段相结合，以解决高维优化问题。根据试验，所提出的方法（PS-ABC）取得了更好的性能比同行的方法在高维问题。在这项研究中，我们改进了粒子群算法与必要的第二部分是ABC中的侦察蜂阶段，它消除了PSO最重要的障碍。与文献中的其他方法相比，本文根据粒子群算法的需要，实现了技术的混合。因此，我们可以防止混合方法变得繁琐。在单峰、多峰、可分离、部分可分离、不可分离、可微、不可微、可伸缩、移位和旋转的情况下，对所提出的方法（Scout粒子群优化-ScPSO）进行了性能分析。 对连续函数优化问题进行了收敛性分析。 此外，ScPSO的最佳操作条件是H. 科永库河Ceylan/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）129131.ΣðÞ研究，并与PSO的变种，与ABC的变种，并与混合方法的基础上PSO和ABC方法，已被证明是有效的全局数值优化的方法进行了比较。为了确定ScPSO的参数，本文研究了一般PSO的参数和参数限制，并在一个较宽的范围内找到了最佳的收敛性，因此，参数选择ScPSO的定义是为了在各种学科中通用首先在8个数值基准函数上将ScPSO算法与全局PSO-w、全局PSO-cf、局部PSO-w、局部PSO-cf、UPSO、CLPSO、SG-PSO和SP-PSO算法进行了比较。其次， ScPSO是兼容与GA和ABC 为基础的技术（normABC，BinABC和DisABC）的8个基准函数。第三，在8个数值基准函数上比较了ScPSO和基于PSO- ABC的混合算法.因此，这是一个尝试，以确定是否ScPSO是优于其他方法或不对全局函数优化。2. 方法优化方法的选择在收敛中起着重要的作用，这些方法的性能取决于它们的方法和公式。在某些情况下，参数和公式可能无法实现更好的收敛。粒子群优化包括一个障碍，这是无效粒子的再生，不能提高他们的P最佳值的情况下。另一方面，ABC算法包含一个侦察蜂阶段，以消除再生的障碍。出于这个原因，我们将侦察蜂阶段添加到标准PSO中以提升其性能（Koyuncu Ceylan，2015）。结果，开发了一个实质性的结构（侦察粒子群优化）。在Koyuncu和Ceylan（2015）的研究中，研究了ScSPO的模式分类，并仅与基本PSO算法兼容。此外，ScPSO的最佳操作条件是未知的，并且不清楚ScPSO是否足以挑战PSO和ABC算法的先前变体和混合版本。在这项研究中，ScPSO的最佳操作条件进行了研究，使用连续函数优化。对ScPSO算法进行了包括迭代次数在内的收敛速度比较，并采用三步评价策略确定了最优参数值和范围。ScPSO的数值基准问题的收敛性，然后与各种算法进行比较，以评估其性能。在本节中，首先解释PSO和2.1. 粒子群优化粒子群优 化是一种基于群 的算法，灵感 来自鸟类的觅食 行为（Ceylan Koyuncu，2016）。在觅食行为的模拟过程中，粒子群算法利用速度和位置现象来更新粒子。此外，以前的粒子信息用于一般的反向传播过程（Koyuncu Ceylan，2013）。以这种方式，提供了朝向全局最优点的连续进展。PSO的流程图如图1所示（Koyuncu&Ceylan，2015）。对于速度更新，所使用的一些常数和变量（1）：w（惯性权重）、Vi（t）（先前速度）、c1和c2（加速度常数）、r1和r2（[0，1]内的随机值）、Xi（t）（先前位置）、Xpbest（i）（t）（i.th粒子的个体最佳位置）和Xgbest（t）（粒子的全局最佳位置）。Fig. 1. PSO算法流程图。整群）。对于新的位置值，旧的位置（Xi（t））和新的速度（Vi（t））值被求和，如在等式（1）中。（二）、Vit1xVitc1r1Xpbestit-Xit2002年2月2 日。Xgbestt-Xit1Xit1XitVit1 2粒子群算法的运行可以分为两个部分：初始化部分和循环部分。循环部分可分为4个部分：适应度计算、P最佳值和G最佳值更新、位置更新和惯性权重更新。2.2. 人工蜂群优化人工蜂群优化（Artificial Bee Colony Optimization）是一种随机优化算法，它模拟蜜蜂的行为，分为三组：受雇蜜蜂，蜜蜂和侦察蜜蜂（Karaboga，2005）。被雇佣的蜜蜂是蜜蜂繁殖的先锋这些蜜蜂飞到食物源，把它带到蜂巢，并在舞蹈区表演摇摆舞。在这个时候，摇摆舞引导蜜蜂到食物来源（Koyuncu Ceylan，2015）。蜜蜂被视为舞蹈区的观察者为了寻找食物来源，蜜蜂研究被雇佣的蜜蜂的行动。侦察蜂是救世主，在食物被消耗后开始随机寻找食物。ABC的伪代码如下：1. 初始化部分- 使用等式（1）生成食物源（xm）。（三）（li是空间的下限，ui是空间的上限）xm¼li随机数0;1ωui-li 3While（迭代次数最大迭代次数）132H. 科永库河Ceylan/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）129●-●●MSNm¼1配 阿克ð快看。MM2. 雇佣蜜蜂科- 使用等式（1）生成相邻食物源（v_mi）。（4）所有食物来源（vmi向量将与xm向量进行比较vmi¼xmi/mixmi-xki4xki是随机选择的食物源，并且1是范围[1，1]内的随机i是在范围[1，维数]内随机选择的索引k- 根据等式2计算适应度函数（五）在这一点上，这些粒子是那些不能恢复其P最佳值的粒子。在标准PSO中，粒子在没有任何多样性的情况下更新，并且它们的适当性不受控制（Koyuncu Ceylan，2015）。很明显，粒子群算法需要一个控制参数来提高其收敛能力，但这个参数不能显著增加其收敛时间。因此，它看起来类似于一个合理的想法，侦察蜂阶段插入到标准PSO算法。通过将侦察蜂阶段添加到PSO中，获得ScPSO（Koyuncu Ceylan，2015）。在ScPSO中，所有过程（除了极限）都与PSO算法相同。ScPSO的流程图如图所示。 2（Koyuncu &Ceylan，2015）。参见图 2、颗粒，这不能提高其个人最佳位置（P最佳），根据等式（1）再生（三）、在那里，qi配合x1= 1fmxm;fmxm> 0 1jfmxmj;fmxm 0<ð5ÞL1和L2分别表示粒子的上边界和下边界。在再生过程中，qi和li分别等于粒子- 对于m = 1：人口规模如果（fitm（vmi）优于fitm（xm）），则xm=vmi，否则xm = xm且count（m）=count（m）+1;End;End3. 围观蜂科- 计算所有食物来源的盈利能力（xm向量），使用公式：（六）、X最小值在图2中，最小误差是全局点、要达到的值和通过连续全局优化获得的值对于现实世界的问题，这种情况会根据ScPSO的主要目的和用途而在Koyuncu和Ceylan（2015）的研究中，最小误差象征着均方误差（MSE），因为目标和P ¼P配合mxmMMð6Þ用法分别是模式分类和优化神经网络（NN）算法简而言之，最小误差可以根据应用、所使用的方法- z = 0; m = l;While（z populationsize）If（Pm> rand（0，1））--生成新邻居食物源（ymi），使用以及使用的目的。ScPSO的灵感如图3所示，以更好地解释混合技术的形成（CeylanKoyuncu，2018）。当量（四）--使用Eq. （五）如果（fitm（vmi）优于fitm（xm）），则xm=ymi否则xm = xm且count（m）=count（m）+1-- z=+1;结束否则m = m +1（如果m超过总体大小，则m = 1）;结束;结束4. 童军蜜蜂组- m = 1：人口规模如果（计数（m）>用户定义的限值），则使用等式（3）为了重现xm，端端在ABC中，被雇用的蜜蜂数量等于蜂群的一半，另一半由旁观者组成被雇佣的蜜蜂如果食物来源耗尽，就成为侦察蜂。如在伪代码中所见，所采用的蜜蜂阶段操作等式：（4）和（5）生成新粒子以与旧粒子进行比较。蜜蜂阶段使用方程：（4）然而，Eq。（6）提供有助于合理多样性的概率选择。侦察蜂阶段利用Eq.（3）为了再生无用的颗粒。为此，此阶段操作一个名为limit的用户定义参数。2.3. 侦察粒子群优化在粒子群算法中，粒子的速度和位置是粒子更新的关键。为了做到这一点，ABC使用雇佣蜜蜂和雇佣蜜蜂阶段。然而，ABC中的侦察蜂阶段再生了无用的粒子，这些粒子无法改善它们各自的最佳位置。如上所述，该过程通过参数限制来操作。标准PSO算法（在第2.1节图二、ScPSO算法流程图ÞH. 科永库河Ceylan/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）129133图三. ScPSO算法的启示。ScPSO的伪代码见表1（Koyuncu&Ceylan，2015）。3. 实验结果在文献中，一种新的优化算法通常与它起源的优化算法以及对等混合方法进行比较。为此，ScPSO首先与基于PSO的算法进行了比较，这些算法是PSO的不同变体。因此，全局PSO-w，全局PSO-cf，局部PSO-w，局部PSO-cf，UPSO，CLPSO，SG-PSO和SP-PSO技术（Shin&Kita，2014）用于比较8个不同的基准函数。ScPSO不是在ABC算法的基础上设计的，但它包含了ABC算法的重要组成部分因此，与Jia等人（2014）的研究类似，比较过程是用基于ABC的技术实现的。134H. 科永库河Ceylan/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）129P¼我ð1þ2-：x±0.05mm.p1/4Pn-1。一百xi1-x22xi-12¼40001x1-i¼1cospi12表1ScPSO算法的伪代码。ScPSO伪代码- 在用户定义的边界(The第一最佳位置（Pbest）值等于粒子的位置）- 在范围[1，（最大迭代次数-1）]内定义极限值While（迭代次数最大迭代次数）- 根据所有粒子- 根据所有粒子- 选择最佳Pbest向量作为Gbest（达到最小成本的向量）- 根据以下公式计算所有粒子Vi（t + 1）=xVi（t）+c1r1（Xpbest（i）（t）-Xi（t））+c2r2（Xgbest（t）-Xi（t））Xi（t + 1）= Xi（t）+Vi（t +1）- 如果使用可变惯性重量，则根据所用规则进行更改- 控制所有超过参数“限制”的粒子端niques（normABC、BinABC和DisABC）和遗传算法。在研究的第三部分中，将ScPSO与使用PSO和ABC算法设计的高效混合算法（HPA，ABC-PS和PS-ABC）进行了比较（Li等人，2015年）。因此，ScPSO的形成进行测试，无论它是否构成文献的需要。3.1. 问题和实验设置在开始比较过程之前，检查所有ScPSO参数限制不仅影响多样性，但它也可以改变基本粒子群优化参数的动态。为了确定最佳操作条件，按照建议使用5个非线性基准函数（Sphere、Rosenbrock、Rastrigin、Griewank和Schaffer&这些众所周知的功能及其操作条件如表2所示。阈值代表要通过优化算法找到的目标换句话说，优化算法应该达到在[Xmin，Xmax]的边界内定义的粒子值的阈值;粒子向量的长度根据维度来选择。为了获得最佳的参数值和范围，快速转换-在达到表2所示的阈值时，需要有足够的力。使用5个非线性基准函数进行了实验研究，并使用平均迭代次数、所有迭代的标准差、所有迭代的最小值和搜索率（成功迭代次数与总迭代次数之比）4个统计指标对结果进行了评价。通过这种方式，基于总统计成功（TSS）来比较参数值和范围，TSS被定义为最佳性能的数量（或获得的第一行的数量）。表2试验中的基准函数和操作条件功能维度[X最小值，X最大值]阈值f球面φxφ ¼Pnx2三十【-100,100】零点零一fRosenbrocki¼1i30 [-30，30] 100i1Frastriginx30 [-5.12，5.12]100ni¼1. x2-10cos2pxi10fgriewankx1个Pn2Qn.xi30【-600,600】0.1秒fschaffer0sf6罪X2x2×2052019年01月01日星期二2【-100，100】0.00001表3不同限值的性能比较。5766215345820394526043952176946233705386853695527778360,3010,450,750,802限制AIN1551344795386432423364444511461538163280471486341062420,5510,500,700,95110432512945899365723824383249145393149321948559572820280,650,950,450,900,952205262416579342153408463229246523945387946654475537610,6010,450,700,85125596695045444939229144712122448236423421500664841012310,450,950,600,750,8503572207814928526229554248213345904199354148746610722730,300,950,550,600,85030488512065406531120824630234145963905256938564589993600,550,950,500,600,95140728018937741537620524172292039133919342451989712719280,300,900,250,600,8514571892967197499013314295315428138242227450385431049590,3010,300,650,9525050189805843506914744525156745974088185846672556569500,5510,450,651255736094458133798441640601430463233833983491993925241220,3010,450,800,75265675513617265483613534423199741833780153546661532797530,3510,300,7012606293375681747292630454349643424007320244187545840490,4010,350,700,901707247391492653681300420830545913941141562361624782510,3010,550,6512754019273349629272453439827442592806327248244514800230,6510,700,900,9011855955715585042042078448082645943497240054858463755780,4510,450,800,95180766853660035368546404068944363958534529505455681030,2510,450,6514956787187568034521146943822815435937612876518105668814330,350,900,350,750,90090711811955800362215494109288246443637232856948544760250,350,950,450,800,9501506821457582751752558430959946144396284355347550616690,4010,450,550,95110069214556303536120264237541452942602283480445594881720,3510,400,601325075138346401451418783996217744233737305755472564856230,300,950,400,700,9012007181110262935259193043072104454140902777455815436761090,300,950,400,600,950300635310795876573122954473155845623618321643478602987380,4010,450,650,901GriewankRastriginSphereRosenbrockSchafferGriewankRastriginSphereRosenbrockSchafferGriewankRastriginSphereRosenbrockSchafferGriewankRastriginSphereRosenbrockSchafferSTDMin统计成功总数Sr平均迭代次数= AIN，标准差= Std，最小值= Min，成功率= SR。þ1H. 科永库河Ceylan/ Journal of Computational Design and Engineering 6（2019）129135在搜索速率上的成功迭代是达到全局收敛的迭代。在四个度量中，平均迭代次数代表最重要的一个，如（Jia et al.， 2014年）。种群大小、最大迭代次数和独立运行的数量分别为30、10，000和20（Shin Kita，2014）。Schaffer的f6和其他函数的维数分别为2和30。速度边界（[Vmin，Vmax]）以位置边界（[Xmin，Xmax]）的分数倍变化。如图所示，Eq。（7），k表示分数倍数。½Vmin;Vmax]¼ ½Xmin;Xmax]ωk7然而，系数c1和c2根据它们的和等于4、大于4和小于4的规则当这样做时，它们的和固定在范围[3.5，4.5]内，根据Zhang（2012）的建议。惯性权重在范围[0，1]内进行分析，线性下降运动（0.9？0.4）添加到试验建议（施&埃伯哈特，1999年）。在很宽的范围内检查参数极限，并搜索极限与维数-总体大小之间的不同参数值和范围的比较（基于平均迭代次数、标准差、最小值和搜索率）见表3如表3所示，limit的最佳值为75，基于平均迭代次数、标准偏差和成功率，在该值下可实现卓越性能为了观察这一点，考虑总统计成功（在第一等级上实现）。当限值设定为75时，TSS为11对于极限值80，第二TSS值为4因此，显然选择极限为75更可靠。表4不同速度边界的性能比较k（分数倍）21.81.61.41.210.80.60.40.2艾因·格里万克5835412158387661460840195792720280618610拉斯特里金657251174570439627042732211274927球体4077450972313537677334965388671581468571Rosenbrock4962517138505029486129273319394948148178谢弗2112262021512236248917624046273319892169Std Griewank4607428046054051445843984653427636193308拉斯特里金38014079374439313633274195113289球体4370448742304232440042594615447837083401Rosenbrock4130381332974115390028063441378042703651谢弗3103371630812956378828774097364128682993闵·格里万克551589484488544482413397497672拉斯特里金4781502524561134454342516球体539568628527510514553457576419Rosenbrock91310881120917818800775700438281谢弗4347526671849785136格里万克0,450,700,450,250,600,650,450,300,250,15拉斯特里金0,500,700,750,700,8511111球体0,650,600,300,700,350,700,500,350,200,15Rosenbrock0,600,650,800,600,650,900,800,750,600,20谢弗0,900,800,900,900,800,900,750,850,900,90统计成功11120101239平均迭代次数= AIN，标准差= Std，最小值= Min，成功率= SR。表5不同惯性权重值的性能比较。惯性重量0.9？0.4个单位0.90.80.70.60.50.40.30.20.1AIN格里万克4019632258586430766961456437636358576968拉斯特里金27316327939262317353121813119141180球体3496635072214470652658485038542858376762Rosenbrock2927638443895286446531233909526647136000谢弗176213781546227391440252400200042072475STD格里万克4398451345844382403943244395446145824188拉斯特里金274243889121583573290234221719802326球体4259447542484517432345914501457446054413Rosenbrock2806410937844155377031203311376040264034谢弗2877159515882838141940433339305238603810Min格里万克482353406650458528477648570608拉斯特里金449067565511149573362球体514480508505521545611483524634Rosenbrock800858794799656668556856850981谢弗8493165213766010638Sr格里万克0,650,400,450,400,250,450,400,400,450,35拉斯特里金10,9510,950,8510,950,9510,95球体0,700,400,300,600,400,450,550,500,450,35Rosenbrock0,900,450,700,600,800,850,800,750,650,55谢弗0,90110,9510,800,850,900,750,80统计成功10330412020平均迭代次数= AIN，标准差= Std，最小值= Min，成功率= SR。表6不同加速常数的性能比较。加速度1.6/1.65/1.7/1.75/1.8/1.85/1.9/1.92/1.94/1.96/1.98/2/22.02/2.04/2.06/2.08/2.1/2.15/2.2/2.25/2.3/2.35/2.4/常数（c1/c2）2.42.352.32.252.22.152.12.082.062.042.021.981.961.941.921.91.851.81.751.71.651.6AIN格里万克2088110829702249288427382595254526453087727440197255NCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSRastrigin 1573509313791587560381350084313759298482734199556642783442043961726125017351449球12421309104910549487902078257226613931172134964451NCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSRosenbrock59935029348652064304496038394837388833585807292732094912590667188467NCSNCSNCSNCSNCSNCS谢弗F620454732403226924362567245932722105185917622039296817441896232725128901730276125403002标准品Griewank 264527835262980361536313706372936923998417643984202NCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSRastrigin 29093696217129494129845595211124171011212127449721311003277648350317791300233030652445球面1732281941782061183330371636754454278842594534NCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSNCSRosenbrock35563412291735053397360733393917357733873905280631903850400539702981NCSNCSNCSNCSNCSNCSSchafferF631586733337275635153333